2
③, ④, ⑤ ⑴ -;2!; ⑵ -4 ⑶ 2 ⑷ 1 a=;2#;, b=-3 1 ;3&;
a=-3, b=-8 2 또는 -8 {;3%;, 0} ⑴ ;3&; ⑵ -;2!; -6 6
;2!;
110~112쪽
주제별 실력다지기
STEP
두 직선 y=ax+b와 y=a'x+b'이 직교하 면 두 직선 y=ax와 y=a 'x도 직교한다. 오 른쪽 그림과 같이 직선 y=ax 위의 점 A에 대하여 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.
OAÓ=OBÓ를 만족하는 직선 y=a 'x 위의 점 B에 대하여 x축에 내린 수선의 발을 I라 하자.
∠AOH+∠BOI=90ù이고 ∠BOI+∠OBI=90ù이므로
∠AOH=∠OBI
두 삼각형 AOH, BOI의 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠OAH=∠BOI
수직인 두 직선의 기울기의 곱 구하기 최상위
NOTE
09
따라서 △AOHª△OBI (ASA 합동)이므로
점 A의 좌표를 (p, q)라 하면 점 B의 x좌표는 OIÓ=AHÓ=q이고 y좌표는 -BIÓ=-OHÓ=-p이다.
직선 y=ax의 기울기는 a=q-0
p-0 =;pQ;이고 직선 y=a 'x의 기울기는 a'=-p-0
q-0 =-;qP;이다.
∴ aa '=;pQ;_{-;qP;}=-1 Z
0 Y
) *
Z BY
Z BY
"
#
74 ⅠV 일차함수
문제 풀이
∴ m=3, n=-5
∴ y=3x-5
점 P는 직선 y=3x-5와 x축의 교점이므로 0=3x-5
∴ x=;3%;
따라서 점 P의 좌표는 {;3%;, 0}이다.
세 점이 한 직선 위에 있으려면 두 점을 지나는 직선 의 기울기가 같아야 한다.
⑴ 2-(-1)3-1 = 1-2a-3 3(a-3)=-2 ∴ a=;3&;
⑵ a-1-1-2 =2-1 4-2 2(a-1)=-3 ∴ a=-;2!;
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, ABê=ACê=BCê이므로 세 직선의 기울기는 같다.
f(m)-f(n)=3n-3m=-3(m-n)에서 f(m)-f(n)
m-n =-3이므로 기울기인 a=-3
따라서 x의 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은 k만큼 증가하 므로
(기울기)=(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)=;2K;=-3
∴ k=-6
y=f(x), y=g(x)의 그래프의 기울기가 각각 1과 -2이므로 f(x)=x+m, g(x)=-2x+n이라 하면 y=f(x)의 그래프의 x절편이 3이고
y=f(x)와 y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표가 3이므로 교점의 좌표는 (3, 0)이다.
g(x)=-2x+n에 (3, 0)을 대입하면 0=-2_3+n
∴ n=6
따라서 g(x)=-2x+6이므로 y절편은 6이다.
일차함수 y=ax+b의 그래프가 두 점 (4, 0), (0, 2) 를 지나므로 각각 대입하면
à 0=4a+b 2=a_0+b
∴ a=-;2!;, b=2
y=-;2!;x+2의 그래프의 기울기는 -;2!;이고 x-my=2 의 그래프의 기울기는 y= 1m x- 2
m 에서 1 m 이다.
두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로 {-;2!;}_ 1m =-1
∴ m=;2!;
76 ⅠV 일차함수
④,`⑤ -2ÉbÉ2 :£5ª: 1 -;2%;ÉaÉ-;5@; ;4#;
-3ÉkÉ0 y=2x+1 ;5!;<m<;3@; -1ÉkÉ4 {;5*;, 0} 2
;2!; 2 y=x+2 ;2!;, 1, 2 ac<0 72`cmÛ`
y=8x`(0<x<5), y=90-10x`(5Éx<9) 40분 오후 5시 풀이 참조
113~117쪽
△BOC=;2!;_6_a=8
∴ a=;3*;
△AOB=;2!;_:ª5¢:_;3*;=:£5ª:
세 점 O, A, B를 이동한 점을 각각 O', A', B'이라
1=-5a-1 ∴ a=-;5@;
점 (1, n)을 지나므로 대입하면
이때 BCÓ：ODÓ=2：1이고 ODÓ=a이므로 BCÓ=2a 즉, BDÓ-CDÓ=BCÓ이므로 ap+q-(at+q)=2a, ap+q-at-q=2a, a(p-t)=2a ∴ p-t=2
ax+by+c=0의 x절편은 -;aC;>0이므로 ;aC;<0
∴ ac<0
다른 풀이
ax+by+c=0, y=-;bA;x-;bC;
기울기는 -;bA;>0, y절편은 -;bC;<0이므로 APÓ=x`cm이고 AQÓ=3x`cm이므로 QDÓ=12-3x(cm) 즉, APÓ=QDÓ에서 x=12-3x ∴ x=3
따라서 3초 후에 PBCQ는 등변사다리꼴이 된다.
PQÓ=AQÓ-APÓ=2x`cm이므로 사다리꼴 PBCQ의 넓이를 y`cmÛ`라 하면
y=;2!;_(2x+12)_8=8x+48 ∴ y=8x+48 y=8x+48에 x=3을 대입하면 y=8_3+48=72
2. 일차함수와 그래프 79
따라서 사다리꼴 PBCQ가 등변사다리꼴이 되었을 때의 넓 이는 72`cmÛ` 이다.
표현 단계 x의 값의 범위가 0<x<5일 때, 점 P는 ABÓ 위에 있고 x의 값의 범위가 5Éx<9일 때, 점 P는 BCÓ 위에 있다.
풀이 단계 Ú 점 P가 ABÓ 위에 있을 때, APÓ=2x`cm이므로
△APC=;2!;_2x_8=8x(cmÛ`)
∴ y=8x (0<x<5) Û 점 P가 BCÓ 위에 있을 때,
CPÓ=18-2x(cm)이므로
△APC=;2!;_(18-2x)_10=90-10x(cmÛ`)
∴ y=90-10x (5Éx<9)
확인 단계 따라서 x, y 사이의 관계식은 à y=8x (0<x<5)
y=90-10x (5Éx<9)
위의 문제의 답은 à y=8x (0<xÉ5)
y=90-10x (5Éx<9)와 같이 나타내어도 된다. 이렇게 두 범위에 모두 등호를 넣어줄 수 있을 때는 보통 5Éx<9 와 같이 ‘크다’ 쪽에 등호를 붙여서 표현한다.
5분에 15`¾씩 올라가므로 1분에 3`¾씩 올라가고, 3분에 6`¾씩 내려가므로 1분에 2`¾씩 내려간다.
x분 후의 온도를 y`¾라 하면 올라갈 때：y=3x+10 내려갈 때：y=85-2x
10`¾의 물은 85`¾까지 올라가므로 85`¾까지 올라가는 데 걸린 시간은 y=3x+10에 y=85를 대입하면
85=3x+10
∴ x=25(분)
서술형
85`¾의 물은 55`¾까지 내려가므로 55`¾까지 내려가는 데 걸린 시간은 y=85-2x에 y=55를 대입하면
55=85-2x
∴ x=15(분)
∴ (전체 소요 시간)=25+15=40(분)
1분에 2`mL씩 x분 동안 맞으면 2x`mL, 3`mL씩 y분 동안 맞으면 3y`mL이므로 2x+3y=600이다.
2x+3y=600에서 3y=-2x+600 ∴ y=-;3@;x+200 2`mL씩 1시간 30분 동안 맞았으므로 x=90을 대입하면 y =-;3@;_90+200
=-60+200=140
즉, 3`mL씩 140분을 맞아야 한다.
따라서 오후 2시 40분에 2시간 20분을 더하면 다 맞았을 때의 시각은 오후 5시이다.
표현 단계 70-40=30(cm)이므로 물은 10분 동안 30`cm, 즉 1분에 3`cm씩 채워지고, 10분 후의 높이가 40`cm이었으므로 물을 틀기 전의 물통에는 10`cm 높이의 물이 채워져 있었다.
따라서 x, y 사이의 관계식은 y=3x+10이다.
풀이 단계 물이 가득 찼을 때의 높이는 100`cm이므로 y=3x+10에 y=100을 대입하면
100=3x+10 ∴ x=30
즉, x의 값의 범위는 0ÉxÉ30, 함숫값의 범위는 10ÉyÉ100이다.
확인 단계 따라서 x, y 사이의 관계식은
0
Z DN
Y 분
y=3x+10`(0ÉxÉ30)이 고, 이것을 그래프로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다.
서술형
80 ⅠV 일차함수
m=-2, n=;3*; m=;n@; 제3사분면 {-;5&;, 0} 33 y=-;2!;x+5 y=-;9*;x 3<y<7 {-:ª7»:, :ª7¤:}
최고 실력 완성하기
그런데 ab>0이므로 a<0, b<0
따라서 점 (a, b)는 제3사분면 위의 점이다.
△ACP=;2!;_(5-t)_7
△BPD=;2!;_(t+7)_3
△ACP=△BPD이므로
(5-t)_7=(t+7)_3, 35-7t=3t+21, 10t=14
∴ t=;5&;
따라서 점 P의 좌표는 {-;5&;, 0}이다.
à y=ax+b ……`㉠
y=bx+a ……`㉡
㉠-㉡을 하면 (a-b)x=a-b
∴ x=1`(∵ 0<a<b)
따라서 교점의 좌표는 (1, 14)이므로 ㉠에 (1, 14)를 대입
직선 y=x+2의 y절편은 Z