우공비 B0X 기본서
104~107
쪽Step Up
Ⅶ.삼각비 0<sin a<1이므로 sin a=;2!; ∴ a=30° ▶2점∴ cos 30°-tan 30°= - = ▶1점
24
오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A, D에서 변 BC에 내린 수선을 발을 각각 E, F라 하자.
△ABE에서
sin 60°= = ∴ AE”=2'3
cos 60°= =;2!; ∴ BE”=2 ▶2점 BE”=CF”=2이므로
AD”=EF”=8-2_2=4 ▶1점
∴ ABCD=;2!;_(4+8)_2'3
∴ ABCD=12'3 ▶1점
12'3
25
0°<x<45°일 때, 0<tan x<1 ▶2점
∴ø(π2 cosπ 60°π-taπn x)¤ -ø(πtan πx-tπan π45°)¤
=|2_ ;2!;-tan x|-|tan x-1|
=(1-tan x)+(tan x-1)
=0 ▶3점
0 BE””
4 '3
2 AE””
4
B E F C
A D
8 4 4 2Â3°
60æ
'3 6 '3
6 '3
3 '3
2
AE”, BE”의 길이 구하기 AD”의 길이 구하기
ABCD의 넓이 구하기
2점 1점 1점
채점 기준 배점
0°<x<45°일 때, tan x의 값의 범위 구하기 주어진 식 간단히 하기
2점 3점
채점 기준 배점
△ABE™△DCF (RHA 합동) 이므로
BE”=CF”
따라서 △ABH에서
AB”= =7_'2=7'2 ②
익히기
4
AH”=h라 하면△ABH에서 ∠BAH= °이므로 BH”=h tan 45°= _h
△AHC에서 ∠CAH= °이므로 CH”=h tan 60°= _h 이때 BC”=BH”+CH”이므로
10=h(1+'3)
∴ h= =
㈎ 45 ㈏ 1 ㈐ 60 ㈑ '3 ㈒ 5('3-1)
유제❺ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 H에 대하여 AH”=h m라 하면
△ABH에서 ∠BAH=30°이므로 BH”=h tan 30°= h
△AHC에서 ∠CAH=60°이므로 CH”=h tan 60°='3 h 이때 BC”=BH”+CH”이므로
40= h+'3 h, h=40
∴ h=40_ =10'3 ③
유제❻ AH”=h라 하자.
△ABH에서
∠BAH=60°이므로 BH”=h tan 60°='3h
△ACH에서
∠CAH=45°이므로 CH”=h tan 45°=h 이때 BC”=BH”-CH”이므로
6='3h-h, ('3-1)h=6
∴ h= =3('3+1)
∴ △ABC=;2!;_6_3('3+1)=9('3+1)
② 6
'3-1
h A
B H
6 C 30æ 45æ
45æ 60æ 3
4'3
4'3 3 '3
3
'3 3
A
B C
40`m h`m
30æ 30æ
H 60æ
60æ 5('3-1)
10 1+'3
'3 60 1 45 7
sin 45°
익히기
3
⑴ △AHC에서⑴ AH”=6 sin 60°=6_ =3'3
⑴ CH”=6 cos 60°=6_;2!;=3
⑴이때 BH”=BC”-CH”=8-3=5이므로
⑴△ABH에서
⑴ AB”="√(3'3 )¤ +5¤ =2'å13
⑵ △AHC에서
⑴ AH”=12'2 sin 45°=12'2_ =12
⑴∠B=180°-(75°+45°)=60°이므로
⑴△ABH에서
⑴ AB”= =12_ =8'3
⑶ △BHC에서
⑴ BH”=10 sin 30°=10_;2!;=5
⑴∠A=180°-(105°+30°)=45°이므로
⑴△ABH에서
⑴ AB”= =5_'2=5'2
⑴ 2'å13 ⑵ 8'3 ⑶ 5'2
유제❸ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △ABH 에서
AH”=20'2 sin 45°
AH”=20'2_ =20 m
△ABH에서 ∠BAH=∠ABH=45°이므로 BH”=AH”=20 (m)
이때 CH”=BC”-BH”=30-20=10 (m)이므로
△AHC에서
AC”="√20¤ +10¤ =10'5 (m) 10'5 m
유제❹ △ABC에서
∠B=180°-(105°+30°)=45°
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△AHC에서
AH”=14 sin 30°=14_;2!;=7 A
B C
14 45æ 30æ
H '2
2
B C
A
30`m 20Â2`m
45æ H 5
sin 45°
2 '3 12
sin 60°
'2 2 '3
2
61
일반 삼각형의 변의 길이 기본서 108~109쪽62
삼각형의 높이 기본서 110~111쪽h=
=
=
=5('3-1) 10('3-1)
2 10(1-'3) (1+'3)(1-'3)
10 1+'3 AB”¤ =AH”¤ +BH”¤
특수한 각의 삼각비를 이 용할 수 있도록 수선을 긋 는다.
우공비 B0X 기본서
108~113
쪽Step Up
Ⅶ.삼각비 따라서 원뿔의 부피는;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ ) ②
0 6
점 A에서 CD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ADH에서 ∠ADH=∠DAH=45°이므로
DH”=AH”=150 cm ▶40%
△AHC에서
CH”=150 tan 60°=150'3(cm) ▶40%
따라서 건물의 높이는
CD”=DH”+CH”=150(1+'3)(cm) ▶20%
150(1+'3) cm
0 7
AC”를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만든 후 삼각비 를 이용한다.∠B=180°-135°
∠B=45°
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
AH”=3'2 sin 45°=3'2_ =3
BH”=3'2 cos 45°=3'2_ =3
이때 CH”=BC”-BH”=9-3=6이므로 △AHC에서 AC”="√3¤ +6¤ =3'5 ③
0 8
△ABC에서
∠A=180°-(45°+105°)=30° ▶10%
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△BCH에서
BH””=CH”=4'2 sin 45°
BH”=4'2_'2=4 ▶40%
2
A
B C
H
4Â2 45æ
30æ '2
2 '2
2
A D
B 45æ C 9 3Â2
H
01⑤ 0210.2 cm 03③ 04⑤ 05② 06150(1+'3)cm 07③
084('3+1) 09 25(3-'3)cm¤
10100('3+1)m 11④ 12④ 132'∂61
기본서 112~113쪽
소단원성취도진단
01
삼각비를 이용하여 변의 길이를 식으로 나타낸다.tan 53°= = 이므로
AC”= ⑤
02
주어진 그림에서 직각삼각형을 찾은 후 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구한다.sin 43°= = 이므로
AC”=15 sin 43°=15_0.68=10.2 (cm)
10.2cm
03
구하는 변이 직각삼각형의 빗변이 되도록 수선을 긋 는다.△ABC에서
∠C=180°-(60°+75°)
=45°
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
BH”=12 sin 60°=12_ =6'3 따라서 △BCH에서
BC”= =6'3_'2=6'6 ③
04
∠A=90°인 직각삼각형 ABC cos B=cos B= = 이므로
AB”=20 cos B=20_;5#;=12(cm)
∴ AC”="√20¤ -12¤ =16(cm) ⑤
05
△ABH에서 원뿔의 높이와 밑면의 반지름의 길이 를 구한다.△ABH에서
BH”=6 cos 60°=6_;2!;=3 (cm) AH”=6 sin 60°=6_'3 =3'3 (cm)
2 AB”
20 AB”
BC”
AB”
BC”
6'3 sin 45°
'3 2
A 12
B C
60æ H
45æ 75æ AC””
15 AC”””
AB”
4 tan 53°
4 AC”
AB”
AC”
밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 부 피 ;3!;pr¤ h
DH”의 길이 구하기 CH”의 길이 구하기 건물의 높이 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
∠A의 크기 구하기 BH”의 길이 구하기 AH”의 길이 구하기 AB”의 길이 구하기
10%
40%
40%
10%
채점 기준 배점
직각삼각형에서 두 변의 길이를 알면 피타고라스 정리를 이용하여 나머지 한 변의 길이를 알 수 있 다.
평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°이다.
AH”=BD”=150 cm
△AHC에서
AH”= =4_'3=4'3 ▶40%
∴ AB”=BH”+AH”
=4+4'3
=4('3+1) ▶10%
4('3+1)
09
꼭짓점 B에서 AC”에 수선을 그어 직각삼각형을 만 든 후 삼각비를 이용한다.오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발 H 에 대하여 BH”=h cm라 하면
△ABH에서 ∠ABH=45°이므로 AH”=h tan 45°=h
△BCH에서 ∠CBH=30°이므로 CH”=h tan 30°= h 이때 AC”=AH”+CH”이므로
10=h+ h, h=10
∴ h= =5(3-'3)
∴ △ABC=;2!;_AC”_BH”
∴ △ABC=;2!;_10_5(3-'3 )
∴ △ABC=25(3-'3 ) (cm¤ )
25(3-'3 ) cm¤
10
AH”=h m라 하면
△ABH에서
∠BAH=60°이므로 BH”=h tan 60°
='3 h ▶30%
△ACH에서 ∠CAH=45°이므로
CH”=h tan 45°=h ▶30%
이때 BC”=BH”-CH”이므로
200='3 h-h, ('3-1)h=200
∴ h= =100('3+1)
따라서 산의 높이는 100('3+1)m이다. ▶40%
100('3+1) m 200
'3-1
A
B 200`mC H h`m 30æ 45æ
45æ 60æ 30
3+'3
3+'3 3 '3
3
'3 3
A
B C
h`cm H 60æ 45æ
30æ 45æ
10`cm 4
tan 30°
11
수선을 그어 직각삼각형을 만든 후 삼각비를 이용 한다.오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△AHC에서
AH”=y sin 45°= y
△ABH에서
x= = y_ = y
∴ k=
④
12
직각삼각형을 찾아 삼각비를 이용하여 BC”의 길이 를 구한다.△ABD에서
∠BAD=90°-30°=60°
이므로
BD”=9 tan 60°=9_'3=9'3 (m)
△ACD에서
∠CAD=90°-60°=30°
이므로
CD”=9 tan 30°=9_ =3'3 (m)
∴ BC”=BD”-CD”
=9'3-3'3=6'3 (m)
BC”의 길이는 배가 2분 동안 이동한 거리이므로 배의 속 력은 분속 3'3 m이다.
④
13
꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직각삼 각형을 만든 후 삼각비를 이용한다.오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수 선의 발을 H라 하면
∠ACH=180°-120°=60°
△ACH에서
AH”=10 sin 60°=10_ =5'3 CH”=10 cos 60°=10_;2!;=5 이때 BH”=BC”+CH”=8+5=13이므로
△ABH에서
AB”="√13¤ +(5'3)¤ =2'∂61
2'∂61 '3
2
8
10 C
A
B 120æ 60æ H '3
3 5'2
8
5'2 8 1 0.8 '2
2 AH”
sin 55°
'2 2
A
B C
H 55æ 45æ
x y
BH”의 길이를 h로 나타내기 CH”의 길이를 h로 나타내기 산의 높이 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
h=
=
=
=5(3-'3) 30(3-'3)
6 30 (3+'3)(3-'3)
30 3+'3
(속력)=(거리) (시간)
우공비 B0X 기본서