원의 접선 - Check Up

유제❶ 오른쪽 그림과 같이 OA”를 그으면 △OAQ는

∠OQA=90°인 직각삼각형이 므로

AQ”="√3¤ -1¤ =2'2

∴ AB”=2AQ”=2_2'2

∴ AB”=4'2 4'2

2 3 1

P O

A Q B

OM”=ON”이므로 CD”=AB”=24 cm

∴ ND”=;2!; CD”=12 (cm) ^▶^40%

△OND에서

OD”= =12_ =8'3 (cm) ^▶^40%

따라서 원 O의 둘레의 길이는

2p_8'3=16'3 p (cm) ^▶^20%

16'3 p cm 2

'3 ND”

cos 30°

유제❷ ⑴ PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형 이다.

⑵ ∴ ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-40°)=70°

⑵ ∴ x=70

⑵ PB”=PA”=x cm, OP”=6+4=10 (cm)이고

⑵∠OBP=90°이므로 △OPB에서

⑵ x¤ +6¤ =10¤ , x¤ =64

⑵ ∴ x=8 (∵ x>0) ⑴ 70 ⑵ 8

15

13

^{현의 수직이등분선} 원의 중심을 지난다.

이등변삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 M 이라 하면

BM”=CM”=;2!; BC”=8(cm) 따라서 AM”은 BC”의 수직이등분

선이므로 AM”의 연장선은 원의 중심 O를 지난다.

직각삼각형 OMB에서 OM”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

따라서 AM”=OA”-OM”=10-6=4 (cm)이므로

△ABC=;2!;_16_4=32 (cm¤ )

② A

B M C

10`cm 8`cm

우공비 B0X 기본서

131~138

쪽

Step Up

Ⅷ.원의성질

유제❸ BE”=BD””=9-5=4 (cm) AF”=AD”=5 cm이므로

CE”=CF”=8-5=3 (cm)

∴ BC”=BE”+CE”=4+3=7 (cm)

③

유제❹ 오른쪽 그림과 같이 원 O와 △ABC의 세 변의 접점을 각각 D, E, F라 하고 원 O의 반 지름의 길이를 r라 하면

`DBEO는 한 변의 길이가 r인 정사각형이다.

∠B=90°이므로 BC”="√17¤ -8¤ =15 BD”=BE”=r이므로

AF”=AD”=8-r, CF”=CE”=15-r 따라서 AC”=AF”+CF”이므로

(8-r)+(15-r)=17, 2r=6

∴ r=3 3

△ABC=;2!;_15_8=60

또 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA

=;2!;_8_r+;2!;_15_r+;2!;_17_r

=20r 이므로

20r=60 ∴ r=3 A

B C

D O

E F 8-r 8-r

r r

15-r

r 15-r

AB”⊥OD” OD”=r BC”⊥OE” OE”=r AC”⊥OF” OF”=r 원 밖의 한 점에서 그 원 에 그은 두 접선의 길이는 같다.

68

^{삼각형의 내접원} 기본서 134~135`쪽

익히기

2

⑴ BD”=BE”=9 cm이므로

⑴ AF”=AD”=17-9=8 (cm)

⑴CF”=CE”=10 cm이므로

⑴ AC”=AF”+CF”=8+10=18 (cm)

⑴ ∴ x=18

⑵ BE”=BD”=5 cm이므로

⑵ CF”=CE”=8-5=3 (cm)

⑴ ∴ AD”=AF”=9-3=6 (cm)

⑵ ∴ x=6

⑶ AF”=AD”=5 cm이므로

⑵ CE”=CF”=10-5=5 (cm)

⑵AD”=5 cm이므로

⑵ BE”=BD”=11-5=6 (cm)

⑵ ∴ BC”=BE”+CE”=6+5=11 (cm)

⑵ ∴ x=11

⑴ 18 ⑵ 6 ⑶ 11

사각형 ABCD가 원에 외접하면 대변의 길이의 합은 같다.

AB”+DC”=AD”+BC” 유제❺-1사각형 ABCD가 원 O에 외접하므로 AB”+DC”=AD”+BC”=;2!;_46=23 (cm) 즉 AD”+12=23 (cm)이므로

AD”=11 (cm) 11 cm

69

원에 외접하는 사각형 기본서 136~137`쪽

익히기

3

^{⑴ 5+x=4+10} ^{∴ x=9}

⑵ 6+10=x+(4+9) ∴ x=3

⑶ (3+x)+(2+4)=5+9 ∴ x=5

⑴ 9 ⑵ 3 ⑶ 5

유제❺-2AH”=AE”=EB”=BF”=OF”=2이고 AB”+DC”=AD”+BC”이므로

4+5=3+(2+CF”)

∴ CF”=4 4

유제❻ AL”=BL”=;2!;AB”=5 (cm)이므로 AP”=AL”=5 cm, BM”=BL”=5 cm

∴ CM”=PD”=14-5=9 (cm) ME”=x cm라 하면

DE”=DN”+NE”=PD”+ME”=9+x(cm) CE”=CM”-ME”=9-x(cm)

CD”=AB”=10 cm 이므로 직각삼각형 DEC에서

(9+x)¤ =10¤ +(9-x)¤

x¤ +18x+81=100+x¤ -18x+81 36x=100 ∴ x=:™9∞:

:™9∞: cm AB”=AE”+BE”

=2+2=4

01^{32 p} 02 ^④ 03 ^{12 cm} 04^② 05^③ 06^{24 cm} 07 ^③ 08 ¹⁸ 09^③ 10⁶ 115'3 cm 12¹⁵ 13¹³ 14^③

기본서 138~139쪽

소단원성취도진단

01

^{원의 접선} 접점을 지나는 반지름과 수직이다.

직선 PA는 원 O의 접선이므로

∠OAP=90°

직각삼각형 OAP에서 OA”="√9¤ -7¤ =4'2 따라서 원 O의 넓이는

p_(4'2)¤ =32p 32p

03

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

AF”=AD”=4 cm이므로 CE”=CF”=8-4=4 (cm)

따라서 BD”=BE”=12-4=8 (cm)이므로

AB”=4+8=12(cm) 12 cm

07

AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”

BE”=BD”=9 cm, CE”=CF”=11 cm AD”=x cm라 하면

AF”=AD”=x cm

△ABC의 둘레의 길이가 48 cm이므로 2(x+9+11)=48

∴ x=4 ③

△PAO는 ∠PAO=90°인 직각삼각형이므로 PA”="√13¤ -5¤ =12 (cm) ^▶^40%

CA”=CE”, DB”=DE”이므로 (△PDC의 둘레의 길이)

=PC”+CD”+PD”

=PC”+(CE”+DE”)+PD”

=(PC”+CA”)+(DB”+PD”)

=PA”+PB”=2PA”

=2_12

=24 (cm) ▶60%

24 cm

09

원 O가 △ABC의 내접원 길이가 같은 선분을 찾는다.

오른쪽 그림과 같 이 원 O와 △ABC의 세 변의 접점을 D, E, F라 하고 CE”=x cm 라 하면

AB”=(10-x)+2=12-x (cm) BC”=2+x (cm)

2`cm C O

B A

D E

F10`cm

x`cm {10-x}cm

08

AF”=AD”=x, BD”=BE”=y, CE”=CF”=z이므로 AB”=AD”+BD”=x+y yy㉠ ▶20%

BC”=BE”+CE”=y+z yy㉡ ▶20%

CA”=CF”+AF”=z+x yy㉢ ▶20%

㉠+㉡+㉢을 하면

AB”+BC”+CA”=2(x+y+z)

∴ x+y+z=;2!;(AB”+BC”+CA”)

∴ x+y+z=;2!;_(10+12+14)

∴ x+y+z=18 ▶40%

04

원에 외접하는 사각형 대변의 길이의 합이 같다.

BE”=BF”=5 cm이므로 AB”=1+5=6 (cm)

AB”+DC”=AD”+BC”이므로 ABCD의 둘레의 길이는 2(AB”+DC”)=2_(6+10)=32 (cm) ②

05

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

AB”와 반원 O의 접점을 E라 하면 AE”=AD”=8 cm,

BE”=BC”=12 cm

점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 직각삼각형 ABH에서

AB”=8+12=20(cm), BH”=12-8=4(cm) 이므로

AH”="√20¤ -4¤ =8'6 (cm)

∴ CD”=AH”=8'6 cm ^③

E O

A D

B C

12`cm 8`cm

AB”를 x, y로 나타내기 BC”를 y, z로 나타내기 CA”를 z, x로 나타내기 x+y+z의 값 구하기

20%

40%

채점 기준 배점

02

PA”, PB”가 원 O의 접선 OA”⊥PA”, OB”⊥PB”

오른쪽 그림에서

∠PAO=∠PBO=90°, PO”는 공통,

OA”=OB” (반지름) 이므로

△OAP≡△OBP (RHS 합동)

∴ PB”=PA”=12 cm 또 △OAP에서

90°+∠APO+∠POA=180°

∴ ∠APO+∠POA=90°

그런데 주어진 조건만으로 OA”의 길이는 알 수 없으므

로 옳지 않은 것은 ④이다. ④

B O 12`cm

12`cm

CH”=AD”=8 cm

06

PA”의 길이 구하기

△PDC의 둘레의 길이 구하기

40%

60%

채점 기준 배점

CE”=CA”, DE”=DB”

DBEO는 한 변의 길이가 2 cm인 정사각 형이다.

우공비 B0X 기본서

138~139

쪽

Step Up

Ⅷ.원의성질

10

^{등변사다리꼴}

평행하지 않은 두 대변의 길이가 같다.

AB”+DC”=AD”+BC”이므로 AB”+DC”=5+7=12

∴ AB”=;2!;_12=6

11

PA”, PB”가 원 O의 접선 OA”⊥PA”, OB”⊥PB”

△OAP™△OBP (RHS 합동)

△OAP와 △OBP에서

∠OAP=∠OBP=90°, OP”는 공통,

OA”=OB” (반지름) 이므로

△OAP™△OBP(RHS 합동)

∴ ∠OPA=∠OPB=;2!;∠P=30°

따라서 직각삼각형 OAP에서 OA”=PA” tan 30°=15 tan 30°

OA”=15_ '3 =5'3 (cm) 5'3 cm 3

P A

B 30æ 30æ 15`cm 직각삼각형 ABC에서

(12-x)¤ +(x+2)¤ =10¤

2x¤ -20x+48=0 x¤ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0

∴ x=4 또는 x=6 yy㉠

그런데 BC”>AB”이므로

x+2>12-x ∴ x>5 yy㉡

㉠, ㉡에서 x=6

∴ BC”=2+6=8 (cm)

③

보충학습

직각삼각형의 합동 조건

① 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때 RHA 합동

② 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때 RHS 합동

12

BF”, BH”의 길이 구하기

△ABC의 둘레의 길이를 이용한 식 세우기 AC”의 길이 구하기

40%

30%

채점 기준 배점

BC”=BE”+CE”

tan 30°=OA”

PA””

DF”=DG”=x, EH”=GE”=6-x

DG”=x라 하면 GE”=6-x BF”=BH”에서 8+x=6+(6-x)

2x=4 ∴ x=2

∴ BF”=BH”=10 ▶40%

△ABC의 둘레의 길이가 50이므로 AF”+10+10+CH”+CI”+AI”=50

AF”+CH”+CI”+AI”=30 ▶30%

이때 AF”=AI”, CH”=CI”이므로 2(AI”+CI” )=30, AI”+CI”=15

∴ AC”=15 ▶30%

13

DI”=x로 놓고 원에 외접하는 사각형의 성질을 이 용한다.

DI”=x라 하면 ABID가 원 O에 외접하므로 AB”+DI”=AD”+BI”

즉 12+x=15+BI”이므로 BI”=x-3 따라서 IC”=15-(x-3)=18-x이므로 직각삼각형 DIC에서

x¤ =(18-x)¤ +12¤

x¤ =324-36x+x¤ +144

36x=468 ∴ x=13 13

BG”=BF”=6, AE”=AF”=6이므로 DH”=DE”=15-6=9

GI”=HI”=x라 하면 DI”=9+x, IC”=9-x 직각삼각형 DIC에서

(9+x)¤ =(9-x)¤ +12¤

36x=144 ∴ x=4

∴ DI”=9+4=13

원 O의 지름의 길이와 같은 AB”의 길이가 16 cm이므로 원 O의 반지름의 길이는 8 cm 이다.

14

OO'”을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그려 피타고라 스 정리를 이용한다.

원 O'의 반지름의 길이를 xcm라 하자. 오 른쪽 그림과 같이 점 O' 에서 OP”에 내린 수선의 발을 H라 하면

OO'”=8+x (cm), OH”=8-x (cm),

O'H”=18-(8+x)=10-x (cm)

△OHO'은 직각삼각형이므로 (8-x)¤ +(10-x)¤ =(8+x)¤

x¤ -52x+100=0 (x-2)(x-50)=0

8-x>0에서 x<8이므로 x=2 ③ A

B H C

P Q

18`cm D

16`cm

O' 8`cm x`cm {8-x}cm

01 ^④ 02 ^② 03^⑤ 04^③ 05 ^③ 06 ^② 07 ^④ 08^③ 09^④ 10^④ 11^② 12^② 13^⑤ 14^④ 15^② 16²⁴ 17^{1 cm} 18^{38 cm} 19^4p`cm¤

20³⁶ 218'2 cm¤ 22^68° 232'3

24;;™2∞;; 25^{42 cm¤}

기본서 140~143쪽

중단원마무리평가

01

원의 중심에서 현에 내린 수선 현을 이등분한다.

오른쪽 그림에서 OB”를 그 으면

OB”=OC”=;2!;_12=6 (cm) 이므로 OM”=6-2=4 (cm) 따라서 직각삼각형 OBM에서

BM”="√6¤ -4¤

BM”=2'5 (cm) 이므로

AB”=2BM”=4'5 (cm) ^④

A B

M C

D O

2`cm

4`cm 6`cm

02

^{현의 수직이등분선} 원의 중심을 지난다.

오른쪽 그림에서 CM” 은 AB”의 수직이등분선이므로 원 의 중심을 O라 하면 CM”은 점 O를 지난다.

원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 △OAM에서

r¤ =(4-r)¤ +3¤

r¤ =16-8r+r¤ +9

8r=25 ∴ r=;;™8∞;; ^②

6`cm

4`cm {4-r}`cm

r`cm

A B

O M

04

중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현 길이가 같다.

OD”=OE”이므로 두 현 AB, AC의 길이가 같다.

따라서 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로

∠BAC=180°-2_75°=30° ③

07

원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

PA”=PB”이므로

∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°

따라서 △APB는 정삼각형이므로 그 둘레의 길이는

3_6=18 (cm) ④

03

원의 중심에서 접은 선에 이르는 거리

;2!;_(반지름의 길이) 오른쪽 그림과 같이 점 O 에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 OM”=;2!; OA”이 므로 직각삼각형 OAM에서

sin A= =;2!;

∴ ∠A=30°

OA”=OB”이므로

∠AOB=180°-2_30°=120° ⑤ OM”

OA”

M B

08

^{원의 접선}

접점을 지나는 반지름과 수직이다.

직선 PA가 원 O의 접선이므로

∠PAC=90°

∴ ∠PAB=90°-20°=70°

이때 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로

∠P=180°-2_70°=40° ③

09

DA”=DP”, CP”=CB”임을 이용하여 먼저 CD”의 길 이를 구한다.

㈀ DP”=DA”=6, CP”=CB”=9

㈁ ∴ CD”=6+9=15

㈁ 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.

㈁ ∴ ∠OBC=90°

반지름의 길이가 r, 중심 각의 크기가 x°인 부채꼴 의 넓이

pr¤ _ x 360

OA”=OB”이므로

∠OBA=∠OAB

=30°

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다.

05

PA”, PB”가 원 O의 접선

∠PAO=∠PBO=90°

∠PAO=∠PBO=90^°이므로 APBO에서 ∠AOB=360°-(90°+45°+90°)=135°

따라서 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 360°-135°=225°이므로

(넓이)=p_(2'2 )¤ _225=5p (cm¤ ) ③ 360

06

^{원의 접선} 접점을 지나는 반지름과 수직이다.

오른쪽 그림에서

∠APO=90°이므로 AP”=;2!; AB”=2 (cm) 큰 원과 작은 원의 반지름의 길 이를 각각 r cm, r'cm라 하면 직각삼각형 OAP에서

r¤ =r'¤``+2¤ ∴ r¤ -r'¤``=4 따라서 구하는 넓이는

pr¤ -pr'¤`=p(r¤`-r'¤``)=4p (cm¤ ) ② A

B P O

r`cm

r`'`cm 2`cm

우공비 B0X

Step Up

Ⅷ.원의성질 기본서

140~142

쪽

㈂ ∠DOP=∠DOA, ∠COP=∠COB이고

㈁∠AOB=180°이므로 ∠DOC=90°

㈃ 점 D에서 BC”에 내린 수선의

㈁발을 H라 하면

㈁ CH”=9-6=3

㈁따라서 △DHC에서

㈁ DH”="√15¤ -3¤ =6'6

㈁AB”=DH”=6'6이므로

㈁ OA”=;2!;AB”=3'6

이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁, ㈂이다. ④

B H C

D P

3 6

O 9

11

삼각형의 닮음을 이용한다.

구와 원뿔을 평면 OAB로 자른 단면은 오른 쪽 그림과 같다. 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 D라 하면 △OAD에서

OD”="√3¤ -1¤

=2'2 (cm)

원 O'과 OA”의 접점을 E라 하면

△OO'Eª△OAD (AA 닮음)

이므로 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OO'”：OA”=O'E”：AD”

(2'2-r)：3=r：1 3r=2'2-r 4r=2'2 ∴ r=

따라서 구의 반지름의 길이는 cm이다.

② '2

2 '2

O' 3`cm

r`cm r`cm

{2Â2-r}cm

A1`cm B O

12

원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

원 O'과 △ABC의 세 변의 접점을 D, E, F라 하자.

AF”=x cm라 하면 FC”=8-x (cm), AB”=x+1 (cm), BC”=CE”+BE”=CF”+BD”

BC=(8-x)+1=9-x (cm) 직각삼각형 ABC에서

(x+1)¤ +(9-x)¤ =64 x¤ -8x+9=0

∴ x=4—'7

그런데 x>4이므로 x=4+'7

따라서 AB”=5+'7 (cm), BC”=5-'7 (cm)이므로

△ABC=;2!;_(5+'7 )_(5-'7 )

=9 (cm¤ ) ②

4`cm ^O

1`cm 1`cm F

A D B

O' C

∠DOC

=∠DOP+∠COP

=∠DOA+∠COB

=;2!;_180°=90°

10

^{반원에서의 접선}

보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.

DP”=AD”=2 cm, CP”=CB”=8 cm이므로

CD”=CP”+DP”

=8+2

=10 (cm)

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

CH”=8-2=6 (cm) 이므로 직각삼각형 CDH에서

DH”="√10¤ -6¤ =8 (cm)

∴ AB”=DH”=8 cm 따라서 색칠한 부분의 넓이는

;2!;_p_4¤ =8p (cm¤ ) ^④

6`cm

2`cm 2`cm D

A B

O H

반원 O의 반지름의 길 이는 4 cm이다.

∠EOO'은 공통,

∠OEO'=∠ODA

=90°

AB”=x+1

=(4+'7)+1

=5+'7 (cm) BC”=9-x

=9-(4+'7)

=5-'7 (cm)

13

원에 외접하는 사각형 대변의 길이의 합이 같다.

⑤ 원에 외접하는 사각형은 대변의 길이의 합이 같다.

⑤

14

ABCD가 원 O에 외접할 때 AB”+DC”=AD”+BC”

사각형 ABCD가 원 O에 외접하므로 (x+7)+(x+4)=x+(2x+3) 2x+11=3x+3

∴ x=8 ④

15

EF”=EG”=x cm로 놓고 CE”, DE”의 길이를 x로 나타낸다.

원 O의 반지름의 길 이는 2 cm이므로 BC”, DE”

와 원 O의 접점을 각각 F, G라 하고

EF”=EG”=x cm라 하면 CE”=4-x (cm), DE”=4+x (cm) 직각삼각형 CDE에서

(4+x)¤ =(4-x)¤ +4¤

16+8x+x¤ =16-8x+x¤ +16 16x=16 ∴ x=1

∴ △CDE=;2!;_3_4=6 (cm¤ ) ^② A

B C

O G

4`cm

{4-x}cm x`cm

2`cm 4`cm

F E

2`cm4`cm

x`cm

CE”=CB”-EB”

=6-(2+x)

=4-x (cm)

16

원의 중심에서 현에 내린 수선 현을 이등분한다.

AM”=;2!;AB”=6, AN”=;2!;AC”=4이므로 AMON=6_4=24

17

원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같 다.

AC”=x cm라 하면

EC”=x cm, BD”=ED”=4-x (cm) PA”=PB”이므로

7+x=5+(4-x), 2x=2

∴ x=1

1 cm AC”=CE”, BD”=ED”이므로

PA”+PB”=PC”+CD”+PD”

=7+4+5=16 (cm) PA”=PB”이므로 PA”=8(cm)

∴ AC”=PA”-PC”=8-7=1 (cm)

21

OA”=6 cm이고 점 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H 라 하면

AH”=;2!;AB”=;2!;_4

=2 (cm) 직각삼각형 OAH에서

OH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm) ^▶^3점

∴ △OAB=;2!;_4_4'2

=8'2 (cm¤ ) ^▶¹^점 8'2 cm¤

B C

H D

O 12`cm

6`cm 2`cm

18

원의 접선의 길이의 성질을 이용하여 길이가 같은 선분을 찾는다.

AB”와 반원 O의 접점을 E 라 하면

AD”=AE”, BE”=BC”

이므로 ABCD의 둘레의 길 이는

AB”+BC”+CD”+DA”

=AB”+(BC”+AD”)+CD”

=AB”+(BE”+AE”)+CD”

=AB”+AB”+CD”

=13+13+12=38 (cm)

38 cm 13`cm 12`cm

A E

B C

△OAB의 높이 구하기

△OAB의 넓이 구하기

3점 1점

채점 기준 배점

23

∠TOP의 크기 구하기 PT”의 길이 구하기

2점 3점

채점 기준 배점

20

보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.

AD”=x라 하면

ABCD가 원 O에 외접하므로 AB”+DC”=AD”+BC”

8+DC”=x+12

∴ DC”=x+4

점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”=BC”-BH”=12-x

이므로 △DHC에서 (x+4)¤ =(12-x)¤ +8¤

32x=192 ∴ x=6 따라서 ABCD의 둘레의 길이는

2(AD”+BC”)=2_(6+12)=36

36 A

B H C

O D

8 x

x+4

22

DBEO에서

∠ABC=360°-(90°+124°+90°)

=56° ▶2점

OD”=OF”이므로 AB”=AC”

즉 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로

∠BAC=180°-2_56°=68° ▶2점 68°

∠ABC의 크기 구하기

∠BAC의 크기 구하기

2점 2점

채점 기준 배점

세 변의 길이가 각각 a, b, c인 △ABC에서

a¤ +b¤ =c¤`

이 성립하면 △ABC는 빗변의 길이가 c인 직각삼 각형이다.

반지름의 길이가 r인 원의 넓이 pr¤

19

내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리 내접원의 반지름의 길이

5¤ +12¤ =13¤

이므로 △ABC는

∠B=90°인 직각삼 각형이다.

원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (5-r)+(12-r)=13

2r=4 ∴ r=2 따라서 원 O의 넓이는

p_2¤ =4p (cm¤ )

4p cm¤

B C

{12-r}cm {5-r}cm

r`cm r`cm

{5-r}cm

{12-r}cm O

우공비 B0X

Step Up

Ⅷ.원의성질 기본서

142~146

쪽

OT”를 그으면 오른쪽 그림 에서

OT”=2, ∠OTP=90°

OA”=OT”이므로 △OAT에서

∠TOP=30°+30°

=60° ▶2점

따라서 △OTP에서

PT”=OT” tan 60°=2 tan 60°=2'3 ^▶^3점 2'3 A

T P B O

60æ 30æ

25

ABCD가 원 O에 외접하므로

AD”+BC”=AB”+DC”=6+8=14 (cm) ▶2점

∴ ABCD=△OAB+△OBC+△OCD +△ODA

∴ ABCD=;2!;_3_(AB”+BC”+CD”+DA”)

∴ ABCD=;2!;_3_2_14=42 (cm¤ ) ^▶^2점 42 cm¤

24

CE”=EF”=x라 하면 AE”=10+x, DE”=10-x ▶2점 직각삼각형 AED에서

(10+x)¤

=(10-x)¤ +10¤ ▶2점

100+20x+x¤ =100-20x+x¤ +100 40x=100 ∴ x=;2%;

∴ AE”=10+;2%;=;;™2∞;; ^▶^1점

;;™2∞;;

O A

B C

E 10

x Fx 10

10-x AE”, DE”의 길이를 미지수로 나타내기

식 세우기 AE”의 길이 구하기

2점 2점 1점

채점 기준 배점

AD”+BC”의 길이 구하기 ABCD의 넓이 구하기

2점 2점

채점 기준 배점

AE”=AF”+EF”

DE”=DC”-CE”

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