58
예각의 삼각비의 값 기본서 96~97쪽익히기
1
오른쪽 그림에서⑴ sin 40°= =
⑴ sin 40°=AB”=0.64
⑵ cos 40°= =
⑵ cos 40°=OB”=0.77
⑶ tan 40°= = =CD”=0.84
⑴ 0.64 ⑵ 0.77 ⑶ 0.84 CD”
1 CD”
OD”
OB”
1 OB”
O’A”
AB”
1 AB”
O’A”
40æ 1
0.771 0.64
0.84
A C
B D x y
O
=
=
=2-'3=2-'3 4-3
2-'3 (2+'3)(2-'3)
1 2+'3
3 6+3'3
b=a+a이므로 a=b-a
익히기
2
⑴ sin 90°+cos 90°=1+0=1⑵ cos 0°_tan 0°=1_0=0
⑴ 1 ⑵ 0
유제❶ tan a= = =BE” ⑤
유제❷ ① sin 0°_cos 60°-cos 0°
=0_;2!;-1=-1
② sin 90°_cos 0°+cos 90°_tan 0°
=1_1+0_0=1
③ (1+tan 45°)(1-tan 0°)
=(1+1)(1-0)=2
④ (sin 30°+cos 90°)÷tan 30°
={;2!;+0}÷ =
⑤ cos¤ 0°_sin¤ 90°-sin¤ 0°_tan¤ 0°
=1¤ _1¤ -0¤ _0¤ =1 ④
유제❸ 45°<x<90°일 때, tan x>sin x>0, tan x>cos x>0이므로
sin x-tan x<0, tan x-cos x>0
∴"(√sin √x-ta√n x)¤ -"√(tan x-c√os x)¤
=|sin x-tan x|-|tan x-cos x|
=-(sin x-tan x)-(tan x-cos x)
=-sin x+tan x-tan x+cos x
=-sin x+cos x -sin x+cos x
익히기
3
⑴ 0.9455 ⑵ 0.2756 ⑶ 3.7321익히기
4
⑴ sin 75°=0.9659이므로 x=75°⑵ cos 73°=0.2924이므로 x=73°
⑶ tan 72°=3.0777이므로 x=72°
⑴ 75° ⑵ 73° ⑶ 72°
유제❹ ⑴ sin 21°+cos 25°=0.3584+0.9063
=1.2647
⑵ cos 23°-tan 21°=0.9205-0.3839=0.5366
⑶ tan 24°+sin 21°-cos 22°
=0.4452+0.3584-0.9272=-0.1236
⑴ 1.2647 ⑵ 0.5366 ⑶ -0.1236 '3
2 '3
3
BE”
1 BE”
OB”
59
삼각비의 표 기본서 98~99쪽반지름의 길이가 1인 사분 원을 이용하면 한 예각의 sin, cos, tan의 값을 선 분의 길이로 나타낼 수 있 다.
실수 a에 대하여
"≈a¤ =|a|
=[ a (aæ0) -a (a<0)
04
OC”의 길이를 삼각비의 값으로 나타낸 후 CB”=OB”-OC”임을 이용한다.cos 50°= = =OC”
∴ CB”=OB”-OC”=1-cos 50° ④
05
∠OAB=90°-52°=38°① sin 52°= = =0.79
② cos 52°= = =0.62
③ tan 52°= = =1.28
④ cos 38°= = =0.79
⑤ tan 38°= = =0.78125 ⑤
06
0°…x<90°일 때, x의 값이 증가할수록 sin x, tan x의 값은 증가, cos x의 값은 감소① 0°…x<45°일 때, sin x<cos x이므로
② sin 20°<cos 20°
② 45°<x…90°일 때, sin x>cos x이므로
② sin 80°>cos 80°
③ 0°…x…90°일 때, x의 값이 증가하면 sin x의 값도 증가하므로
sin 10°<sin 30°
④ 0°…x…90°일 때, x의 값이 증가하면 cos x의 값은 감소하므로
cos 20°>cos 40°
⑤ 0°…x<90°일 때, x의 값이 증가하면 tan x의 값도 증가하므로
tan 25°<tan 55° ③
07
0°…x<90°일 때 x의 값이 증가할수록 sin x, tan x의 값은 증가0°…x<90°일 때, x의 값이 증가하면 sin x, tan x 의 값도 증가하므로
sin 45°<sin 65°, tan 55°<tan 70°
또 sin 90°=1, cos 0°=1, tan 45°=1이므로 sin 45°<sin 65°<cos 0°<tan 55°<tan 70°
따라서 그 크기가 작은 것부터 차례로 나열하면
㈁-㈂-㈀-㈃-㈄ ③
1 1.28 OD”
CD”
0.79 1 AB”
OA”
1.28 1 CD”””
OD”
0.62 1 OB””
OA”
0.79 1 AB”
OA”
OC”
1 OC”
OA”
유제❺ sin 81°=0.9877이므로 x=81°
cos 80°=0.1736이므로 y=80°
tan 79°=5.1446이므로 z=79°
∴ x-y+z=81°-80°+79°=80° ③
유제❻ ⑴ tan 25°=;5{;=0.4663
∴ x=2.3315
⑵ ∠A=90°-∠B=90°-64°=26°이므로 sin 26°=;2”0;=0.4384
∴ x=8.768 ⑴ 2.3315 ⑵ 8.768
01①, ⑤ 02 ④, ⑤ 030.647 04④ 05 ⑤ 06③ 07 ③ 082 0947° 10 11'3 121.1159
3'3 8
기본서 100~101쪽
소단원성취도진단
01
분모가 되는 변의 길이가 1인 직각삼각형을 찾는다.① sin x= = =CD”
⑤ cos y= = =CD”
①, ⑤
02
sin 0°=cos 90°=tan 0°=0, sin 90°=cos 0°=1① sin 0°=tan 0°=0, cos 0°=1
② sin 30°=cos 60°=;2!;, tan 90°의 값은 정할 수 없다.
③ sin 45°=cos 45°= , tan 45°=1
④ sin 0°=cos 90°=tan 0°=0
⑤ sin 90°=cos 0°=tan 45°=1
④, ⑤
03
삼각비의 값 삼각비의 표에서 가로줄과 세로줄이 만나는 곳의 수cos 38°=0.7880, sin 34°=0.5592, tan 35°=0.7002이므로
cos 38°+sin 34°-tan 35°
=0.7880+0.5592-0.7002
=0.647 0.647
'2 2 CD”
1 CD”
OC”
CD”
1 CD”
OC”
삼각비의 표에서 삼각비의 값을 찾아 왼쪽의 각의 크 기를 읽는다.
AB”∥CD”이므로
∠OAB=∠OCD (동위각)
sin 65°<sin 90°, tan 45°<tan 55°
우공비 B0X 기본서
99~102
쪽Step Up
Ⅶ.삼각비08
0°<x<90°일 때, 0<sin x<1이므로
1-sin x>0, 1+sin x>0 ▶50%
∴"√(1-sin x)¤ +"√(1+sin x)¤
=|1-sin x|+|1+sin x|
=1-sin x+1+sin x=2 ▶50%
2
09
빗변의 길이와 높이가 주어져 있으므로 sin B의 값 을 먼저 구한다.sin B= =0.7314
이고 주어진 삼각비의 표에서 sin 47°=0.7314이므로
∠B=47° 47°
10
OB”=OC”=1이므로 sin 60°= =CD”= ,
tan 60°= =BE”='3 ▶40%
또 cos 60°= =OD”=;2!;이므로
DB”=OB”-OD”=1-;2!;=;2!; ▶30%
따라서 색칠한 부분의 넓이는
;2!;_{ +'3}_;2!;= ▶30%
11
45°<x<90°일 때, 0<cos x<sin x 45°<x<90°일 때, 0<cos x<sin x이므로 sin x+cos x>0, sin x-cos x>0∴"√(sin x+cos x)¤ -"√(sin x-cos x)¤
=|sin x+cos x|-|sin x-cos x|
=sin x+cos x-(sin x-cos x)
=sin x+cos x-sin x+cos x
=2 cos x
따라서 2 cos x=1, 즉 cos x=;2!;이므로 x=60°
∴ tan x=tan 60°='3 '3
3'3 8 3'3
8 '3
2 OD”
OC”
BE”
OB”
'3 2 CD”
OC”
73.14 100
1-sin x, 1+sin x의 부호 정하기 식의 값 구하기
50%
50%
채점 기준 배점
CD”, BE””의 길이 구하기 DB””의 길이 구하기 색칠한 부분의 넓이 구하기
40%
30%
30%
채점 기준 배점
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이) +(아랫변의 길이)}
_(높이)
12
OD”의 길이를 구한 후 삼각비의 표를 이용하여∠COD의 크기를 구한다.
DB”=0.1428이므로 OD”=1-0.1428=0.8572
∠COD=x라 하면
cos x= =OD”=0.8572 ∴ x=31°
sin 31°= =CD”에서 CD”=0.5150
tan 31°= =EB”에서 EB”=0.6009
∴ CD”+EB”=0.5150+0.6009=1.1159
1.1159 EB”
OB”
CD”
OC”
OD”
OC”
01③ 02 ③ 03 ⑤ 04① 05① 06④ 07 ⑤ 08 ② 09⑤ 10⑤ 11④ 12② 13④ 14④ 15⑤
16 17 18
192('3-1) 20;2!; 21;5&; 220 23 '36 2412'3 250
'3-3 2 5'5
6 5'∂13
13
기본서 102~105쪽
중단원마무리평가
0 1
먼저 BC”의 길이를 구한 후 삼각비를 이용한다.BC”="√3¤ -1¤ =2'2
③ cos B= =
③
0 2
sin B, sin C의 값을 AH”에 대한 식으로 나타낸다.AH”=x라 하면 sin B=;c{;, sin C=;b{;
이므로
=;b{;÷;c{;=;b{;_;[C;=;bC;
③
0 3
sin B의 값을 이용하여 AC”의 길이를 구한다.sin B= =;3@;이므로 AC”=6
∴ BC”="√9¤ -6¤ =3'5
∴ tan A= =
⑤ '5
2 3'5
6 AC”
9 sin C sin B
2'2 3 BC”
AB”
AB”¤ =BC”¤ +AC”¤ 에서 BC”¤ =AB”¤ -AC”¤
sin B=AC”
AB”
07
△ABC와 닮음인 직각삼각형을 찾는다.오른쪽 그림에서
∠CAH=∠B=x 이므로
sin x= = =
cos x= = =
tan x= = =
⑤ AH”=AB” sin x=AC” cos x=BH” tan x ⑤
08
꼭짓점 A에서 △BCD에 내린 수선의 발△BCD의 무게중심
꼭짓점 A에서 △BCD에 내 린 수선의 발을 H라 하면 점 H 는 △BCD의 무게중심이므로
DH”：HM”=2：1 이때 △BCD에서 DM”= _2='3이므로
DH”=;3@;DM”=;3@;_'3=
또 AH”= _2= 이므로
tan x= = ÷
tan x= _ ='2 ②
09
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 각의 크기를 구한다.tan 45°=1이므로 x+15°=45° ∴ x=30°
∴ sin 2x+cos x=sin 60°+cos 30°
∴ sin 2x-tan x= + ='3 ⑤
10
먼저 △ABC에서 AC”의 길이를 구한다.∠BAC=90°-30°=60°이므로
∠BAD=∠DAC=;2!;_60°=30°
△ABC에서
sin 30°= =;2!; ∴ AC”=3'3
△ADC에서
cos 30°= ='3 ∴ AD”=6 ⑤ 2
3'3 AD”
AC”
6'3
'3 2 '3
2 3 2'3 2'6
3
2'3 3 2'6
3 AH”
DH”
2'6 3 '6
3
2'3 3 '3
2
A
B M C
D 2
H x CH”
AH”
AH”
BH”
AC”
AB”
AH”
AC”
BH”
AB”
AB”
BC”
CH”
AC”
AH”
AB”
AC”
BC”
A
B C
H x
x
04
tan A=오른쪽 그림과 같은 직 각삼각형 ABC에서
sin A=;bA;, cos A=;bC;
sin A：cos A=1：3이므로
;bA;：;bC;=1：3, 즉 a：c=1：3
∴ c=3a
∴ tan A=;cA;=;3Åa;=;3!;
①
05
먼저 직선의 방정식을 구한다.직선의 기울기가 2이므로 직선의 방정식을 y=2x+b라 하면 직선이 점 (-1, 4)를 지나므로
4=-2+b ∴ b=6
∴ y=2x+6
y=2x+6에 x=0을 대입하면 y=6이므로 A(0, 6)
y=0을 대입하면 x=-3이므로 B(-3, 0)
△ABO에서 AB”="√3¤ +6¤ =3'5이므로 sin x= = = ,
cos x= = = ,
tan x= =;6#;=;2!;
∴ sin x_cos x+tan x= _ +;2!;
∴ sin x_cos x+tan x=;1ª0;
①
06
닮은 두 삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값은 같다.△ABC와 △DEC에서
∠B=∠DEC=90°, ∠C는 공통 이므로 △ABCª△DEC (AA 닮음)
∴ ∠A=∠EDC=x
△ABC에서
AB”="√17¤ -15¤ =8 이므로 tan x= =;;¡8∞;;
④ BC”
AB”
2'55 '55 OB”
OA”
2'5 5 6 3'5 OA”
AB”
'5 5 3 3'5 OB”
AB”
A B
C a c
b (∠A의 대변의 길이) (빗변이 아닌 ∠A의 이웃변의 길이)
△ABC와 △HAC에서
∠BAC=∠AHC
=90°,
∠C는 공통이므로
△ABCª△HAC (AA 닮음)
직선의 방정식에 x=-1, y=4를 대입 하면 성립한다.
한 변의 길이가 a인 정삼 각형의 높이
'3a 2
한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 높이
'6a 3
우공비 B0X 기본서
102~104
쪽Step Up
Ⅶ.삼각비11
두 직각삼각형의 한 변이 공통일 때 먼저 공통인 변의 길이를 구한다.△ABC에서 tan 30°= =
∴ BC”=6'3
△DBC에서
cos 45°= =
∴ CD”=3'6 ④
12
45°의 삼각비의 값을 이용하여 먼저 BD”, CD”의 길 이를 구한다.△DBC에서 cos 45°= =
∴ BD”=4'2 이때 AD”=BD”이므로
AD”=4'2
또 ∠BDC=∠DBC=45°이므로 CD”=BC”=4
삼각형의 외각의 성질에 의하여
∠ABD=∠BAD=;2!;_45°=22.5°
따라서 △ABC에서 tan 22.5°= =
tan 22.5°= =
tan 22.5°='2-1 ②
13
∠AOB=x ∠OAB=∠ODC=90°-x① sin x= = =AB”
② cos x= = =OB”
③ tan x= = =CD”
④ sin (90°-x)= =
⑤ cos (90°-x)= =AB””=AB” ④ 1
AB”
OA”
1 OD”
OC””
OD”
CD”
1 CD”
OC”
OB””
1 OB”
OA”
AB””
1 AB”
OA”
1-'2 (1+'2)(1-'2) 1
1+'2 4 4+4'2 BC”
AC”
'2 2 4 BD”
A
B C
D
4 45æ 22.5æ 45æ
22.5æ '2
2 CD”
6'3 '3
3 6 BC”
보충학습
삼각형의 외각의 크기
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
△OAB에서 sin(90°-x)=
=
=OB”
OB”
1 OB”
OA”
14
특수한 각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)의 삼각비의 값 을 이용한다.①'3 sin 60°+sin 30°+tan 0°
='3_ +;2!;+0
=;2#;+;2!;=2
② tan 60°_tan 30°='3_ =1
③ cos 45°_sin 90°= _1= =sin 45°
④ tan 60°_sin 30°='3_;2!;= +cos 60°
⑤ sin 60°-cos 30°+cos 0°= - +1=1
④
15
삼각비의 값 삼각비의 표의 가로줄과 세로줄이 만나는 곳의 수sin 83°=0.9925이므로 x=83°
cos 82°=0.1392이므로 y=82°
tan 80°=5.6713이므로 z=80°
∴ x-y+z=83°-82°+80°=81°
⑤
16
먼저 BD”의 길이를 구한다.△BCD에서 BD”="√12¤ +8¤ =4'∂13이므로 sin x= = , cos x= =
∴ sin x+cos x= + =
17
주어진 삼각비를 갖는 직각삼각형을 그려 본다.3 cos A-2=0에서
cos A=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같이
∠B=90°, AC”=3, AB”=2 인 직각삼각형 ABC를 생각하면
BC”="√3¤ -2¤ ='5
따라서 sin A= , tan A= 이므로
sin A+tan A= + =
5'5 6 5'5
6 '5
2 '5
3 '5
2 '5
3
3
2 C
A B
5'∂13 13 5'∂13
13 2'∂13
13 3'∂13
13
2'∂13 13 8
4'∂13 3'∂13
13 12
4'∂13
'3 2 '3
2 '3
2 '2
2 '2
2 '3
3 '3
2
cos 60°=;2!;
∠ABD+∠BAD
=∠BDC
오른쪽 그림에서 tan a= ='3 이므로 a=60°
∴ sin ;2A;=sin 30°=;2!;
;2!;
21
y=;3$;x+4에 x=0, y=0을 각각 대입하면 A(-3, 0), B(0, 4) ▶1점
△AOB에서 AO”=3, BO”=4, AB”="√3¤ +4¤ =5이므로 sin a=;5$;, cos a=;5#; ▶2점
∴ sin a+cos a=;5$;+;5#;=;5&; ▶1점
;5&;
22
△CEG에서 ∠CGE=90°이고 CE”='3_a='3a,
EG”='2_a='2a 이므로
sin x= = =
cos x= = =
tan x= = = ▶3점
∴ sin x-cos x_tan x= - _
∴ sin x-cos x_tan x=0 ▶1점 0
23
4x¤ -12x+5=0에서 (2x-1)(2x-5)=0
∴ x=;2!; 또는 x=;2%; ▶2점 '2
2 '6
3 '3
3 '2
2 1 '2 a '2a
'6 3 '2 '3 '2a '3a
'3 3 1 '3 a '3a
G C
E
´3a a
´2a x OB”
OA”
Â3°
x y
O 1 B
a A
주어진 이차방정식의 해 구하기 a의 크기 구하기
cos a-tan a의 값 구하기
2점 2점 1점
채점 기준 배점
18
△ABC에서 ∠A : ∠B : ∠C=a : b : c∠A=180°_
∠A=180°_ =30°이므로 (sin A-cos A)÷tan A
=(sin 30°-cos 30°)÷tan 30°
={;2!;- }÷
=
19
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA cos 30°= = 이므로AB”=8
sin 30°= =;2!;이므로 AC”=4
따라서 △ABC=;2!;_4'3_4=8'3이고 원 O의 반지 름의 길이를 r라 하면
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
△ABC=;2!;_8_r+;2!;_4'3_r+;2!;_4_r
△ABC=r(6+2'3) 이므로 r(6+2'3)=8'3
∴ r= =
∴ r=
∴ r=2('3-1) 2('3-1)
20
주어진 일차함수의 그래프를 좌표평면 위에 나타내 어 본다.sin 30°=;2!;, cos 30°= 이므로
x+;2!;y= ∴ y=-'3 x+'3
y=-'3 x+'3의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각 각 A, B라 하면
A(1, 0), B(0, '3) '3
2 '3
2
'3 2 4'3(3-'3) (3+'3)(3-'3)
4'3 3+'3 8'3
6+2'3 AC”
8
'3 2 4'3 AB”
'3-3 '3-3 2
2
'3 3 '3
2
1 1+2+3 a a+b+c
보충학습
내심을 이용한 삼각형의 넓이
삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
△ABC=;2!;r(AB”+BC”+CA”)
기울기가 음수인 직선 y=mx+n이 x축과 이루 는 예각의 크기를 a라 하 면
m=(직선의 기울기)
=-tan a
점 A, B의 좌표 구하기 sin a, cos a의 값 구하기 sin a+cos a의 값 구하기
1점 2점 1점
채점 기준 배점
sin x, cos x, tan x의 값 구하기 sin x-cos x_tan x의 값 구하기
3점 1점
채점 기준 배점
y=-'3x+'3에 x=0을 대입하면
y='3 y=0을 대입하면
x=1
△OAB=;2!;_AB”_r
△OBC=;2!;_BC”_r
△OCA=;2!;_AC”_r
우공비 B0X 기본서
104~107
쪽Step Up
Ⅶ.삼각비 0<sin a<1이므로 sin a=;2!; ∴ a=30° ▶2점∴ cos 30°-tan 30°= - = ▶1점
24
오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A, D에서 변 BC에 내린 수선을 발을 각각 E, F라 하자.
△ABE에서
sin 60°= = ∴ AE”=2'3
cos 60°= =;2!; ∴ BE”=2 ▶2점 BE”=CF”=2이므로
AD”=EF”=8-2_2=4 ▶1점
∴ ABCD=;2!;_(4+8)_2'3
∴ ABCD=12'3 ▶1점
12'3
25
0°<x<45°일 때, 0<tan x<1 ▶2점
∴ø(π2 cosπ 60°π-taπn x)¤ -ø(πtan πx-tπan π45°)¤
=|2_ ;2!;-tan x|-|tan x-1|
=(1-tan x)+(tan x-1)
=0 ▶3점
0 BE””
4 '3
2 AE””
4
B E F C
A D
8 4 4 2Â3°
60æ
'3 6 '3
6 '3
3 '3
2
AE”, BE”의 길이 구하기 AD”의 길이 구하기
ABCD의 넓이 구하기
2점 1점 1점
채점 기준 배점
0°<x<45°일 때, tan x의 값의 범위 구하기 주어진 식 간단히 하기
2점 3점
채점 기준 배점
△ABE™△DCF (RHA 합동) 이므로
BE”=CF”