STEP
38쪽
문제 풀이
(주어진 식)= 30b-3(2a-3b)+5(2a-5b)15
= 4a+14b15 = 2(2a+7b)15
= 2_(-5)15 =-;3@;
;a!;-;b!;=6에서 b-aab =6 b-a=6ab ∴ a-b=-6ab
∴ 3a-3b-2aba-b = 3(a-b)-2aba-b
= -18ab-2ab-6ab = -20ab-6ab
=;;Á3¼;;
;aB;=;2!;, ;bC;=;2#;이므로 ;aB;_;bC;=;2!;_;2#;
;aC;=;4#; ∴ ;cA;=;3$;
∴ (주어진 식)= aÛ`b+abcabc + bÛ`c+abcabc + cÛ`a+abcabc
=;cA;+1+;aB;+1+;bC;+1
={;cA;+;aB;+;bC;}+3
={;3$;+;2!;+;2#;}+3
=:Á3»:
세수의비를이용하여식의값구하기
a`:`b=2`:`1, b`:`c=2`:`3에서 a`:`b`:`c=4`:`2`:`3이므로
a=4k, b=2k, c=3k (단, k+0)를 이용하여 식의 값을 구할 수도 있다.
x, y의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면 x=aG, y=bG, L=abG`(단, a와 b는 서로소인 자연수) 로 놓을 수 있다.
최소공배수가 60이므로
abG=60 …… ㉠
또, 2x-3y=24에 x=aG, y=bG를 대입하면 2aG-3bG=24 …… ㉡
각 변끼리 ㉡㉠ 을 계산하면 2aG-3bG
abG =;6@0$;에서 2a-3bab =;5@;
5(2a-3b)=2ab, 10a-15b=2ab 10a-2ab=15b, 2a(5-b)=15b a, b는 자연수이므로
b>0, 5-b>0 ∴ 1ÉbÉ4
∴ { xÜ`aÛ`+ yÜ`
bÛ`+ zÜ`
cÛ` }`:` (x+y+z)Ü`
(a+b+c)Û`
=(a+b+c)kÜ``:`(a+b+c)kÜ`=1`:`1
세 수를 x, y, z라 하면 조건에서 x+y=a, y+z=b, z+x=c 위의 세 식을 변끼리 더하면 2(x+y+z)=a+b+c
∴ x+y+z= a+b+c2
한편, 조건에서 xyz=1이므로 두 개씩 곱한 수들의 역수의 합은
;[Á];+;]Áz;+;zÁ[;= x+y+zxyz
= a+b+c2
두 점 P, Q의 속력이 각각 매초 3`cm, 2`cm이므로 t초 후에 BPÓ=3t`cm, CQÓ=2t`cm이다.
∴ PCÓ=BCÓ-BPÓ=(6-3t)`cm AQÓ=ACÓ-CQÓ=(6-2t)`cm BPÓ`:`BCÓ=AQÓ`:`ACÓ 에서 3t`:`6=(6-2t)`:`6 36-12t=18t 30t=36
∴ t=1.2(초)
22 Ⅰ 수와 식
b 1 2 3 4
a :Á8°: 5 :¢4°: 30
위의 표에서 서로소인 자연수는 a=5, b=2
따라서 ㉠에서 G=6
x=aG=30, y=bG=12이므로 x-y=18
남자 수(명) 여자 수(명)
동부 지역 9a 10a
서부 지역 4b 5b
도시 전체 9a+4b 10a+5b
전체 도시에서 남녀의 비가 5`:`6이므로 (9a+4b)`:`(10a+5b)=5`:`6
50a+25b=54a+24b
∴ b=4a
즉, 동부, 서부 지역에 거주하는 남녀의 인원 수는 아래의 표와 같으므로 남녀 각각에 대하여 동부, 서부 지역에 거주 하는 인원의 비를 구하면
남자 수(명) 여자 수(명)
동부 지역 9a 10a
서부 지역 4b=16a 5b=20a
남자 ⇨ 9a`:`16a=9`:`16 여자 ⇨ 10a`:`20a=1`:`2
3. 다항식의 계산 23
② ④, ⑤ 5개 -2 32 7
③ -;2!; 2 10 ④, ⑤ 0.H71428H5
87 0 ④ -6xy+1 또는 4xÛ`+3y a=3, b=4, c=6
104 0.H1H8 54ù 4 1800 3.H8
6 ;2#; 21 -3 7 a=7, b=5
0 2ab-bÛ`
단원 종합 문제
39~42쪽Ⅰ
문제 풀이
① (좌변) =(-aÛ`b)_3abÜ`
=-3(aÛ`_a)(b_bÜ`)
=-3aÜ`bÝ`
∴ (-aÛ`b)_3abÜ`=-3aÜ`bÝ``
② (좌변) =(2xÜ`y)Û`Ö(-2xÛ`)
=4xß`yÛ`_ 1-2xÛ`
=-2xÝ`yÛ`
∴ (2xÜ`y)Û`Ö(-2xÛ`)+xÝ`yÛ`
③ (좌변)= 6aÛ`bÝ`abÛ` Ö;;£a;B;
=6abÛ`_;3b;
=2aÛ`b ∴ 6aÛ`bÝ`
abÛ` Ö;;£a;B;=2aÛ`b
④ (좌변)=;3*;xÛ`yÖ(2x)Û`
=;3*;xÛ`yÖ4xÛ`
=;3*;xÛ`y_ 14xÛ`
=;3@;y
∴ ;3*;xÛ`yÖ(2x)Û`=;3@;y
⑤ (좌변)=5aÜ`_;2!;a
={5_;2!;}_(aÜ`_a)
=;2%;aÝ`
∴ 5aÜ`_;2!;a=;2%;aÝ`
① ;3!;=0.H3과 같이 유리수이지만 무한소수인 경우도 있다.
② 무한소수 중 순환소수는 유리수이지만 순환하지 않는
무한소수는 유리수가 아니다.
③ 유한소수는 모두 유리수이다.
x는 유리수이다.
양의 정수 정수 0
유리수 음의 정수
정수가 아닌 유리수 유한소수 순환소수
ㄱ. 2.0H1은 순환소수이므로 유리수이다.
ㄴ. -;7#;은 분수이므로 유리수이다.
ㄷ. -0.06은 유한소수이므로 유리수이다.
ㄹ, ㅁ, ㅂ. 순환하지 않는 무한소수이므로 유리수가 아니다.
ㅅ. 0은 정수이므로 유리수이다.
ㅇ. 3.14는 유한소수이므로 유리수이다.
따라서 보기 중 유리수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅅ, ㅇ의 5개이다.
주어진 분수가 유한소수이므로 분모의 7이 약분되어 야 한다. 이때 a는 가장 작은 두 자리의 자연수이므로 a=14
분모를 10의 거듭제곱으로 나타내면 3_a
2_5Û`_7= 3_14 2_5Û`_7= 3
5Û`= 2Û`_3
2Û`_5Û`= 12100 =0.12 따라서 b=100, c=0.12이므로
bc-a=100_0.12-14=-2
기약분수의 분모를 소인수분해했을 때, 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다.
즉, 3
2Û`_5_x이 순환소수가 되도록 하는 20보다 작은 짝 수 x는 2_7=14, 2_9=18이다.
따라서 x를 모두 더한 값은 14+18=32 24 Ⅰ 수와 식
2_3=6, 2_6=12인 경우, 분자의 3과 서로 약분이 되므로 적당하 지 않다.
안에 들어갈 수를 차례로 a, b, c라 하면 주어진 식은 (-2x)`Ö4yÜ`_6yÖ(-y)º`=- 6x`yÞ`
(-2x)`_ 1
;1£3;=0.H23076H9이므로 순환마디의 숫자는 6개이다.
55=6_9+1이므로 소수점 아래 55번째 자리의 숫자는 순
0.54H3=0.543333333…
∴ 0.H54H3>0.54H3`(참)
주어진 조건 32x=a에서 지수는 2x이고, 주어진 식 35x
33x+3x 에서 지수는 x, 3x, 5x이다.
지수를 2x의 배수의 형태로 만들기 위해 주어진 식 35x
33x+3x 의 분모, 분자에 3Å` 을 곱하면 (주어진 식)= 35x_3Å`
33x_3x+3x_3x
= 36x 34x+32x
= (32x)3
(32x)2+32x ……`㉠
주어진 조건 32x=a를 ㉠에 대입하면 (32x)3
(32x)2+32x= aÜ`
aÛ`+a
= a_aÛ`a(a+1)
= aÛ`a+1
∴ 35x
33x+3x= aÛ`a+1
주어진 식의 양변에 A를 곱하면 -6xy+12xÛ`y=AB-2xA
A, B는 단항식이므로 AB=-6xy, -2xA=12xÛ`y 또는 AB=12xÛ`y, -2xA=-6xy Ú AB=-6xy, -2xA=12xÛ`y인 경우
-2xA=12xÛ`y에서 A=-6xy
AB=-6xy에서
-6xyB=-6xy ∴ B=1
∴ A+B=-6xy+1
Û AB=12xÛ`y, -2xA=-6xy인 경우 -2xA=-6xy에서
A=3y
AB=12xÛ`y에서
3yB=12xÛ`y ∴ B=4xÛ`
∴ A+B=4xÛ`+3y
Ú, Û에서 A, B의 합은 -6xy+1 또는 4xÛ`+3y
ax(2x+b)-5(2x+b) =2axÛ`+abx-10x-5b
=2axÛ`+(ab-10)x-5b
=cxÛ`+2x-20 2a=c, ab-10=2, -5b=-20
∴ a=3, b=4, c=6
;4Ó5;= x5_3Û` 가 유한소수이므로 x는 9의 배수이고, 기
약 분수로 고치면 :Á]Á: 이므로 x는 11의 배수이다. 즉, x는 9와 11의 공배수인 99의 배수이다.
그런데 x가 50<x<100인 정수이므로 x=99이다.
따라서 ;4Ó5;=;4(5(;=:Á5Á:=:Á]Á: 이므로 y=5
∴ x+y=99+5=104
두 자연수 a, b가 서로소일 때, a와 b의 최소공배수는 ab이므로 공 배수는 ab의 배수이다.
문제의 뜻에 따라 0.HaHb+0.HbHa=0.H4이므로 순환소수를 분수로 바꾸어 정리하면
10a+b
99 + 10b+a99 =;9$;
즉, 11a+11b99 =;9$;에서 a+b9 =;9$;이므로 a+b=4 그런데 a, b는 a>b인 자연수이므로
a=3, b=1
따라서 두 무한소수는 0.H3H1과 0.H1H3이므로 두 무한소수의 차 는
0.H3H1-0.H1H3=;9#9!;-;9!9#;=;9!9*;=0.H1H8
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 0.H8_x+1.H3_x+60ù=180ù
;9*;x+:Á9ª:x+60ù=180ù, :ª9¼:x=120ù
∴ x=120ù_;2»0;=54ù
어떤 수를 x라 하면 0.H6_x=2.H6
;9^;_x=:ª9¢:
∴ x=:ª9¢:_;6(;=4 따라서 어떤 수는 4이다.
어떤 자연수를 x라 하면 1.2H4x-1.24x=8
1.2H4= 124-1290 =:Á9Á0ª:, 1.24=;1!0@0$; 이므로 :Á9Á0ª:x-;1!0@0$;x=8에서 양변에 각각 900을 곱하면 1120x-1116x=7200
4x=7200
∴ x=1800 26 Ⅰ 수와 식
x=;9%;, :Á9¼:, :Á9°:, :ª9¼:, …이고 y=;9&;, :Á9¢:, :ª9Á:, :ª9¥:, …이므로 z=:£9°:, :¦9¼:, :Á;9);°:, …이다.
따라서 z=:£9°:_c= 38-39 _c=3.H8_c이므로
안에 알맞은 순환소수는 3.H8이다.
2- 1
1+;a#;=1+;9*9!;, 1- 1
1+;a#;=;1»1;, ;1ª1;= 1 1+;a#;
:Á2Á:=1+;a#;, ;2(;=;a#;, a=;9^;=0.H6
∴ x=6
x=0.H3=;9#;=;3!;이므로 ;[!;=3 1-;[!;=1-3=-2
∴ 1- 1
1-;[!;=1- 1-2 =1+;2!;=;2#;
따라서 주어진 식의 값은 ;2#;이다.
0.21H6= 216-21900 =;9!0(0%;=;6!0#;= 13 2Û`_3_5,
;7!0!;= 11
2_5_7 이므로 두 수에 자연수 A를 각각 곱하여 모 두 유한소수가 되려면 A는 3과 7의 공배수이어야 한다.
이때 A 중에서 가장 작은 수는 3과 7의 최소공배수이므로`
21이다.
(시간)=(거리)
(속력) 이므로 총 걸리는 시간은
;4{;+ 2.55 +:ª6Ó:+xÛ`
8
=;4{;+;2!;+;3{;+ xÛ`8
=;8!;xÛ`+;1¦2;x+;2!;
따라서 A=;8!;, B=;1¦2;, C=;2!;이므로
;aC;-12B=;2!;Ö;8!;-12_;1¦2;
=4-7=-3
0.HaHb= 10a+b99 , 0.HbHa= 10b+a99 이므로 0.HaHb+0.HbHa=0.H7에서
10a+b
99 + 10b+a99 =;9&;
11a+11b 99 =;9&;
;9!9!;(a+b)=;9&;
a+b9 =;9&;
∴ a+b=7
0.Ha=;9A;, 0.Hb=;9B;, 0.H2=;9@;이므로
주어진 두 식은 a+b=12, ;9A;-;9B;=;9@;가 된다.
즉, [ a+b=12 …… ㉠ a-b=2 …… ㉡
㉠+㉡에서 2a=14, a=7
a=7을 ㉠에 대입하면 7+b=12, b=5
∴ a=7, b=5
a=0.5H9=0.6이므로 a=b
∴ aCb=0.6C0.6=1 c=0.H1H3=;9!9#;이므로 c+d
∴ cCd=;9!9#;C;9!0#;=0
∴ (aCb)C(cCd)=1C0=0
d=;9!0#;=0.1H4로 변형하여 c와 비교해도 된다.
ABCD=2a_2b=4ab
△ABP=;2!;_2b_2b=2bÛ`
PCÓ=2a-2b, QCÓ=2b-b=b이므로
△PCQ=;2!;_(2a-2b)_b=(a-b)b=ab-bÛ`
△AQD=;2!;_2a_b=ab
∴ △APQ = ABCD-△ABP-△PCQ-△AQD
=4ab-2bÛ`-(ab-bÛ`)-ab
=4ab-2bÛ`-ab+bÛ`-ab=2ab-bÛ`
따라서 △APQ의 넓이는 2ab-bÛ`이다.
단원 종합 문제 27