이 증가할수록 각 다각형의 넓이가 원과 타원의 넓이에 수렴하므로 원과 타원의 넓이비는 원 에 내접하는 정 각형의 넓이와 타원에 내접하는 각형의 넓이비와 같다. 각각의 각형은 제시문 [가]의 그림처럼 개의 삼각형과 개의 사다리꼴로 나눌 수 있다.
이때, 각각의 대응되는 삼각형과 사다리꼴들은 높이가 같다. 따라서 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비와 같다.
∆GHF ∆GH ′F ′ HF H ′F ′
H 와 H ′의 좌표를 라고 할 때, 좌표는 각각
,
이다.따라서 ∆GHF ∆GH ′F ′ HF H ′F ′ 이다.
사다리꼴 AHFE와 사다리꼴 A′H ′F ′E ′의 경우도 마찬가지로 밑변과 윗변의 길이비가 모두
이므로 넓이비도 이다.
그러므로 원에 내접하는 정각형의 넓이와 타원에 내접하는 각형의 넓이비가 가 되며, 원과 타원의 넓이비도 이므로, 타원의 넓이는 ×
이다.
논제Ⅰ-2
큰 원과 작은 원의 반지름을 각각
과 이라 하고, 파푸스 체인의 원 O의 반지름을 라고 하자. 원 O는 작은 원과 외접하고, 큰 원에 내접하므로, 작은 원과 원 O의 중심거리는 이고, 큰 원과 원 O의 중심거리는
이다.이 두 중심거리의 합
은 모든 원 O에 대하여 일정하므로, 원 O의 중심에서 작은 원의 중심과 큰 원의 중심에 이르는 거리의 합이 모든 에 대하여 같다고 할 수 있다.따라서 타원의 정의에 의하여 원 O의 중심은 작은 원의 중심과 큰 원의 중심을 초점으로 갖는 타원 위에 있다. 큰 원과 작은 원의 중심거리는
이므로, 장축의 길이는
이고, 단축의 길이는
이다.논제Ⅰ-3
, 이므로 장축의 길이는 이고, 단축의 길이는
이다. 따라서 타원의 넓이는 × ×
이다.* 경희대 예시답안 참조
28 ｜
[가]
우리는 일상생활에서 그림이나 사진을 확대하거나 축소하는 경우를 자주 볼 수 있다. 한 도형 을 확대하거나 축소하여 얻은 도형은 처음 도형과 크기는 다르지만 모양은 같다. 이와 같이 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 얻게 된 도형이 다른 도형과 합동일 때, 이들 두 도형은 서로 닮음인 관계가 있다고 하며, 닮음인 관계가 있는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 서로 닮은 도형에서 대응하는 선분의 길이의 비를 닮음비라고 한다.
[나]
기원전 년 경 그리스 델로스 섬에는 전염병이 돌고 있었다. 델로스 사람들은 아폴론 신으 로부터 ‘전염병을 퇴치하려면 신전에 있는 정육면체 모양의 제단과 닮은 도형이면서 부피가
배인 제단을 만들라’는 신탁을 받았다. 델로스 사람들은 정육면체 모양의 제단을 개 붙여 제단을 만들었는데, 아폴론 신은 부피는 배이지만 닮은 도형이 아니라고 했다. 그래서 델로 스 사람들은 정육면체 각 모서리의 길이를 배로 늘인 정육면체 제단을 만들었다. 그러자 아 폴론 신은 이번에는 닮은 도형이지만 부피가 배가 되었다며 다시 만들라고 하였다.
[다]
각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같은 볼록한 다면체를 정다 면체라고 한다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 가지 가 있다. 한편, 두 종류 이상의 정다각형인 면으로 둘러싸여 있으면서 구에 내접하는 다면체 를 준정다면체라고 한다. 대표적인 것으로 아르키메데스의 입체라 불리는 개의 준정다면체 가 있다. 아르키메데스의 입체는 아르키메데스의 저서가 전해지지 않아 그 구체적인 모양이 한동안 알려지지 않았었다. 그러나 르네상스 시대부터 여러 수학자들의 노력의 결과로 차츰 모양이 밝혀졌으며, 마침내 년 케플러에 의해서 모두 밝혀졌다. 아르키메데스의 입체 중 에서 ‘깎은 정사면체’, ‘깎은 정육면체’, ‘깎은 정팔면체’, ‘깎은 정십이면체’, ‘깎은 정이십면 체’ 등 깎은 정다면체들은 정다면체를 각 꼭짓점으로부터 일정한 거리에 있는 지점을 지나는 평면으로 잘라 내어 만든 것이다. 예를 들어 깎은 정사면체는 정사면체로부터 만들어진 것으 로 정삼각형 개, 정육각형 개로 이루어져 있다.
깎은 정사면체
깎은 정육면체
깎은 정이십면체 제시문Ⅰ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.*
* 경희대학교 입학처
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그림 1. 정사면체 ABCD와 구 O가 만나는 개의 점을 꼭짓점으로 갖는 팔면체 V가 있 다. 여기서 정사면체 ABCD의 한 모서리의 길이는 이고, 구 O의 중심은 정사면 체 ABCD에 외접하는 구의 중심과 같다. 이때 면 AAA와 면 BCD, 면 BBB와 면 ACD , 면 CCC와 면 ABD , 면 DDD와 면 ABC는 각각 서 로 평행하다.
논제 I-1
팔면체 V 가 깎은 정사면체일 때, 팔면체 V 의 한 모서리의 길이와 부피를 구하고 그 근거를 논술하시오. (배점 15점)
논제 I-2
팔면체 V가 깎은 정사면체일 때, 구 O의 반지름의 길이를 구하고 그 방법을 서술하시오.
(배점 10점)
논제 I-3
팔면체 V 에 외접하는 구 O의 반지름의 길이가
일 때, 팔면체 V의 겉넓이를 구하고 그 근거를 논술하시오. (배점 15점)
30 ｜
[가] 좌변이 인수분해 되지 않는 , 에 대한 이차방정식
이 한 변수만의 방정식이 되는 경우가 아니면, 이 방정식이 나타내는 곡선을 이차곡선이라고 한 다. 이때, 계수의 관계에 따라 원, 포물선, 타원, 쌍곡선이 된다. 이차곡선은 공간에서 원뿔을 한 평면으로 자를 때 생기는 단면의 둘레와 같아 원뿔곡선이라고도 한다. 고대 그리스 수학 자 아폴로니오스는 그의 저서 “원뿔곡선론”에서 직원뿔을 자르는 평면이 원뿔의 밑면과 이루 는 각을 모선과 밑면이 이루는 각과 비교하여 포물선, 타원, 쌍곡선으로 분류하였다. 밑면과 평행한 평면으로 자를 때 생기는 원은 타원의 한 종류로 생각할 수 있다. 아라비아 수학자 카얌은 원뿔곡선을 이용하여 삼차방정식의 근을 구하였다. 근세의 천문학자이자 수학자인 케 플러는 스승인 티코로부터 물려받은 관측 자료를 분석하여 태양계의 행성이 타원 궤도를 따 라 움직인다는 것을 발견하였다. 원뿔곡선은 천문 현상을 비롯한 여러 자연 현상을 기술하는 데 없어서는 안 될 중요한 곡선이다.[나] 평면 위에 그려진 원뿔곡선들은 다음과 같이 정의된다. 원은 한 정점에서의 거리가 일정 한 점들의 집합이고, 포물선은 한 정점과 그 점을 지나지 않는 한 정직선에 이르는 거리가 같은 점들의 집합이다. 타원은 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이고, 쌍곡선 은 두 정점에서의 거리의 차가 일정한 점들의 집합이다.
[다] 분수방정식을 변형하여 얻은 다항식으로만 이루어진 방정식의 근 중에서, 분모를 이 되게 하여 변형 전 분수방정식을 만족하지 않는 것을 무연근(無緣根, extraneous root)이라 고 한다. 무연근은 주어진 방정식과 인연이 없는 근이라는 뜻에서 붙여진 이름이다. 마찬가 지로 무리방정식을 변형하여 얻은 다항식으로만 이루어진 방정식의 근 중에서, 변형 전 무리 방정식을 만족하지 않는 것도 무연근이다.
제시문Ⅱ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.