논제Ⅰ-1
팔면체 V 가 깎은 정사면체일 때, 팔면체 V의 한 모서리의 길이와 부피를 구하는 문항이다. 제 시문 [다]에 제공된 깎은 정사면체는 정삼각형 개, 정육각형 개로 이루어졌다는 사실을 이용 하면 풀 수 있다.
논제Ⅰ-2
팔면체 V가 깎은 정사면체일 때, 구 O의 반지름의 길이를 구하는 문항이다. 단면을 이용하여 구 O의 반지름이 되는 부분을 정확하게 표현할 수 있어야 하며, 정사면체의 높이와 무게중심에 대한 사전지식이 있으면 문제를 해결하는 시간을 줄일 수 있다.
논제Ⅰ-3
팔면체 V 에 외접하는 구 O의 반지름의 길이가
일 때 팔면체 V 의 겉넓이를 구하는 문 항이다. 팔면체 V 가 깎은 정사면체가 아님을 알아야 한다.
논제Ⅱ-1
소리를 감지하는 시간차를 이용하여 외계 생물이 소리를 내는 위치를 파악하는 방법을 묻고 있 다. 소리의 속력이 일정할 때 거리의 차가 일정하다는 사실을 이용하면 해결할 수 있다.
논제Ⅱ-2
감지장치가 있는 지점의 위치를 제시하고 외계생물이 소리를 내는 위치를 구하라는 문항이다.
각 지점을 좌표평면위의 좌표로 나타내면 감지장치가 있는 지점을 초점으로 하는 쌍곡선의 방정 식을 구할 수 있다.
논제Ⅱ-3
네 지점 A ,B,E,F에서 외계생물과의 거리에 대한 식을 제시하고 외계 생물이 움직이는 경로 를 유추하는 문항이다. 주어진 식의 합과 차를 이용해서 두 지점 사이의 거리의 차를 구한다.
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배경지식쌓기
1. 정사면체의 높이와 무게중심
① 높이 OH
② 무게중심 G ⇒ OG GH
2. 쌍곡선의 방정식
가. 두 정점 F , F′ 에서의 거리의 차가 일정한 값
인 쌍곡선의 방정식은
(단, ) ① 주축의 길이 :
② 초점의 좌표 : F , F′
③ 꼭짓점의 좌표 : A A ′
④ 점근선의 방정식 : ±
나. 두 정점 F F ′ 에서의 거리의 차가 일정한 값
인 쌍곡선의 방정식은
(단, ) ① 주축의 길이 :
② 초점의 좌표 : F F ′ ③ 꼭짓점의 좌표 : A A ′
④ 점근선의 방정식 : ±
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풀어보기
문제 1 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인 원뿔이 평면 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내 접한다. 평면 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 O, 원뿔의 꼭짓점을 A라 하자. 중심이 B 이고 반지름의 길이가 인 구 S가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 구 S는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.
(나) 두 점 A, B의 평면 위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때,
∠A′OB′ 이다.
직선 AB와 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, tan 이다. 의 값을 구하시 오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.) (2011년 대수능)
문제 2 그림과 같이 두 초점이 FF’ 인 쌍곡선
위의 점 P 에 서의 접선과 축과의 교점이 선분 F ′F를 로 내분할 때, 의 값을 하시오. (단, 는 상수이다.) (2013년 9월 평가원)