뉴턴은 년 무렵에 미적분법의 기본적인 아이디어에 이르렀다고 생각된다. 하지만
‘비밀주의자’로 알려진 뉴턴은 미적분법의 아이디어를 곧바로 발표하지 않았다 뉴턴의 미 적분에 관한 성과가 <구적론>으로 정식 출판된 것은 그로부터 약 40년이나 지난 1704년 의 일이다. 미적분에는 뉴턴 이외에 또 한사람의 창시자가 있다. 독일의 철학자, 수학자인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(1646~1716)이다. 1684년 라이프니츠는 자신의 미적분 아이 디어를 정리해서 뉴터보다 빨리 출판했다. 그런 사정 때문에 누가 미적분의 창시자인지를 둘러싸고 뉴턴과 라이프니츠 사이에 격렬한 싸움이 벌어졌다.
현대의 기준으로 말하자면, 뉴턴이 먼저 아이디어를 내놓았다고 해도 먼저 학술지에 정 식으로 발표한 라이프니츠가 미적분의 창시자라고 할 수 있다. 하지만 17세기 당시에는 그런 선취권에 관한 규칙이 제대로 정비되어 있지 않았다. 이 때문에 뉴턴과 라이프니츠의 격렬한 싸움이 시작된 것이다.
미적분의 선취권 싸움에서 라이프니츠에게 불리한 상황 증거가 남아있다. 그것은 1676 년에 라이프니츠가 런던에 왔을 때, 앞서 소개한 콜린스로부터 수학에 관한 뉴턴의 논문을 읽어 달라는 부탁을 받고 그 일부를 베꼈다는 점이다. 읽어 달라고 받은 논문 가운데는 미적분에 관한 성과도 들어있었다. 이 상황 증거가 나중에 라이프니츠가 뉴턴의 아이디어 를 훔쳤다고 고발되는 큰 계기가 되었다.
라이프니츠는 그 전 해인 1675년에 미적분의 기본 정리에 독자적으로 이르렀기 때문에 뉴 턴의 아이디어를 훔칠 필요는 없었다. 실제로 이때는 ‘급수전개’라는 미적분의 기본 정리 와는 직접 관계가 없는 부분만 베꼈음이 판명되었다.
1676년 뉴턴과 라이프니츠는 수학적인 성과에 관한 편지를 주고받기도 했다. 당시는 아직 두 사람 사이에 대립 관계가 없었다. 이때 편지를 주고받으면서 뉴턴은 미적분의 방법 일 부를 라이프니츠에게 전했다. 그러나 그런 방법을 이용해 무엇이 가능한지, 즉 미적분에 사용된다는 점에 대해서는 암호(철자 바꾸기)로 바꾸어 적었다. 라이프니츠는 암호 부분의 의미를 알 수 없었을 것이다.
싸움의 불길이 당겨진 것은 1699년 이었다. 뉴턴의 신봉자였던 스위스출신의 수학자 니 콜라스 파티오가 뉴턴이야말로 미적분학의 창시자이며, 라이프니츠는 뉴턴의 아이디어를 훔쳤다고 자신의 책에서 주장한 것이다.
그러자 라이프니츠는 화를 내고 다음해인 1700년 학술지에 반론을 게재했다. 이를 보고 뉴턴도 화를 냈을 터이지만 이때는 더 이상 싸움이 격화되지 않았다. 그러나 싸움의 불길 이 사라진 것은 아니다. 1704년 뉴턴은 자신의 미적분에 대한 첫 발표물인 <구적론>을 내 놓았다. 그 책에서 뉴턴은 미적분에 관한 성과를 라이프니츠에게 알린 적이 있다고 썼다.
그것은 1676년에 라이프니츠에게 보낸 편지였다. 편지에서는 핵심부분을 암호로 바꾸어 감추었지만, 이 책에서는 그 내용을 밝혔다. 즉 미적분의 기본정리를 먼저 발견한 사람은 자신이며, 라이프니츠가 그것을 훔쳤다고 암시한 셈이다.
읽기자료
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이에 대해 라이프니츠도 격노했으며, 다시 학술지에 반론을 게재했다. 그리고 그 후에는 서로의 지지자를 끌어들여 격렬한 비방 중상의 응수가 되풀이 되었다.
싸움은 최종 국면을 맞이한다. 1711년 비난전을 참을 수 없었던 라이프니츠는 영국의 왕립협회에 항의 편지를 보냈다. 공정한 판정을 바란다고 호소한 것이다. 왕립협회의 회답 은 ‘뉴턴이야말로 첫 발견자이며, 라이프니츠는 뉴턴이 보낸 편지로 미적분의 기본정리를 알았다’는 것이었다. 이것은 표면적으로는 제 3자인 협회의 회답이었지만, 실질적으로는 왕립협회장인 뉴턴의 지시에 따라 작성된 것으로 보인다.
왕립협회는 1712년에 미적분의 선취권 싸움에 관해 조사 위원회를 구성했다. 다음해인 1713년에는 조사 결과를 정리한 보고서를 작성해 각국의 학술 기관에 배포했다. 결론은
‘뉴턴이야말로 첫 발견자이며, 라이프니츠는 뉴턴이 보낸 편지로 미적분의 기본정리를 알 았다’는 내용이었다. 이것은 뉴턴이 뒤에서 모두 조종했으므로 당연한 결론이다. 뉴턴은 조사 위원회 위원의 선정에서부터 조사 결과의 편집까지 관여했다는 사실이 알려져 있다.
보기 흉한 이 싸움의 진상이 밝혀진 것은 훨씬 나중 시대의 일이다. 당시는 뉴턴의 책략 으로, 라이프니츠가 뉴턴의 성과를 도용했다는 인식이 세상에 널리 퍼져 있었다. 라이프니 츠는 왕립협회의 부당한 조사결과가 발표되고 나서 3년이 지난 1716년에 실의 속에서 쓸 쓸히 숨을 거두고 말았다.
오늘날에는 두 사람이 각기 독립적으로 연구했고, 미적분학의 발견은 뉴턴이 앞섰지만 발표는 라이프니츠가 우위인 것으로 인정된다.
[뉴턴(왼쪽)과 라이프니츠(오른쪽)]
* 『뉴턴의 대발명 미분과 적분』 Newton 하이라이트
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예시답안
풀어보기
문제 1 정답
네 점을 지나는 평면의 방정식을 이라 하면 세 점 A B C 가 평면
위의 점이므로
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
⋯⋯ ㉢
㉢에서 , 를 ㉠에 대입하면 이고 를 ㉡에 대입하면 따 라서 평면의 방정식은
(단, ≠)
양변을 로 나누면 , 점 D 이 평면 위에 있으므로
∴
문제 2 정답
구 의 중심의 좌표는 이고 반지름의 길이는
이다.평면과 구가 접하므로 구의 중심과 평면 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같다.
∴ 또는
따라서 모든 실수 의 값의 합은 이다.
문제 3
직선 위의 임의의 점 를 구의 방정식
에 대입하면
또는
이다. 따라서 P Q
이다. PQ
이므로 ∠PCQ
이 다. 이를 나타내면 다음과 같다.
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∴ PQ
×
문제 4 정답
닫힌 구간 에서 정의된 함수
에서 로 놓으면 구하는 함
수의 최댓값과 최솟값은 닫힌구간 에서 정의된 함수
의 최댓값
과 최솟값과 같다. 함수
의 그래프의 개형을 그려보면
(ⅰ)
lim
→∞
lim
→ ∞
이므로 함수 의 그래프의 점근선은 축이다.
(ⅱ) 일 때 이고, 일 때 이다.
(ⅲ) 이므로 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
(ⅳ) ′
⋅ ⋅
에서 또는
그러므로 는 에서 극소이고 에서 극대이다. 따라서 함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
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이때, 닫힌 구간 는 에 대하여 대칭인 구간이므로 함수 의 최댓 값
과 최솟값 에 대하여
, 즉
을 만족하려면 닫힌구간 는 과 을모두 포함해야한다.
∴ ≤ 이고 ≥ ∴ ≥ 이고 ≥ ∴ ≥
따라서 구하는 의 최솟값은 이다.
논제Ⅰ-1
*(i) 구의 중심 구하기 :
점 E 를 원점, EF를 축, EH를 축, EA를 축으로 하면, 꼭짓점의 좌표는 A
B D 이다. 이때, 사면체 ABDE에 외접하는 구의 중심을 O 라 하면,
OA OB OD OE가 성립해야 하므로
이 되어, O
를 얻는다.
(ii) 사면체 OBDE의 높이 구하기 :
점 B D E 를 지나는 평면의 방정식을 이라 하고, 에 B D E의 좌 표 을 각각 대입하면 평면의 방정식은 이다. 사면 체 OBDE의 높이 는 점 O와 평면 사이의 거리와 같으므로, 의 값 은 다음과 같이 주어진다.
(iii) 삼각형 BDE의 넓이를 구하기 :
삼각형 BDE의 각 변의 길이는
이다.제시문 (다)에서 주어진 식을 적용하기 위하여
라 하면 삼각형 BDE의 넓이
에 대하여 다음이 성립한다.
* 대학예시답안