창의사고력 TEST 037쪽

= 2 =-4+3'2 112532

4+3'2

11253111122 7+6'2-3'2-3

112x-y2 2(x+2y)

112531111(x-y)(x+2y) 2x+4y

11253113x¤ +xy-2y¤

❶x‹ -x¤ y-x+y를 인수분해하기

❷직육면체의 높이 구하기

❸직육면체의 겉넓이 구하기

40 % 30 % 30 %

채점 기준 배점

❶A, B, C의 값 구하기

❷A+B+C의 값 구하기

70 % 30 %

채점 기준 배점

x¤ +8x=A로 치환

01

주어진 식의 양변에 (2-1)을 곱하면

(`좌변)=(2-1)(2+1)(2¤ +1)(2› +1)(2° +1) (`좌변)=(2¤ -1)(2¤ +1)(2› +1)(2° +1) (`좌변)=(2› -1)(2› +1)(2° +1) (`좌변)=(2° -1)(2° +1) (`좌변)=2⁄ fl 1=2⁄ fl

-∴ =1

02

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a

=(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+a

=(x¤ +8x+7)(x¤ ＋8x+15)+a

=(A+7)(A+15)+a

=A¤ +22A+105+a

이때 이 식이 완전제곱식이 되려면 105+a={:™2™:}2 이어야 하므로 a=16

03

A, B, C가 가지고 있는 구슬의 개수를 각각 x, y, z라고 하면

㈎에서 x=y+z+6 …… ㉠

㈏에서 x¤ =(y+z)¤ +144 …… ㉡

㉡에서 x¤ －(y+z)¤ =144 (x+y+z)(x－y－z)=144 그런데 ㉠에서 x－y－z=6이므로 (x+y+z)_6=144

∴ x+y+z=24

011 0216 0324

창의사고력 TEST

^037쪽

Ⅲ. 이차방정식

073

테스트BOOK

1. 이차방정식의 뜻과 풀이 이차방정식

III

01①, ⑤ 020 03② 04x=1

05③ 063 074 0814

09⑴ x=;2!; 또는 x=2 ⑵ x=-4 또는 x=2

10④ 11x=4 12x=6 13②

14-6, 2 15-3 163

17⑴ x=—'3 ⑵ x=— ⑶ x=1 또는 x=11 17⑷ x=-1—'3 18-10

19④ 20a>5

21⑴ x=-3—'∂11 ⑵ x=-1—'3 ⑶ x=

2215 23③ 24-1

7—'∂17 11144 11'∂305

유형 TEST

01. 이차방정식의 뜻 ^038~040쪽

02. 이차방정식의 풀이

01 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하 였을 때, (x에 대한 이차식)=0 꼴로 나타내어지는 방정식 을 찾는다.

① -x+1=0 (일차방정식)

② -x¤ +1=0 (이차방정식)

③ x¤ -3x+3=0 (이차방정식)

④ x¤ +x+5=0 (이차방정식)

⑤ 16x-16=0 (일차방정식)

따라서 이차방정식이 아닌 것은 ①, ⑤이다.

02 (x-1)¤ =3-x¤ 에서 x¤ -2x+1=3-x¤

2x¤ -2x-2=0, x¤ -x-1=0 따라서 a=-1, b=-1이므로 a-b=-1-(-1)=0

03 (a+1)x¤ +3ax+6=0이 이차방정식이 되려면 a+1+0 ∴ a+-1

04 x는 -3<x<2인 정수이므로 x=-2, -1, 0, 1 x=-2일 때, (-2)¤ -3_(-2)+2=12+0 x=-1일 때, (-1)¤ -3_(-1)+2=6+0

x=0일 때, 2+0

x=1일 때, 1¤ -3_1+2=0

따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=1이다.

05 x¤ -5x+a=0에 x=2를 대입하면

2¤ -5_2+a=0, 4-10+a=0 ∴ a=6

06 x¤ -(a+1)x+2=0에 x=-1을 대입하면 (-1)¤ -(a+1)_(-1)+2=0 ∴ a=-4 x¤ -6x=b에 x=-1을 대입하면

(-1)¤ -6_(-1)=b ∴ b=7

∴ a+b=-4+7=3

07 x¤ +4x-3=0에 x=k를 대입하면 k¤ +4k-3=0, k¤ +4k=3

∴ k¤ +4k+1=3+1=4

08 x¤ -4x+1=0의 한 근이 a이므로 a¤ -4a+1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-4+;a!;=0 ∴ a+;a!;=4

∴ a¤ + ={a+;a!;}2 -2=4¤ -2=14

09 ⑴ 2x¤ -5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0

⑵∴ x=;2!; 또는 x=2

⑵ (x+2)¤ =2(x+6)에서

⑵x¤ +4x+4=2x+12

⑵x¤ +2x-8=0, (x+4)(x-2)=0

⑵∴ x=-4 또는 x=2

10 2(x-3)(x+5)=x¤ -6x-46에서 2x¤ +4x-30=x¤ -6x-46

x¤ +10x+16=0, (x+8)(x+2)=0

∴ x=-8 또는 x=-2

따라서 p=-8, q=-2 또는 p=-2, q=-8이므로 p¤ +q¤ =(-8)¤ +(-2)¤ =68

11 x¤ -ax+a+2=0에 x=2를 대입하면 2¤ -2a+a+2=0, -a+6=0 ∴ a=6 즉, 주어진 이차방정식은 x¤ -6x+8=0이므로

13a¤1

(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 따라서 다른 한 근은 x=4이다.

12 x¤ -7x+6=0에서 (x-1)(x-6)=0

∴ x=1 또는 x=6

3x¤ -16x-12=0에서 (3x+2)(x-6)=0

∴ x=-;3@; 또는 x=6

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=6이다.

13 2k-3={;2^;}2 , 2k=12 ∴ k=6

14 이차방정식이 중근을 가지므로 -m+3={ }2 , m¤ +4m-12=0 (m+6)(m-2)=0

∴ m=-6 또는 m=2

15 중근 x=-3을 갖고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+3)¤ =0, x¤ +6x+9=0

따라서 a=6, b=9이므로 a-b=6-9=-3

16 (x+6)(x+a)=b에서 x¤ +(6+a)x+6a-b=0

이때, 중근 x=-5를 해로 갖고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정 식은

(x+5)¤ =0, 즉 x¤ +10x+25=0 이므로 6+a=10, 6a-b=25

∴ a=4, b=-1

∴ a+b=4+(-1)=3

17 ⑴ 3x¤ =9에서 x¤ =3 ∴ x=—'3

⑵ -5x¤ +6=0에서 5x¤ =6, x¤ =;5^;

⑶∴ x=—

⑶ (x-6)¤ =25에서 x-6=—5

⑶∴ x=1 또는 x=11 4152'∂305 12m2

⑷ (x+1)¤ =3에서 x+1=—'3

⑶∴ x=-1—'3

18 2(x+a)¤ =b에서 (x+a)¤ =;2B;

x+a=—æ;2B; ∴ x=-a—æ;2B;

따라서 -a=1, ;2B;=5이므로 a=-1, b=10

∴ ab=(-1)_10=-10

19 (x+2)¤ =p에서 x+2=—'ßp

∴ x=-2—'ßp

따라서 p=2, q=-2이므로 p-q=2-(-2)=4

20 ^{(x+3)¤ =} 가 서로 다른 두 근을 가지려면

>0이어야 하므로 a>5

21 ⑴ x¤ +6x-2=0에서 x¤ +6x=2

⑶x¤ +6x+9=2+9, (x+3)¤ =11

⑶x+3=—'ß∂11

⑶∴ x=-3—'ß∂11

⑵ (x+3)¤ =4x+11에서

⑶x¤ +6x+9=4x+11, x¤ +2x=2

⑶x¤ +2x+1=2+1, (x+1)¤ =3

⑶x+1=—'3

⑶∴ x=-1—'3

⑶ 2x¤ -7x+4=0에서 x¤ -;2&;x+2=0 x¤ -;2&;x=-2, x¤ -;2&;x+{;4&;}2 =-2+{;4&;}2

{x-;4&;}2 =-2+ , {x-;4&;}2 = x-;4&;=—

∴ x=

22 x¤ -8x-3=0에서 x¤ -8x=3 x¤ -8x+16=3+16, (x-4)¤ =19 따라서 p=-4, q=19이므로 p+q=-4+19=15

7—'∂17 431114

4152'∂174

4311716 4314916

41522a-54

41522a-54

Ⅲ. 이차방정식

075

테스트BOOK

23 x¤ -8x+a=0에서 x¤ -8x=-a x¤ -8x+16=-a+16

(x-4)¤ =-a+16

따라서 b=-4이고 -a+16=8에서 a=8이므로 a-b=8-(-4)=12

24 x¤ -x+k=0에서 x¤ -x=-k

x¤ -x+;4!;=-k+;4!;, {x-;2!;}2 =-k+;4!;

x-;2!;=—æ≠-k+;4!;

∴ x=;2!;—æ≠-k+;4!;= =;2!;—æ;4%;

따라서 -k+;4!;=;4%;이므로 k=-1 431131—'52

015 02x=b 또는 x=a-2b 03x=-3 또는 x=3 04-2

05;9!; 06-6 07x=-7 (중근) 08a=-1, b=-2 093

10x=;2!; 또는 x=1

실력 TEST

^041~043쪽

01 2a¤ -a-3=0이므로 2a¤ -a=3 b¤ -6b+4=0이므로 b¤ -6b=-4

∴ (2a¤ -a+2)(b¤ -6b+5)

=(3+2)(-4+5)=5_1=5

02 x¤ -(a-b)x+ab=2b¤ 에서 x¤ -(a-b)x+ab-2b¤ =0 x¤ -(a-b)x+b(a-2b)=0 (x-b)(x-a+2b)=0

∴ x=b 또는 x=a-2b

03 ^⁄xæ0일 때

⁄x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

⁄∴ x=-1 또는 x=3

⁄그런데 xæ0이므로 x=3

¤x<0일 때

⁄x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

⁄∴ x=-3 또는 x=1

⁄그런데 x<0이므로 x=-3

따라서 구하는 해는 x=-3 또는 x=3이다.

04 y=mx+2에 x=m-1, y=2m¤ 을 대입하면 2m¤ =m(m-1)+2, 2m¤ =m¤ -m+2 m¤ +m-2=0, (m+2)(m-1)=0

∴ m=-2 또는 m=1

⁄m=-2일 때

y=-2x+2이므로 제`1, 2, 4사분면을 지난다.

¤m=1일 때

y=x+2이므로 제`1, 2, 3사분면을 지난다.

따라서 구하는 m의 값은 -2이다.

05 x¤ =6x-8에서 x¤ -6x+8=0

(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4

즉, 서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 합이 2 또는 4가 되는 순서쌍은 (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)이 므로 구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;이다.

06 x¤ -(3k+1)x+16=0이 중근을 가지므로

{- }2 =16, =16

9k¤ +6k+1=64, 9k¤ +6k-63=0 3k¤ +2k-21=0, (k+3)(3k-7)=0

∴ k=-3 또는 k=;3&;

x¤ +2px+q=0의 두 근이 -3, ;3&;이므로 x=-3을 x¤ +2px+q=0에 대입하면

9-6p+q=0 yy㉠

x=;3&;을 x¤ +2px+q=0에 대입하면

:¢9ª:+:¡3¢:p+q=0 ∴ 49+42p+9q=0 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=;3!;, q=-7

∴ 3p+q=3_;3!;+(-7)=-6

07 x¤ -14x+b=0의 한 근이 x=7이므로 9k¤ +6k+1 4111114 4152243k+12

7¤ -98+b=0 ∴ b=49 ……^❶ x¤ +ax+49=0이 중근을 가지므로

{;2A;}2 =49=7¤ , a¤ =7¤ _2¤

∴ a=14 (∵ a>0) ……^❷

따라서 처음에 주어진 이차방정식은 x¤ +14x+49=0이므 로 (x+7)¤ =0을 바르게 풀었을 때의 근은

x=-7 (중근)이다. ……❸

08 x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0

∴ x=1 또는 x=2

⁄x=1이 공통인 근일 때

x=1을 x¤ +ax+b=0에 대입하면 1+a+b=0 ∴ b=-a-1

즉, a, b가 모두 음수인 정수는 존재하지 않는다.

¤x=2가 공통인 근일 때

x=2를 x¤ +ax+b=0에 대입하면 4+2a+b=0 ∴ b=-2a-4

∴ a=-1, b=-2

따라서 구하는 a, b의 값은 a=-1, b=-2이다.

09 주어진 연립방정식의 해가 없으므로

= + ……❶

= 에서

a¤ -5a+5=-1, a¤ -5a+6=0 (a-2)(a-3)=0 ∴ a=2 또는 a=3

그런데 + 이므로

a+4+6 ∴ a+2

∴ a=3 ……^❷

43142a+4-6 4314-22

4314-22 a¤ -5a+5 4311111

43142a+4-6 4314-22 a¤ -5a+5 4311111

a 0 -1 -2 -3 y

b -1 0 1 2 y

a 0 -1 -2 -3 y

b -4 -2 0 2 y

❶b의 값 구하기

❷a의 값 구하기

❸바르게 풀었을 때의 근 구하기

30 % 40 % 30 %

채점 기준 배점

10 x에 대한 이차식 f(x)가 f(0)=1을 만족시키므로

``f(x)=ax¤ +bx+1이라고 하면

`f(x+1)=a(x+1)¤ +b(x+1)+1

∴ f(x+1)-f(x)

=a(x+1)¤ +b(x+1)-ax¤ -bx =ax¤ +2ax+a+bx+b-ax¤ -bx =2ax+a+b

즉, 2a=4, a+b=1이므로 a=2, b=-1

따라서 f(x)=2x¤ -x+1이므로 이차방정식 f(x)=2x를 풀면

2x¤ -x+1=2x, 2x¤ -3x+1=0 (2x-1)(x-1)=0

∴ x=;2!; 또는 x=1

❶연립방정식이 해가 없을 조건 알기

❷a의 값 구하기

50 % 50 %

채점 기준 배점

0112 02② 03③ 042'3

05⑴ x= ⑵ x= 06①

07x=-1 또는 x=5 08x=

09-;3!; 10x=-;2#; 또는 x=1 11a=1, b=3

12② 13② 141 15x=;5!;

163 17-;5^; 18④ 19-1 204 21:¡3ª: 22:¡3¢: 23②

24x= 25⑤ 26x¤ -144=0

272x¤ -2x-8=0 282x¤ +3x-2=0

29③ 3025 317살 328일

33④ 3412 cm 3510초 후 364 m 376초 후 383초 후

1111—'32

-5—'∂61111416 -4—'∂13

111413 5—'∂11

11142

유형 TEST

01. 이차방정식의 근의 공식 ^044~048쪽 02. 이차방정식의 활용

2. 이차방정식의 근의 공식과 활용

Ⅲ. 이차방정식

077

02 x=-(-4)—"√(-4)¤ -k=4—'∂16-k 따라서 16-k=7이므로 k=9 3x¤ +8x+1=0

⑴∴ x= = 3x¤ +6x+3=2x¤ +10x+8 x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0

∴ x=-1 또는 x=5

08 양변에 10을 곱하면

-1—'∂61 15411514 -1—"√1¤ -4_(-15)

111111151124

-4—'∂13 15411513 -4—"√4¤ -3_1

111111153 5—'∂11

1541152

-(-5)—"√(-5)¤ -2_7 15411111111112

11151 2+'3 11a

-5—'ƒ25-16A 43142111118 -5—"√5¤ -4_4_A

4314211111112_4

-3—'∂15 431421142 -3—"√3¤ -2_(-3)

43142111111232

2x(x+1)+10x¤ =5(3x¤ -1) 3x¤ -2x-5=0, (x+1)(3x-5)=0

∴ x=-1 또는 x=;3%;

따라서 a=;3%;, b=-1이므로 x¤ +;3%;x-1=0의 양변에 3을 곱하면

3x¤ +5x-3=0

∴ x=

∴ x= =

09 3x-2=A로 치환하면

A¤ +6A+5=0, (A+5)(A+1)=0

∴ A=-5 또는 A=-1 A(A-2)-8=0, A¤ -2A-8=0

(A+2)(A-4)=0 ∴ A=-2 또는 A=4 조건 ㈎`에서 A<0이므로 A=-2

(∵ a<b이므로 a-b=A<0)

∴ a-b=-2 yy ㉠

조건 ㈏`에서 a+2b=7 yy ㉡

㉠`-㉡을 하면 -3b=-9 ∴ b=3 b=3을 ㉠`에 대입하면

a-3=-2 ∴ a=1

12 2(x+2y)¤ -11(x+2y)+5=0에서 x+2y=A로 치환하면

2A¤ -11A+5=0, (2A-1)(A-5)=0 -5—'∂61 15411516 -5—'ƒ25+36

11111126

-5—"√5¤ -4_3_(-3) 1111111511132_3

∴ A=;2!; 또는 A=5

∴ x+2y=;2!; 또는 x+2y=5

그런데 x, y는 자연수이므로 x+2y도 자연수이다.

∴ x+2y=5

따라서 x+2y=5를 만족시키는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (3, 1)의 2개이다.

13 ① x¤ -3=0에서 0¤ -4_1_(-3)=12>0이므로 근이 2개이다.

② 0¤ -4_1_4=-16<0이므로 근이 0개이다.

③ 2¤ -4_1_0=4>0이므로 근이 2개이다.

④ 4¤ -4_2_(-6)=64>0이므로 근이 2개이다.

⑤ (-8)¤ -4_7_1=36>0이므로 근이 2개이다.

14 x¤ -6x-3p=0이 중근을 가지려면 (-6)¤ -4_1_(-3p)=0 ∴ p=-3 x¤ -2(p+1)x+q=0이 중근을 가지려면 4(p+1)¤ -4q=0, 16-4q=0 ∴ q=4

∴ p+q=(-3)+4=1

15 x¤ -6x+m-1=0이 중근을 가지므로 (-6)¤ -4(m-1)=0 ∴ m=10 m=10을 (m-5)x¤ -6x+1=0에 대입하면 (10-5)x¤ -6x+1=0

5x¤ -6x+1=0, (5x-1)(x-1)=0

∴ x=;5!; 또는 x=1

따라서 두 근 중 작은 근은 x=;5!;이다.

16 2x¤ +3x+k-2=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 3¤ -4_2_(k-2)>0

9-8k+16>0, 25>8k ∴ k<:™8∞:

따라서 자연수 k의 값은 1, 2, 3의 3개이다.

17 양변에 10을 곱하면 5x¤ -3x-10=0 근과 계수의 관계에 의하여

m=- =;5#;, n= =-2

∴ mn=;5#;_(-2)=-;5^;

43142-105 43144-35

18 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=;3@;, ab=-;2!;

∴ 3(a+b)-4ab=3_;3@;-4_{-;2!;}=4

19 6x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 -;6A;=-;2!;+;3!;=-;6!; ∴ a=1

;6B;={-;2!;}_;3!;=-;6!; ∴ b=-1

∴ ab=-1

20 두 근의 곱이 -;2!!;이므로 ;2K;=-;2!!; ∴ k=-1 따라서 이차방정식 2x¤ +4x-1=0의 두 근은

x= =

따라서 A=-2, B=6이므로 A+B=-2+6=4

21 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=5, ab=3

∴ + = =

∴ + = =:¡3ª:

22 (x-1)¤ =x+2에서 x¤ -3x-1=0 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=3, ab=-1

∴ + =

∴ + =

∴ + =

∴ + = =:¡3¢:

23 x¤ +5kx+8k=0의 두 근을 a, 4a라고 하면 a+4a=-5k, 4a¤ =8k에서

a=-k, a¤ =2k이므로 k¤ -2k=0

∴ k=2 (∵ k+0)

24 다른 한 근은 x=3-'3이므로 9+2+3 111123-1+3+1

(a+b)¤ -2ab+a+b 11111111123ab+a+b+1

a¤ +b¤ +a+b 1111113ab+a+b+1

a(a+1)+b(b+1) 1111111124(a+1)(b+1) 112a+1b

112b+1a

5¤ -6 1123

(a+b)¤ -2ab 1111114ab a¤ +b¤

111ab 1ab

1ba

-2—'6 1112452 -2—"√2¤ -2_(-1)

1111111124552

Ⅲ. 이차방정식

079

테스트BOOK

a=(3+'3 )+(3-'3 )=6 b=(3+'3 )(3-'3 )=6

따라서 6x¤ -6x-3=0, 즉 2x¤ -2x-1=0의 해는

x= =

25 두 근이 -;3@;, 3이고 x¤ 의 계수가 3인 이차방정식은 3{x+;3@;}(x-3)=0 ∴ 3x¤ -7x-6=0 따라서 m=-7, n=-6이므로 mn=42

26 x의 계수가 3이고 중근 x=2를 갖는 이차방정식은 3(x-2)¤ =0 ∴ 3x¤ -12x+12=0

즉, A=-12, B=12이므로 두 근이 -12, 12이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은

(x+12)(x-12)=0

∴ x¤ -144=0

27 ^a+b=3, ab=-2이므로 (a-1)+(b-1)=a+b-2=1 (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-4 따라서 구하는 이차방정식은

2(x¤ -x-4)=0 ∴ 2x¤ -2x-8=0

28 y=ax+b의 그래프는 기울기가 ;4@;=;2!;이고, y절편이 -2이므로

y=;2!;x-2 ∴ a=;2!;, b=-2

따라서 x¤ 의 계수가 2이고, ;2!;, -2를 두 근으로 하는 이차방정식은

2{x-;2!;}(x+2)=0, 2{x¤ +;2#;x-1}=0

∴ 2x¤ +3x-2=0

29 연속하는 두 짝수를 x, x+2라고 하면 x(x+2)=224, x¤ +2x-224=0 (x+16)(x-14)=0

∴ x=14 (∵ x>0)

따라서 두 짝수는 14, 16이므로 그 합은 14+16=30

30 십의 자리의 숫자를 x라고 하면 일의 자리의 숫자는 7-x이므로 두 자리의 자연수는 10x+(7-x)이고

1541231—'32 -(-1)—"√(-1)¤ -2_(-1)

111111111111132

각 자리의 숫자의 곱이 원래의 자연수보다 15만큼 작으므로 x(7-x)=10x+(7-x)-15

7x-x¤ =9x+7-15, x¤ +2x-8=0 (x-2)(x+4)=0

∴ x=2 (∵ x>0)

따라서 두 자리의 자연수는 25이다.

31 동생의 나이를 x살이라고 하면 언니의 나이는 (x+3)살 이므로

5(x+3)=x¤ +1, x¤ -5x-14=0 (x-7)(x+2)=0 ∴ x=7 (∵ x>0) 따라서 동생의 나이는 7살이다.

32 둘째 주 화요일의 날짜를 x일이라고 하면 넷째 주 목요일 의 날짜는 (x+16)일이므로

x(x+16)=192, x¤ +16x-192=0 (x-8)(x+24)=0 ∴ x=8 (∵ x>0) 따라서 이 달력에서 둘째 주 화요일은 8일이다.

33 직사각형의 가로의 길이를 x cm라고 하면 세로의 길이는 (22-x) cm이므로

x(22-x)=96, x¤ -22x+96=0 (x-6)(x-16)=0

∴ x=16 (∵ 11<x<22)

따라서 직사각형의 가로의 길이는 16 cm이다.

34 AC”=x cm라고 하면 `BC”=(20-x) cm이므로

;2!;p_10¤ -;2!;p_{ }2 -;2!;p_{ }2 =24p 50p- p-50p+5xp- p=24p

- +5x-24=0, x¤ -20x+96=0

(x-8)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ 10<x<20)

∴ AC”=12 cm

35 변화되는 직사각형의 넓이와 처음 직사각형의 넓이가 같아 지는 때를 x초 후라고 하면 이때의 가로의 길이는 (15-x) cm, 세로의 길이는 (10+2x) cm이므로 (15-x)(10+2x)=15_10

-2x¤ +20x=0, x(x-10)=0

∴ x=10 (∵ 0<x<15)

따라서 10초 후에 처음 직사각형의 넓이와 같아진다.

13x¤4

13x¤8 13x¤8

11120-x2 1x2

36 산책로의 폭을 x `m라고 하면 18_16-(18x+16x)+x¤ =168 x¤ -34x+120=0, (x-4)(x-30)=0

∴ x=4 (∵ 0<x<16) 따라서 산책로의 폭은 4 m이다.

■ 다른 풀이 ■

산책로의 폭을 x `m라고 하 면 산책로를 제외한 나머지 부분의 넓이는 가로의 길이가 (18-x) m, 세로의 길이가 (16-x) m인 직사각형의 넓이와 같으므로

(18-x)(16-x)=168

18_16-(18x+16x)+x¤ =168 x¤ -34x+120=0, (x-4)(x-30)=0

∴ x=4 (∵ 0<x<16) 따라서 산책로의 폭은 4 m이다.

37 60t-5t¤ =180에서

5t¤ -60t+180=0, t¤ -12t+36=0 (t-6)¤ =0 ∴ t=6

따라서 물체를 쏘아 올린 지 6초 후이다.

38 물체가 지면에 떨어질 때의 높이가` 0 m이므로 15+10t-5t¤ =0

t¤ -2t-3=0, (t+1)(t-3)=0

∴ t=3 (∵ t>0)

따라서 공을 똑바로 던져 올린 지 3초 후에 지면에 공이 떨 어진다.

(18-x)`m (16-x)`m

x`m

x`m

01 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로

3<5-'2<4 ∴ a=3, b=5-'2-3=2-'2 a, b의 값을 주어진 이차방정식에 대입하면

x¤ +{4_3-(2-'2 )-'2 }x-(2+'2 )(2-'2 )=0 따라서 x¤ +10x-2=0이므로 x=-5—3'3

02 x¤ +2ax+b=0이 중근을 가지려면 (2a)¤ -4b=0 ∴ a¤ =b

즉, (a, b)가 (1, 1), (2, 4)일 때 중근을 갖는다.

따라서 중근을 가질 확률은 ;3™6;=;1¡8;

03 x¤ +(k-2)x+1=0의 두 근이 a, b이므로 a¤ +(k-2)a+1=0, a¤ +ka+1=2a b¤ +(k-2)b+1=0, b¤ +kb+1=2b 근과 계수의 관계에 의하여

ab=1

∴ (1+ka+a¤ )(1+kb+b¤ )=4ab=4

04 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=14, ab=-1

또, (a-b)²=(a+b)²-4ab=14¤ -4_(-1)=200 즉, a-b=-10'2 (∵ a<b)이므로

a²⁰¹⁹b²⁰²¹+a²⁰²²b²⁰²⁰=a²⁰¹⁹b²⁰¹⁹b²+a²⁰²⁰b²⁰²⁰a²

=(ab)²⁰¹⁹b²+(ab)²⁰²⁰a²

=-b²+a²=(a+b)(a-b)

=14_(-10'2)=-140'2

05 x¤ 의 계수가 a이고 두 근이 -2, ;2#;인 이차방정식은 a(x+2){x-;2#;}=0 ∴ ax¤ +;2!;ax-3a=0 즉, b=;2!;a, c=-3a이므로 abx¤ +bcx+ca=0에 대입 하면

a_;2!;ax¤ +;2!;a_(-3a)_x+(-3a)_a=0

;2!;a¤ x¤ -;2#;a¤ x-3a¤ =0, x¤ -3x-6=0

∴ x=

06 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=- =2, ab=-2=-;3@; ……^❶ 113

11-63 3—'∂33 1115552 01x=-5—3'3 02;1¡8; 034

04-140'2 05x=

06x=— 07x¤ -3x+2=0

0830 096 10(20'3-20)cm 111122114-7'24 m

124'∂153

3—'∂33 11212

실력 TEST

^049~051쪽

Ⅲ. 이차방정식

081

테스트BOOK

이때, a+k, b+k를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차 방정식은

x¤ -(a+b+2k)x+(a+k)(b+k)=0 x¤ -(2+2k)x-;3@;+2k+k¤ =0 yy ㉠ 그런데 이 방정식은 일차항이 없으므로

2+2k=0 ∴ k=-1 ……^❷

k=-1을 ㉠에 대입하면

x¤ -;3%;=0 ∴ x=— ……❸

07 x¤ +ax+b=0의 두 근이 -3, a이므로 -3+a=-a, -3a=b

x¤ +bx+a=0의 두 근이 1, b이므로 1+b=-b, b=a

따라서 a, b에 대한 식으로 나타내면 -3+a=-b에서 a+b=3 yy ㉠ 1+b=3a에서 3a-b=1 yy ㉡

㉠+㉡을 하면 4a=4 ∴ a=1

a=1을 ㉠에 대입하면 1+b=3 ∴ b=2

따라서 1, 2를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-2)=0 ∴ x¤ -3x+2=0

08 주머니 A에는 구슬이 x개, 주머니 B에는 구슬이 (x+10)개 들어 있으므로

x_ +(x+10)_ =21 ……^❶

x¤ +5x-1050=0, (x+35)(x-30)=0

∴ x=30 (∵ x>0) ……^❷

따라서 처음에 주머니 A에 들어 있던 구슬의 개수는 30이

다. ……^❸

09 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 y=-;3$;x+8 11100x

11100x

11'∂153

❶a+b, ab의 값 구하기

❷k의 값 구하기

❸이차방정식의 해 구하기

30 % 40 % 30 %

채점 기준 배점

이므로 P{a, -;3$;a+8}이라고 하면

△OQP=;2!;_a_{-;3$;a+8}=6 a¤ -6a+9=0, (a-3)¤ =0 ∴ a=3 따라서 P(3, 4)이므로` △BRP=;2!;_3_4=6

10 BC”=2r cm라고 하면 AC”=(40-2r) cm이므로 지름이 AC”인 반원과 BC”인 반원의 넓이는 각각

cm¤ , cm¤ 이다.

이때, : =3 : 1이므로

3r¤¤ =(20-r)¤ , r¤ +20r-200=0

∴ r=-10—10'3

그런데 0<r<20이므로` r=-10+10'3

∴ BC”=(-20+20'3) cm

11 큰 정사각형의 둘레의 길이를 x``m라고 하면 작은 정사각형 의 둘레의 길이는 (7-x) m이다.

즉, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 ;4{;```m이고, 작은 정사각 형의 한 변의 길이는 m이다. 이때, 큰 정사각형과 작은 정사각형의 넓이의 비가 2 : 1이므로

{ }2 : { }2 =2 : 1

=2_

x¤ =2x¤ -28x+98, x¤ -28x+98=0

∴ x=14-7'2 {∵ ;2&;<x<7}

따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는` 1211214-7'24 m이다.

49-14x+x¤

121111216 1216x¤

431427-x4 1x4

4314257-x4 124pr¤2 p(20-r)¤

111112 124pr¤2 p(20-r)¤

111112

❶이차방정식 세우기

❷이차방정식의 해 구하기

❸주머니 A에 들어 있던 구슬의 개수 구하기

50 % 40 % 10 %

채점 기준 배점 01⑤ 02③ 03③ 04⑤

05③ 06③ 07⑤ 08①

09-4 10x=1 113 12②

1312 1430 15:™4¡: 16 ③ 174x¤ -24x+9=0 188명 192초 후 2010 cm 21 92 cm

대단원 TEST

^052~054쪽

01

⑤ x¤ +3x=(x+2)(x-3) x¤ +3x=x¤ -x-6

∴ 4x+6=0 (일차방정식)

02

주어진 이차방정식에 [ ] 안의 수를 각각 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.

① (2+2)(2+4)=24+0

② 5¤ -3_5-40=-30+0

③ 2_(-1)¤ +3_(-1)+1=0

④ (-3)¤ +(-3)-12=-6+0

⑤ 2_2_(2-1)=4+6

03

x=k를 3x¤ -ax-4=0에 대입하면 3k¤ -ak-4=0, 3k¤ -ak=4

∴ 3k¤ -ak+3=4+3=7

04

x=2를 x¤ -ax+3a=0에 대입하면 4-2a+3a=0 ∴ a=-4 a=-4를 x¤ -ax+3a=0에 대입하면 x¤ +4x-12=0, (x+6)(x-2)=0

∴ x=-6 또는 x=2

즉, 주어진 이차방정식의 다른 한 근은 x=-6이다.

따라서 a의 값과 다른 한 근의 곱은 (-4)_(-6)=24

05

① x¤ -2x+1=0이므로 (x-1)¤ =0

∴ x=1 (중근)

② (x-5)¤ =0에서 x=5 (중근)

③ x¤ -9=0에서 (x+3)(x-3)=0

∴ x=-3 또는 x=3

④ x¤ +10x+25=0이므로 (x+5)¤ =0

∴ x=-5 (중근)

⑤ 2(x¤ -2x+1)=0이므로 (x-1)¤ =0

∴ x=1 (중근)

06

2(x+1)¤ =12에서 (x+1)¤ =6 x+1=—'6 ∴ x=-1—'6

07

(x+1)¤ =4에서 x+1=—2

∴ x=-3 또는 x=1

따라서 x=-3이 x¤ +2mx+3m=0의 근이므로 (-3)¤ +2m_(-3)+3m=0

9-6m+3m=0 ∴ m=3

08

A는 x의 계수의 ;2!;의 제곱이므로 A={;2#;_;2!;}2 ={;4#;}2 =;1ª6;

B=;2!;+;1ª6;=;1!6&;

09

^x=

x=

따라서 b=-5이고

25-8a=17에서 a=1이므로 ……^❶

a+b=1+(-5)=-4 ……❷

10

;6!;x¤ -;3@;x+;2!;=0의 양변에 6을 곱하면 x¤ -4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3

0.2x¤ -0.3x+0.1=0의 양변에 10을 곱하면 2x¤ -3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0

∴ x=;2!; 또는 x=1

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=1이다.

11

x¤ +2xy+y¤ +x+y=12에서 (x+y)¤ +(x+y)-12=0 x+y=A로 치환하면

A¤ +A-12=0, (A+4)(A-3)=0

∴ A=-4 또는 A=3 그런데 x>0, y>0이므로 A>0

∴ x+y=3

12

ㄱ. (-2)¤ -4_1_1=0이므로 중근을 갖는다.

ㄴ. (-12)¤ -4_4_9=0이므로 중근을 갖는다.

ㄷ. (-6)¤ -4_1_8=4>0이므로 서로 다른 두 근을 갖 는다.

ㄹ. (-4)¤ -4_3_2=-8<0이므로 해가 없다.

-5—'ƒ25-8a 12451111244

-5—"√5¤ -4_2_a 12411111112_2

❶a, b의 값 구하기

❷a+b의 값 구하기

70 % 30 %

채점 기준 배점

Ⅲ. 이차방정식

083

테스트BOOK

ㅁ. 1¤ -4_1_1=-3<0이므로 해가 없다.

따라서 해가 없는 것은 ㄹ, ㅁ의 2개이다.

13

x¤ 의 계수가 2이고, 중근 x=3을 갖는 이차방정식은 2(x-3)¤ =0 ∴ 2x¤ -12x+18=0

즉, 2a=-12에서 a=-6이고 b=18이므로 a+b=-6+18=12

14

x¤ -6x+a-2=0의 해는 x=3—'ƒ11-a이고, 해가 모 두 유리수가 되려면 11-a가 0 또는 제곱수이어야 한다.

즉, 11-a=0, 1, 4, 9 (∵ a는 자연수)이므로 a=11, 10, 7, 2

따라서 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 a의 값의 합은 11+10+7+2=30

15

근과 계수의 관계에 의하여

a+b=- =2, ab= =-;4!; ……^❶

∴ a¤ +b¤ -3ab=(a+b)¤ -5ab

∴ a¤ +b¤ -3ab=2¤ -5_{-;4!;}=:™4¡: ……^❷

16

두 근의 비가 1 : 3이므로 두 근을 a, 3a로 놓으면 x¤ 의 계 수가 3이고 두 근이 a, 3a인 이차방정식은

3(x-a)(x-3a)=0, 3x¤ -12ax+9a¤ =0 즉, -12a=-12이므로 a=1

∴ k=9a¤ =9_1¤ =9

17

^a+b=-;2^;=-3, ab=;2#;이므로 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=6 a¤ b¤ =(ab)¤ =;4(;

따라서 구하는 이차방정식은

4{x¤ -6x+;4(;}=0 ∴ 4x¤ -24x+9=0

18

회원 수를 x명이라고 하면 대표 2명을 뽑는 경우의 수는

이므로 x(x-1)=28 ……^❶

11112 x(x-1)

11112

11-14 11-84

x(x-1)=56, x¤ -x-56=0 (x+7)(x-8)=0

∴ x=8 (∵ x>0) ……^❷

따라서 회원 수는 8명이다. ……^❸

19

물체가 지면으로부터의 높이가 20 m인 지점을 지나는 것 을 x초 후라고 하면 -5x¤ +20x=20이므로

5x¤ -20x+20=0, x¤ -4x+4=0 (x-2)¤ =0 ∴ x=2 (중근)

따라서 높이가 20 m인 지점에 도달할 때는 물체를 쏘아 올

따라서 높이가 20 m인 지점에 도달할 때는 물체를 쏘아 올

문서에서 숨마쿰라우데 개념기본서3 상 해설BOOK (페이지 72-84)