Point Up 문제집

Point Up

중단원별실전TEST 문제집

17`~19`

쪽 우공비 B0X

12

4, 10, x, y, 5의 평균이 6이므로

=6, 19+x+y=30

∴ x+y=11 yy㉠ ▶2`점 또 분산이 4.4이므로

=4.4 4+16+(x-6)¤ +(y-6)¤ +1=22

x¤ +y¤ -12(x+y)+71=0 위의 식에 ㉠을 대입하면

x¤ +y¤ -12_11+71=0

∴ x¤ +y¤ =61 yy㉡ ▶2`점 따라서 (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy에 ㉠, ㉡을 대입하면

11¤ =61+2xy, 2xy=60

∴ xy=30 ▶2`점

30 (4-6)¤ +(10-6)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤

5 4+10+x+y+5

평균을 이용하여 x+y의 값 구하기 분산을 이용하여 x¤ +y¤ 의 값 구하기 곱셈 공식을 이용하여 xy의 값 구하기

2점 2점 2점

채점 기준 배점

따라서 a, b, c, d의 평균은

=16=4 4

4 a+b+c+d

10

평균을 이용하여 x의 값을 구하고 표준편차를 구 한다.

평균 강수량이 10 mm이므로

=10 41+x=50 ∴ x=9 따라서 분산은

= =4

이므로 표준편차는 '4=2 (mm) 2 mm 20

5 3¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-3)¤

5 13+x+11+10+7

11

변량들이 평균에 밀집되어 있을수록 표준편차가 작다.

변량들이 평균에 밀집되어 있을수록 표준편차가 작 으므로 표준편차가 작은 학생은 민우이다.

민우의 성적의 평균은

= =6(점)

따라서 분산은

= =2.4

이므로 표준편차는 '2å.4 (점) 민우, '2å.4 점 24

(4-6)¤ _3+(6-6)¤ _4+(8-6)¤ _3 10

60 10 4_3+6_4+8_3

Ⅴ | 문제집 19~20쪽

02회

01^④ 02^③ 03^② 04^③

05^④ 06^④ 07^⑤ 08^20명

09^13개 10^B선수 11^{175 cm} 12^9점

-1.대푯값과 산포도

01

^(평균)

국어 선생님의 나이를 x세라 하면

=36

137+x=180 ∴ x=43 ④

x+28+35+30+44 5

(변량`)의 총합 (변량`)의 개수

(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

13

주어진 자료의 평균은

=:¡2§0º:=8(권) ▶3`점

따라서 분산은

;2¡0; {(2-8)¤ _4+(6-8)¤ _8+(10-8)¤ _4 +(14-8)¤ _2+(18-8)¤ _2}

=:¢2§0¢:=23.2 ^▶^3`점

23.2 2_4+6_8+10_4+14_2+18_2

평균 구하기 분산 구하기

3점 3점

채점 기준 배점

02

평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구해 본다.

㈀ (평균)`= = =8

㈁, ㈂ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면

㈁ 5, 6, 8, 9, 9, 11

㈁이므로

㈁ (중앙값)= =8.5, (최빈값)=9

이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다. ③

8+9 2

48 6 9+9+8+5+6+11

6 표준편차를 구할 때는

① 평균

② 편차

③ 분산

④ 표준편차 의 순서로 구한다.

표준편차는 변량과 같 은 단위를 붙인다.

03

평균을 이용하여 먼저 x의 값을 구한다.

컴퓨터 이용 시간의 평균이 55분이므로

=55 313+x=385 ∴ x=72

자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 40, 46, 50, 51, 56, 70, 72

이므로 중앙값은 y=51

∴ x-y=72-51=21 ②

51+56+40+x+46+70+50 7

04

표준편차가 클수록 자료의 분포가 고르지 않다.

표준편차가 클수록 자료의 값이 고르지 않으므로 수면 시간이 가장 불규칙한 학생은 C이다. ③

05

평균과 분산을 각각 식으로 나타낸다.

a, b, c의 평균이 6이므로

∴ a+b+c=18 yy㉠

또 a, b, c의 분산이 25이므로

=25 yy㉡

2a, 2b, 2c의 평균은

= =12 (∵ ㉠)

이므로 2a, 2b, 2c의 분산은

=4_

=4_25=100 (∵ ㉡)

④ (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤

4(a-6)¤ +4(b-6)¤ +4(c-6)¤

(2a-12)¤ +(2b-12)¤ +(2c-12)¤

3 2_18

3 2(a+b+c)

3 2a+2b+2c

(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤

3 a+b+c

위의 식에 ㉠을 대입하면 a¤ +b¤ -18_17+149=0

∴ a¤ +b¤ =157 ④

08

^{(전체 평균)}

여학생 수를 x명이라 하면 전체 학생의 영어 점수 의 총합은

70_30+75_x=2100+75x(점) 전체 학생 수는

(30+x)명

이때 전체 학생의 영어 성적의 평균이 72점이므로

=72, 2100+75x=2160+72x

3x=60 ∴ x=20 20명

2100+75x 30+x

(남학생의 총점`)+(여학생의 총점`) (남학생 수`)+(여학생 수)

07

계급값을 이용하여 먼저 평균을 구한다.

평균은

= =30(분)

따라서 분산은

;2¡0;{(10-30)¤ _3+(20-30)¤ _6

+(30-30)¤ _3+(40-30)¤ _4 +(50-30)¤ _4}

= =190

이므로 표준편차는 '∂190 (분) ⑤

3800 20 600

10_3+20_6+30_3+40_4+50_4 20

보충학습

① 표준편차가 작다.

① 자료의 분포 상태가 고르다.

② 표준편차가 크다.

① 자료의 분포 상태가 고르지 않다.

③ 표준편차가 0이다.

① 모든 자료의 값이 같다.

09

편차의 총합이 0임을 이용하여 먼저 x의 값을 구 한다.

편차의 총합은 0이므로

-4+6+(-2)+(-5)+(-1)+x=0

∴ x=6

따라서 6회의 턱걸이 개수는 7+6=13(개) 13개

06

평균과 분산을 각각 구해 본다.

7, 9, 12, a, b의 평균이 9이므로

=9, 28+a+b=45

∴ a+b=17 yy㉠

또 분산이 5.2이므로

=5.2 4+9+(a-9)¤ +(b-9)¤ =26

a¤ +b¤ -18(a+b)+149=0

(7-9)¤ +(9-9)¤ +(12-9)¤ +(a-9)¤ +(b-9)¤

5 7+9+12+a+b

도수분포표에서의 평균 {(계급값)_도수}의 총합

(도수)의 총합

(편차)

=(변량)-(평균) (변량)

=(평균)+(편차)

평균이 7개이고 6회의 턱걸이 개수의 편차는 6 개이다.

10

분산이 작을수록 자료의 분포 상태가 고르다.

A선수의 평균은

=;;™4º;;=5(점)

A선수의 편차는 각각 -1, 0, 3, -2이므로 분산은

=;;¡4¢;;=3.5 B선수의 평균은

=;;™4º;;=5(점) 4+6+6+4

(-1)¤ +0¤ +3¤ +(-2)¤

4 4+5+8+3

문제집

19`~21`

쪽

Point Up

중단원별실전TEST 우공비 B0X

B선수의 편차는 각각 -1, 1, 1, -1이므로 분산은

=;4$;=1

따라서 B선수의 분산이 A선수의 분산보다 작으므로 B 선수의 기록이 A선수보다 고르다.

B선수 (-1)¤ +1¤ +1¤ +(-1)¤

11

나머지 4명의 키를 x¡ cm, x™ cm, x£ cm, x¢ cm 라 하면

=150

∴ x¡+x™+x£+x¢=675 ▶2`점 키가 잘못 기록된 학생의 실제 키를 x∞ cm라 하면

=170 ▶2`점

=170, 675+x∞=850

∴ x∞=175 ▶2`점

175 cm 675+x∞

x¡+x™+x£+x¢+x∞

x¡+x™+x£+x¢+75 5

제대로 기록되어 있는 4명의 키의 총합 구하기 실제 평균 구하는 식 구하기

잘못 기록되어 있는 학생의 실제 키 구하기

2점 2점 2점

채점 기준 배점

12

편차의 총합은 0이므로 3+(-1)+x+0+y=0

∴ x+y=-2 yy㉠ ▶2`점

또 분산이 8.8이므로

=8.8

∴ x¤ +y¤ =34 yy㉡ ▶2`점

㉠에서 y=-x-2를 ㉡에 대입하면

x¤ +(-x-2)¤ =34, x¤ +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0 ∴ x=-5 또는 x=3 즉 x=-5, y=3 또는 x=3, y=-5

이때 영어 점수가 과학 점수보다 높으므로 x>y

∴ x=3, y=-5 ▶2`점

따라서 영어 점수는 6+3=9(점) ▶2`점 9점 3¤ +(-1)¤ +x¤ +0¤ +y¤

x+y의 값 구하기 x¤ +y¤의 값 구하기 x, y의 값 구하기 영어 점수 구하기

2점 2점 2점 2점

채점 기준 배점

Ⅵ | 문제집 21~22쪽

03회

01^② 02^④ 03^③ 04^③

05^② 06^⑤ 07^⑤ 08^④

09^③ 10¹⁰ 11⁸ 122'1å5 cm¤

13³⁰ 14^{12 cm¤}

-1.피타고라스 정리

01

△ABD, △ADC는 모두 직각삼각형이다.

△ABD에서

BD”="√5¤ -3¤ =4 (cm)

∴ CD”=BC”-BD”=6-4=2 (cm)

△ADC에서

AC”="√3¤ +2¤ ='1å3 (cm) ②

02

직각삼각형의 빗변의 중점 외심

△ABC에서

BC”=øπ8¤ +(4'5)¤ =12 점 M은 △ABC의 외심이므로

AM”=BM”=CM”=;2!; BC” =;2!;_12=6 이때 점 G는 △ABC의 무게중심이므로

GM”=;3!; AM”=;3!;_6=2 ④ 점 G가 △ABC의 무

게중심이므로 AM”은 중선이고 점 M은 BC”

의 중점이다. 직각삼 각형의 빗변의 중점은 외심이다.

△EBA와 △EBC는 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로 넓이가 같다.

03

피타고라스 정리를 이용하여 PB”, PC”, PD”, PE”, PF”의 길이를 차례로 구한다.

△PBA에서 PB”="√1¤ +1¤ ='2

△PCB에서 PC”=øπ('2)¤ +1¤ ='3

△PDC에서 PD”=øπ('3)¤ +1¤ =2

△PED에서 PE”="√2¤ +1¤ ='5

△PFE에서 PF”=øπ('5)¤ +1¤ ='6 ③

04

보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.

점 D에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하면

DH”=AB”=6 cm, BH”=AD”=4 cm

△DHC에서 HC”="√10¤ -6¤ =8(cm)

∴ ``ABCD=;2!;_(4+12)_6=48(cm¤ )

③

6`cm 10`cm

A4`cm D

B H C

05

두 삼각형의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으면 두 삼각형의 넓이는 같다.

EB”∥DC”이므로

△EBA=△EBC yy㉠

삼각형의 무게중심은 중선 의 길이를 꼭짓점으로부터 2:1로 나눈다.

△EBC와 △ABF에서

EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF 이므로

△EBC™△ABF (SAS 합동) yy`㉡

BF”∥AK”이므로

△ABF=△BFJ yy`㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

△EBA=△EBC=△ABF=△BFJ=△JFK

따라서 넓이가 다른 하나는 ②이다. ②

06

피타고라스 정리를 이용한다.

① △ASD에서 AS”="√2¤ -1¤ ='3

② PQ”=PB”-BQ”='3 -1

③ △ABP=;2!;_AP”_BP”=;2!;_1_'3=

④ PQRS=('3-1)¤ =4-2'3

⑤ ABCD=4+5 PQRS ⑤

'3 2

PQRS는 한 변의 길이가'3-1인 정사 각형이다.

08

AB”¤ =BD”_BC”

AB”¤ =BD”_BC”=6_8=48

∴ AB”=4'3 (cm) (∵ AB”>0) ④

09

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 7¤ +6¤ =AD”¤ +8¤ , AD”¤ =21

∴ AD”='∂21 (∵ AD”>0)

△AOD에서 OA”=øπ('∂21 )¤ -3¤ =2'3 ③

(x+3)¤ =(x-5)¤ +(x+2)¤ 이므로 x¤ +6x+9=x¤ -10x+25+x¤ +4x+4 x¤ -12x+20=0, (x-2)(x-10)=0

x>5이므로 x=10 10

10

가장 긴 변의 길이를 찾은 후 피타고라스 정리를 이용한다.

12

△ACB에서

AC”="√1¤ +1¤ ='2 (cm) ^▶^1점

△ADC에서

AD”=øπ('2)¤ +2¤ ='6 (cm) ^▶^1점

△AED에서

AE”=øπ('6)¤ +3¤ ='1å5 (cm) ^▶^1점

∴ △AFE=;2!;_'1å5_4=2'1å5 (cm¤ ) ^▶^1점 2'1å5 cm¤

AC”의 길이 구하기 AD”의 길이 구하기 AE”의 길이 구하기

△AFE의 넓이 구하기

1점 1점 1점 1점

채점 기준 배점

11

AB”_AC”=BC”_AH”

AB”_AC”=BC”_AH”이므로

xy=8z ∴ xy=8 8

서술형 답안 작성Tip BF”=x라 하고 풀어도 된다.

보충학습

❶구하고자 하는 길이를 x로 놓는다.

❷x가 포함된 직각삼각형을 찾는다.

❸직각삼각형의 세 변의 길이를 조건을 이용하여 x로 나 타낸다.

❹피타고라스 정리를 이용하여 x의 값을 구한다.

사각형, 삼각형 모양의 종이 접기

07

^{예각삼각형} (가장 긴 변의 길이의 제곱)<(나머 지 두 변의 길이의 제곱의 합)

삼각형이 되려면 2<x<32

x<15이므로 2<x<15 yy`㉠

또 예각삼각형이 되려면 17¤ <x¤ +15¤ , x¤ >64

∴ x>8 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡에서 8<x<15 ⑤

보충학습

직각삼각형의 닮음을 이용한 성질

△ABCª△DBAª△DAC

① AB”¤ =BD”_BC”

② AC”¤ =CD”_CB”

③ AD”¤ =BD”_CD”

④ AB”_AC”=BC”_AD”

B C

13

CF”=x라 하면 DF”=BF”=18-x

△CDF에서 CF”¤ +CD”¤ =DF”¤ 이므로

x¤ +6¤ =(18-x)¤ , x¤ +36=324-36x+x¤

36x=288 ∴ x=8

∴ CF”=8, DF”=BF”=10 ▶4`점

△DEF에서 DE”=DF”=10이므로

△DEF=;2!;_10_6=30 ^▶^1`점 30

CF”, DF”의 길이 구하기

△DEF의 넓이 구하기

4점 1점

채점 기준 배점

∠BFE=∠DFE, (접은 각)

∠DEF=∠BFE (엇각) 이므로

∠DFE=∠DEF 따라서 △DEF는 DE”=DF”인 이등변삼 각형이다.

문제집

21~24`

쪽

Point Up

중단원별실전TEST 우공비 B0X

14

△ABC에서

AC”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

∴ △ABC=;2!;_3_4=6 (cm¤ ) ^▶^2`점 오른쪽 그림에서

S¡+S™=△ABC ▶2`점 따라서 구하는 부분의 넓이는

2_6=12 (cm¤ ) ▶1`점

12 cm¤

C B 5`cm

S¡ S™

4`cm

△ABC의 넓이 구하기

△ABC와 넓이가 같은 부분 이해하기 어두운 부분의 넓이 구하기

2점 2점 1점

채점 기준 배점

히포크라테스의 원의 넓이 왼쪽 그림과 같이 직각삼 각형 ABC의 세 변을 지 름으로 하는 반원에서

S¡+S™=△ABC

Ⅵ | 문제집 23~24쪽

04회

01^⑤ 02^① 03^① 04^②

05^① 06^② 07^④ 08^④

09^③ 10²¹ 11;2(; cm 12^{6 m} 13∠A=90°인 직각삼각형 1416 : 9 : 25

-1.피타고라스 정리

01

△ADC, △ABC가 직각삼각형 피타고라스 정리를 이용한다.

△ADC에서 AC”="√17¤ -8¤ =15

△ABC에서

AB”="√20¤ +15¤ =25

⑤

02

△ABC, △BDC가 직각삼각형 피타고라스 정리를 이용한다.

△ABC에서

BC”="1√“““““3¤ -5¤ =12 (cm)

△BDC에서 BD”=CD”=x cm라 하면 x¤ +x¤ =12¤ , 2x¤ =144, x¤ =72

∴ x=6'2 (∵ x>0) ①

△EBA=;2!; ADEB이고 EB”∥DC”이므로

△EBA=△EBC 또 △EBC™△ABF이고, BF”∥AM”에서

△ABF=△BFL이므로

△BFL=;2!; ADEB=;2!;_64=32 (cm¤ ) ①

03

밑변의 길이와 높이가 각각 같은 삼각형, 합동인 삼각형은 넓이가 각각 같다.

△ABC에서

AB”="1√0¤ -6¤ =8 (cm)

∴ ADEB=AB”¤ =8¤ =64 (cm¤ )

04

EFGH는 정사각형이다.

AB”=7 cm이므로 BE”=7-5=2 (cm) BF”=5 cm이므로 △EBF에서

EF”="√2¤ +5¤ ='∂29 (cm)

∴ `EFGH=EF”¤ =('2å9)¤ =29 (cm¤ )

△AEH™△BFE ②

™△CGF

™△DHG 이므로 EFGH는 정사각형이다.

EB”=AB”, BC”=BF”,

∠EBC=∠ABF 이므로

△EBC™△ABF (SAS 합동)

05

피타고라스 정리의 역을 이용한다.

AB”¤ =BC”¤ +AC”¤ 이어야 하므로 (x+3)¤ =x¤ +9¤

x¤ +6x+9=x¤ +81, 6x=72

∴ x=12 ①

06

AB”¤ >BC”¤ +AC”¤ 이면 ∠C>90°

삼각형이 되려면

2<x<12 yy㉠

∠C가 둔각이 되려면 x¤ +5¤ <7¤ , x¤ <24

∴ 0<x<2'6 (∵ x>0) yy㉡

㉠, ㉡에서 2<x<2'6

따라서 자연수 x는 3, 4의 2개이다. ② 보충학습

△ABC에서 BC”=a, AC”=b, AB”=c라 하면`(단, c는 가장 긴 변의 길이)

① c¤ <a¤ +b¤ ∠C<90°인 예각삼각형

② c¤ =a¤ +b¤ ∠C=90°인 직각삼각형

③ c¤ >a¤ +b¤ ∠C>90°인 둔각삼각형 삼각형의 변의 길이에 따른 각의 크기

07

BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤

BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤ 이므로 8¤ +6¤ =4¤ +BC”¤ , BC”¤ =84

∴ BC”='8å4=2'2å1 (cm) (∵ BC”>0) ④ A

B C

F M G

E D

I H L

09

AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤

AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로 4¤ +CP”¤ =3¤ +6¤ , CP”¤ =29

∴ CP”='∂29 (∵ CP”>0) ③

10

△ABH, △AHC가 직각삼각형 피타고라스 정리를 이용한다.

△ABH에서 AH”="√20¤ -16¤ =12

∴ x=12

△AHC에서

CH”="√15¤ -12¤``=9

∴ y=9

∴ x+y=12+9=21 21

11

종이를 접으면 닮은 도형이 생긴다.

∠FHC+∠HFC =90° yy㉠

∠BHC=180°이므로

∠BHG+∠FHC

=90° yy㉡

㉠, ㉡에서

∠HFC=∠BHG 또 ∠B=∠C=90°이므로

△HGBª△FHC (AA 닮음)

△FHC에서 HF”=DF”=9-4=5(cm)이므로 CH”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

따라서 BH”：CF”=BG”：CH”이므로

6：4=BG”：3 ∴ BG”=;2(; (cm) ;2(; cm A

B H C

D E

G F

4`cm 9`cm

12

오른쪽 그림과 같이 AB”=x m로 놓으면

AC”=(16-x) m

△ABC에서

(16-x)¤ =x¤ +8¤ ▶3점

B C

8`m

x`m {16-x}m

256-32x+x¤ =x¤ +64, 32x=192

∴ x=6

따라서 지면으로부터 부러진 부분까지의 높이는 6 m이

다. ▶2점

6 m

(전봇대의 높이)

=AB”+AC”

즉 16=AB”+AC”이므 로 AB”=x m라 하면

AC”=(16-x) m 피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기

높이 구하기

3점 2점

채점 기준 배점

13

(a-c)x¤ +2bx+a+c=0이 중근을 가지므로

b¤ -(a-c)(a+c)=0 ▶3`점

b¤ -a¤ +c¤ =0 ∴ b¤ +c¤ =a¤ ▶1`점 따라서 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이다. ▶1`점

∠A=90°인 직각삼각형

이차방정식이 중근을 가질 조건 구하기 a, b, c 사이의 관계식 구하기

△ABC의 모양 말하기

3점 1점 1점

채점 기준 배점

서술형 답안 작성Tip

위의 풀이 과정은 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 x의 계수가 짝수인 경우를 이용한 것이다. (2b)¤ -4(a-c)(a+c)=0임을 이 용해도 된다.

S£=S¡+S™

=2p+;8(;p

=;;™8∞;;p

14

△ABC에서

AC”="√5¤ -4¤ =3 ^▶^1점 이므로

S¡=;2!;_p_2¤ =2p S™=;2!;_p_{;2#;}¤ =;8(;p

S£=;2!;_p_{;2%;}¤ =;;™8∞;;p ^▶^3점

∴ S¡：S™：S£=2p：;8(;p：;;™8∞;;p

∴ S¡：S™：S£=16：9：25 ▶1점 16：9：25

AC”의 길이 구하기 S¡, S™, S£의 값 구하기 S¡：S™：S£ 구하기

1점 3점 1점

채점 기준 배점

Ⅵ | 문제집 25~26쪽

05회

01^② 02^③ 03^② 04^②

05^① 06^② 07^④ 08^⑤

09^④ 10^① 1150('3 -1)

128'6 cm¤¤ 134'3 142'7 cm -2.피타고라스 정리의 활용

08

AB”¤ +CD”¤ =BC”¤ +AD”¤

AB”¤ +CD”¤ =BC”¤ +AD”¤ 이므로 x¤ +6¤ =y¤ +8¤

∴ x¤ -y¤ =8¤ -6¤ =28 ④

두 대각선이 직교하는 사각 형에서 마주 보는 두 변의 길이의 제곱의 합은 같다.

이차방정식

ax¤ +2b'x+c=0이 중근 을 가질 조건

b'¤ -ac=0

문제집

24`~26`

쪽

Point Up

중단원별실전TEST 우공비 B0X

02

AB”_AD”=BD”_AE”

△ABD에서 BD”="3√¤ +4¤ =5 (cm) AB” _AD”=BD” _AE”이므로

3_4=5_AE” ∴ AE”=;;¡5™;; (cm)

△ABE에서 BE”=æ≠3¤ -≠{;;¡5™;;–}¤ =;5(; (cm)

△ABE™△CDF이므로 DF”=BE”=;5(; (cm)

∴ EF”=BD”-2BE”=5-2_;5(;=;5&; (cm) ③

∠AEB=∠CFD=90°, AB”=CD”,

∠ABE=∠CDF (엇각) 이므로

△ABE™△CDF (RHA 합동)

03

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이 a¤

색칠한 부분은 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 넓이는

_2¤ ='3

② '34

2 2

2 '3

04

특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한 다.

△ACD에서 4：AC”=2：'3

∴ AC”=2'3(cm)

△ABC에서 AB”：2'3=1：'2

∴ AB”='6 (cm) ②

AD”：AC”=2：'3

AB”：AC”=1：'2

05

직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비 1 : 1 : '2

△APB에서 AP”=BP”이고 ∠APB=90°이므로

△APB는 직각이등변삼각형이다.

이때 AB”="√{1-(-2)}¤ +(ç1-4)¤ =3'2이고 AP” : BP” : AB” =1 : 1 : '2

이므로 AP”=BP”=x라 하면 x : 3'2=1 : '2 ∴ x=3 따라서 △APB의 둘레의 길이는

3+3+3'2=6+3'2 ①

06

세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형 각 변의 길이를 구하여 비교한다.

AB”="(√2-0√)¤ +√(2√-1)¤ ='5 BC”="(√-1√-2)¤ +(8-2)¤ ='4å5=3'5 CA”="(√-1√-0)¤ +(8-1)¤ ='5å0=5'2

따라서 CA”¤ =AB”¤ +BC”¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90°

인 직각삼각형이다. ②

10

^{최단 거리} 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.

07

세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선의 길이 "√a¤ +b¤ +c¤

"√x¤ +√3¤ +≈2¤ =7이므로 x¤ +13=49

x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0) ④

08

^{원뿔의 전개도} 부채꼴의 호의 길이와 밑면인 원의 둘레의 길이는 같다.

원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라 하면

2p_3_ =2pr

∴ r=1

∴ h="3√¤ -1¤ =2'2

⑤ 120

360

3`cm

r`cm h`cm

보충학습

원뿔의 전개도

l¤ =h¤ +r¤ 2pl_ x =2pr 360

r xæ 2πr 같다 l

r h

09

한 모서리의 길이가 a인 정사면체 (높이)= a, (부피)= a‹

① DM”은 정삼각형 BCD의 높이이므로 DM”= BD”

② 점 H는 △BCD의 무게중심이므로

④ DH” : HM”=2 : 1

③ DH”=;3@; DM”=;3@; _ _6=2'3 (cm)

④ AH”= _6=2'6 (cm)

⑤ (부피)='2_6‹ =18'2 (cm‹ ) ④ 12

'6 3

'3 2 '3

'212 '63

입체도형에서의 최단 거리 구하기

❶선이 지나는 부분의 전 개도를 그린다.

❷선이 지나는 시작점과 끝점을 찾아 선분으로 잇는다.

❸두 점을 잇는 선분의 길이를 구한다.

01

가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형의 대 각선의 길이 "a√¤ +b¤

(a+5)¤ +(a+1)¤ =(4'∂13)¤`이므로 2a¤ +12a+26=208, a¤ +6a-91=0

(a+13)(a-7)=0 ∴ a=7 (∵ a>-1) ②

문서에서 Check Up (페이지 84-118)