9
:
⇨
x=1일 때, y=2 x=2일 때, y=1 x=3일 때, y=4
→ x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나씩 대응하는 관계이므로 y는 x의 함수이다.
⑵
9
:
⇨
x=1일 때, y=2 x=2일 때, y=2 x=3일 때, y=4
→ x=1, 2가 모두 y=2에 대응되지만 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나씩 대응하는 관계이므로 y는 x의 함수이다.
함수의 의미 파악하기 최상위
NOTE
08
⑶
9
:
⇨
x=1일 때, y=1, 2 x=2일 때, y=3 x=3일 때, y=4
→ x=1은 두 개의 y의 값에 대응되므로 y는 x의 함수가 아니다.
⑷
9
:
⇨
x=1일 때, y=2
x=2에 대응하는 y의 값은 없다.
x=3일 때, y=4
→ x=2에 대응하는 y의 값이 없으므로 y는 x의 함수가 아니다.
1 함수
ⅠV 일차함수
1. 함수 67
문제 풀이
x의 값인 1, 2, 3의 각각에 y의 문자 a, b, c, d를 하 나하나 짝지으면 되므로 구하는 순서쌍은
(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d)이다.
따라서 순서쌍 (x, y)의 개수는 12이다.
다른 풀이
x인 3개의 수에 y의 문자 4개를 일일이 짝지으면 되므로 구하는 대응의 순서쌍의 개수는
3_4=12
② 1 2Ú 3, 1 2Ú 4로 x의 값 1개에 y의 값 2개가 대 응하므로 함수가 아니다.
③ 1 2Ú 0, 1 2Ú 1로 x의 값 1개에 y의 값 2개가 대응하 므로 함수가 아니다.
④ x의 값 2에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
따라서 함수인 것은 ①, ⑤이다.
y가 x의 함수이면 x의 값이 하나씩 정해질 때마다 y의 값이 오직 하 나씩만 대응하므로 y가 x의 함수가 되지 않는 경우는 다음과 같다.
⑴ 여러 개의 y의 값에 대응되는 x의 값이 존재하는 경우
⑵ y의 값에 대응되지 않는 x의 값이 존재하는 경우
x, y 사이의 관계식을 구해 보면 다음과 같다.
ㄱ. y=1000x
ㄴ. x의 값 하나에 y의 값이 여러 개 대응한다.
ㄷ. y=;10&0;x
ㄹ. x=1, 2, 3, y, 10일 때 y=100,
x=11일 때 y=:;!1)1):);, x=12일 때 y=:;@3%:);, y ㅁ. xy=40에서 y= 40x
ㅂ. xy=10에서 y= 10x
ㅅ. x의 값 하나에 y의 값이 여러 개 대응한다.
따라서 함수가 되기 위해서는 x의 값 하나에 대하여 y의 값 이 하나로 정해져야 하므로 함수가 아닌 것은 ㄴ, ㅅ이다.
`f {;;£2£;;}={;;£2£;; 미만의 소수의 개수}에서
:£2£:=16.5 미만의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이다.
∴ f {;;£2£;;}=6
`f(24)=(24 미만의 소수의 개수)에서
24 미만의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23의 9개이 다.
∴ f(24)=9
∴ f {;;£2£;;}+f(24)=15
`f(x)=;2#;x+1에서 f(a)=4이므로
`;2#;a+1=4, ;2#;a=3
∴ a=2
Ú g(1)은 g(x)=-6x+5에서 x=1일 때의 함숫값 이므로
g(1)=-6_1+5=-1
Û f(-3)은 f { 3xx+1 }=2x-1에서 3xx+1 =-3일 때 의 함숫값이므로
3xx+1 =-3, 3x=-3(x+1) 3x=-3x-3, 6x=-3 ∴ x=-;2!;
∴ f(-3)=2{-;2!;}-1
=-2
Ú, Û에서 g(1)-f(-3)=-1-(-2)=1
∴ f(g(1)-f(-3))=f(1)
이때 Û와 마찬가지로 f(1)은 f { 3xx+1 }=2x-1에서 x+1 =13x 일 때의 함숫값이므로
x+1 =13x , 3x=x+1
∴ x=;2!;
∴ f(g(1)-f(-3)) =f(1)=2_;2!;-1 =0
f(1)=3, f(a+b)=f(a)+f(b)+2ab이므로 Ú a=1, b=1을 대입하면
`f(1+1) =f(1)+f(1)+2_1_1
=3+3+2=8 ∴ f(2)=8
Û a=2, b=1을 대입하면
`f(2+1) =f(2)+f(1)+2_2_1
=8+3+4=15 ∴ f(3)=15
Ü a=3, b=2를 대입하면 68 ⅠV 일차함수
`f(3+2) =f(3)+f(2)+2_3_2
=15+8+12=35 ∴ f(5)=35
∴ f(3)-f(5)=15-35=-20
함수 y=3x+2, 즉 f(x)=3x+2에 x의 값 0, 1, 2, 3을 각각 대입하면
f(0)=2, f(1)=5, f(2)=8, f(3)=11 따라서 구하는 함숫값의 합은
2+5+8+11=26
f(1)=;1^;=6, f(2)=;2^;=3, f(3)=;3^;=2, f(4)=;4^;=;2#;, f(5)=;5^;, f(6)=;6^;=1
따라서 구하는 함숫값의 합은
;2#;+;5^;=;1@0&;
함수 f`:x`2Ú`(x의 약수 중 가장 큰 소수)는 f(x)=(x의 약수 중 가장 큰 소수)이므로
x에 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10을 각각 대입하여 계산하면
`f(4)=2, f(5)=5, f(6)=3, f(7)=7, f(8)=2,
`f(9)=3, f(10)=5
따라서 모든 함숫값의 합은 2+5+3+7+2+3+5=27
y가 x의 함수가 되는 경우는 함숫값 f(1), f(2)가 각 각 다음과 같이 3, 4, 5에 대응될 때이다.
f(1) 3 3 3 4 4 4 5 5 5
f(2) 3 4 5 3 4 5 3 4 5
따라서 구하는 x의 함수 y의 개수는 9이다.
다른 풀이
x가 2개, y가 3개이므로 공식에 의해 3Û`=9
① x=3에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
④ x=1, 2, 4, 5에 대응하는 y의 값이 없고, x=3에 대응 하는 y의 값이 2개 이상이므로 함수가 아니다.
⑤ x=4에 대응하는 y의 값이 없고, x=5에 대응하는 y의 값이 2개 이상이므로 함수가 아니다.
①, ②, ④, ⑤ x의 값 1개에 y의 값이 2개 이상 대응 하는 경우가 있으므로 함수가 아니다.
③ x의 값 하나에 y의 값이 하나씩만 정해져 있고, 대응되 지 못한 x가 없으므로 함수이다.
ㄴ -2, ;2!;, 2, 3, 6 ③ -1 6 y= x
④, ⑤ 4개 ⑤ 33 58 7
4 -6 -1 4
b-100a-b 103~106쪽
실력 높이기
STEP
문제 풀이
ㄱ. 1 2Ú 4, 1 2Ú 5로 x의 값 1개에 y의 값 2개가 대 응하고, 3에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
ㄴ. -1 2Ú 4, 0 2Ú 3, 1 2Ú 4이므로 함수이다.
ㄷ. x의 값인 1에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아 니다.
ㄹ. 2 2Ú -1, 4 2Ú -2, 6 2Ú -3, 8 2Ú -4로 모든 x의 값에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
따라서 함수인 것은 ㄴ이다.
표현 단계 함수가 되지 않으려면 x에 대한 함숫값이 2개 이 상이면 된다. 즉, x의 값들 중 2개 이상이 같으면 된다.
변형 단계 Ú m-1=2m+1
Û m-1=2 또는 m-1=5 Ü 2m+1=2 또는 2m+1=5
풀이 단계 Ú m=-2
서술형
1. 함수 69
Û m=3 또는 m=6 Ü m=;2!; 또는 m=2
확인 단계 따라서 m의 값은 -2, ;2!;, 2, 3, 6이다.
`f(x)=-x+5이므로
`f(a-1)+f(a+1)=-(a-1)+5-(a+1)+5=6 -a+1+5-a-1+5=6
-2a=-4
∴ a=2
y+5가 2(x-3)에 정비례하므로
y+5=k_2(x-3)`(k는 0이 아닌 상수)라 하자.
즉, f(x)=2k(x-3)-5에서 f(-2)=-10k-5=15 10k=-20
k=-2
∴ f(x)=-4x+7
∴ f(2)=-8+7=-1
자연수 x에 대하여 f(x)= 12x 의 값이 자연수이므로 x는 12의 약수이다.
따라서 만족하는 x의 값은 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 x의 개 수는 6이다.
a`%의 소금물 x`g에 녹아 있는 소금의 양은 a100 x`g b`%의 소금물 (x+y)`g에 녹아 있는 소금의 양은
100 _(x+y)`b g이므로 100 x+y=a b
100 _(x+y)에서
(a-b)x=(b-100)y ∴ y= a-bb-100 x
소금의 양 구하기 (소금의 양)=(소금물의 농도)
100 _(소금물의 양)
① x의 값 2는 1과 2에 동시에 대응, 3은 1과 3에 동 시에 대응, 4는 1, 2, 4에 동시에 대응, 5는 1과 5에 동 시에 대응되어 x의 값 1개에 y의 값이 여러 개 대응하므 로 함수가 아니다.
② x의 값 2는 2, 4, 6에 동시에 대응, 3은 3과 6에 동시에 대응되어 x의 값 1개에 y의 값이 여러 개 대응하므로 함 수가 아니다.
③ 2 2Ú 4이지만 나머지 x의 값인 3, 4, 5에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
④ 2 2Ú 2, 3 2Ú 2, 4 2Ú 3, 5 2Ú 2이므로 함수이다.
⑤ 2 2Ú 1, 3 2Ú 1, 4 2Ú 1, 5 2Ú 1이므로 함수이다.
ㄱ. -1 2Ú 0, 0 2Ú 1, 1 2Ú 2이므로 함수이다.
ㄴ. -1 2Ú -1, 0 2Ú 0, 1 2Ú 1이므로 함수이다.
ㄷ. 1 2Ú -1이지만 나머지 x의 값인 -1, 0에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
ㄹ. -1 2Ú 2, 0 2Ú 1, 1 2Ú 2이므로 함수이다.
ㅁ. x의 값 -1이 1, 2에 동시에 대응되어 x의 값 1개에 y의 값 2개가 대응하므로 함수가 아니다.
ㅂ. -1 2Ú 0, 0 2Ú -1, 1 2Ú 0이므로 함수이다.
따라서 함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ의 4개이다.
① 각각의 x는 서로 다른 y의 값을 갖는다.
② 모든 y는 항상 x의 값 3을 갖는다.
③ 모든 x는 항상 y의 값 -3을 갖는다.
④ 모든 y는 항상 x의 값 -3을 갖는다.
⑤ 모든 x는 항상 y의 값 3을 갖는다.
표현 단계 a는 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9이므로 a에 각각 대입하여 본다.
변형 단계 a에 대응하는 함숫값이 있는지 알아본다.
풀이 단계 a=3일 때, 3+4=7(소수), 3+5=8(소수가 아님) a=4일 때, 4+4=8(소수가 아님),
4+5=9(소수가 아님) a=5일 때, 5+4=9(소수가 아님),
5+5=10(소수가 아님) a=6일 때, 6+4=10(소수가 아님),
6+5=11(소수) a=7일 때, 7+4=11(소수),
7+5=12(소수가 아님) a=8일 때, 8+4=12(소수가 아님),
8+5=13(소수) a=9일 때, 9+4=13(소수),
9+5=14(소수가 아님)
즉, a가 4, 5일 때, a에 대응하는 y의 값이 없으므 로 함수가 될 수 없다.
확인 단계 따라서 a가 될 수 있는 것은 3, 6, 7, 8, 9이므로 합은 3+6+7+8+9=33
12보다 작은 4의 배수는 4, 8의 2개이므로 f(12)=2 13보다 작은 4의 배수는 4, 8, 12의 3개이므로 f(13)=3 마찬가지로 생각하면 f(14)=f(15)=f(16)=3이고
서술형
70 ⅠV 일차함수
문제 풀이
두 톱니바퀴 P, Q의 톱니의 수의 비는 2`:`3=4`:`6이 고 두 톱니바퀴 Q, R의 톱니의 수의 비는 2`:`5=6`:`15이 므로 두 톱니바퀴 P, R의 톱니의 수의 비는 4`:`15이다.
두 톱니바퀴 P, R의 톱니의 수를 각각 4a개, 15a개 (단, a는 자연수)라 하면 1분 동안 돌아간 톱니의 수는 각각 4a_x(개), 15a_y(개)이고 서로 같아야 하므로 4ax=15ay ∴ y=;1¢5;x
1시간은 60분이므로 시계의 분침에서 1분을 가리키는 눈금 하나의 각도는 360ù
60 =6ù이다.
즉, 1분 동안 분침은 6ù, 초침은 360ù 움직이므로 분침이 1ù 움직이는 동안 초침은 360ù
6 =60ù 움직인다.
∴ y=60x f(17)=4이다.
따라서 f(x)=3을 만족하는 모든 x의 값의 합은 13+14+15+16=58이다.
표현 단계 f(-1)=7이므로 주어진 함수의 식에 x=-1, y=7을 대입한다.
변형 단계 f(x)=5+ax-x에서
` f(-1)=5-a+1=7
∴ a=-1
즉, f(x)=-2x+5이다.
풀이 단계 f(3)=-6+5=-1
f( f(3))=f(-1)=-2_(-1)+5
확인 단계 =7
f(2)=a=3이므로 f(x)=3|x-1|
f(x)=3|x-1|=9에서 |x-1|=3이므로 x-1=3 또는 x-1=-3
∴ x=4 또는 x=-2
이때 x는 2, 3, 4, 5이므로 x=4
표현 단계 x-8
2x-1 의 값이 -2라고 하면
변형 단계 x-8
2x-1 =-2, x-8=-4x+2
서술형
서술형
5x=10 ∴ x=2
풀이 단계 f { x-82x-1 }=-xÛ`+x-4에서 x=2를 대입하면
` f(-2) =-2Û`+2-4
=-4+2-4
확인 단계 =-6
`f(-1.7) =[-1.7]
=(-1.7보다 크지 않은 최대의 정수)
=-2 f(-0.4) =[-0.4]
=(-0.4보다 크지 않은 최대의 정수)
=-1
f(1)=[1]=(1보다 크지 않은 최대의 정수)=1 f(1.3)=[1.3]=(1.3보다 크지 않은 최대의 정수)=1
∴ f(-1.7)+`f(-0.4)+`f(1)+`f(1.3)
=(-2)+(-1)+1+1=-1
x의 값이 커질수록 함숫값은 작아지도록 y의 값 4, 5, 6, 7 중의 3개를 뽑아 대응시킨다. 즉,
f(1) 6 7 7 7
f(2) 5 5 6 6
f(3) 4 4 4 5
따라서 구하는 함수의 개수는 4이다.
y=;1¢5;x y=60x ;2%; ③ ③, ④ 18
④ 4 18 3
최고 실력 완성하기
STEP
107~108쪽
1. 함수 71
f(x)=ax-1-(a-x), 즉 f(x)=(a+1)x-a-1 에서 f(2)=3이므로
3=2(a+1)-a-1, 3=a+1
∴ a=2
f(x)=3x-3이고 f(2)+f(3)=3+6=9이므로 2f(b)=9에서 6b-6=9
∴ b=;2%;
① f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6, f(4)=7, f(5)=8, f(6)=9, y
따라서 x=1, 2, 3, 4, y일 때 y=4, 5, 6, 7, y이 차 례로 대응하므로 함수이다.
② f(1)=0, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=1, f(5)=2, f(6)=2, y
따라서 x=1, 2, 3, 4, y일 때 y=0, 0, 1, 1, y이 차 례로 대응하므로 함수이다.
③ 자연수의 약수의 개수는 1 이외의 수는 모두 2개 이상이 므로 x의 값 1개에 y의 값이 여러 개 대응하여 함수가 아니다.
④ f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=2, y
따라서 x=1, 2, 3, 4, y일 때 y=1, 2, 3, 0, y이 차 례로 대응하므로 함수이다.
⑤ f(1)=0, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=8, f(6)=10, y
따라서 x=1, 2, 3, 4, y일 때 y=0, 2, 4, 6, y이 차 례로 대응하므로 함수이다.
① f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4이지만 나머지 x의 값인 4, 5에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다.
② f(1)=1, f(5)=1이지만 나머지 x의 값인 2, 3, 4에 대 응하는 y의 값이 2개 이상이므로 함수가 아니다.
③ f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=0, f(5)=1이므 로 함수이다.
④ f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=4이므 로 함수이다.
⑤ f(3)=2이지만 x의 값 1, 2에 대응하는 y의 값은 없고, x의 값 4, 5에 대응하는 y의 값은 2개씩이므로 함수가 아니다.
Ú a=1일 때
1+f(1)이 짝수이어야 하므로 f(1)은 반드시 홀수이어 야 한다.
따라서 가능한 f(1)의 값은 1, 3, 5의 3개이다.
Û a=2일 때
2+f(2)가 짝수이어야 하므로 f(2)는 반드시 짝수이어 야 한다.
따라서 가능한 f(2)의 값은 2, 4의 2개이다.
Ü a=3일 때
3+f(3)이 짝수이어야 하므로 f(3)은 반드시 홀수이어 야 한다.
따라서 가능한 f(3)의 값은 1, 3, 5의 3개이다.
따라서 구하는 함수의 개수는 3_2_3=18
① 5x+5=5(x+1)이므로 5로 나눈 나머지는 0이다.
∴ f(5x+5)=0
② x+10=x+5_2이므로 나머지는 x를 5로 나눈 나머지 와 같다.
∴ f(x+10)=f(x)
③ 5x-2=5(x-1)+3이므로 5로 나누어 3이 남는 수는 5로 나누어 2가 모자라는 수와 나머지가 같다.
∴ f(5x+3)=f(5x-2)
④ x=2이면 f(2)=2, f(3)=3이므로 f(2)+f(3)=5
또, f(2x+1)=f(5)=0이다.
∴ f(x)+f(x+1)+f(2x+1)
⑤ x=3이면 f(5x+3)=f(18)=3
또, f(x-2)=f(1)=1이므로 5f(x-2)=5
∴ f(5x+3)+5f(x-2)
f(x)=2, 즉 약수의 개수가 2인 자연수는 소수뿐이 고, 9 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 x의 개수는 4이다.
72 ⅠV 일차함수
f(x)=
g
f(x-2)+f(x-3) (x¾4)2 (xÉ3)에서 f(1)=f(2)=f(3)=2f(4)=f(2)+f(1)=2+2=4 f(5)=f(3)+f(2)=2+2=4 f(6)=f(4)+f(3)=4+2=6 f(7)=f(5)+f(4)=4+4=8 f(8)=f(6)+f(5)=6+4=10
∴ f(7)+f(8)=8+10=18
x의 값에 따라 식이 달라지는 함수
함수 f(x)=gf(x-2)+f(x-3) (x¾4)2 (xÉ3)와 같이 x의 값에 따라 식이 달라지는 경우 x의 값을 대입할 때, 식을 올바르게 선택해야 한다.
주어진 관계식에 x=1, y=0을 대입하면 f(1)f(0)=f(1)+f(1), f(1)f(0)=2f(1) f(1)=1이므로 f(0)=2
주어진 관계식에 x=1, y=1을 대입하면 f(1)f(1)=f(2)+f(0)
f(1)=1, f(0)=2이므로 1=f(2)+2
∴ f(2)=-1
∴ 2f(0)+f(2)=3
1. 함수 73