ⅠⅠ 부등식
ㄷ, ㅂ, ㅅ, ㅇ ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅇ ① ④ 0
⑴ 4<2x+y<11 ⑵ -9Éx-2y<-1 ⑶ 2<xy<15 ⑷ ;5@;É <3 10.7<3a-b<11.1
5<A<8 8 6 14 -2<x<4
yÉ-4 또는` y¾6 2, 3 x<-;a!; x<2 풀이 참조
-3 -;2#; x>;2!; ④ 4<aÉ5
2xy
45~48쪽
주제별 실력다지기
STEP
부등호가 1개인 부등식에 대하여 부등식의 성질이 성립함을 학습하 였다. 하지만 부등식의 성질은 부등호가 2개일 때에도 성립한다.
a<b<c이면 a<b, b<c
부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않으므로 상수 m에 대하여
a+m<b+m, b+m<c+m → a+m<b+m<c+m a-m<b-m, b-m<c-m → a-m<b-m<c-m
또한 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향 이 바뀌지 않지만, 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바 뀐다.
Ú m>0인 경우
am<bm, bm<cm → am<bm<cm am < b
m , b m < c
m → a m <b
m < c m Û m<0인 경우
am>bm, bm>cm → am>bm>cm am > b
m , b m > c
m → a m >b
m > c m [
á{
»
á{
»
부등식 m<ax+b<n의 풀이 최상위
NOTE
05
따라서 부등식의 성질이 부등호가 2개일 때에도 성립함을 이용하 면 부등식 m<ax+b<n의 해를 구할 수 있다.
각 변에서 b를 빼면 m-b<ax<n-b
각 변을 a로 나누는 경우 a의 부호에 따라 부등호의 방향이 결정 된다.
Ú a>0인 경우 m-ba <x<n-b
a Û a<0인 경우
n-ba <x<m-b a
28 ⅠⅠ 부등식
문제 풀이
⑴ 0<a<b이면 ab>0에서 ;ab;<;aõb;이므로 ;a!;>;b!;
⑵ a<b<0이면 ab>0에서 ;ab;<;aõb;이므로 ;a!;>;b!;
⑶ a<0<b이면 ;a!;<0, ;b!;>0이므로 ;a!;<;b!;
즉, 두 수의 부호가 같으면 역수를 취했을 때, 부등호의 방향이 바뀌고, ㅁ. 0>c>d이므로 ;;c;D;>1
a>b>0이므로 ;aB;<1 ∴ ;;c;D;>;aB; (참) ㅂ. ab<0이므로` b<0<a
d>0이므로` 0<d<c
따라서 ad>0, bc<0이므로 ad>bc (거짓) ㅅ. b<a=0, d<0이므로
ac=0, bd>0 ∴ ac<bd (참) ㅇ. b<a<0, d<c<0이므로
ac<bd (참) 19.35É 3a <19.65 ->³ 8.55É b < 8.65
∴ 1<;a#;<3
이때 4<b<5이므로`
1< ;a#; <3 +>³ 4< b <5 5<;a#;+b<8
∴ 5<A<8
양변에 100을 곱하여 계수를 정수로 만들면 16x-5>5x+72
11x>77
∴ x>7
따라서 부등식을 만족하는 자연수 x의 최솟값은 8이다.
부등식의 양변에 10을 곱하여 계수를 정수로 만들면 3x+5<12+2x
∴ x<7
따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는 1, 2, y, 6이므로 x의 개수는 6이다.
0.2x-1.5É0.5x+0.6 yy ㉠ x-22 -x-3
3 É1 yy ㉡
㉠_10을 하여 부등식의 계수를 정수로 만들면 2x-15É5x+6, 3x¾-21
∴ x¾-7
즉, ㉠을 만족하는 정수 x는 -7, -6, -5, y이다.
㉡_6을 하여 부등식의 계수를 정수로 만들면 3(x-2)-2(x-3)É6
3x-6-2x+6É6
∴ xÉ6
즉, ㉡을 만족하는 정수 x는 6, 5, 4, y이다.
따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 정수 x는
-7, -6, -5, y, 4, 5, 6이므로 x의 개수는 14이다.
두 부등식을 만족하는 정수 x를 각각 나열한 후 공통인 정수를 찾는 다.
|x-1|<3이면 -3<x-1<3
∴ -2<x<4
다른풀이
Ú x-1¾0, 즉` x¾1일 때
|x-1|=x-1이므로 주어진 식은` x-1<3 ∴ x<4
x¾1과 x<4의 공통 부분은` 1Éx<4 yy ㉠ Û x-1<0, 즉 x<1일 때
|x-1|=-(x-1)이므로 주어진 식은 -x+1<3 -x<2 ∴ x>-2
x<1과 x>-2의 공통 부분은 -2<x<1 yy ㉡
㉠ 또는 ㉡이 주어진 부등식을 만족하는 x의 값의 범위이 므로 구하는 범위는
-2<x<4
|y-1|¾5에서 y-1É-5 또는` y-1¾5
∴ yÉ-4 또는` y¾6
x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 또, -x+5<2x+2에서 -3x<-3
∴ x>1
따라서 이 부등식의 해는 2, 3이다.
a<0일 때, -a>0이므로
-ax<1의 양변을 -a로 나누면 x<-;a!;
a<3이면 a-3<0이므로
(a-3)x>2a-6의 양변을 (a-3)으로 나누면 x< 2(a-3)a-3 ∴ x<2
ax-3b<3a-bx에서
ax+bx<3a+3b ∴ (a+b)x<3(a+b) Ú a+b>0이면
x< 3(a+b)a+b ∴ x<3 Û a+b=0이면
0_x<0이므로 해가 없다.
Ü a+b<0이면
x> 3(a+b)a+b ∴ x>3
3x-a<0을 풀면 3x<a
∴ x<;3A; yy ㉠
㉠의 해가 x<-1이므로 ;3A;=-1
∴ a=-3
ax<3x-18에서 (a-3)x<-18 yy ㉠ 그런데 ㉠의 해가 x>4, 즉 부등호의 방향이 바뀌었으므로 a-3<0이다.
따라서 ㉠의 해는 x> -18a-3 이므로 -18a-3 =4에서
30 ⅠⅠ 부등식
-18=4a-12, 4a=-6
∴ a=-;2#;
ax+4>0, 즉 ax>-4의 해가 x<2로 부등호의 방 향이 바뀌었으므로 a<0이다.
따라서 ax>-4의 해는 x<-;a$;이므로 -;a$;=2 ∴ a=-2
따라서 부등식 -ax>1은 2x>1이므로 x>;2!;
5x-6+2xÉ3x+a에서 4xÉ6+a
∴ xÉ 6+a4
이를 만족하는 자연수인 해가 2개 이상이므로
B
2É 6+a4
∴ a¾2
따라서 a의 최솟값은 2이다.
A 주사위에 적힌 수의 범위가 aÉxÉ6이고 B 주사 위에 적힌 수의 범위가 5ÉyÉ6이므로 두 주사위를 던져 나온 두 수를 더했을 때의 값의 범위는
a+5Éx+yÉ12이다.
이를 만족하는 정수가 10, 11, 12가 되려면 다음 그림과 같 이 9<a+5É10이어야 한다.
B
∴ 4<aÉ5
:cë:É:õcë: 10<(a+1)(2b-3)<66 -1ÉxÛ`-yÉ12 5a-5b ③
4 풀이 참조 a<-15 2<xÉ4 -3, -1, 1, 3 a=-1, b=3 1Éa<;2%; x>-;1»3; x>-3 5
49~51쪽