확률과 통계 내신·모의고사 대비 TEST 해설(4쇄)

Ⅰ. 순열과 조합

Ⅱ. 확률

Ⅲ. 통계

®

[확률과통계]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

Ⅰ-1. 순열 본문 262~268쪽 01 12 02 18 03⑴ 20 ⑵ 9 ⑶ 11 ⑷ 4 ⑸ 4 04④ 05 64 06 2500 07 22 08 20160 09 156 10 168 11③ 12⑤ 13⑤ 14④ 15④ 16⑴ 120 ⑵ 48 ⑶ 24 17① 18 130 19⑤ 20③ 21 13 22 113 23④ 24 136 25 144 26 30 27 110 28 34 29 840 30⑤ 31 54 32 19 33④

0

1

중복되는 항이 없으므로 곱의 법칙을 적용하면 항의 개수는 3_2_2=12 12

0

2

720=2› _3¤ _5이므로 720의 약수의 개수는 (4+1)_(2+1)_(1+1)=30 이때, 720의 약수 중에서 2를 인수로 한 개만 포함하거나 아예 포함하지 않는 경우는 4의 배수가 될 수 없으므로 4의 배수가 아닌 약수는 2_3¤ _5의 약수이고 그 개수는 (1+1)_(2+1)_(1+1)=12 ∴ 30-12=18 18

0

3

⑴ ÆP¡=x=20 ⑵ ÆP™=x(x-1)=72이므로 x¤ -x-72=0, (x-9)(x+8)=0 ∴ x=9 (∵ x>0) ⑶ ÆP£=x(x-1)(x-2)=990이므로 x‹ -3x¤ +2x-990=0 (x-11)(x¤ +8x+90)=0 ∴ x=11 ⑷ 3024=9_8_7_6이므로 ªP¢=3024 ∴ x=4 ⑸ ∞P£=3¥ÆP™+¢P£에서 5_4_3=3¥x(x-1)+4_3_2 3x¤ -3x-36=0 3(x-4)(x+3)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) ⑴ 20 ⑵ 9 ⑶ 11 ⑷ 4 ⑸ 4

0

4

⁄A라는 특정 학생이 반드시 선발되지 않아야 할 경우 : n명 중 A를 제외한 나머지 n-1명에서 r명을 선발 한 뒤, 선발된 학생들을 일렬로 세우면 되므로 «–¡P® ¤A라는 특정 학생이 반드시 선발되어야 할 경우 : n명 중 A를 제외한 나머지 n-1명에서 r-1명을 선발한 뒤 이들을 일렬로 서게 한 후, A가 어느 틈에 끼 어 들어가서 줄을 서면 되므로 «–¡P®–¡_r 따라서 n명의 학생 중 r명을 선발하여 일렬로 줄을 세우 는 경우의 수는 «–¡P®+«–¡P®–¡_r=«P® ∴ ㄱ：r, ㄴ：r-1, ㄷ：r ④

02

정답 및 해설 SU M MA CU M L AU D E

0

5

답하는 경우는 ○○○○○○, ○○○○○×, … 와 같으므로 ○, ×의 2개 중에서 6개를 택하는 중복순열 의 수와 같다. ∴ ™P§=2fl =64 (가지) 64

0

6

만의 자리에는 0이 올 수 없으므로 만들 수 있는 다섯 자리 수는 4_∞P¢=4_5› =2500 (개) 2500

0

7

A, B, C를 중복을 허락하여 일렬로 놓는 경우 의 수는 £P£=3‹ =27 (가지)

한편, A가 이웃하여 2개 놓인 경우는 AAB, BAA, AAC, CAA로 4가지이고, A가 이웃하여 3개 놓인 경 우는 AAA로 1가지이다. 따라서 만들 수 있는 기호는 모두 27-4-1=22 (개) 22

0

8

원형으로 둘러앉는 경우는 적당히 회전하면 같 은 것이 8가지씩 나오지만 직사각형 모양으로 둘러앉는 경우는 적당히 회전하면 같은 것이 2가지씩 나온다. 따라서 구하는 경우의 수는 =20160 (가지) [다른 풀이] 처음 앉는 사람의 위치를 고정할 때, 가능한 자리는 다음 8! 155₂ 그림과 같이 ㉠~㉣의 4개이다. 각각의 자리마다 나머지 7명이 앉는 경우의 수는 7!가지 이므로 구하는 경우의 수는 4_7!=20160 (가지) 20160

0

9

1에서 15까지의 수 중에서 연속하는 두 자연수 는 모두 14쌍이다. 각 경우에 따라 나누어 생각해 보자. ⁄ 연속하는 자연수가 (1, 2) 또는 (14, 15)인 경우 : (1, 2)를 뽑을 경우, 3을 제외한 4, 5, y, 15 중 하 나를 택해야 하므로 모두 12가지이고, (14, 15)를 뽑 을 경우도 마찬가지로 13을 제외한 12가지이므로 12_2=24 ¤ 연속하는 자연수가 (2, 3), y, (13, 14)일 경우 : (2, 3)을 뽑을 경우, 1과 4를 제외한 11가지의 경우 가 있고, 마찬가지로 (3, 4), (4, 5), y, (13, 14)일 경우도 11가지이므로 11_12=132 ∴ 24+132=156 156 [다른 풀이] 15개의 공 중에서 3개를 선택하는 경우의 수는 ¡∞C£=455이므로 여사건을 이용하여 문제를 풀어 보자. ⁄ 어떤 두 수도 연속하지 않는 경우 : 흰 공 12개를 먼저 일렬로 나열한 뒤, 흰 공 사이와 양 끝을 포함한 13개의 자리에서 붉은 공 세 개가 놓일 세 자리를 뽑는 경우의 수와 같으므로 ¡£C£=286 ¤ 세 수가 모두 연속하는 경우 ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ

04

정답 및 해설 : {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, y, {13, 14, 15} ∴ ¡£C¡=13 ∴ ¡∞C£-¡£C£-¡£C¡=455-286-13=156

10

색칠한 칸은 시작에서 4칸을 전진해야 하므로 주사위를 던진 횟수에 따라 그 경우를 나타내면 1번：(4) 2번：(1, 3), (2, 2), (3, 1) 3번：(1, 2, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 1) 4번：(1, 1, 1, 1) 로 8가지이다. 또, 색칠한 칸에서 출발하여 말이 끝에 이를 때까지 나올 수 있는 수의 합은 항상 3 이상이어야 하므로 1번：(3), (4), (5), (6) 2번：(1, 2), (1, 3), y, (1, 6) (2, 1), (2, 2), y, (2, 6) 3번：(1, 1, 1), (1, 1, 2), y, (1, 1, 6) 으로 21가지이다. 따라서 8_21=168이다. 168 [참고] 시작에서 4칸을 전진하여 색칠한 칸에 멈춰서는 경우의 수는 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다. 주사위의 눈의 수는 아무리 작아도 1이므로 4를 네 개의 1로 쪼갠 뒤 더하기 기호를 끼워 넣는 방법의 수로 생각 한다. 예를 들어, ‘4=1 1 1 1’에서 1과 1 사이에 더하기 기 호를‘1+1 1 1’과 같이 넣은 것은, 더하기 기호를 구분 선으로 간주했을 때 위 풀이의 (1, 3)과 대응될 수 있다. 이렇게,‘1 1 1 1’사이에는 더하기 기호가 들어갈 수 있 는 자리가 3군데 있으므로 총 순열의 수는 2_2_2=8(가지)이다. 그러나 색칠한 칸에서 끝으로 향하는 움직임을 생각할 때 에는, 끝에 정확히 정지하지 않아도 된다는 조건 때문에 총 주사위 눈의 합이 고정되어 있지 않다. 따라서 이와 같 은 방법을 사용할 수 없다.

11

AB”를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC의 점 C 의 자취는 AB”를 지름으로 하는 원과 같다. 이때, 원의 중 심은 (2, 0), 원의 반지름의 길이는 '5이므로 원의 방정 식은 (x-2)¤ +y¤ =5 따라서 원의 방정식을 만족하는 정수 x, y를 구해 보면 (0, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 1), (4, -1), (3, -2), (1, -2), (0, -1) 로 모두 8개이다. ③

12

y=f(x)는 일차함수 또는 이차함수이다. ⁄y=f(x)가 이차함수인 경우 (a+b) xæ0에서 y=f(x)가 최댓값을 가지려면 그래프가 위 로 볼록, 즉 이차항의 계수가 a-b<0이어야 하고, 꼭 짓점의 x좌표가 0 이하이어야 한다. 즉, x= …0 ∴ a¤ +b¤ æ27 (∵ a-b<0) y ㉠ a¤ +b¤ -27 11111_2(a-b) x y {x-2}@+y@=5 2 1 -1 -2 O A B 2 3 1 4

㉠을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6) 으로 8가지이다. ¤y=f(x)가 일차함수인 경우 a=b이므로 f(x)=-(2a¤ -27)x+3a¤ y=f(x)가 x=0에서 최댓값을 가지려면 기울기가 음 수이어야 하므로 -(2a¤ -27)<0 ∴ a¤ > y ㉡ a=b이고, ㉡을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (4, 4), (5, 5), (6, 6) 으로 3가지이다. ∴ 8+3=11 ⑤

13

이어폰 솜의 세 가지 색을 A, B, C라고 할 때, 모든 이어폰 솜은 AABBCC 이고, 서로 다른 색과 한 쌍이 되도록 세 쌍으로 나누면 AB, AC, BC 이다. 이때, 각 이어폰에 배분하는 방법은 £P£ 또, 세 개의 이어폰의 좌우를 바꾸어 솜을 낄 수 있으므로 £P£_2_2_2=48 ⑤

14

이차방정식 x¤ +x+1=0의 근이 a이므로 a¤ +a+1=0 양변에 a-1을 곱하면 (a-1)(a¤ +a+1)=0 a‹ -1=0 ∴ a‹ =1 즉, 세 공에 적힌 수의 곱이 다음과 같이 나와야 1이 된다. 27 12₂

a‹ , afl , a· , a⁄ ¤ , y

이때, 주어진 여섯 개의 수 중 지수가 가장 큰 순서대로 세 개를 골라 곱하면 a‹ _a› _afi =a⁄ ¤ 이므로 세 수의 곱이 a‹ , afl , a· , a⁄ ¤ 이 되는 경우를 모두 찾는다.

⁄ 세 수의 곱이 a‹ 인 경우 : a¤ _a⁄ _a‚

¤ 세 수의 곱이 afl 인 경우

: afi _a⁄ _a‚ , a› _a¤ _a‚ , a‹ _a¤ _a⁄ ‹ 세 수의 곱이 a· 인 경우

: afi _a› _a‚ , afi _a‹ _a⁄ , a› _a‹ _a¤ › 세 수의 곱이 a⁄ ¤ 인 경우

: afi _a› _a‹

따라서 각각에 대한 순서를 고려하면 8_3!=48 ④

15

B,A, B;C=Δ를 만족하는 집합을 벤 다이 어그램으로 그리면 다음과 같다. 집합 A, B, C를 만들 수 있는 모든 경우의 수는 다섯 개 의 영역 안에 전체집합 U의 다섯 개의 원소를 넣는 경우 의 수와 같으므로 5_5_5_5_5=3125 이때, A;C=Δ를 만족하는 경우의 수는 A;C의 영역 을 제외한 네 영역에 다섯 개의 원소를 넣는 경우의 수와 같으므로 4_4_4_4_4=1024 따라서 A;C+Δ를 만족하는 경우의 수는 3125-1024=2101 ④ U A B C

06

정답 및 해설

16

⑴ 6명의 학생이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우 의 수는 (6-1)!=5!=120 (가지) ⑵ A, B를 한 사람으로 생각하면 5명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4! (가지) A, B가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2!가지 따라서 구하는 경우의 수는 4!_2!=48 (가지) ⑶ 그림과 같이 원형의 탁자에서 A와 B가 마주 보고 앉 는 경우의 수는 나머지 4명이 한 줄로 앉는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 4!=24 (가지) ⑴ 120 ⑵ 48 ⑶ 24

17

우선 정중앙에 위치한 작은 정사각형에 어떤 색 이 오는지 정하는 방법의 수가 9가지이다. ㉡ ㉠ ㉡ ㉠ ㉠ ㉡ ㉠ ㉡ A B 이제 나머지 8개의 색을 가지고 둘레를 칠하는 방법을 생 각해 보자. (이제부터 편의상 8가지의 색을 1~8까지의 숫자로 대신하자.) ⁄1을 ㉠에 쓸지 ㉡에 쓸지 결정하는 방법의 수 : 2가지 ¤ 나머지 7개의 숫자를 나머지 정사각형에 쓰는 방법의 수 : 7!가지 따라서 정사각형의 판자에 서로 다른 9개의 색을 칠하는 방법의 수는 9_2_7!=18¥7! (가지) ①

18

A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우 의 수는 =210 (가지) A지점에서 C지점을 지나 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 _ =80 (가지) 따라서 A지점에서 C지점을 지나지 않고 B지점까지 최 단 거리로 가는 경우의 수는 210-80=130 (가지) 130

19

꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가려 면 가로로 4칸, 세로로 3칸, 높이 4칸만큼 이동하면 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 a 4개, b 3개, c 4개를 일렬 로 나열하는 방법의 수와 같다. ∴ 11145_4!3!4!11! =11550 (가지) ⑤ 4! 145_3! 6! 1145_3!3! 10! 1145_6!4!

20

A지점에서 B지점으로 최단 거리로 가는 경우의 수는 위 그림의 A지점에서 C, D, E지점을 각각 지나 B지점까 지 가는 경우의 수의 합과 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 ¥ + ¥ +1¥ =6¥10+4¥10+5 =105 (가지) ③

21

기호Δ를 3개 사용：1가지 기호Δ를 2개, ■를 2개 사용： =6 (가지) 기호Δ를 1개, ■를 4개 사용： =5 (가지) 기호 ■를 6개 사용：1가지 따라서 기호의 합이 6이 되는 경우의 수는 1+6+5+1=13 (가지) 13

22

주어진 주사위의 눈의 평균이 5이므로 각 주사 위의 눈에 대해 대칭성을 가진다. 예를 들어, 이 주사위를 두 번 던졌을 때 합이 8이 될 경우 는 (2, 6), (4, 4), (6, 2)로 3가지인데 이것은 합이 12 인 경우 (4, 8), (6, 6), (8, 4)에 정확히 대응된다. 즉, 눈의 평균이 5인 주사위를 두 번 던졌으므로 평균도 두 배 인 10이 되었고, 8과 12는 10과의 차가 2로 동일하기 때 문이다. 이와 같이 주사위를 a번 던져 나온 수의 합이 32 이므로 이것과 대칭되는 수 c를 찾아보자. 5! 145_4! 4! 1145_2!2! 5! 12_4! 5! 1145_2!3! 4! 12_3! 5! 1145_3!2! 4! 1145_2!2! A B E D C c를 최대가 되도록 하는 a이므로 평균에 대해 32보다 c가 더 큰 쪽에 있는 경우를 생각하면, c-5a=5a-32 ∴ c=10a-32 한편, 던진 주사위에서 전부 2의 눈만 나온다 해도 주사위 를 열여섯 번만 던지면 32가 되므로 a…16 즉, a=16일 때 c가 최댓값을 가진다. ∴ c=10a-32=10_16-32=128 또, 주사위의 눈이 모두 2가 나와야만 합이 32가 되므로 b=1 ∴ c-a+b=128-16+1=113 113

23

반드시 4가 포함되는 세 자리의 정수의 개수는 전체에서 4가 포함되지 않는 것의 개수를 빼면 된다. 1, 2, 3, 4 네 개의 숫자로 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수는 ¢P£=4‹ (개)이고, 1, 2, 3 세 개의 숫자 로 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수는 £P£=3‹ (개)이므로 4‹ -3‹ =64-27=37 (개) ④

24

조건 ㈎에 의해 f(4)의 값은 1 또는 3 또는 5 이다. 조건 ㈏, ㈐를 만족하려면 f(4)+1이어야 하므로 X 1 2 3 4 5 6 Y 1 2 3 4 5 6

08

정답 및 해설 f(4)=3 또는 f(4)=5인 경우를 생각하면 된다. ⁄ f(4)=3일 때 f(1), f(2), f(3)의 값은 1, 2 중 하나이고, f(5), f(6)의 값은 4, 5, 6 중 하나이다. 이때의 함수의 개수는 ™P£_£P™=2‹ _3¤ =72 (개) ¤ f(4)=5일 때 f(1), f(2), f(3)의 값은 1, 2, 3, 4 중 하나이고, f(5), f(6)의 값은 6이다. 이때의 함수의 개수는 ¢P£_1=4‹ _1=64 (개) ⁄, ¤에서 구하는 함수의 개수는 72+64=136 (개) 136

25

이웃하여 놓는 빨간 의자 2개를 한 개로 생각하 고 노란 의자 3개를 포함하여 모두 4개를 원형의 탁자에 놓는 경우의 수를 구하면 (4-1)!_2!=12(가지)이다. 이때, 각각의 경우에 대하여 파란 의자 2개를 이웃하지 않 도록 놓는 방법은 그림과 같이 4군데(△) 중에서 2군데를 뽑아 놓는 방법과 같으므로 ¢P™=12(가지)이다. 따라서 구하는 경우의 수는 12_12=144 (가지) 144 [또 다른 풀이] 이웃하여 놓은 빨간 의자 2개를 한 개로 생 각하자. 노란 의자 3개, 파란 의자 2개를 포함하여 모두 6 개를 원형의 탁자에 놓는 경우의 수는 빨 빨 노 노 노 (6-1)!_2!=240 (가지) 이때, 파란 의자 2개도 이웃하여 원형의 탁자에 놓는 경우 의 수는 (5-1)!_2!_2!=96 (가지) ∴ 240-96=144 (가지)

26

밑면에 5가지 색 중 한 가지를 칠하는 방법의 수 는 5가지이고, 나머지 4가지 색으로 옆면을 칠하는 방법 의 수는 (4-1)!=6(가지)이다. 따라서 색을 칠하는 방법의 수는 5_6=30 (가지) 30

27

A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가려면 E, F지점을 반드시 지나야 한다. ⁄A지점에서 E지점까지 가는 경우 A⁄ C ⁄ E：1가지 A⁄ D ⁄ E： _2!=10 (가지) ∴ A⁄ E：1+10=11 (가지) ¤F지점에서 B지점까지 가는 경우 =10 (가지) 따라서 A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 11_10=110 (가지)이다. 110 5! 1145_2!3! 5! 12_4! A C B F E D 호수

28

♩를 4개 사용：1가지 ♩를 3개, ♪를 2개 사용： =10 (가지) ♩를 2개, ♪를 4개 사용： =15 (가지) ♩를 1개, ♪를 6개 사용： =7 (가지) ♪를 8개 사용：1가지 따라서 구하는 경우의 수는 1+10+15+7+1=34 (가지) 34

29

1, 2, 3을 모두 1로 생각하고 1, 1, 1, 4, 5, 6, 7을 일렬로 나열한 후, 뒤에 오는 1, 1 을 각각 2, 3으로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 =840 (가지) 840

30

6가지의 서로 다른 색을 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 으로 놓고, 각 직육면체 A, B, C에 색을 칠하는 경우를 생각해 보자. ⁄(1, 1, 1)인 정육면체에 색을 칠하는 경우 경우의 수를 세기 위해서는 위-아래에 대한 정확한 기준 이 있어야 하므로 숫자 1이 적힌 면을 아랫면으로 놓자. 이때, 윗면에 올 수 있는 숫자의 가짓수는 1을 제외한 5 가지이다. 옆면에 숫자를 매기는 가짓수를 고려해 보면 4개의 숫 자를 원순열로 배열하는 것과 같으므로 (4-1)!=3! (가지) 즉, 정육면체에 6가지의 색을 칠하는 방법의 수는 1_5_3!=30 (가지) 7! 145_3! 7! 145_6! 6! 1145_2!4! 5! 1145_3!2! ¤(2, 1, 1)인 직육면체에 색을 칠하는 경우 (1, 1, 1)인 정육면체를 좌우, 위아래로 자유롭게 늘일 수 있는 고무라 생각하면 (1, 1, 1)인 직육면체를 만드 는 방법은 (1, 1, 1)인 정육면체의 세 방향 중 한 방향 을 택해 2로 길이를 늘인 것과 같다. 즉, (2, 1, 1)인 직육면체에 색을 칠하는 방법의 수는 30_3=90(가지)이다. ‹(3, 1, 2)인 직육면체에 색을 칠하는 경우 (2, 1, 1)인 직육면체를 좌우, 위아래로 자유롭게 늘일 수 있는 고무라 생각하면, (2, 1, 1)인 직육면체에서 길이가 1인 두 방향 중 한 방향을 택해 3으로 길이를 늘 인 것과 같다. 즉, (3, 1, 2)인 직육면체에 색을 칠하는 방법의 수는 90_2=180(가지)이다. 따라서 ⁄, ¤, ‹에 의해 n(A) : n(B) : n(C)=30 : 90 : 180=1 : 3 : 6 ⑤

31

꼭짓점 A에서 꼭짓점 B에 도달하기 위해서는 가로로 2번, 세로로 2번, 수직으로 2번 이동해야 한다. 즉,11144_2!2!2!6! =90(가지)라고 답하기 쉽다. 1 3 2 Δ ❶ 1 1 2 ❷ Δ ❶ ❷ ❸ 1 1 1

10

정답 및 해설 [그림 1] [그림 2] 하지만 점선이나 모서리를 따라서만 움직일 수 있고, 정육 면체의 내부를 관통하여 갈 수는 없으므로 [그림 2]와 같이 내부를 관통하여 움직이는 경우의 수 3!_3!(가지)는 제 외해야 한다. 따라서 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가는 방 법의 수는 90-36=54 (가지)이다. [다른 풀이] 오른쪽 그림과 같 이 합의 법칙을 이용하면 꼭짓 점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 54가 지임을 확인할 수 있다. 하지 만 이 풀이는 공간지각력을 요 구하기 때문에 실수없이 답을 찾기가 쉽지 않을 것이다. 54

32

다음 그림과 같이 점 A에서 B까지 4개의 선분 만 지나가는 방법은 3가지로 나누어 생각할 수 있다. A B x y O O A 1 1 1 2 3 3 3 3 6 6 6 6 6 18 18 54 18 1 B A B A B 가로 2번 세로 2번 높이 2번 ⁄ ↗으로 2번, ↘으로 2번 지나가는 경우 =6 (가지) ¤ ↗으로 1번, 2⁄ 으로 2번, ↘으로 1번 지나가는 경우 =12 (가지) ‹2⁄으로 4번 지나가는 경우：1가지 따라서 ⁄, ¤, ‹에 의해 구하는 방법의 수는 6+12+1=19 (가지) 19

33

6의 배수가 되기 위해서는 2의 배수이기도 해야 하고, 3의 배수이기도 해야 한다.

즉, a¡, a™, a£, a¢에는 2의 배수와 3의 배수가 모두 포함되 어야 한다. 정사면체를 4번 던져서 나올 수 있는 경우는 4› 가지, 2의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우는 (4-2)› 가지 3의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우는 (4-1)› 가지 2의 배수와 3의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우는 (4-2-1)› 가지 따라서 정사면체를 4번 던져서 6의 배수를 만들 수 있는 경우는 4› -2› -(3› -1)=160 (가지)이다. ④ 4! 145_2! 4! 1145_2!2!

0

1

ㄱ. ¢C™=¢C¢–™=6이므로 x=2뿐이다. (참) ㄴ.∞C™=∞C∞–™=∞C£=10이므로 x=2, 3이다. (거짓) ㄷ.§C™=§C§–™=§C¢=15이므로 x=2, 4이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱㄱ이다. ①

0

2

P가 2개이므로 나열하는 모든 경우의 수는 a= =60 (가지) 한편, P끼리 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는 A, L, E를 먼저 나열한 후, 다음의 4군데( ) 중 2군데를 뽑 는 경우의 수와 같다. `A `L `E ∴ b=3!_¢C™=36 (가지) ∴ a+b=60+36=96 96 5! 155_2!

0

3

첫째 줄에 세울 세 명을 택하는 경우의 수： ªC£ (가지) 둘째 줄에 세울 세 명을 택하는 경우의 수：§C£ (가지) 셋째 줄에 세울 세 명을 택하는 경우의 수：£C£ (가지) 같은 줄 안에서는 키 순서대로 서므로 각 줄에 배정된 세 명이 서는 방법은 유일하다. ∴ªC£_§C£_£C£_1=1680 (가지) ②

0

4

서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 8개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 ™H•=™≠•–¡C•=ªC•=ªC¡=9 (가지) ①

0

5

⑴ 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 7 개를 뽑는 조합의 수와 같으므로 £H¶=£≠¶–¡C¶=ªC¶=ªC™=36 (개) ⑵ x, y, z를 한 개씩 뽑았다고 하면, x+y+z=4를 만 족시키는 음이 아닌 정수인 해의 개수를 구하는 경우와 같아진다. 즉, 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하 여 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 (개) ⑴ 36 ⑵ 15

0

6

세 모둠에게 적어도 한 개씩은 나누어 주어야 하 므로 먼저 각 모둠에 한 개씩을 나누어 준 것으로 생각하 면 구하는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하 여 10-3=7(개)를 뽑는 중복조합의 수와 같다. ∴ £H¶=£≠¶–¡C¶=ªC¶=ªC™ (가지) ⑤

0

7

세 사람이 연필과 지우개를 모두 한 개 이상씩 받도록 나누어 주어야 하므로 먼저 한 개씩을 나누어 준 Ⅰ-2. 조합 본문 269~276쪽 01① 02 96 03② 04① 05⑴ 36 ⑵ 15 06⑤ 07④ 08⑴ 286 ⑵ 84 09 ④ 10④ 11② 12⑴ 4 ⑵ 8 13 280 14 18 15⑴ -280 ⑵ 1792 ⑶ 208 ⑷ -196 16⑴ 2 ⑵ ™ºC¡º 17 672 18② 19⑴ 9 ⑵ 11 20 7 21 36 22③ 23 135 24 20 25⑴ 252 ⑵ 56 26 175 27 11 28 301 29 336 30⑴ 2 ⑵ 15 ⑶ 30 31 4 32 45 33 22 34 54 35③ 36④ 37④ 38③ 39② 40 719 41③ 42①

12

정답 및 해설 것으로 생각하면 연필을 나누어 주는 방법의 수는 서로 다 른 3개에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는 중복조합의 수와 같고, 지우개를 나누어 주는 방법의 수는 서로 다른 3개에 서 중복을 허락하여 3개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 따라서 연필과 지우개를 모두 한 개 이상씩 받도록 나누어 주는 방법의 수는 £H∞¥£H£=£≠∞–¡C∞_£≠£–¡C£ =¶C∞_∞C£=¶C™_∞C™ =21_10=210 (가지) ④

0

8

⑴ 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 10개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H¡º=¢≠¡º–¡C¡º=¡£C¡º=¡£C£=286 (가지) ⑵ 4명의 학생에게 먼저 빵을 한 개씩 준 것으로 생각하면 나누어 주는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허 락하여 6개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. ∴ ¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£=84 (가지) ⑴ 286 ⑵ 84

0

9

x, y, z가 모두 양의 정수이므로 x+y+z=11, xæ1, yæ1, zæ1을 만족하는 정수인 해 의 개수는 x+y+z=8, xæ0, yæ0, zæ0을 만족하는 정수인 해의 개수와 같다. 따라서 구하는 해의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 중복 을 허락하여 8개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. ∴ £H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™ (개) ④

10

자연수 9를 5개의 자연수로 분할하는 문제이다. 9=5+1+1+1+1 9=4+2+1+1+1 9=3+3+1+1+1 9=3+2+2+1+1 9=2+2+2+2+1 따라서 구하는 방법의 수는 P(9, 5)=5 ④

11

홀수 k개의 합이 홀수가 되려면 k도 홀수이어야 한다. 따라서 자연수 9를 1, 3, 5, 7, 9의 홀수만으로 분할 하는 가짓수를 구하면 다음과 같이 8가지이다. 9=1+1+7=1+3+5=3+3+3 9=1+1+1+1+5=1+1+1+3+3 9=1+1+1+1+1+1+3 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1 ②

12

⑴ 자연수 7을 3개의 자연수로 분할하는 문제 이다. 7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2 ⑵이므로 4가지이다. ⑵ 자연수 7을 3개 이하의 자연수로 분할하는 문제이다. ⑵7=6+1=5+2=4+3 ⑵ 9=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2 ⑵이므로 8가지이다. ⑴ 4 ⑵ 8

13

서로 다른 9개에서 3개, 3개, 3개를 차례로 고른 다음 중복되는 경우로 나눈다. ªC£¥§C£¥£C£¥ =280 (가지) 280 1 155_3!

12

정답 및 해설

14

자연수 9를 4개 이하의 자연수로 분할하는 문제 이다. 9=8+1=7+2=6+3=5+4 9=7+1+1=6+2+1=5+3+1=5+2+2 9=4+4+1=4+3+2=3+3+3 9=6+1+1+1=5+2+1+1=4+3+1+1 9=4+2+2+1=3+3+2+1=3+2+2+2 이므로 구하는 방법의 수는 P(9, 1)+P(9, 2)+P(9, 3)+P(9, 4) =1+4+7+6=18 18

15

⑴ (1-2x)‡`의 전개식의 일반항은 ¶C®(-2x)® =¶C®(-2)® x® x‹ 항이 되려면 r=3이므로 그 계수는 ¶C£(-2)‹ =-280 ⑵ (2x-y‹ )° 의 전개식의 일반항은 •C®(2x)° —® (-y‹ )® =•C®¥2° —® (-1)® x° —® y‹ ® xfl yfl 항이 되려면 r=2이므로 그 계수는 •C™¥2° —¤ (-1)¤ =•C™¥2fl =1792 ⑶ (x+1)› 의 전개식의 일반항은 ¢Cåxå (단, a=0, 1, 2, 3, 4) (x+2)fi 의 전개식의 일반항은 ∞C∫xfi —∫ 2∫ (단, b=0, 1, y , 5) (x+1)› (x+2)fi 에서의 x의 계수는 ⁄a=1, b=5일 때 ¢C¡_∞C∞¥2fi =4¥32=128 ¤a=0, b=4일 때 ¢Cº_∞C¢¥2› =5¥16=80 ⁄, ¤에서 x의 계수는 128+80=208 ⑷ {x- }8 의 전개식의 일반항은 •C®x° —® {- }r =•C®(-1)® x° —¤ ® (x¤ -2){x- }8 의 전개식에서 상수항은 ⁄8-2r=-2, 즉 r=5일 때 •C∞(-1)fi =-•C£=-56 ¤8-2r=0, 즉 r=4일 때 (-2)_•C¢(-1)› =(-2)_•C¢=-140 ⁄, ¤에서 상수항은 -56-140=-196 ⑴ -280 ⑵ 1792 ⑶ 208 ⑷ -196

16

⑴¡ººCº-¡ººC¡+¡ººC™-¡ººC£+y+¡ººC¡ºº =0 이므로 ¡ººC¡-¡ººC™+¡ººC£-¡ººC¢+y+¡ººCªª =¡ººCº+¡ººC¡ºº=1+1=2 ⑵¡ºC¡º¥¡ºCº+¡ºCª¥¡ºC¡+¡ºC•¥¡ºC™+y+¡ºCº¥¡ºC¡º은 (1+x)⁄ ‚ (1+x)⁄ ‚ , 즉 (1+x)¤ ‚ 의 전개식에서 x⁄ ‚ 의 계수를 나타낸다. 따라서 구하는 값은 ™ºC¡º이다. ⑴ 2 ⑵ ™ºC¡º

17

(1+ax)· 의 전개식의 일반항은 ªC®(ax)® =ªC®a® x® x의 계수가 18이므로 r=1일 때 ªC¡a=18 ∴ a=2 따라서 x‹ 의 계수는 r=3일 때이므로 ªC£a‹ =ªC£¥2‹ =672 672 1 1_x 1 1_x 1 1_x

14

정답 및 해설

18

(1+x¤ )에서 x¤ 의 계수：¡C¡=1 (1+x¤ )¤ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：™C¡=2 (1+x¤ )‹ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：£C¡=3 ⋮ (1+x¤ )¤ ‚ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：™ºC¡=20 따라서 (1+x¤ )+(1+x¤ )¤ +y+(1+x¤ )⁄ · +(1+x¤ )¤ ‚ 의 전개식에서 x¤ 의 계수는 1+2+y+20=210이다. ②

19

⑴«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로 500<2« <990 2· =512, 2⁄ ‚ =1024이므로 n=9 ⑵«Cº+«C™+«C¢+«C§+y=2« —⁄ 이므로 «C™+«C¢+«C§+y=2« —⁄ -1 ∴ 1000<2« —⁄ -1<2000, 1001<2« —⁄ <2001 2⁄ ‚ =1024, 2⁄ ⁄ =2048이므로 n-1=10 ∴ n=11 ⑴ 9 ⑵ 11

20

원소가 세 개인 부분집합을S˚(1…k…n)라 할 때,m˚는 각 집합 S˚의 세 원소의 평균이므로 (S˚의 모든 원소들의 합)=3(m¡+m™+y +m«) 이때,S˚에 포함된 모든 1의 개수는 원소가 3개인 부분집 합 중 1이 반드시 포함된 집합의 수와 같으므로 집합S˚ 에 포함된 모든 1의 합은 1_¡™C™ 또,S˚에 포함된 모든 2의 개수는 원소가 3개인 부분집합 중 2가 반드시 포함된 집합의 수와 같으므로 집합S˚에 포함된 모든 2의 합은 2_¡™C™ 이와 같은 방법으로 집합 S˚에 포함된 모든 3의 합은 3_¡™C™, 집합 S˚에 포함된 모든 4의 합은 4_¡™C™, y, 집합S˚에 포함된 모든 13의 합은 13_¡™C™이므로 3(m¡+m™+y +m«) =1_¡™C™+2_¡™C™+y +13_¡™C™ =¡™C™_(1+2+3+y +13) y ㉠ 한편, 집합 U의 원소가 세 개인 부분집합의 수는 n=¡£C£ y ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 (m¡, m™, m£, y, m«의 평균) = = = =7 7

21

a+b+c=10, aæ0, bæ1, cæ2를 만족하는 정수인 해의 개수는 a+b+c=7, aæ0, bæ0, cæ0을 만족하는 정수인 해의 개수와 같다. 따라서 구하는 해의 개수는 서로 다른 3개의 문자 a, b, c 에서 중복을 허락하여 7개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. ∴£H¶=£≠¶–¡C¶=ªC¶ =ªC™=36 따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 36개이다. 36

22

f(3)=8이고, x¡<x™이면 f(x¡)…f(x™)이므 로 f(1), f(2)의 값은 6, 7, 8 중 하나가 되고, f(4)의 값은 8, 9, 10 중 하나가 된다. 이때, f(1), f(2)가 대응되는 개수는 6, 7, 8에서 중복 을 허락하여 2개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. (뽑은 두 ¡™C™_(1+2+3+y +13) 111111111111_{3_¡£C£} 3(m¡+m™+m£+y +m«) 1111111111114_3n m¡+m™+m£+y +m« 11111111111_n

수 중 작은 수에 f(1)을, 큰 수에 f(2)를 대응시키면 f(x¡)…f(x™)를 만족하게 된다.) ∴£H™=£≠™–¡C™=¢C™=6 따라서 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 모두 6_3=18 (개)이다. ③

23

f(1)f(4)=12인 경우 중 f(1)…f(4)를 만족 하는 경우는 (f(1), f(4))=(2, 6), (3, 4) ⁄(f(1), f(4))=(2, 6)인 경우 f(2), f(3)의 값은 2, 3, 4, 5, 6 중 하나가 되고, f(5), f(6)의 값은 6, 7, 8 중 하나가 된다. 이때의 함수의 개수는 ∞H™_£H™=∞≠™–¡C™_£≠™–¡C™ =§C™_¢C™=15_6=90 (개) ¤(f(1), f(4))=(3, 4)인 경우 f(2), f(3)의 값은 3, 4 중 하나가 되고, f(5), f(6)의 값은 4, 5, 6, 7, 8 중 하나가 된다. 이때의 함수의 개수는 ™H™_∞H™=™≠™–¡C™_∞≠™–¡C™ =£C™_§C™=3_15=45 (개) ⁄, ¤에서 구하는 함수의 개수는 90+45=135 (개) 135

24

조건을 만족시키는 함수의 개수는 2, 3, 4, 5에 서 중복을 허락하여 3개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 뽑 은 세 수를 작은 수부터 차례로 나열하여 f(a), f(b), f(c)를 대응시키면 f(a)…f(b)…f(c)를 만족하게 된다. ∴ ¢H£=¢≠£–¡C£=§C£=20 따라서 구하는 함수의 개수는 20개이다. 20

25

⑴ 구하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중 복을 허락하여 5개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 §H∞=§≠∞–¡C∞=¡ºC∞=252 (가지) ⑵ ⑴에서 구한 경우의 수에서 a™=a£ 또는 a¢=a∞인 경 우의 수를 빼면 된다. a™=a£인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허 락하여 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 §H¢=§≠¢–¡C¢=ªC¢=126 (가지) a¢=a∞인 경우의 수도 마찬가지이므로 §H¢=§≠¢–¡C¢=ªC¢=126 (가지) 이때, a™=a£이면서 a¢=a∞인 경우의 수는 §H£=§≠£–¡C£=•C£=56 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 252-(126+126-56)=56 (가지) ⑴ 252 ⑵ 56

26

색깔의 변화가 4번 있는 경우는 다음과 같이 두 가지이다. ⁄ 인 경우 노란색 풍선 6개를 3군데로 나누고, 파란색 풍선 8개 를 2군데로 나누면 된다. 이때, 각 자리마다 해당하는 색의 풍선이 반드시 1개 이 상씩 놓여야 하므로 노란색 풍선 3개를 3군데로 나누 고, 파란색 풍선 6개를 2군데로 나누는 경우의 수와 같 다. 따라서 배열하는 경우의 수는 £H£_™H§=£≠£–¡C£_™≠§–¡C§=∞C£_¶C§ =∞C™_¶C¡=10_7=70 (가지)

16

정답 및 해설 ¤ 인 경우 노란색 풍선 6개를 2군데로 나누고, 파란색 풍선 8개 를 3군데로 나누면 된다. 이때, 각 자리마다 해당하는 색의 풍선이 반드시 1개 이 상씩 놓여야 하므로 노란색 풍선 4개를 2군데로 나누고, 파란색 풍선 5개를 3군데로 나누는 경우의 수와 같다. 따라서 배열하는 경우의 수는 ™H¢_£H∞=™≠¢–¡C¢_£≠∞–¡C∞=∞C¢_¶C∞ =∞C¡_¶C™=5_21 =105 (가지) 따라서 ⁄, ¤에 의해 구하는 경우의 수는 70+105=175 (가지) 175

27

P(11, 4)는 똑같은 11개의 물건을 똑같은 4개 의 상자에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수와 같 다. 즉 4개의 상자에 각각 물건을 한 개씩 넣은 다음 남은 7개의 물건을 4개의 상자에 넣는 방법의 수와 같으므로 P(11, 4)=P(7, 1)+P(7, 2)+P(7, 3)+P(7, 4) 따라서 n=7, k=4이므로 n+k=11 11

28

자연수 7을 3개의 자연수로 분할하는 방법은 5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2 이므로 4가지이다. 7명의 학생들을 각 모둠에 배치하는 방법의 수를 각각 구 하면 다음과 같다. ⁄5명, 1명, 1명으로 나누는 방법의 수는 ⁄7명 중 5명을 택하는 조합의 수와 같다. ⁄ ¶C∞=21 (가지) ¤4명, 2명, 1명으로 나누는 방법의 수는 ⁄ ¶C¢¥£C™¥¡C¡=105 (가지) ‹3명, 3명, 1명으로 나누는 방법의 수는 ⁄ ¶C£¥¢C£¥¡C¡¥ =70 (가지) ›3명, 2명, 2명으로 나누는 방법의 수는 ⁄ ¶C£¥¢C™¥™C™¥ =105 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 21+105+70+105=301 (가지) 301

29

원소가 10개인 집합을 원소가 4개 이상인 두 부 분집합으로 분할하는 경우는 두 부분집합의 원소가 (5개, 5개), (6개, 4개)인 경우이다. ⁄ 원소가 (5개, 5개)인 두 부분집합으로 분할하는 경우 의 수는 ⁄ ¡ºC∞¥∞C∞¥ =126 (가지) ¤ 원소가 (6개, 4개)인 두 부분집합으로 분할하는 경우 의 수는 ⁄ ¡ºC¢¥¢C¢=210 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 126+210=336 (가지) 336

30

⑴ 서로 같은 5개의 공과 서로 같은 2개의 상자 인 경우, 구하는 방법의 수는 자연수 5를 2개의 자연수 로 분할하는 것과 같다. ⑵ 5=4+1=3+2 ⑵이므로 구하는 방법의 수는 2이다. ⑵ 서로 다른 공 5개를 2개의 모둠으로 나누는 조합의 수 와 같다. 1 155_2! 1 155_2! 1 155_2!

⁄4개, 1개로 나누는 방법의 수는 ⁄ ∞C¢=5 (가지) ¤3개, 2개로 나누는 방법의 수는 ⁄ ∞C£¥™C™=10 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 5+10=15 (가지) ⑶ 서로 다른 공 5개를 서로 다른 상자에 넣는 것이므로 상 자의 순서를 생각해 주어야 한다. ⁄4개, 1개로 나누어 담는 방법의 수는 ⁄ ∞C¢¥2!=10 (가지) ¤3개, 2개로 나누는 방법의 수는 ⁄ ∞C£¥™C™¥2!=20 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 10+20=30 (가지) ⑴ 2 ⑵ 15 ⑶ 30

31

각 부분에 적어도 3장 이상의 우표가 포함되어 야 하므로 3×3=9(장)을 제외한 나머지 4장의 우표를 세 부분으로 나누면 된다. 즉, 자연수 4를 3개 이하의 자연수로 분할하는 것과 같다. 4=3+1=2+2=2+1+1 이므로 구하는 방법의 수는 4가지이다. [다른 풀이] 각 부분에 2장씩 포함시키고, 남은 7장의 우표를 세 부분 으로 나누면 된다. 이때 분할의 수는 자연수 7을 3개의 자 연수로 분할하는 수와 같다. 7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2 이므로 구하는 방법의 수는 4가지이다. 4

32

6개의 팀을 4팀, 2팀으로 분할하는 방법의 수는 §C¢¥™C™=15 (가지) 분할된 4팀을 2팀, 2팀으로 분할하는 방법의 수는 ¢C™¥™C™¥ =3 (가지) 따라서 작성될 수 있는 대진표는 모두 15×3=45(가지) 이다. 45

33

{x+ }1 2 의 전개식의 일반항은 ¡™C®x⁄ ¤ —® { }® =¡™C®x⁄ ¤ —® —« ® 상수항이 존재하려면 12-r-nr=0, 즉 r(1+n)=12 0…r…12이고, n은 자연수이므로 만족하는 순서쌍 (r, n)을 찾으면 (1, 11), (2, 5), (3, 3), (4, 2), (6, 1) 따라서 n의 값의 합은 22이다. 22

34

(x+a)« 의 전개식의 일반항은 «C®a® x« —® 3(x+a)« 의 전개식에서 x« —¤ 의 계수는 3¥«C™a¤ 이고, (x-3)(x+a)« 의 전개식에서 x« —¤ 의 계수는 «C£a‹ -3¥«C™a¤ 이다. 두 계수가 같으려면

3¥«C™a¤ =«C£a‹ -3¥«C™a¤ 6¥«C™=«C£a 6¥ = a ∴ 18=a(n-2) 조건을 만족하는 순서쌍 (a, n)은 (1, 20), (2, 11), (3, 8), (6, 5), (9, 4), (18, 3) 따라서 an의 최댓값은 18¥3=54이다. 54 n(n-1)(n-2) 11111113₆ n(n-1) 11114₂ 1 145_x« 1 145_x« 1 155_2!

18

정답 및 해설

35

(x+a)· 의 전개식의 일반항은 ªC®x· —® a®

이므로 x, x¤ , x› 의 계수는 ªC•a° , ªC¶a‡ , ªC∞afi

이고, 이 세 수가 등비수열을 이루므로 (ªC¶a‡ )¤ =ªC•a° _ªC∞afi

ªC™_ªC™_a⁄ › =ªC¡_ªC¢_a⁄ ‹ 36¥36¥a⁄ › =9¥126¥a⁄ ‹ ∴ a= ③

36

원소가 2개, 4개, 6개, y, 12개인 부분집합의 개수는 모두 ¡™C™+¡™C¢+¡™C§+¡™C•+¡™C¡º+¡™C¡™ (개) 이다. 이항계수의 성질에 따라 ¡™Cº+¡™C™+¡™C¢+y+¡™C¡º+¡™C¡™=2⁄ ¤ —⁄ =2⁄ ⁄ 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2⁄ ⁄ -¡™Cº=2048-1=2047 (개) ④

37

서로 다른 색의 리본 23가지 중에서 12가지 이 상을 선택하는 방법의 수는 ™£C¡™+™£C¡£+™£C¡¢+y+™£C™™+™£C™£ =™£Cº+™£C¡+™£C™+y+™£C¡º+™£C¡¡ (가지) 이때, 이항계수의 성질에 따라 ™£Cº+™£C¡+™£C™+y+™£C™£=2¤ ‹ 이므로 ™£C¡™+™£C¡£+™£C¡¢+y+™£C™™+™£C™£ =11₂¥2¤ ‹ =2¤ ¤ (가지) ④ 7 1 1₈

38

™˚Cº+™˚C™+™˚C¢+y+™˚C™˚ =™˚C¡+™˚C£+™˚C∞+y+™˚C™˚–¡ =2¤ ˚ —⁄ =2¥4˚ —⁄ ∴ f(n)= (2¥4˚ —⁄ ) ∴ f(100)= (2¥4˚ —⁄ ) = = ③

39

(1+x)에서 나오는 x¤ 의 계수：없다. 2(1+x)¤ 의 전개식에서 x¤ 의 계수 : 2¥™C™ 3(1+x)‹ 의 전개식에서 x¤ 의 계수 : 3¥£C™ ⋮ 10(1+x)⁄ ‚ 의 전개식에서 x¤ 의 계수 : 10¥¡ºC™ 따라서 (1+x)+2(1+x)¤ +y+10(1+x)⁄ ‚ 의 전개식 에서 x¤ 의 계수는 k¥˚C™이므로 k¥˚C™= [k¥ ]= k¥˚C™= k¥˚C™= _{[{ }}¤ - _]=1320 ②

40

다항식 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) 를 전개하면 xfi +T¡x› +T™x‹ +T£x¤ +T¢x+T∞가 된다. 즉, (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) =xfi +T¡ x› +T™x‹ +T£x¤ +T¢x+T∞에서 x=1을 대입하면 2¥3¥4¥5¥6=1+T¡+T™+T£+T¢+T∞ ∴¡5 T«=2¥3¥4¥5¥6-1=719 719 n=1 10¥11¥21 11113₆ 10¥11 11344₂ 1 1₂ k‹ -k¤ 11234₂ 10 ¡ k=1 k‹ -k¤ 11234₂ 10 ¡ k=2 k(k-1) 111235₂ 10 ¡ k=2 10 ¡ k=2 10 ¡ k=2 2(2¤ ‚ ‚ -1) 1 111111₃1224444 2(4⁄ ‚ ‚ -1) 111133_4-1 100 ¡ k=1 n ¡ k=1

41

요일은 일주일의 주기를 가지고 있으므로 7=A, 1=B로 치환하면 15=2¥7+1이므로 152015 =(2A+B)2015 =2015Cº(2A)‚ B2015+2015C¡(2A)⁄ B2014 +y+2015C2015(2A)2015B‚ 이때, A가 포함된 항들은 모두 7의 배수이므로 152015 을 7로 나눈 나머지는2015Cº(2A)‚ B 2015 =1이다. 따라서 오늘로부터 152015 일 후는 화요일이다. ③

42

μCμ은 다항식 (1+x)μ 에서 xμ 의 계수이다. μ≠¡Cμ은 다항식 (1+x)μ ±⁄ 에서 xμ 의 계수이다. ⋮ «Cμ은 다항식 (1+x)« 에서 xμ 의 계수이다. 즉,μCμ+μ≠¡Cμ+y+«Cμ은 다항식 (1+x)μ +(1+x)μ ±⁄ +y+(1+x)« 에서xμ 의계수이다. 이때, 밑줄 친 부분은 첫째항이 (1+x)μ , 공비가 1+x이 고, 항수가 n-m+1인 등비수열의 합이다. ∴ = ∴ = 이때, xμ 의 항은 에서 얻을 수 있다. 즉, xμ 의 계수는 (1+x)« ±⁄ 의 전개식에서 xμ ±⁄ 의 계수와 같다. (1+x)« ±⁄ 에서 xμ ±⁄ 의 계수가 «≠¡Cμ≠¡이므로 μCμ+μ≠¡Cμ+μ≠™Cμ+y+«Cμ= ∴ ㈎： , ㈏：«≠¡Cμ≠¡ ① (1+x)« ±⁄ -(1+x)μ 1 1111111111_x11111113344 «≠¡Cμ≠¡ (1+x)« ±⁄ 1111544_x (1+x)« ±⁄ -(1+x)μ 1111111114_x (1+x)μ {(1+x)« —μ ±⁄ -1} 111111111112_(1+x)-1 ㈎

20

정답 및 해설 SU M MA CU M L AU D E

0

1

12장의 카드에서 4장을 뽑는 모든 경우의 수는 ¡™C¢ (가지) 4장의 카드 중에서 가장 큰 수가 8이 되려면, 8을 한 장 뽑 고, 8보다 작은 수인 1, 2, y, 7 중에서 3장을 뽑아야 하 므로 그 경우의 수는 ¶C£ (가지) 따라서 가장 큰 수가 8일 확률은 = = ②

0

2

C, U, M, L, A, D, E 중에서 모음은 U, A, E로 3가지이다. 7개의 문자를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수：7! (가지) 모음끼리 이웃하는 경우의 수는 먼저 모든 모음을 한 묶음 으로 생각하여 5개를 일렬로 나열한 후, 모음의 자리를 바 꾸면 되므로 5!_3! (가지) 따라서 모음끼리 이웃할 확률은 =111 ① 7 5!_3! 112344_7! 7 1 14444₉₉ 35 1244₄₉₅ ¶C£ 1244_¡™C¢

0

3

6명이 원탁에 앉는 모든 경우의 수는 (6-1)! (가지) 각 커플끼리 묶어서 한 묶음으로 생각하고, 각 커플이 다 시 자리를 바꾸는 것을 고려하면 3쌍 모두 커플끼리 옆에 앉게 될 경우의 수는 (3-1)!_2!_2!_2! (가지) 따라서 3쌍의 커플 모두 커플끼리 옆에 앉게 될 확률은 = 이므로 p=15, q=2 ∴ p+q=17 17

0

4

3개의 화살이 과녁에 맞을 모든 경우의 수는 6‹ =216 (가지) ㄱ. a+b+c=3을 만족하는 순서쌍 (a, b, c)는 (1, 1, 1)뿐이므로 a+b+c=3일 확률은 이다. (참) ㄴ. 세 수 a, b, c가 서로 다를 경우의 수는 6개의 영역 중 3개를 일렬로 나열하는 수와 같으므로 §P£=120 (가지) ∴ = (거짓) ㄷ. abc가 홀수를 만족하는 순서쌍 (a, b, c)는 (홀, 홀, 홀) 인 경우뿐이므로 그 경우의 수는 4_4_4=64 (가지) ∴ (abc가 짝수일 확률)=1-(abc가 홀수일 확률) ∴ (abc가 짝수일 확률)=1-1244₂₁₆64 =1219₂₇ (참) 5 1₉ 120 1244₂₁₆ 1 1244₂₁₆ 2 144₁₅ 2!_2!_2!_2! 111111144_5! 본문 277~283쪽 Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용 01② 02① 03 17 04③ 05⑤ 06④ 07③ 08③ 09④ 10 5 11④ 12② 13④ 14④ 15② 16 7 17② 18③ 19 68 20④ 21① 22① 23 3 24① 25 154 26⑤ 27② 28④ 29 4 30② 31④ 32③

따라서 P(B)의 최솟값은 이다. ③

0

8

주머니에서 갑이 2장의 카드를 임의로 뽑고 을 이 남은 2장의 카드 중에서 1장의 카드를 임의로 뽑는 방 법의 수는 ¢C™_™C¡= _2=12 (가지) 이때, 을이 뽑은 1장의 카드에 적힌 수를 a, 갑이 뽑은 2 장의 카드에 적힌 두 수의 곱을 b라 하면, a>b를 만족하 는 경우는 다음과 같다. ⁄ a=3, b=1_2=2 Δ 1가지 ¤ a=4, b=1_2=2 또는 a=4, b=1_3=3 Δ 2가지 따라서 구하는 확률은 =;4!; ③

0

9

주사위를 세 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 6‹ =216 (가지) 이때, (p-q)(q-r)(r-p)+0일 확률은 p, q, r가 서 로 다른 수일 확률과 같으므로 p, q, r가 서로 다른 수일 경우의 수는 §P£=120 (가지) 따라서 (p-q)(q-r)(r-p)+0일 확률은 = ④

10

주사위를 세 번 던져 나오는 모든 경우의 수는 6‹ =216 (가지) 주어진 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 가지려면 b¤ -4ac=0 HjK b¤ =4ac이어야 한다. 5 1 1₉ 120 1233₂₁₆ 1+2 112₁₂ 4_3 112₂ 7 1 122₂₀ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

0

5

P(A'B)의 값은 알고 있으므로 P(A;B) 의 값을 구해야 한다. P(A)=1-P(AÇ )=1- = P(A;B)=P(A)-P(A;BÇ ) P(A;B)= - = ∴ P(A'B)-P(A;B)= - = ∴ P(A'B)-P(A;B) ⑤

0

6

세 사건 A, B, C가 서로 배반인 사건이고, A'B'C=S이므로 P(A)+P(B)+P(C)=1 yy ㉠ 또한, P(A)=3P(B)=6P(C)에서 P(B)= , P(C)= 이것을 ㉠에 대입하면 P(A)+ + =1 P(A)=1 ∴ P(A)= ④

0

7

두 사건 A, B는 서로 배반이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) ∴ P(A)=P(A'B)-P(B) 이때, …P(A)… 이므로 … -P(B)… ∴ …P(B)…1211 20 7 12₂₀ 2 1₅ 3 1₄ 1 1₅ 2 1₅ 1 1₅ 2 1 1₃ 3 1₂ P(A) 11223₆ P(A) 11223₃ P(A) 11223₆ P(A) 11223₃ 1 1 1₂ 1 1₄ 3 1₄ 1 1₄ 1 1₃ 7 144₁₂ 7 144₁₂ 5 144₁₂

22

정답 및 해설 이 조건을 만족할 수 있는 a, b, c의 값은 다음과 같다. 위의 표에서 중근을 가지는 경우의 수가 5가지이므로 p= ∴ 216p=5 5

11

공을 세 번 꺼낼 때, 모든 경우의 수는 3‹ =27 (가지) 이때, 꺼낸 공에 적힌 세 수의 합이 5인 사건을 A, 세 수 중 가장 큰 수가 2인 사건을 B라고 하면 A={(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} B={(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} A;B={(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} 이므로 각각의 확률은 P(A)= , P(B)= , P(A;B)= ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) ∴ P(A'B)= + - = ④

12

P(AÇ 'BÇ )=P((A;B)Ç ) =1-P(A;B) 10 1 14444₂₇ 3 144₂₇ 7 144₂₇ 6 144₂₇ 3 144₂₇ 7 144₂₇ 6 144₂₇ 5 1233₂₁₆ 이므로 1-P(A;B)=;5$;에서 P(A;B)=;5!; ∴ P(A)=P(A;B)+P(A;BÇ ) ∴ P(A)=;5!;+;4!;=;2ª0; ∴ P(AÇ )=1-P(A) ∴ P(AÇ )=1-;2ª0;=;2!0!; ②

13

상자 B에 있는 빨간 공의 개수가 1일 확률은, 다 음 두 경우로 나누어 생각할 수 있다. ⁄ 상자 A에서 빨간 공 1개와 검은 공 1개를 뽑으면 [실행 1]을 하여 상자 B에 빨간 공이 1개 있게 되므로, 그 확률은 ⁄ _{= =} ¤ 상자 A에서 검은 공 2개를 뽑으면 [실행 2]를 해야 한다. ⁄이때, 나머지 6개의 공에서 빨간 공 1개와 검은 공 1개 를 뽑으면 상자 B에 빨간 공이 1개 있게 되므로, 그 확 률은 ⁄ ¥ ₌ ¥ ₌ ⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;2!8%;+;2§8;=;2@8!;=;4#; ④

14

개미가 처음 있는 곳에서 집으로 갈 수 있는 모 든 경로의 수는 =56 (가지) 개미가 먹이가 있는 곳을 지나갈 경로의 수는 _124!_3!=24 (가지) 4! 12333_2!2! 8! 12333_5!3! 6 13₂₈ 3_3 113₁₅ 10 13₂₈ £C¡_£C¡ 1111_§C™ ∞C™ 11_•C™ 15 13₂₈ 3_5 113₂₈ £C¡_∞C¡ 1111_•C™ 2 1 1 4 1 4 4 2 2 4 4 1 6 3 3 b a c

따라서 개미가 먹이를 들고 집으로 돌아갈 확률은 = 이므로 먹이 없이 돌아갈 확률은 1- = ④

15

1부터 4까지의 수에서 소수는 2, 3이며 짝수는 2, 4이다. 또한, 소수 또는 짝수는 2, 3, 4이다. 소수 또는 짝수가 나오지 않을 확률： 10번 던져서 소수 또는 짝수가 나오지 않을 확률：{ }⁄ ‚ 따라서 소수 또는 짝수가 적어도 한 번 나올 확률은 1-{ }⁄ ‚ =1-{ }¤ ‚ ②

16

주머니에서 바둑돌을 꺼내는 모든 경우의 수는 «≠£C™ (가지) 검은 바둑돌과 흰 바둑돌이 각각 한 개씩 나올 경우의 수 는 £C¡_«C¡ (가지) 이때, < 을 만족해야 하므로 2_£C¡_«C¡<«≠£C™ 6n< n¤ -7n+6>0, (n-1)(n-6)>0 ∴ n<1 또는 n>6 n은 자연수이므로 n은 1보다 작을 수 없다. 따라서 n>6을 만족하는 n의 최솟값은 7이다. 7

17

양의 약수 집합의 원소의 개수： (5+1)_(4+1)_(2+1)=90 (개) (n+3)(n+2) 111111444₂ 1 1₂ £C¡_«C¡ 1112333_«≠£C™ 1 1 1₂ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ 4 1 1₇ 3 1₇ 3 1₇ 24 12₅₆ 어떤 양의 정수의 제곱이 되기 위해서는 (1, 2¤ , 2› ), (1, 3¤ , 3› ), (1, 5¤ )에서 하나씩 고르는 것과 같으므로 3_3_2=18(개)이다. 따라서 임의로 하나의 원소를 골랐을 때, 그 원소가 어떤 양의 정수의 제곱일 확률은 = 이다. ②

18

8개의 숫자 중 5개를 뽑아 다섯 자리 수를 만드 는 모든 경우의 수：•P∞=6720 (가지) 다섯 자리 수가 짝수와 홀수가 교대로 있기 위해서는 XOXOX 순으로 배열되어야 한다. 이때, X가 짝수라면 모든 경우의 수는 X에 짝수를 배열하 고, O에 홀수를 배열하는 것이므로 ¢P£_¢P™=288(가지), X가 홀수라면 마찬가지로 ¢P™_¢P£=288(가지)이다. 맨 끝의 자리가 1인 경우는 XOXO1이고, X에 홀수를 배열하고 O에 짝수를 배열하면 £P™_¢P™=72(가지)이다. ∴ = ∴ = ③

19

1행 1열부터 한 명씩 배정한다고 하면, 8개의 좌 석에 여학생 4명과 남학생 4명을 배정하는 방법의 수는 8! (가지) 한편, 남학생 4명이 서로 이웃하지 않게 배정하는 방법의 수는, 다음 [그림 1] 또는 [그림 2]와 같이 배정하는 방법 의 수와 같다. [그림 1] [그림 2] 3 1 122₄₀ 504 1144₆₇₂₀ 288+288-72 11111144₆₇₂₀ 1 1 1₅ 18 12₉₀ 남 여 남 여 여 남 여 남 여 남 여 남 남 여 남 여

24

정답 및 해설 [그림 1]과 같이 배정하는 방법의 수 : 4!_4! (가지) [그림 2]와 같이 배정하는 방법의 수 : 4!_4! (가지) 따라서 구하는 확률 p는 여사건의 확률에 의해 p=1- =1-p_{=1-;3¡5;=;3#5$;} ∴ 70p=70_;3#5$;=68 68

20

6명의 학생을 6개의 좌석에 앉히는 방법의 수는 6! (가지) 이때, 좌석 번호의 차가 1 또는 10이 되도록 두 자리씩 묶 는 방법은 다음과 같이 3가지이다. ⁄ (11, 12), (21, 22), (13, 23) ¤ (11, 21), (12, 13), (22, 23) ‹ (11, 21), (12, 22), (13, 23) ⁄, ¤, ‹의 각 경우마다 세 나라를 정하는 방법의 수는 3!가지이고, 같은 나라 학생 2명이 의자에 앉을 때 서로 자리를 바꾸어 앉을 수 있으므로 2명이 앉는 방법의 수는 2가지이다. 따라서 앉는 방법의 수는 3_3!_2‹ (가지) 이므로, 구하는 확률은 =;5!; ④

21

모두 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 모두 짝수 의 눈이 나오는 사건을 B, 눈의 수의 합이 8인 사건을 C 라 하자. 이때, 주사위를 세 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 6‹ =216 (가지) 모두 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3!_2‹ 111123_6! 4_3_2_2 111112_{8_7_6_5} 4!_4!_2 11111_8! 3‹ =27 (가지)이므로 P(A)= 모두 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는 3‹ =27 (가지)이므로 P(B)= 눈의 수의 합이 8인 경우는 (1, 1, 6)Δ 3가지, (1, 2, 5) Δ 6가지, (1, 3, 4)Δ 6가지, (2, 2, 4) Δ 3가지, (2, 3, 3)_{Δ 3가지} 이므로 P(C)=

이때, A;B=Δ, C;A=Δ, A;B;C=Δ이므로 P(A;B)=0, P(C;A)=0, P(A;B;C)=0 이고, B;C를 만족하는 경우는 (2, 2, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 2) 로 3가지이므로 P(B;C)= 따라서 구하는 확률 P(A'B'C)는 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(A;B)-P(B;C) -P(C;A)+P(A;B;C) P(A'B'C)= + + -P(A'B'C)= = ∴ p-q=3-1 =2 ①

22

뽑은 도형이 적어도 두 종류 이상인 사건은 뽑은 도형이 모두 같은 도형일 사건의 여사건이다. 삼각형 모양의 도형만 3개 뽑을 확률은 = 사각형 모양의 도형만 3개 뽑을 확률은 = 51244 182 ∞C£ 1244_¡¢C£ 1 144₉₁ ¢C£ 1244_¡¢C£ 1 1₃ 72 1344₂₁₆ 3 1344₂₁₆ 21 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆ 3 1344₂₁₆ 21 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆

오각형 모양의 도형만 3개 뽑을 확률은 = 즉, 모두 같은 도형만 뽑힐 확률은 + + = 따라서 뽑은 도형이 적어도 두 종류 이상일 확률은 1- = ①

23

전체 경우의 수는 5!=120 (가지) 한식이 2번 연속으로 나오는 경우의 수는 한식을 한 묶음 으로 생각하여 4가지를 일렬로 나열한 다음 한식끼리 자 리를 바꾸는 수와 같으므로 4!_2=48 (가지) 양식이 3번 연속으로 나오는 경우의 수는 양식을 한 묶음 으로 생각하여 3가지를 일렬로 나열한 다음 양식끼리 자 리를 바꾸는 수와 같으므로 3!_3!=36 (가지) 이때, 한식 2번 연속, 양식 3번 연속하여 나오는 경우가 겹치므로 그 경우의 수는 2!_2!_3!=24 (가지) 따라서 한식이 2번 연속 나오거나 양식이 3번 연속 나올 확률은 = 이므로 p+q=2+1=3 3

24

조건 ㈎에서 a+b+c가 홀수이려면 ‘ⓐ 세 수 중 하나는 홀수, 나머지 둘은 짝수’ 또는‘ⓑ 세 수 모두 홀수’ 이어야 한다. 또, 조건 ㈏에서 a_b_c가 3의 배수이려면 ‘ⓒ 세 수 중 적어도 하나는 3의 배수’ 이어야 한다. 따라서 조건 ㈎, ㈏를 동시에 만족하는 경우 의 수는 다음과 같이 2가지 경우로 나누어 구할 수 있다. ⁄ ⓐ이고 ⓒ인 경우 1, 3, 5, 7, 9의 5개의 홀수 중 1개, 2, 4, 6, 8의 4개의 짝수 중 2개를 택하는 경우의 수는 1 1₂ 48+36-24 1111133₁₂₀ 85 1 122₉₁ 6 144₉₁ 6 144₉₁ 5 1244₁₈₂ 5 1244₁₈₂ 1 144₉₁ 5 1244₁₈₂ ∞C£ 1244_¡¢C£ ∞C¡¥¢C™=5_6=30 (가지) 이 중 조건 ㈏를 만족하지 않는 경우의 수는 1, 5, 7 의 3개의 홀수 중 1개, 2, 4, 8의 3개의 짝수 중 2 개를 택할 때이므로 £C¡¥£C™=3_3=9 (가지) 따라서 여사건에 의하여 ⓐ이고 ⓒ인 경우의 수는 30-9=21 (가지) ¤ ⓑ이고 ⓒ인 경우 1, 3, 5, 7, 9의 5개의 홀수 중 3개를 택하는 경우의 수는 ∞C£=10 (가지) 이 중 조건 ㈏를 만족하지 않는 경우의 수는 1, 5, 7의 3개의 홀수 중 3개를 택할 때이므로 £C£=1 (가지) 따라서 여사건에 의하여 ⓑ이고 ⓒ인 경우의 수는 10-1=9 (가지) ⁄, ¤에 의하여 조건 ㈎, ㈏를 동시에 만족하는 경우의 수는 21+9=30(가지)이므로 구하는 확률은 =;8#4);=;1∞4; ①

25

6명이 임의로 5인승 차에 1명, 7인승 차에 2명, 9인승 차에 3명 배정되는 모든 경우의 수는 §C¡_∞C™_£C£=60 (가지) A와 B가 7인승 차에 타는 경우의 수는 ¢C¡_£C£=4 (가지) A와 B가 9인승 차에 타는 경우의 수는 ¢C¡_£C™_¡C¡=12 (가지) 따라서 구하는 확률은 =;1¢5; 이므로 p=15, q=4 ∴ 10p+q=154 154 4+12 11235₆₀ 30 1555_ªC£

26

정답 및 해설

26

15장의 카드에서 4장을 꺼낼 때, 4장이 모두 스 페이드, 하트, 다이아몬드일 사건을 각각 A, B, C라 하면 P(A)= = , P(B)= = P(C)= = 이때, A, B, C는 배반사건이므로 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A'B'C)= + + P(A'B'C)= = 따라서 두 가지 이상의 무늬의 카드가 나올 확률은 P((A'B'C)Ç )=1-P(A'B'C) P((A'B'C)Ç )=1- = ⑤

27

7명이 각각 3명과 4명인 두 조로 나뉘는 모든 경우의 수는 ¶C£_¢C¢=35 (가지) 이때, 먼저 특정한 2명이 3명인 조에 들어간다고 하면, 다 른 1명은 4명인 조에 들어가야 한다. 나머지 4명은 각각 1명, 3명인 두 조로 나뉘어 들어가는 셈이 되므로 모든 경 우의 수는¢C£가지가 된다. 또, 특정한 2명이 4명인 조에 들어간다고 하면, 다른 1명 은 3명인 조에 들어가야 한다. 나머지 4명은 각각 2명씩 두 조로 나뉘어 들어가는 것과 같으므로 모든 경우의 수는 ¢C™_™C™가지가 된다. 따라서 특정한 2명이 같은 조에 들어가고 다른 1명은 다 른 조에 들어갈 확률은 + = =112 ② 7 10 144₃₅ 6 144₃₅ 4 144₃₅ 64 1 14444₆₅ 1 144₆₅ 1 144₆₅ 21 1144₁₃₆₅ 15 1144₁₃₆₅ 5 1144₁₃₆₅ 1 1144₁₃₆₅ 15 1144₁₃₆₅ §C¢ 1244_¡∞C¢ 5 1144₁₃₆₅ ∞C¢ 1244_¡∞C¢ 1 1144₁₃₆₅ ¢C¢ 1244_¡∞C¢

28

원 모양의 과녁을 4등분하여 나오는 부채꼴의 넓이를 a라고 하면, 전체 과녁의 넓이：4a 1점 과녁의 넓이：a+ a+ a+ a= a 따라서 화살이 1점에 맞을 확률은 = = ④

29

주머니 속에 빨간 카드가 n장 들어 있다고 하자. 10장의 카드 중에서 2장을 꺼내는 모든 경우의 수는 ¡ºC™ (가지) n장의 빨간 카드 중에서 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수 는 «C™ (가지) 이때, 10장의 카드 중에서 2장의 카드를 꺼낼 때, 모두 빨 간 카드를 꺼낼 확률은 이고, 이런 경우가 15번에 2 번 꼴로 일어나므로 그 통계적 확률은 = = , n(n-1)=12 ∴ n=4 4

30

25개의 점 중 2개의 점을 뽑는 모든 경우의 수는 ™∞C™=300 (가지) 같은 행, 열에 있는 점끼리 연결한 모든 경우의 수는 2_5_∞C™=100 (가지) 또한, [그림 1]과 같이 연결한 경우에는 대각선으로 그었어 도 유리수이다. 이렇게 대각선을 그을 수 있는 총 경우의 수는[그림 2]와 같이 8(가지)이다. 2 144₁₅ n(n-1) 1112344_10¥9 2 144₁₅ «C™ 1244_¡ºC™ «C™ 1244_¡ºC™ 7 1 14444₁₂ 7 1a₃ 1244_4a (1점 과녁의 넓이) 111111234_{(전체 과녁의 넓이)} 7 1₃ 2 1₄ 1 1₃ 1 1₂

따라서 두 점 사이의 거리가 유리수일 확률은 = ②

31

이 미생물의 성질을 통해서, 10x분에 파란색인 미생물 n마리와 빨간색인 미생물 m마리가 있을 때, (10x+10)분 후 파란색은 (n+m)마리, 빨간색은 n마 리가 된다. 이를 0분부터 60분까지의 변화를 살펴보면 다 음과 같다. 따라서 파란색 미생물을 배양시켜서 1시간 후 미생물 중 한 마리를 골랐을 때 파란색일 확률은 이다. ④

32

호승이는 0번 또는 0'번 도로를 통해 위나 오른 쪽으로 이동하다가 어느 한 교차점에서 버스를 갈아타고 다른 도로로 진입해야 한다. 만약에 호승이가 짝수 번호의 도로와 교차하는 곳에서 버 스를 갈아탔다면, 6번 도로가 나올 때까지 짝수 번호의 도 13 1 122₂₁ 9 1 122₂₅ 100+8 11144₃₀₀ [그림 2] [그림 1] 로를 통해서만 이동할 수 있다. 이를 다음 그림과 같이 표 현할 수 있다. 이때, 총 경우 수는 =20 (가지) 마찬가지로 홀수 번호의 도로와 교차하는 곳에서 버스를 갈아탔다면 위와 같은 경로를 통해 이동해야 한다. 이때의 총 경우의 수는 =70 (가지) 0번 도로와 6번 도로, 두 도로만 이용해서 이동하는 경로 가 2가지 중복되므로 (1, 1')에서 (6, 6')까지 이동하는 총 최단 경로의 수는 88가지이다. 최단 거리 안내 프로그 램은 이 중 하나를 선택해 줄 것이다. 이때, (3, 3')을 지 나는 경우는 위 그림의 굵은 선 부분과 같으므로 그 경우 의 수는 _ =36(가지)이다. 따라서 최단 거리 안내 프로그램이 최단 경로 중 (3, 3') 을 지나갈 길을 안내할 확률은 = 이다. ③ 9 1 122₂₂ 36 12₈₈ 4! 1133_2!2! 4! 1133_2!2! 8! 1133_4!4! 0 0' 3' 1' 5' 6' 1 3 5 6 6! 1144_3!3! 0 0' 2' 4' 6' 2 4 6 파란색인 미생물 빨간색인 미생물 1 1 2 3 5 8 13 0 1 1 2 3 5 8 0분 10분 20분 30분 40분 50분 60분

0

1

갑이 당첨되는 사건을 A, 을이 당첨되는 사건을 B라고 하면 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A) = _ = ②

0

2

1차 시험에 합격하는 사건을 A, 2차 시험에 합 격하는 사건을 B라고 하면 P(A)= , P(A;B)= ∴ P(B|A)= = =

0

3

주머니 A에서 흰 구슬을 꺼내어 주머니 B에 넣 는 사건을 A, 주머니 B에서 꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건 을 E라고 하면 P(E)=P(A;E)+P(AC_; E) =P(A)P(E|A)+P(AC_)P(E|AC₎ = _ + _ = 1213 35 13 1 122₃₅ 2 1₇ 2 1₅ 3 1₇ 3 1₅ 2 1₅ 2 1 1₅ 1 12₁₀ 1234₁ 1₄ P(A;B) 1111434_P(A) 1 12₁₀ 1 1₄ 1 1 122₁₉ 4 12₁₉ 5 12₂₀

0

4

임의로 뽑은 학생이 중국어를 선택한 학생인 사 건을 A, 3반 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= P(A)= , P(A;B)= ∴ P(B|A)= = = ④

0

5

관람객 투표 점수와 심사 위원 점수를 순서쌍 (a, b)로 나타낼 때, 두 점수의 합이 70인 경우의 순서 쌍은 (40, 30), (30, 40), (20, 50) 으로 3가지이다. 이때, 두 점수를 받는 사건이 서로 독립이므로 각 순서쌍 이 나올 확률은 다음과 같다. (40, 30)이 나올 확률：;2!;_;6!;=;1¡2; (30, 40)이 나올 확률：;3!;_;3!;=;9!; (20, 50)이 나올 확률：;6!;_;2!;=;1¡2; 따라서 구하는 확률은 ;1¡2;+;9!;+;1¡2;=;1∞8; ③

0

6

흰 공 4개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냈을 때, ⁄ 꺼낸 2개의 공의 색이 서로 다를 확률은 =1114_3 _=;7$; yy ㉠ 7_6 112₂ ¢C¡_£C¡ 1111_¶C™ 17 1 122₄₁ 17 1233₁₀₅ 11544₄₁ 1233₁₀₅ P(A;B) 1111233_P(A) 17 1233₁₀₅ 41 1233₁₀₅ P(A;B) 1111233_P(A)

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정답 및 해설 본문 284~291쪽 Ⅱ- 2. 조건부확률 01② 02 03 04④ 05③ 06⑤ 07⑤ 08④ 09① 10 11② 12 11 13⑤ 14⑤ 15 2 16 9 17⑤ 18② 19③ 20③ 21③ 22② 23③ 24② 25④ 26① 27③ 28④ 29④ 3 1₄ 13 144₃₅ 2 1₅