오른쪽 그림과 같이 선 분 BC를 그으면 선분 AB가 반원 O의 지름이므로
∠ACB=90° ▶30%
또 μAD=μ DC이므로
∠DBC=∠ABD=30° ▶30%
따라서 △CPB에서
∠x=90°-30°=60° ▶40%
60°
A B
P O
D C
x 30æ
30æ
우공비 B0X 기본서
150~155
쪽Step Up
Ⅷ.원의성질01③ 0260° 03 ④ 0455° 05135°
0685° 07② 08 ① 09③ 10②, ④ 11④ 12111° 13⑤ 14128°
기본서 154~155쪽
소단원성취도진단
01
원에 내접하는 사각형 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°ABCD는 원에 내접하므로
∠ABC=180°-65°=115°
△ABC에서
∠x=180°-(115°+30°)=35° ③
02
ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180°-105°=75° ▶50%
△FCD에서
∠FCD+75°=135° ∴ ∠FCD=60° ▶50%
60°
03
원에 내접하는 사각형한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
③ ∠BCD=180°-60°=120°
④ ∠DCE=∠BAD=60° ④
04
△ABP에서 ∠B의 크기를 먼저 구한다.△ABP에서
∠B=180°-(95°+30°)=55°
ABCD가 원에 내접하므로
∠PDC=∠B=55° 55°
`ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180°-95°=85°
△DCP에서 ∠PDC=85°-30°=55°
05
∠ABD=90°이므로 ▶30%
∠BAD=180°-(90°+45°)=45° ▶30%
ABCD는 원 O에 내접하므로
∠BCD=180°-45°=135° ▶40%
135°
∠ABD의 크기 구하기
∠BAD의 크기 구하기
∠BCD의 크기 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
∠ADC의 크기 구하기
∠FCD의 크기 구하기
50%
50%
채점 기준 배점
07
원에 내접하는 사각형한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
ABCD는 원 O에 내접하므로
∠ADC=∠ABP=70°
∴ ∠BDC=70°-30°=40°
이때 한 호에 대한 원주각의 크기가 같으므로
∠BAC=∠BDC=40°
∠BAD=90°이므로
∠x=90°-40°=50° ②
08
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180°-∠x
△PCD에서
∠PCQ=30°+(180°-∠x)=210°-∠x
△BQC에서
∠x=26°+(210°-∠x)
2∠x=236° ∴ ∠x=118° ①
09
육각형을 두 개의 사각형으로 나누어 생각한다.ABEF와 BCDE가 원에 내접하므로
∠ABE+∠F=180°,
∠EBC+∠D=180°
∴ ∠B+∠D+∠F =(∠ABE+∠EBC)
+∠D+∠F
=180°+180°=360° ③
A F
B C
D E
10
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이거나 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원에 내접한다.① ∠ABC+∠ADC=175°+180°
② ∠BAD=∠DCE
③ ∠BAD=180°-70°=110°
③ ∴ ∠BAD+∠DCF
④ △ACD에서
③ ∠ADC=180°-(30°+50°)=100°
③ ∴ ∠ABC+∠ADC=80°+100°=180°
06
원주각의 크기 ;2!;_(중심각의 크기)∠ABC=;2!;∠AOC=;2!;_170°=85°
ABCD는 원 O에 내접하므로
∠CDE=∠ABC=85° 85°
μBC에 대한 원주각
∠PCQ
=∠P+∠ADC
∠ABC
=∠Q+∠PCQ
11
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형 은 원에 내접한다.∠BCD=60°이므로
∠BCA=60°-25°=35°
∴ ∠x=∠BCA=35°
한 외각과 그 내대각의 크기가 같아야 하므로
∠DAB=120°
∴ ∠y=120°-50°=70°
∴ ∠x+∠y=35°+70°=105° ④
⑤ ∠BAD=180°-65°=115°
③ ∴ ∠BAD+∠BCF
이상에서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ②, ④이다.
②, ④
14
∠ACD의 크기 구하기
∠CDA의 크기 구하기
∠ABC의 크기 구하기
30%
40%
30%
채점 기준 배점
13
원에 내접하는 사각형의 성질과 원주각과 중심각의 크기 사이의 관계를 이용한다.PQCD가 원 O'에 내 접하므로
∠PQC=180°-95°=85°
ABQP가 원 O에 내접하므로
∠BAP=∠PQC=85°
∴ ∠x=2∠BAP
=2_85°=170°
⑤ A
B Q
O
O'
P D
C 95æ x
AB”에 대하여 같은 쪽 에 있는 각의 크기가 같아야 한다.
원의 둘레에 대한 원 주각의 크기
원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합 은 180°이다.
12
μCDA의 길이가 원주의 ;1∞2;이므로
∠ABC=180°_;1∞2;=75°
∴ ∠x=∠ABC=75° ▶40%
μBAD의 길이가 원주의 ;5$;이므로
∠BCD=180°_;5$;=144°
∴ ∠y=180°-144°=36° ▶40%
∴ ∠x+∠y=75°+36°=111° ▶20%
111°
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x+∠y의 크기 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
삼각형의 한 외각의 크기 는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
01⑤ 02 ④ 03 ① 04① 05② 06① 07 ② 08 ④ 09③ 10⑤ 11① 12④ 13② 14① 15② 1635° 1750° 18;9$; 1975° 20105°
2132 m 2225° 2375° 2427° 25141°
기본서 156~159쪽
중단원마무리평가
01
(중심각의 크기) 2_(원주각의 크기)∠ACB=50°이므로
∠AOB=2_50°=100°
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로
∠OBA=;2!;_(180°-100°)=40° ⑤
02
원의 접선 접점을 지나는 반지름과 수직이다.오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를 그으면
∠AOB=2∠AQB=100°
이때 ∠PAO=∠PBO=90°
이므로
∠P=180°-100°=80° ④
P O 50æ Q
A
B ACDE가 원 O에 내접하 므로
∠ACD=180°-104°=76°
▶30%
△CAD는 CA”=CD”인 이등변 삼각형이므로
∠CDA=∠CAD
∠CDA=;2!;_(180°-76°)=52° ▶40%
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ABC=180°-52°=128° ▶30%
128°
O B
C
D E A
104æ
03
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같 다.∠BAC와 ∠BDC는 모두 μ BC에 대한 원주각이므 로 ∠x=60°
∠ABD와 ∠ACD는 모두 μAD에 대한 원주각이므로
∠y=25°
따라서 △ABE에서
∠z=60°+25°=85°
우공비 B0X 기본서
155~157
쪽Step Up
Ⅷ.원의성질∴ ∠x-∠y+∠z=60°-25°+85°
=120° ①
07
평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 동위각의 크기는 같다.오른쪽 그림과 같이 BD”를 그 으면
∠ADB=∠BDC
∠ADB=;2!;∠ADC
∠ADB=29°
∴ ∠AEB=∠ADB=29°
BE”// CD”이므로
∠APB=∠ADC=58°
△EAP에서
∠EAD+29°=58° ∴ ∠EAD=29°
② B D
A P E
C 58æ
05
반원에 대한 원주각의 크기 90°오른쪽 그림과 같이 PB”를 그으면
∠APB=90°
∴ ∠RPB=90°-36°=54°
∴ ∠x=∠RPB=54°
②
O x P
A B
R Q 36æ
06
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.오른쪽 그림과 같이 BO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 A'이라 하면
∠A=∠A'
또 ∠A'CB=90°, A'B”=8이므 로 직각삼각형 A'BC에서
A'C”="√8¤ -7¤ ='1å5
∴ cos A=cos A'= ='1å5 ① 8
A'C”
A'B”
A
A'
B C
O 7 4
04
한 호에 대한 원주각의 크기와 삼각형의 외각의 성 질을 이용한다.∠ADB=∠a라 하면
△DPB에서 ∠a+28°=∠x yy㉠
∠DAC=∠DBC=∠x이므로 △AED에서
∠x+∠a=72° yy㉡
㉠-㉡을 하면
28°-∠x=∠x-72°
2∠x=100° ∴ ∠x=50° ①
AB”는 원 O의 지름이 다.
μBC에 대한 원주각
μAB에 대한 원주각
11
원에 내접하는 사각형한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠BDC=∠BAC=50°
∴ ∠ABE=∠ADC=∠ADB+∠BDC
=55°+50°=105° ①
∠ACB=∠ADB=55°이므로 △ABC에서
∠ABE=50°+55°=105°
0 9
한 직선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같다. 네 점이 한 원 위에 있다.네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠ABD=∠ACD=35°
∴ ∠A=180°-(35°+75°)=70° ③
10
원에 내접하는 사각형 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°BC”가 원 O의 지름이므로
∠BDC=90°
∴ ∠DCB=∠DBC=;2!;_(180°-90°)=45°
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BAD=180°-45°=135° ⑤
0 8
원주각의 크기와 호의 길이 정비례∠ABD：∠BAC=μAD：μBC이므로
∠ABD：∠x=6：12=1：2
따라서 ∠ABD=;2!;∠x이므로 △ABP에서
∠x+;2!;∠x=72°, ;2#;∠x=72°
∴ ∠x=48° ④
원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 내대 각의 크기와 같다.
12
삼각형의 한 외각의 크기그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
∠ADC=∠x라 하면 △AQD에서
∠QAP=∠x+39°
△PCD에서
∠PCD=180°-(25°+∠x)
=155°-∠x ABCD가 원 O에 내접하므로
∠QAP=∠PCD
∠x+39°=155°-∠x 2∠x=116°
∴ ∠x=58° ④
14
원에 내접하는 사각형 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면 μAE에 대한 중심각의 크 기가 76°이므로
∠ADE=;2!;_76°=38°
∴ ∠ADC=110°-38°=72°
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x+∠ADC=180°
∴ ∠x=180°-72°=108°
① E
D
C
B O
A 76æ
72æ 38æ x
15
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 사각형 원에 내접한다.㈀, ㈁ 정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모 두 90°이므로 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이다.
㈅ 등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같고 윗 변의 양 끝 각의 크기도 같으므로 대각의 크기의 합이 180°이다.
따라서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈀, ㈁, ㈅이다.
②
16
(원주각의 크기)=;2!;_(중심각의 크기)∠ABC=;2!;∠AOC=;2!;_100°=50°
따라서 △APB에서
∠x+15°=50° ∴ ∠x=35° 35°
원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합 은 180°이다.
13
한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.μAD=μ BC=μ CD이므로
∠ABD=∠BDC
=∠DBC
=∠y 라 하면 △DTB에서
∠y=∠x+28° yy㉠
ABCD는 원에 내접하므로 ∠B+∠D=180°에서 2∠y+(∠x+∠y)=180°
∴ ∠x+3∠y=180° yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
∠x+3(∠x+28°)=180°
4∠x=96° ∴ ∠x=24°
② A
T B C
D
28æ
x y yy
위의 그림과 같은 등 변사다리꼴에서
2(∠a+∠b)=360°
∴ ∠a+∠b=180°
a a
b b
18
반원에 대한 원주각의 크기 90°△ABC에서 ∠C=90°이고 AB”=12이므로 AC”="√12¤ -8¤ =4'5
sin A=;1•2;=;3@;, cos A= = ,
tan A= = 이므로
sin A_cos A_tan A=;3@;_ _ =;9$;
;9$;
sin A_cos A_tan A= _ _
sin A_cos A_tan A= = =4 9 8¤
12¤
BC”¤
AB”¤
BC”
AC”
AC”
AB”
BC”
AB”
2'5 5 '5
3 2'5
5 8 4'5
'5 3 4'5
12
19
원주각의 크기와 호의 길이 정비례∠ABC：∠BCD=2：5이므로 ∠ABC=2a°,
∠BCD=5a°라 하자.
△PCB에서 ∠BCD=∠BPC+∠PBC이므로 5a°=45°+2a°
즉 3a°=45°이므로 a°=15°
따라서 △AQB에서
∠AQB=180°-(∠BAD+∠ABQ)
=180°-(∠BCD+∠ABQ)
=180°-(5a°+2a°)
=180°-7a°
=180°-7_15°
=75° 75°
20
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이 는 같다.OM”=ON”이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변 삼각형이다.
∴ ∠ABC=;2!;_(180°-30°)=75°
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ADC=180°-75°=105° 105°
반원에 대한 원주각의 크 기는 90°이다.
17
(중심각의 크기)=2_(원주각의 크기)오른쪽 그림과 같이 BC”
를 그으면
∠ACB=90°
이므로 △PCB에서
∠CBP=90°-65°=25°
∴ ∠COD=2_25°=50°
50°
A O B
C D
P 65æ
∠ABC：∠BCD
=μAC：μ BD
μBD에 대한 원주각이 므로
∠BAD=∠BCD
=5a°
우공비 B0X 기본서
157~159
쪽Step Up
Ⅷ.원의성질21
오른쪽 그림에서 μAB에 대한 원 주각의 크기가 30°이므로 중심각의 크기는 60°이다. ▶2점 즉 △OAB는 정삼각형이고 OA”=16 m이므로 구하는 지름의
길이는 32 m이다. ▶2점
32 m 30æ
60æ 16`m
O
A B
중심각의 크기 구하기 지름의 길이 구하기
2점 2점
채점 기준 배점
22
∠ACB=90°이므로
∠CAB=90°-40°=50° ▶2점
이때 μ DB=μ CD이므로
∠DAB=∠CAD=;2!;_50°=25° ▶2점 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠x=∠DAB=25° ▶1점
25°
∠CAB의 크기 구하기
∠DAB의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
2점 2점 1점
채점 기준 배점
삼각형의 한 외각의 크기 는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
원주각의 크기는 호의 길 이에 정비례한다.
23
오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으 면 μAB의 길이는 원주의 ;6!;이므로
∠ACB=;6!;_180°
∠ACB=30° ▶2점
∠ACB：∠DBC=μAB：μ CD이므로 30°：∠DBC=2：3
2∠DBC=90° ∴ ∠DBC=45° ▶2점
△PBC에서
∠x=45°+30°=75° ▶1점
75°
A
B
D P
C x
∠ACB의 크기 구하기
∠DBC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
2점 2점 1점
채점 기준 배점
24
μSR=2μ SP에서
∠SQR=2∠SQP
=42° ▶2점
∠SQR의 크기 구하기
∠QSR의 크기 구하기
2점 2점
채점 기준 배점
25
ABCD가 원에 내접하려면
∠DAB=180°-78°=102° ▶1점
△ABD에서
∠ABD=180°-(102°+39°)=39° ▶1점 ABDE가 원에 내접하려면
∠AED=180°-39°=141° ▶2점 141°
∠DAB의 크기 구하기
∠ABD의 크기 구하기
∠AED의 크기 구하기
1점 1점 2점
채점 기준 배점
오른쪽 그림에서 SP”를 그으면
∠PSQ=90°이고
SPQR가 원 O에 내접하므로
∠RQP+∠RSP=180°
(42°+21°)+(90°+∠QSR)=180°
∴ ∠QSR=27° ▶2점
27°
P Q
S R
O 21æ
OA”=AB”=16 m