2x+y=10 x+2y=250 (1, 15), (2, 12), (3, 9), (4, 6), (5, 3) n-1 15
;2#; 2 ⑴ x=1, y=0 ⑵ x=3, y=-1 x=3, y=1 또는 x=-9, y=-5
0 a=-;5!;, b=-;5@; ;5@; a=5, b=13 1 -3
3 x=3, y=-1 x=6, y=2 x=2, y=0 x=1, y=1 x=2, y=-2
3 -3 x=;4%;, y=-;2!;, z=;2&; x=2, y=1, z=3
69~73쪽
주제별 실력다지기
STEP
x, y에 대한 연립방정식 à ax+by+c=0
a'x+b'y+c'=0에 대하여
⑴ a a' =b
b' =c c' 인 경우
한 방정식에 적절한 상수를 곱하면 다른 식과 정확히 일치하게 된다.
예를 들어 연립방정식 à 2x+y+3=0 ……`㉠
4x+2y+6=0 ……`㉡의 경우
;4@;=;2!;=;6#;이 성립하고 실제로 ㉠의 양변에 2를 곱한 식은 ㉡과 정확히 일치한다. 따라서 ㉠의 모든 해는 ㉡의 해가 된다. 또한
㉡의 모든 해도 ㉠의 해가 된다. 이때 ㉠의 해는 무수히 많으므로 위의 연립방정식의 해는 무수히 많다.
일반적으로 aa' =b b' =c
c' 인 경우 연립방정식 à ax+by+c=0
a'x+b'y+c'=0의 해는 무수히 많다.
해가 특수한 연립방정식 최상위
NOTE
06
⑵ a a' =b
b' + c c' 인 경우
한 방정식에 적절한 상수를 곱해서 x의 계수와 y의 계수를 다 른 식과 일치하도록 만들었을 때, 상수항은 일치하지 않는다.
예를 들어 연립방정식 à 2x+y+2=0 ……`㉠
4x+2y+6=0 ……`㉡의 경우
;4@;=;2!;+;6@;이고 실제로 ㉠의 양변에 2를 곱한 식은
4x+2y+4=0이므로 ㉡과 x의 계수와 y의 계수는 각각 일치 하지만 상수항은 일치하지 않는다. 따라서 ㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 x, y는 존재하지 않는다. 즉, 위의 연립방정식의 해 는 없다.
일반적으로 a a' =b
b' + c c' 인 경우 연립방정식 à ax+by+c=0
a'x+b'y+c'=0의 해는 없다.
44 ⅠⅠⅠ 연립방정식
문제 풀이
공책과 볼펜을 사는 데 필요한 돈이 각각 400x원, 200y원이므로
400x+200y=2000
∴ 2x+y=10
(소금의 양)=(농도)
100 _(소금물의 양)이므로 10`%의 소금물 x`g 속의 소금의 양은 ;1Á0¼0;x`g, 20`%의 소금물 y`g 속의 소금의 양은 ;1ª0¼0;y`g 문제의 조건에서 ;1Á0¼0;x+;1ª0¼0;y=25이므로 정리하면 x+2y=250
x가 자연수이므로 주어진 방정식에 x=1, 2, 3, …을 차례로 대입하여 y의 값을 구하면 다음과 같다.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y 15 12 9 6 3 0 -3 -6 …
그런데 y의 값도 자연수이므로 구하는 해를 순서쌍으로 나 타내면 (1, 15), (2, 12), (3, 9), (4, 6), (5, 3)이다.
x와 y가 자연수이므로 주어진 방정식을 만족하는 해 는 다음과 같다.
x 1 2 3 … n-2 n-1
y n-1 n-2 n-3 … 2 1
따라서 순서쌍 (x, y)의 개수는 n-1이다.
x=1일 때, y+z=6을 만족하는 순서쌍 (y, z)는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5개이다.
x=2, 3, 4, 5인 경우도 같은 방법으로 구하면 다음과 같 다.
x 1 2 3 4 5
y+z 6 5 4 3 2
순서쌍 (y, z)의 개수 5 4 3 2 1
따라서 x+y+z=7을 만족하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수 는 5+4+3+2+1=15이다.
Ú 2x+my=4의 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로 x=4, y=-2를 대입하면
8-2m=4 ∴ m=2
Û 2x+2y=4의 그래프가 점 (2n, 3)을 지나므로 x=2n, y=3을 대입하면
4n+6=4 ∴ n=-;2!;
Ú, Û 에서 m+n=2+{-;2!;}=;2#;
순서쌍 (3, -1)이 ax-y+2=0의 해이므로 x=3, y=-1을 대입하면
3a-(-1)+2=0∴ a=-1
또, 점 (b-2, b)가 -x-y+2=0의 그래프 위에 있으므 로 x=b-2, y=b를 대입하면
-(b-2)-b+2=0, -2b+4=0∴ b=2
⑴ à x+2y=1 ……`㉠
2x+y=2 ……`㉡
㉠-㉡_2를 하면 x+2y=1 ->³4x+³2y=²4
-3x =-3 ∴ x=1 x=1을 ㉡에 대입하면 2+y=2 ∴ y=0
⑵ à 2x-3y=9 ……`㉠
3x+2y=7 ……`㉡
㉠_2+㉡_3을 하면 4x-6y=18 +>³9x+³6y=²21
13x =39 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 6-3y=9 ∴ y=-1
à |x|+y=4 ……`㉠
x-2y=1 ……`㉡
㉠_2+㉡을 하면 2|x|+x=9 Ú x¾0일 때, 2x+x=9 ∴ x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 |3|+y=4 ∴ y=1 Û x<0일 때, -2x+x=9 ∴ x=-9
x=-9를 ㉠에 대입하면 |-9|+y=4 ∴ y=-5 Ú, Û에서 x=3, y=1 또는 x=-9, y=-5
x=1, y=1을 주어진 일차방정식에 대입하면 a+(a-2)+b=0, 2a+b=2 …… ㉠ x=-1, y=2를 주어진 일차방정식에 대입하면 -a+2(a-2)+b=0, a+b=4 …… ㉡
㉠-㉡을 하면 a=-2, b=6
그러므로 주어진 일차방정식은 -2x-4y+6=0
∴ x+2y-3=0
1. 연립방정식 45
따라서 x=3을 x+2y-3=0에 대입하면
ax+by=5 이고 x와 y를 바꿔도 à ay+bx=-2
by+ax=5 이다. 즉, 위의 연립 방정식에서 a와 b를 바꾸는 것은 x와 y를 바꾸는 것과 같다. 따라서 연립 방정식의 해는 x=1, y=2에서 x=2, y=1로 바뀌게 된다.
46 ⅠⅠⅠ 연립방정식
주어진 연립방정식에서 계수가 소수인 일차방정식의 양변에는 10을 곱하고, 계수가 분수인 일차방정식의 양변 에는 분모의 최소공배수인 6을 곱하여 정리하면
à x-2y=5 ……`㉠
2x+3y=3 ……`㉡
㉠_2-㉡을 하면 -7y=7 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 x+2=5 ∴ x=3
두 일차방정식의 양변에 각각 분모의 최소공배수인 6 을 곱하면
à 2x=3y+6 3x+2y=22
즉, à 2x-3y=6 ……`㉠
3x+2y=22 ……`㉡
㉠_2+㉡_3을 하면 13x=78 ∴ x=6 x=6을 ㉠에 대입하면 12-3y=6 ∴ y=2
두 일차방정식의 양변에 각각 분모의 최소공배수인 6 을 곱하면
à 2(x+1)+3y=6 (x+1)-3(y-1)=6 즉, à 2x+3y=4 ……`㉠
x-3y=2 ……`㉡
㉠+㉡을 하면 3x=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 4+3y=4 ∴ y=0
à x+2y+3=2x+3y+1
2x+3y+1=3x+y+2를 정리하면 à x+y=2 ……`㉠
x-2y=-1 ……`㉡
㉠-㉡을 하면 3y=3 ∴ y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 x+1=2 ∴ x=1
세 변에 각각 6을 곱하면 3x+3y=2y+4=x-2이므로 à 3x+3y=2y+4
2y+4=x-2
즉, à y=4-3x ……`㉠
x-2y=6 ……`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x-2(4-3x)=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=4-3_2 ∴ y=-2
주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으므로
;a!;=;b#;=;2$;
;a!;=;2$;에서 a=;2!;
;b#;=;2$;에서 b=;2#;
∴ 4ab=4_;2!;_;2#;=3
다른 풀이
à x+3y=4
2ax+2by=4에서 두 일차방정식은 일치하므로 2a=1, 2b=3
∴ a=;2!;, b=;2#;
∴ 4ab=3
주어진 연립방정식의 해가 없으므로 a+12 =;3A;+;2#;
a+12 =;3A;에서 3a+3=2a
∴ a=-3
( [{
9
2x-3y=4 ……`㉠
-3y+z=5 ……`㉡
2x+z=6 ……`㉢
㉢-㉡을 하면
2x+3y=1 …… ㉣
㉠+㉣을 하면 4x=5 ∴ x=;4%;
x=;4%; 를 ㉠에 대입하면
;2%;-3y=4 ∴ y=-;2!;
x=;4%; 를 ㉢에 대입하면
;2%;+z=6 ∴ z=;2&;
주어진 식의 각 변끼리 더하면 2(x+y+z)=12
∴ x+y+z=6 …… ㉠
1. 연립방정식 47
x+y=3을 ㉠에 대입하면 3+z=6 ∴ z=3 y+z=4를 ㉠에 대입하면
x+4=6 ∴ x=2 z+x=5를 ㉠에 대입하면 5+y=6 ∴ y=1
x=;2!;, y=-1 -;2(; -;3*; -1 x=;5$;, y=;5&; 23
x=8, y=2 12 -8 x=;2!;, y=;3!; -;4&; a=-;3@;, b=-2
3 -1 a=;5(;, b=-;3$; 9 x=-;4!8!;, y=-;4°8;
3 6 18
74~78쪽
실력 높이기
STEP
문제 풀이
첫 번째 식에는 양변에 100을, 두 번째 식에는 24를 곱하여 계수를 정수로 만들면
à 50x-75y=100
18(x-1)+8(y+1)=-9 즉, à 2x-3y=4 ……`㉠
18x+8y=1 ……`㉡
㉠_9-㉡을 하면 -35y=35 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 2x-3_(-1)=4 ∴ x=;2!;
표현 단계 à 2ax-by=6
3ax-2by=11의 해가 x=-2, y=1이므로 각각을 대입하면
변형 단계 à -4a-b=6 ……`㉠
-6a-2b=11 ……`㉡
풀이 단계 ㉠_2-㉡을 하면 -2a=1 ∴ a=-;2!;
a=-;2!;을 ㉠에 대입하면 2-b=6 ∴ b=-4
확인 단계 ∴ a+b=-;2(;
12와 18의 최대공약수는 6, 최소공배수는 36이므로 연립방정식의 해는 x=6, y=36이다.
서술형
이 값을 연립방정식에 대입하면 à 3a+12b=4 ……`㉠
6a+12b=-8 ……`㉡
㉠-㉡을 하면 -3a=12 ∴ a=-4 a=-4를 ㉠에 대입하면 b=;3$;
∴ a+b=-4+;3$;=-;3*;
à x-2y=a ……`㉠
2x-y=3-a ……`㉡
㉠+㉡을 하면 3x-3y=3
∴ x-y=1 …… ㉢
주어진 연립방정식을 만족하는 x와 y의 값의 합이 5이므로
x+y=5 …… ㉣
㉢+㉣을 하면 2x=6 ∴ x=3, y=2 x=3, y=2를 ㉠에 대입하면
a=3-2_2 ∴ a=-1
방정식 x+y=5에는 미지수 a가 없으므로 연립방정식 à x-2y=a
2x-y=3-a에서 각 변을 더하여 a를 소거한다.
à ax+y=-1 ……`㉠
2x-by=3 ……`㉡
현정이는 ㉠에서 a를 잘못 보고 풀었으므로 현정이가 구한 해인 x=3, y=-3은 ㉡을 만족한다.
따라서 ㉡에 x=3, y=-3을 대입하면 6+3b=3 ∴ b=-1
나연이는 ㉡에서 b를 잘못 보고 풀었으므로 나연이가 구한 48 ⅠⅠⅠ 연립방정식
해인 x=1, y=2는 ㉠을 만족한다.
미지수가 2개인 연립일차방정식의 해가 2개 이상인
x=8, y=-7 -2 a=-1, b=3 -4<a<16
최고 실력 완성하기
STEP 79쪽
문제 풀이
순환소수를 분수로 고치면 á[{
»
;9!0!;x+;9!;y=;1ª0;
;9@;x+;9@0!;y=;9!0#;
즉, à 11x+10y=18 ……`㉠
20x+21y=13 ……`㉡
㉠_20-㉡_11을 하여 풀면 x=8, y=-7
주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 -24 =-1
-a = a+2 -2a-4 -24 =-1
-a에서 2a=-4 ∴ a=-2 이때 a+2-2a-4 =-2
4 는 a의 값에 관계없이 성립한다.
∴ a=-2
네 직선이 한 점에서 만나므로 두 직선 à 3x+y=8 ……`㉠
x+3y=8 ……`㉡
의 교점을 나머지 두 직선도 지나야 한다.
㉠-㉡_3에서
-8y=-16 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 3x+2=8 ∴ x=2
즉, ㉠, ㉡의 교점은 (2, 2)이고 이 점은 두 직선 à ax+by=4
2ax-3by=-22도 지나야 하므로
x=2, y=2를 대입하면 à 2a+2b=4
4a-6b=-22
즉, à a+b=2 ……`㉢
2a-3b=-11 ……`㉣
㉢_2-㉣을 하여 풀면 a=-1, b=3
( [{
9
x+y=10 ……`㉠
y+z=6 ……`㉡
z+x=a ……`㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=16+a
∴ x+y+z=8+;2A; …… ㉣
㉣-㉠을 하면 z=;2A;-2
㉣-㉡을 하면 x=2+;2A;
㉣-㉢을 하면 y=8-;2A;
x, y가 양수이므로` 2+;2A;>0이고` 8-;2A;>0 2+;2A;>0에서 a>-4 …… ㉤
8-;2A;>0에서 a<16 …… ㉥
㉤, ㉥을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 -4<a<16
1. 연립방정식 51