피보나치수열은 여러 가지 성질을 갖는다. 여기서는 그 중 두 가지만 증명해 보도록 하자.
여기서 두 수 의 최대공약수를 gcd, 피보나치수열을
이라고 표현하자.정리1 모든 자연수 에 대해 gcd
=1 이다.정리1을 귀류법으로 증명해보자. 1보다 큰 자연수 에 대해 gcd
=라고 가정 하자. 그러면
도 를 인수로 갖는다. 이와 더불어 또한
이므로
도 를 인수로 갖는다. 이와 같은 과정을
⋯ 등에 계속적으로 적용하면 결국에는
도 를 인수로 갖게 된다. 그런데
=1이므로 이는 모순이다. 따라서 1보다 큰 자연수 에 대해 gcd
≠이므로 gcd
=1이 성립한다.정리2
≥ ⋯(*)일단, 이 정리2의 의미는 아래 표와 같다.
파스칼의 삼각형을 왼쪽으로 밀어서 위와 같이 재배치한다.
위와 같은 방식으로 대각선으로 이항계수 들을 더하면 피보나치수열이 나타난다.
정리2를 수학적 귀납법으로 보이자.
일 때,
이므로 (*)가 성립한다. 인 모든 자연수 에대해 (*)이 성립한다고 가정하자. 그러면
⋯
⋯
읽기자료
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제시문 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.*
[가] 부분적분법은 적분을 계산하는 중요하고 유용한 방법 중의 하나다. 실수 닫힌구간
≤ ≤ 에서 연속이고 열린구간 에서 미분가능인 두 함수 와 에 대 하여
′
′ 이 성립한다는 것이 부 분적분법의 내용이다.[나] 삼각함수는 수학에서 중요한 함수로, 대단히 넓은 범위에까지 활용되고 있다.
이제 정수 ≥ 에 대하여
cos ( ≥ ) 라 두고 수학적 귀납법과 부분적 분을 이용하여
의 값을 계산해보자.논제 I-1
부분적분법이 성립하는 이유를 설명하시오. (10점)
논제 I-2
정수 ≥ 에 대하여 cos , sin 라 두면
′ 이 됨 을 설명하시오.(5점)논제 I-3
정수 ≥ 에 대하여,
이 성림함을 증명하시오. (15점)논제 I-4
cos 를 계산하시오.(15점)논제 I-5
cos 를 계산하시오. (15점)* 부산대학교 입학처
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문항 수 수학 1문항, 과학 1문항(총 2문항) 시간 100분
연관 개념 부분적분법, 삼각함수, 수학적 귀납법 논술유형분석
제시문분석 제시문 [가]
부분적분법의 쓰임과 내용에 대해 설명하고 있다.
제시문 [나]
수학적 귀납법과 부분적분법을 이용하여 삼각함수의 적분값 구하기를 설명하고 있다.
논제분석
논제 I-1
제시문 [가]에서 언급한 부분적분법이 성립하는 이유를 묻고 있다.
논제 I-2
제시문 [나]의 물음을 해결하기 위한 첫 과정으로 부분적분법을 사용할 수 있게 함수를 변형하여 계산하도록 묻고 있다.
논제 I-3
제시문 [나]의 물음을 해결하기 위해 점화식을 제시하고, 이를 증명토록 하고 있다.
논제 I-4
[논제 Ⅰ-3]을 이용하여 구체적인 값을 구할 수 있는지 묻고 있다.
논제 I-5
[논제 Ⅰ-3]을 이용하여 구체적인 값을 구할 수 있는지 묻고 있다.
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풀어보기
문제 1 자연수 에 대하여
sin 라 할 때,
를 만족시키는 서로소인 두 자연수 와 의 합 의 값을 구하시오. (2013년 EBS 수능완성 적분과 통계)문제 2 정의역이 인 함수 에 대하여 ′
이고, 함수
일 때,
′ 이다. 의 값은? (2012년 6월 평가원)
①
②
③
④
⑤
문제 3 그림에서 두 곡선 , 과 축으로 둘러싸인 부분
의 넓이를 , 두 곡선 , 과 직선 로 둘러 싸인 부분
의 넓이를 라 할 때, 의 값은? (2009년 대수능)①
② ③ ④
⑤
문제 4 그림과 같이 곡선 sin
≤ ≤
에 대하여 이 곡선과 축, 직선 로 둘러싸인 영역을
, 이 곡선과 직선 , 직선 로 둘러싸인 영역을
라 하자.
의넓이와
의 넓이가 같을 때, 상수 의 값은?(단, ≤ ≤ ) (2011년 9월 평가원)
①
②
③
④
⑤