2É 6+a4
∴ a¾2
따라서 a의 최솟값은 2이다.
A 주사위에 적힌 수의 범위가 aÉxÉ6이고 B 주사 위에 적힌 수의 범위가 5ÉyÉ6이므로 두 주사위를 던져 나온 두 수를 더했을 때의 값의 범위는
a+5Éx+yÉ12이다.
이를 만족하는 정수가 10, 11, 12가 되려면 다음 그림과 같 이 9<a+5É10이어야 한다.
B
∴ 4<aÉ5
:cë:É:õcë: 10<(a+1)(2b-3)<66 -1ÉxÛ`-yÉ12 5a-5b ③
4 풀이 참조 a<-15 2<xÉ4 -3, -1, 1, 3 a=-1, b=3 1Éa<;2%; x>-;1»3; x>-3 5
49~51쪽
실력 높이기
STEP
문제 풀이
a>b의 양변에 dÉ0인 d를 곱하면 adÉbd 이 식의 양변을 c>0인 c로 나누면
:cë:É:õcë:
a>b이고 d<0이면 ad<bd이고 a>b이고 d=0이면 ad=bd이므로 a>b이고 dÉ0이면 adÉbd이다.
1<a<5이면 2<a+1<6 yy ㉠ 4<b<7이면 8<2b<14
∴ 5<2b-3<11 yy ㉡
㉠, ㉡의 각 변을 곱하면 10<(a+1)(2b-3)<66
-2ÉxÉ3에서 xÛ`은 최솟값이 0이고 최댓값이 9이므 로 0ÉxÛ`É9이다.
0É xÛ` É9 ->³ -3É y É1 -1ÉxÛ`-yÉ12
a-bÉx<a+b에서
3a-3bÉ3x<3a+3b yy ㉠ -a-bÉyÉ-a+b에서
-2a-2bÉ2yÉ-2a+2b yy ㉡
㉠, ㉡에서
3a-3bÉ 3x < 3a+3b ->³ -2a-2bÉ 2y É-2a+2b
5a-5bÉ3x-2y< 5a+5b 따라서 3x-2y의 최솟값은 5a-5b이다.
ax+1>bx+3에서 ax-bx>2, (a-b)x>2
1. 일차부등식 31
Ú a>b이면 x> 2a-b
Û a=b이면 0_x>2이므로 해가 없다.
Ü a<b이면 x< 2a-b
④ a=0, b>0이면 Ü의 경우에 속하므로 x<-;b@;
⑤ a=0, b<0이면 Ú의 경우에 속하므로 x>-;b@;
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
변형 단계 ax+1<3x+b ax-3x<b-1 (a-3)x<b-1
풀이 단계 부등식의 해가 없으므로 a-3=0, b-1É0
∴ a=3, bÉ1
확인 단계 따라서 a+b의 최댓값은 4이다.
ax-5>bx+4에서 ax-bx>9, (a-b)x>9 Ú a>b이면 x> 9a-b
Û a=b이면 0_x>9이므로 해가 없다.
Ü a<b이면 x< 9a-b
x-;5!;(x-2a)=6을 풀면
5x-(x-2a)=30, 5x-x+2a=30, 4x=30-2a
∴ x= 30-2a4 = 15-a2 이 해가 15보다 커야 하므로
15-a2 >15, 15-a>30 -a>15 ∴ a<-15
변형 단계 x+y=5에서 y=5-x를
풀이 단계 1<2x-yÉ7에 대입하면 1<2x-(5-x)É7 1<2x-5+xÉ7 1<3x-5É7 6<3xÉ12
확인 단계 ∴ 2<xÉ4
|2x-1|<8을 풀면
-8<2x-1<8이므로 -7<2x<9
서술형
서술형
∴ -;2&;<x<;2(;
x+12 의 값의 범위를 구하면 -;2%;<x+1<;;Á2Á;;이므로
-;4%;< x+12 <;;Á4Á;;
x+12 이 정수이므로 x+1
2 =-1, 0, 1, 2
∴ x=-3, -1, 1, 3
x+1
2 이 정수이면 x+12 =n (n은 정수)에서 x+1=2n이므로 x+1은 짝수이고
x=2n-1이므로 x는 홀수이다.
|ax+1|Éb를 만족하는 x가 존재하므로` b¾0이고 -bÉax+1Éb
∴ -b-1ÉaxÉb-1 yy ㉠ Ú a>0일 때
㉠의 해는` -b-1a ÉxÉ b-1a 이고 이 범위가 -2ÉxÉ4와 같으므로
-b-1a =-2, b-1a =4 ∴ a=-1, b=-3
그런데 이 값은 a>0, b¾0에 모순이다.
Û a<0일 때
㉠의 해는` -b-1a ¾x¾ b-1a 즉, b-1a ÉxÉ -b-1a 이고 이 범위가 -2ÉxÉ4와 같으므로
b-1a =-2, -b-1a =4 ∴ a=-1, b=3
이 값은 a<0, b¾0에 적합하므로 옳다.
Ú, Û에서 a=-1, b=3
변형 단계 5x-1
2 -aÉx+3의 양변에 각각 2를 곱하면 5x-1-2aÉ2x+6, 3xÉ2a+7
풀이 단계 ∴ xÉ 2a+73
다음 그림의 수직선에서 주어진 부등식이 자연수 의 해를 3개 가지려면 2a+73 은 3 이상 4 미만이 어야 한다.
B
즉, 3É 2a+73 <4, 9É2a+7<12, 2É2a<5
확인 단계 ∴ 1Éa<;2%;
서술형
32 ⅠⅠ 부등식
(a+b)x+2a-3b>0에서 (a+b)x>-2a+3b
이 부등식의 해가 x<;3!;이므로 a+b<0이다.
∴` x< -2a+3ba+b -2a+3b
a+b =;3!;에서 3(-2a+3b)=a+b 8b=7a ∴ b=;8&;a 그런데 a+b<0이므로 a+;8&;a<0
;;Á8°;;a<0 ∴ a<0
b=;8&;a를 부등식 (a-3b)x+b-2a>0에 대입하면 {a-3_;8&;a}x+;8&;a-2a>0
-:Á8£:ax-;8(;a>0, 13ax+9a<0, 13ax<-9a a<0이므로 양변을 13a로 나누면
x>-;1»3;
변형 단계 (a+2b)x-2a-b>0에서 (a+2b)x>2a+b
풀이 단계 이 부등식의 해가 x>1이므로 a+2b>0이고 x> 2a+ba+2b 에서 2a+ba+2b =1 …… ㉠
㉠을 풀면 2a+b=a+2b ∴ a=b …… ㉡ a+2b>0이고 ㉡에서 a, b는 같은 부호이므로 a>0, b>0이다.
b=a를 (a-2b)x+2a-5b<0에 대입하면 -ax-3a<0, -ax<3a
a>0이므로 x의 계수 -a는 음수이다.
확인 단계 ∴ x>-3
4_2Å` +18<50에서 2Å`<2Ü` ∴ x<3 주어진 부등식을 만족하는 홀수 xæ는 1이다. ` 따라서 2ax+b=5a+2bx-5에 æx=1을 대입하면 2a+b=5a+2b-5
∴ 3a+b=5
서술형
문제 풀이
2<[;4{;-1]<5에서 [;4{;-1]은 정수이므로 3, 4이다.
[;4{;-1]=3, 4를 만족하는 ;4{;-1의 값의 범위는 2.5É;4{;-1<4.5이므로
3.5É;4{;<5.5 ∴ 14Éx<22
a를 소수 첫째 자리에서 반올림한 정수가 n일 때, a의 값의 범위는 n-;2!;Éa<n+;2!;이다.
a를 소수 첫째 자리에서 반올림한 정수가 3일 때,
a의 값의 범위는 3-;2!;Éa<3+;2!;이다. 즉, 2.5Éa<3.5이다.
㉠ 3x+1>x+3을 풀면 x>1
㉡ a+2x>1을 풀면 x> 1-a2
㉠의 해가 ㉡의 해에 포함되려면 다음 그림에서
㉡
㉠
B
1-a2 É1, 1-aÉ2 ∴ a¾-1 따라서 가장 작은 정수 a는 -1이다.
롯데와 NC가 시합하는 경기의 수를 x경기라 하면 x경기 후의 롯데의 전체 경기의 수는 (98+x)경기, 이긴 경기의 수는 (49+0.3x)경기
NC의 전체 경기의 수는 (98+x)경기, 이긴 경기의 수는 (41+0.7x)경기
NC가 롯데보다 높은 순위에 있기 위해서는 승률이 더 높 아야 하므로
14Éx<22 -1 21경기 11 a=9, b=-2 13
(5, 5, 15), (6, 5, 30), (7, 5, 105)
최고 실력 완성하기
STEP 52~53쪽
1. 일차부등식 33
49+0.3x
(98+x)-3 < 41+0.7x (98+x)-3 에서 49+0.3x<41+0.7x, 8<0.4x
∴ x>20
따라서 NC는 적어도 21경기를 해야 한다. 이때 그 이후의 경기의 승패에 따라 경기의 수는 더 늘어날 수 있다.
세 식을 변끼리 더하면 2(x+y+z)=16+a
∴ x+y+z=8+;2A; yy ㉠
㉠에서 주어진 세 식을 각각 빼면 연립방정식의 해는 x=;2A;-2, y=8-;2A;, z=2+;2A;
x, y, z가 모두 양수이므로
;2A;-2>0에서 a>4 8-;2A;>0에서 a<16 2+;2A;>0에서 a>-4
따라서 정수 a는 5, 6, 7, y, 13, 14, 15이므로 a의 개수는 11이다.
a-3b-5<(a+2b)x<2a+b-1의 각 변을 a+2b 로 나눌 때,
Ú a+2b>0이면
a-3b-5a+2b <x<2a+b-1 a+2b 이 범위가 2<x<3과 같으므로 a-3b-5a+2b =2, 2a+b-1a+2b =3
a-3b-5=2a+4b, 2a+b-1=3a+6b a+7b=-5
∴ ga+5b=-1
연립방정식을 풀면` a=9, b=-2
이 값은 `a+2b>0을 만족하고 정수이므로 적합하다.
Û a+2b<0이면
2a+b-1a+2b <x<a-3b-5 a+2b 이 범위가` 2<x<3과 같으므로 2a+b-1a+2b =2, a-3b-5a+2b =3
2a+b-1=2a+4b, a-3b-5=3a+6b 3b=-1
∴ g2a+9b=-5
연립방정식을 풀면 a=-1, b=-;3!;
이 값은 `a+2b<0을 만족하지만 정수가 아니므로 적합 하지 않다.
Ú, Û에서 a=9, b=-2
n<75이므로 n75 <1
75 n 은 소수 첫째 자리의 수가 1, 소수 셋째 자리의 수가
3이므로 0.103É n75 <0.194 또, n+175 =n
75 +;7Á5;이고 ;7Á5;=0.01H3이므로 0.116H3É n+175 <0.207H3 …… ㉠
그런데` n+175 은 소수 둘째 자리의 수가 8이고 ㉠에 의해 소수 첫째 자리의 수는 1이므로 0.18É n+175 <0.19
∴ 12.5Én<13.25
따라서 자연수 n의 값은 13이다.
;[!;+;]!;-;z!;=;3!;, 즉` ;[!;+;]!;=;3!;+;z!;에서
;z!;>0이므로 `;[!;+;]!;>;3!; yy ㉠ x, y는 양수이고 x¾y이면` ;[!;É;]!;이므로
;[!;+;]!;É;]@; yy ㉡
㉠, ㉡에 의해 ;3!;<;[!;+;]!;É;]@;이므로 ;3!;<;]@;에서 y<6이고, 주어진 조건에서 y¾5이므로 정수인 y의 값은 5이다.
y=5를 ㉠에 대입하면 ;[!;+;5!;>;3!;
;[!;>;1ª5; ∴ x<;;Á2°;;
또, 주어진 조건에서 x¾5이므로 정수인 x의 값은 5, 6, 7 이다.
Ú x=5, y=5이면 ;5!;+;5!;-;z!;=;3!;이므로
;z!;=;1Á5; ∴ z=15
Û x=6, y=5이면 ;6!;+;5!;-;z!;=;3!;이므로
;z!;=;3Á0; ∴ z=30
Ü x=7, y=5이면 ;7!;+;5!;-;z!;=;3!;이므로
;z!;=;10!5; ∴ z=105
Ú, Û, Ü에서 구하는 정수해의 순서쌍 (x, y, z)는 (5, 5, 15), (6, 5, 30), (7, 5, 105)이다.
34 ⅠⅠ 부등식