인 직선은 정수점 를 지난다. 가 서로 소인 자연수이므로 는 직선 이 만나는 최초의 정수점이다. 원점과 점 를 잇는 선분을 【제시문 2】를 이용하여 꺾은선으 로 바꾸면 의 출발 기울기가
일 때의 꺾은선이다. 따라서 꺾은선의 길이는 원점에서
까지의 거리인
이다.18 ｜
[가] 아르키메데스(약 기원전 287년 ~ 기원전 212년)는 고대 그리스 시칠리아 섬의 시라쿠사 출신의 철학자, 수학자, 천문학자, 물리학자, 공학자이다. 아르키메데스 나선양수기, 해 상에 있는 배를 공격하기 위한 거울 등의 기계를 제작하기도 하였다. 또한, 아르키메데 스는 고전 고대 시기의 가장 뛰어난 수학자 가운데 한 명으로 서거법의 도입, 포물선으 로 둘러싸인 도형의 넓이 계산, 원주율의 계산과 같은 업적들이 있다. 타원은 평면 위의 서로 다른 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 말하며, 두 정점을 타원의 초점이라고 한다. 아르키메데스는 아래와 같은 방법으로 타원의 넓이를 계산하는 방법을 생각하였다. 아래 그림에서 P는 장축의 길이가 이고 단축의 길이가 인 타원이고, O는 이 타원의 장축을 지름으로 하는 원이다. 원 O에 내접하는 정 각형을 그리 고, 정 각형의 각 꼭짓점에서 장축에 내린 수직선과 타원이 만나는 점들을 연결하여
각형을 그린다. 이때, 이 증가할수록 각 다각형의 넓이는 원과 타원의 넓이에 수렴 하게 된다.
원 O의 방정식 : 타원 P의 방정식 :
제시문 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.*
* 경희대학교 입학처
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[나] 파푸스(약 기원후 290년~기원후 350년)는 고대 그리스의 수학자이다. 파푸스는 그리스 기하학의 기존 정리와 증명에 주석을 붙이고, 개선한 기하학 연구 총서와 같은 <수학집 성(Collection)>을 저술하였다. 파푸스가 남긴 기하학 연구 주제 중에 아래 그림과 같은 파푸스 체인이라는 것이 있다. 먼저 큰 원 안에 작은 원이 내접하고 있다. 그러면 두 원 의 중심을 연결하는 직선 위에 중심이 있으면서 두 원에 동시에 접하는 원을 한 개 (O) 그릴 수 있다. 그 다음에 이 세 원에 동시에 접하는 원을 두 개 (O O) 그릴 수 있다. 이와 같은 과정을 반복하면 아래 그림과 같이 원들(O,O O O O ⋯ ) 이 서로 접하고 있는 체인 형태를 얻게 된다. 이것을 파푸스 체인이라고 부른다. 파푸스 체인은 여러 가지 재미있는 성질을 가지고 있다. 한 예로, 파푸스 체인의 모든 원들의 중심은 어떤 한 타원 위에 있다.
논제 I-1
제시문 [가]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.장축의 길이가 , 단축의 길이가 인 타원의 넓이를 구하는 공식을 구하려고 한다. 제시문 [가]에 주어진 아르키메데스의 방법을 이용하여 타원의 넓이 공식을 유도하고 유도과정을 설명하 시오.
논제 I-2
제시문 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.파푸스 체인의 각 원들의 중심이 지나는 타원의 두 초점과 장축, 단축의 길이를 설명하시오.
논제 I-3
제시문 [가]와 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.파푸스 체인을 만들기 위하여 주어진 처음 두 원의 반지름이 각각 일 때, 파푸스 체인의 각 원의 중심들이 지나는 타원의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오.
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문항 수 수학 1문항, 과학1-2문항(총 2-3문항) 시간 120분 연관 개념 이차곡선, 다각형의 넓이
논술유형분석
제시문분석
제시문[가]
타원의 면적을 원과 타원에 각각 내접하는 다각형의 닮음을 이용하여 설명하고 있다.
제시문[나]
한 원에 외접하는 동시에 다른 한 원에 내접하는 원들의 중심을 이어 만든 도형이 타원이 됨 을 설명하고 있다.
논술유형분석
논제 I-1
제시문 [가]에 의해 만들어진 다각형들의 한 변을 기준삼아 넓이의 비를 구할 수 있는지를 묻고 있다.
논제 I-2
제시문 [나]에 의해 만들어진 타원의 장축과 단축을 각 원들의 중심까지의 거리들을 이용하여 구할 수 있는지를 묻고 있다.
논제 I-3
[논제 Ⅰ-2]에서 구한 파푸스 체인에 의해 만들어진 타원들의 장축과 단축을 이용하여 타원의 넓이를 구할 수 있는지를 묻고 있다.
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풀어보기
문제 1
한 변의 길이가 인 마름모 ABCD에 대하여 대각선 BD를 장축으로 하고, 대각선 AC 를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가
이다. 마름모 ABCD의 넓이는? (2011년 대수능)①
②
③
④
⑤
문제 2
원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오. (2012년 7월 전국연합)
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아르키메데스 - 유한으로 무한을 생각하기(적분법의 시작)
* 1. 아르키메데스의 포물선에 대한 착출법아르키메데스는 고대인 중에서 실진법을 가장 잘 응용하고 나아가 오늘날의 적분에 가장 근접한 착출법을 연구한 사람이다. 그의 최초의 예 중의 하나로 포물선 분절 구적법을 다 음 그림에서 생각해 보자.
그림에서 점 C D E는 선분 AB CA CB의 중점을 지나고, 포물선의 축에 평행한 선 분 LC MD N E를 그어 얻는 포물선의 호 위의 점이다. 포물선의 기하학적 성질로부터 아르키메데스는 다음 식이 성립함을 밝혔다.
∆CDA ∆CEB
∆ABC 이 발상을 반복하여 적용하면 포물선의 부분 면적은
∆ABC
∆ABC
∆ABC
∆ABC ⋯
∆ABC
⋯
∆ABC
2. 아르키메데스 이야기
‘포물선이나 타원 면적 구하기는 소젖 짜기를 닮았다?’ 아르키메데스의 수학적 업적 중 에 가장 중요한 것은 포물선이나 타원형에 관한 연구이다. 특히 ‘무한 소진법(消盡法)’이라 읽기자료
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고 불리는 면적 구하기는 후세에 큰 영향을 미쳤다. 지금은 타원이나 곡선의 함수식만 구 하면 적분법을 이용해 쉽게 면적을 구할 수 있다. 하지만 아르키메데스는 무한히 많은 도 형을 그림으로써 면적을 구했다. 포물선의 경우 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분에 삼각 형과 사다리꼴의 수를 계속 늘려 가면 곡선으로 둘러싸인 면적에 근접하게 된다.
삼각형과 사다리꼴로 나타낼 수 있다면 쉽게 면적을 구할 수 있는 원리를 이용한 것이다.
사다리꼴의 수를 늘려가며 포물선 내의 면적을 구해 나가는 모습이 마치 소의 젖을 짜내 는 것과 닮았다 해서 ‘착출법(搾出法)’이라는 이름도 붙었다. 이같은 방법은 아르키메데스 보다 앞서 기원전 4세기에 살았던 수학자로 플라톤의 제자이자 친구였던 에우독소스가 고 안하고 아르키메데스가 완성한 것으로 알려져 있다고 이만근 교수는 설명했다. 에우독소스 나 아르키메데스 시대에는 무수히 많은 도형을 그려 나간다는 생각은 했지만 ‘극한’이나
‘무한’이라는 개념은 없었다. 오히려 ‘무한’은 ‘무질서’라고 생각해 기피하기도 했다고 한 다. 하지만 아르키메데스가 ‘무수히 많은 도형을 그려 면적을 구한 것’은 18세기 아이작 뉴턴과 라이프니츠 시대에 개발된 적분 개념의 원형이 된다. 아르키메데스를 미적분의 선 구자라고 부르는 것은 그 때문이다. 적분이란 무한히 쪼갠 조각을 쌓는 것이다.
아르키메데스가 수학사에 남긴 가장 큰 업적 중 하나는 지금도 그대로 쓰고 있는 ‘원주율
( )’이다. 아르키메데스는 원의 둘레의 길이는 원에 내접하는 정다각형보다는 크고 외접하는 정다각형보다는 작다는 원리에 착안했다. 그는 내·외접하는 정 각형을 각각 그려 원의 둘레의 길이를 계산했다. ‘원의 둘레 길이= ×(원주율)×(반지름)’이다.
따라서 지름()을 이라고 하면 원의 둘레 길이가 바로 에 해당한다. 아르키메데스는 이를 활용해 원주율 는
(내접 다각형의 둘레의 길이)과
(외접 다각형의 둘레의
길이) 사이의 수라고 계산했다. 다만
라는 수가 어떻게 나왔는지에 대해서는 구체적인 설명을 남겨놓지 않았다. 이를 소수로 변환해 보면
이다. 현재 사용하는 원주율 도 이 범주에 들어간다.
* 수학의 고향을 찾아서 - 아르키메데스
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예시답안
풀어보기
문제 1
마름모 ABCD에 대하여 대각선 BD 의 길이를 , 대각선 AC의 길이를 라 하면 마름모 의 한 변의 길이가 이므로
⋯⋯ ㉠
이 성립한다. 또한 타원의 중심을 이라 하면 타원의 두 초점 사이의 거리가
이므 로 두 초점의 좌표는
,
이고
⋯⋯ ㉡이다. ㉠+㉡을 하면 , , ∴
이고
을 ㉠에 대입하면 ∴ 이다. 따라서 마름모 ABCD의 넓이는
×
×× ×
×
×
문제 2
원 의 중심을 C, 타원의 초점을 각각 F, F ′이라 하면 장축의 길이는
F ′C CF 이다.