삼각비 - Check Up

-1. 삼각비

Ⅶ

56

^삼각비 ^{기본서 84~87쪽}

익히기

1

⑴ AC”, 5 ⑵ AB”, 3 ⑶ AB”, 3

⑷ AC”, 5 ⑸ BC”, 4 ⑹ AB”, 3

유제❶ AC”="√10¤ -8¤ =6이므로

cos A= =;1§0;=;5#;, tan A= =;6*;=;3$;

∴ cos A+tan A=;5#;+;3$;=;1@5(; ;1@5(;

유제❷ tan C= = = 이므로

AB”= _6=2'7 AC”="√(2'7)¤ +6¤ =8이므로

cos C= =;8^;=;4#; ;4#;

유제❸ cos A=;7%;이므로 오른쪽 그림과 같이

∠B=90°, AC”=7, AB”=5 인 직각삼각형 ABC를 생각하면

BC”="7√¤ -5¤ =2'6

따라서 sin A= = , tan A= = 이므로

sin A+tan A= + = ④

유제❹ x-y+2=0에 x=0, y=0을 각각 대입하면 A(-2, 0), B(0, 2)

따라서 △AOB에서

AO”=2, BO”=2, AB”="2√¤ +2¤ =2'2 이므로

sin a= = =

cos a= = =

tan a= =;2@;=1

∴ sin a-cos a+tan a= - +1=1

④ '2

2 '2

2 BO”

AO”

'2 2 2 2'2 AO”

AB”

'2 2 2 2'2 BO”

AB”

24'6 35 2'6

5 2'6

2'6 5 BC”

AB”

2'6 7 BC”

AC”

A 5 B

7 BC”

AC”

'7 3

'7 3 AB”

6 AB”

BC”

AC”

AB”

직각삼각형에서 사인, 코 사인, 탄젠트 중 하나의 값을 알면 피타고라스 정 리를 이용하여 변의 길이 를 구한 후 나머지 두 삼 각비의 값도 알 수 있다.

x-y+2=0에서 y=x+2이므로 tan a 의 값은 직선의 기울 기와 같다.

유제❼ △CEG에서

∠CGE=90°이고 EG”='2_6=6'2 , CE”='3_6=6'3 이므로

sin x= = = ,

tan x= = =

∴ sin x_tan x= _ =

'6 6 '6

6 '2

2 '3

3 '2

2 6 6'2 CG”””

EG”

'3 3 6 6'3 CG”””

CE”

E x G

6Â2

6Â3 6

01 ^① 02^⑤ 03¹⁸ 04 05;1¡5;

06 ^③ 07;1•5; 08^② 09 10;5@;

11^③ 12^③ 13^③ 14;2!; 15 16^② 17^④ 18²'2

'7 4 3'5

5 5'∂11

기본서 88~90쪽

소단원성취도진단

01

^{sin A=}

△ABC에서 AB”="‘3¤ +2¤ ='1å3

∴ sin x= =

①

02

먼저 AC”의 길이를 구한 후 삼각비를 구한다.

△ABC에서 AC”="√5¤ +12¤ =13

⑤ cos A=;1∞3;

⑤

03

tan B=;[^;=;4#;이므로 x=8 ▶40%

△ABC에서 y="√8¤ +6¤ =10 ^▶^40%

∴ x+y=18 ▶20%

18 2'1å3

13 2

'1å3

(∠A의 대변의 길이) (빗변의 길이) 유제❺ △ABC와 △DEC에서

∠ABC=∠DEC=90°,

∠C는 공통 이므로

△ABCª△DEC (AA 닮음)

∴ ∠A=∠CDE=x

△ABC에서 AC”="√8¤ +4¤ =4'5이므로

sin x= = = ⑤

유제❻-1 △ABC와 △DAC 에서

∠BAC=∠ADC=90°,

∠C는 공통 이므로

△ABCª△DAC (AA 닮음)

∴ ∠B=∠CAD=x

△ABC에서 AB”="√5¤ -3¤ =4이므로

cos x= =;5$; ;5$;

AB”_AC”=BC”_AD”이므로 4_3=5_AD” ∴ AD”=:¡5™:

△ACD에서

cos x= =:¡5™:÷3=:¡5™:_;3!;=;5$;

유제❻-2 △ABC와 △ADB에서

∠ABC=∠ADB=90°,

∠A는 공통 이므로

△ABCª△ADB (AA 닮음)

∴ ∠C=∠ABD=x

△ABC와 △BDC에서

∠ABC=∠BDC=90°, ∠C는 공통 이므로

△ABCª△BDC (AA 닮음)

∴ ∠A=∠CBD=y

△ABC에서 AC”="√15¤ +8¤ =17이므로 sin x= =;1!7%;,

tan y= =;1•5;

∴ sin x_tan y=;1!7%;_;1•5;=;1•7; ;1•7;

BC””

AB”

AC”

B C D 8 x yx y 15 17 AD””

AC”

AB”

BC”

B C

D x x

5 3 '5

5 4 4'5 BC”””

AC”

x A

C B

E D4 8

x의 값 구하기 y의 값 구하기 x+y의 값 구하기

40%

20%

채점 기준 배점

한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이

'3a

한 변의 길이가 a인 정사 각형의 대각선의 길이

'2a

sin x=AC”

AB”

우공비 B0X 기본서

86~89

쪽

Step Up

Ⅶ.삼각비

04

주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 본다.

sin A=;6%;이므로 오른쪽 그림과 같이

∠B=90°, AC”=6, BC”=5 인 직각삼각형 ABC를 생각하면

AB”="√6¤ -5¤ ='∂11

∴ tan A= =

05

AC”="4√¤ +3¤ =5이므로 ^▶^20%

sin C=;5$;, cos C=;5#;, tan C=;3$; ^▶^60%

∴ sin C+cos C-tan C=;5$;+;5#;-;3$;

∴ sin C+cos C-tan C=;1¡5; ^▶^20%

;1¡5;

06

^{cos A=}

b=2a이므로

c="√b¤ -a¤ ="√(2a)¤ -a¤ ='3a

∴ cos A=;bC;= = ③

07

△ADC에서 AC”="1√0¤ -≈6Ω¤ =8 ^▶^30%

△ABC에서 BC”="1√7¤ -≈8Ω¤ =15 ^▶^30%

∴ tan x= =;1•5; ^▶^40%

;1•5;

08

^{sin A=}

sin A= =;6%;이므로 AC”=12

△ABC에서 AB”="1√2¤ √-≈10Ω¤ =2'1å1

∴ sin C= ='1å1 ②

6 2'1å1

12 10 AC”

(∠A의 대변의 길이) (빗변의 길이) AC”

BC”

'3 2 '3a

(빗변이 아닌 ∠A의 이웃변의 길이) (빗변의 길이)

5'∂11 11 5'∂11

11 5 '∂11

6 5

A B

직각삼각형의 두 변의 길 이를 알면 피타고라스 정 리를 이용하여 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다.

AC”의 길이 구하기 BC”의 길이 구하기 tan x의 값 구하기

30%

40%

채점 기준 배점

AC”의 길이 구하기

sin C, cos C, tan C의 값 구하기 sin C+cos C-tan C의 값 구하기

20%

60%

20%

채점 기준 배점

0 9

주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 본다.

2 tan A-1=0에서 tan A=;2!;이므로 오른쪽 그림 과 같이

∠B=90°, AB”=2, BC”=1 인 직각삼각형 ABC를 생각하면

AC”="2√¤ +1¤ ='5

따라서 sin A= = , cos A= = 이므로 sin A+cos A= + =

10

일차함수 y=2x+4의 그래프 x절편: -2, y절편: 4

y=2x+4에 x=0, y=0을 각각 대입하면 A(-2, 0), B(0, 4)

따라서 △AOB에서

AO”=2, BO”=4, AB”="√2¤ +4¤ =2'5 이므로

sin a= = , cos a= =

∴ sin a_cos a= _ =;5@; ;5@;

11

닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값은 일정하다.

△ABCª△EDC (AA 닮음)이므로

∠EDC=∠B=x

△DEC에서

CD”="√5¤ √+≈12Ω¤ =13

이므로 sin x=;1!3@;, cos x=;1∞3;

∴ sin x-cos x=;1!3@;-;1∞3;=;1¶3; ③

12

∠C=∠BAD=x, ∠B=∠CAD=y

∠B=90°-x=y,

∠C=90°-y=x

△ABC에서

BC”="√6¤ +3¤ =3'5 이므로

cos x= = , cos y= =

∴ cos x+cos y= + =3'5 ③ 5

2'5 5 '5

2'5 5 6 3'5 '5

5 3 3'5

6 3

B y Dx C

x y

3´5 A

B C

E x 5 x

12 13 '55

2'55

'5 5 2 2'5 2'5

5 4 2'5

3'5 3'5 5

5 2'5

5 '5

2'5 5 2 '5 '5

5 1 '5

A 2 B

y=2x+4에 y=0, x=0을 각각 대입하 면 x=-2, y=4이므 로 x절편은 -2, y절 편은 4이다.

△ABC와 △EDC에서

∠A=∠DEC=90°,

∠C는 공통이므로

△ABCª△EDC (AA 닮음)

16

주어진 삼각비를 갖는 직각삼각형을 그려 본다.

cos (90°-A)=;5@;이므로 오른쪽 그림과 같이

∠C=90, AB”=5, BC”=2 인 직각삼각형 ABC를 생각하면

AC”="√5¤ -2¤ ='∂21

∴ tan A= = ②

17

∠B=∠EDC=∠DAC=x

△ABCª△DAC (AA 닮음)이므로

∠B=∠DAC=x

△ABCª△EDC (AA 닮음)이므로

∠EDC=∠B=x

① △ADE에서 tan x=

② △CDE에서 tan x=

③ △ADC에서　　tan x=

④ △ABD에서　　tan x=

⑤ △ABC에서　　tan x= ④

18

두 정삼각형 ABC, BCD 에서

AE”=DE”

AE”= _6=3'3 ^▶^30%

꼭짓점 A에서 DE”에 내린 수선 의 발을 H라 하면

EH”=;3!; DE”=;3!;_3'3='3 ^▶^30%

AH”= _6=2'6이므로 ^▶^30%

tan x= =2'2 ^▶^10%

2'2 2'6

'3 '6

3 '3

C D

E 6

xH AC”

AB”

AD”

BD”

CD”

AD”

CE”

DE”

AE”

x x

A E

B D C

2'∂21 21 2 '∂21

2 A

B C

90æ-A

13

BD”를 빗변으로 하고 △ABE와 닮은 직각삼각형 을 찾는다.

△ABDª△EBA (AA 닮음)이므로

∠BDA=∠BAE=x

△ABD에서 BD”="√8¤ +6¤ =10이므로 sin x=;1§0;=;5#;

③ AB” ¤ =BE”_BD”이므로

6¤ =BE”_10

∴ BE”=;1#0^;=:¡5•:

∴ sin x=:¡5•:÷6=:¡5•:_;6!;=;5#;

14

△AEG는 ∠AEG=90°인 직각삼각형이다.

△AEG에서 ∠AEG=90°이고 EG”="√3¤ +4¤ =5,

AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2 이므로

sin x= = ,

cos x= =

∴ sin x_cos x= _ =;2!;

;2!;

15

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

sin B= =;5#;

∴ AH”=;5#;_15=9 ^▶^50%

따라서 △AHC에서 CH”="√12¤ -9¤ =3'7이므로

cos C= = ▶50%

'7 4 '7

4 3'7

12 AH”

B H C

15 12 '2

2 '2

2 5 5'2

'2 2 5 5'2

x 5

5 A

E G

5´2

AH”의 길이 구하기 cos C의 값 구하기

50%

채점 기준 배점

서술형 답안 작성Tip

보조선을 그어 ∠B를 한 내각으로 갖는 직각삼각형을 찾는다.

AE”, DE”의 길이 구하기 EH”의 길이 구하기 AH”의 길이 구하기 tan x의 값 구하기

30%

10%

채점 기준 배점

△ABD와 △EBA에 서

∠BAD=∠BEA=90°,

∠ABD는 공통이므로

△ABDª△EBA (AA 닮음)

세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대 각선의 길이

"√a¤ +b¤ +c¤

한 변의 길이가 a인 정삼 각형의 높이

'3a 2

한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 높이

'6a 3

우공비 B0X 기본서

90~94

쪽

Step Up

Ⅶ.삼각비

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