생명과학을 위한 수학 1 중간고사 (2018년 4월 21일 오후 1:00-3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [30점] 다음 극한값을 구하시오. (a) (10점) lim x→0 1 x Z arctan x 0 cos t dt (b) (10점) lim n→∞ n X k=1 n k2− 2nk + 2n2 (c) (10점) lim h→0 s 2 +√h 2 1 −√h 2 3 −√2 h 문제 2 [25점] 실수 전체에서 정의된 함수 f (x) = Zx 1 ecos tdt에 대하여 물음에 답하시오. (a) (10점) y = f (x)의 역함수 x = g(y)가 존재함을 보이고, g0(0)의 값을 구하시오. (b) (15점) x = g(y)의 이계도함수는 g00(y) = − f 00 (x) (f0(x))3임을 보이고, g00(0)의 값을 구하시오. 문제 3 [15점] 다음 특이적분이 수렴하는 p의 범위를 구하여라. Z1 0 log(1 + x2) xp dx 문제 4 [20점] 정적분 I = Z 3 0 1 1 + xdx에 대하여 물음에 답하시오. (a) (10점) 정적분 I의 근삿값을 구간의 개수를 3개로 하여 왼쪽 리만합 L, 오른쪽 리만합 R, 중점리만합 M , 사다리꼴 근사 T 로 각각 구하시오. (b) (10점) 구간의 개수를 3개로 하여 심슨규칙에 의한 I의 근삿 값을 구하고 이를 이용하여 log 4의 참값의 범위를 구하시오. 단, 구간의 수가 n개인 심슨규칙의 오차한계는 다음과 같다. |Es| ≤ C(b − a)5 2880n4 (단, f (4) (x) ≤ C, a ≤ x ≤ b) 문제 5 [20점] xy-평면 위에 매개 방정식으로 주어진 곡선 X(t) = (x(t), y(t)) = (sin3t + 1, cos3t + 2), 0 ≤ t ≤ 3
2π 에 대하여 물음에 답하시오. (a) (10점) t가 증가할 때 곡선이 움직이는 방향과 함께 곡선의 개형을 그리고 t = π 4에서 접선의 방정식을 구하시오. (b) (10점) 곡선의 길이를 구하시오. h 연습용 여백 i 1
문제 6 [15점] 다음 그림은 곡선
X(t) = (sin3t, (1 − cos3t) cos t) 0 ≤ t ≤ 2π 을 그린 것이다. 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. 문제 7 [10점] 주어진 함수의 일계 편도함수 ∂ ∂θf (r, θ) 와 이계 편 도함수 ∂ 2 ∂r∂θf (r, θ) 를 구하시오. f (r, θ) = Z r sin θ r e−t2dt 문제 8 [10점] 함수 f (x, y) = arctanx y 에 대하여 점 (1, 2)에서 함 수가 가장 빨리 증가하는 방향의 단위벡터 v와 v-방향미분계수를 구하시오. 문제 9 [15점] 곡면 2x2−4xy+5y2+z2−36 = 0 에서 곡면 위의 점 중 x좌표가 최대인 점 P 와 y좌표가 가장 최대인 점 Q를 구하시오. 문제 10 [20점] 함수 f (x, y) = 3x 5− 25x3 + 60x 1 + y2 에 대해 함수 f 의 임계점을 모두 구하고, 각각의 임계점을 극대점, 극소점, 안장점 으로 분류하시오. 문제 11 [20점] 곡선 x2 + xy + y2= 1 위의 점 x, y에 대하여 함수 f (x, y) = 2x + 2y − xy 의 최댓값과 최솟값을 라그랑즈 승수법을 이용하여 구하시오. h 연습용 여백 i 2
