2
3 1
4
6
7 5
유형``
y=-x¤ +4x=-(x-2)¤ +4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 4)이다.
y=2x¤ +4ax+b=2(x+a)¤ -2a¤ +b의 꼭짓점의 좌표는 (-a, -2a¤ +b)이다.
즉, -a=2, -2a¤ +b=4이므로 a=-2, b=12
1-1 y=-2x¤ +4x-5=-2(x-1)¤ -3이므로 a=-2, p=1, q=-3
∴ a+p+q=-2+1+(-3)=-4
1-2 ① y=(x+2)¤ -7˙k 꼭짓점：(-2, -7)
˙k 제`3사분면
② y=-2(x-3)¤ +3˙k 꼭짓점：(3, 3)
˙k 제`1사분면
③ y=;2!;(x-2)¤ -8 ˙k 꼭짓점：(2, -8)
③ y=;2!;(x-2)¤ -8˙k 제`4사분면
④ y=-4(x-1)¤ +3˙k 꼭짓점：(1, 3)
˙k 제`1사분면
⑤ y=-3(x+2)¤ +7˙k 꼭짓점：(-2, 7)
˙k 제`2사분면
1-3 y=2x¤ -4ax+1=2(x-a)¤ -2a¤ +1 이 그래프의 축의 방정식은 x=a이므로 a=4
1-4 y=x¤ -2(k-1)x+4=(x-k+1)¤ -(k-1)¤ +4 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(k-1, -(k-1)¤ +4)이고, x축 위에 있으므로 -(k-1)¤ +4=0, (k-1)¤ =4
∴ k=3 (∵ k>0)
1-5 아래로 볼록하므로 x¤ 의 계수는 양수이다.
˙k ①, ③, ④
x¤ 의 계수의 절댓값이 클수록 폭이 좁으므로
③ y=2x¤ -x의 그래프의 폭이 가장 좁다.
1-6 y=-3x¤ +6x+1=-3(x-1)¤ +4
이 그래프의 축의 방정식은 x=1이고, 위로 볼록하다.
따라서 x의 값이 증가할 때, y의 값이 감소하는 x의 값의 범위는 x>1이다.
1
Ⅳ. 이차함수
047
개념BOOK
유형``
y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -9만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x+2)¤ -9=x¤ +4x-5
⁄y=0을 대입하면 x¤ +4x-5=0
(x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1
¤x=0을 대입하면 y=-5
따라서 x절편은 -5, 1이고, y절편은 -5이다.
2-1 y=-x¤ +4x+a에 x=3, y=0을 대입하면 0=-3¤ +4_3+a ∴ a=-3
따라서 y=-x¤ +4x-3에서 x=0일 때 y=-3이므로 이 그래프의 y절편은 -3이다.
2-2 y=2x¤ +ax+10에 x=-1, y=0을 대입하면 0=2-a+10 ∴ a=12
y=2x¤ +12x+10에 y=0을 대입하면 0=2x¤ +12x+10, x¤ +6x+5=0
(x+5)(x+1)=0 ∴ x=-5 또는 x=-1 따라서 다른 한 점의 좌표는 (-5, 0)이다.
2-3 y=x¤ -4x-12에 y=0을 대입하면 x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6 따라서 x절편이 -2, 6이므로
A(-2, 0), B(6, 0) 또는 A(6, 0), B(-2, 0)
∴ AB”=6-(-2)=8 2
1-7 y=x¤ -6x+2=(x-3)¤ -7의 그래프를 x축의 방향 으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-3-p)¤ -7+q
이 그래프가 y=x¤ +2x+2=(x+1)¤ +1의 그래프와 일치하므로 -3-p=1, -7+q=1
∴ p=-4, q=8
∴ p+q=-4+8=4
3-1 y=-2x¤ +4x-3=-2(x-1)¤ -1
이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -1)이고 위로 볼록하며 y절편이 -3이므로 그 그래프를 그리면
④와 같다.
3-2 y=-3(x+1)¤ +q의 그래프와` y축과의 교점이 x축보 다 위에 있어야 하므로
-3+q>0 ∴ q>3
유형``
y=x¤ +4x+1=(x+2)¤ -3
꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이고, 아래로 볼록하며 y절편이 1인 포물선이므로 그 그 래프를 그리면 오른쪽과 같다.
따라서 제`1, 2, 3사분면을 지난다.
y
O x
-3
-2 1
3
유형``
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0 y절편이 양수이므로 c>0
4-1 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0 y=bx¤ +ax+a-b의 그래프에서
⁄b<0이므로 위로 볼록하다.
¤ab<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 있다.
‹a-b>0이므로 y축과의 교점은 x축보다 위에 있다.
따라서 이차함수 y=bx¤ +ax+a-b의 그래프로 알맞 은 것은 ⑤이다.
4
유형``
y=x¤ -x-6에 y=0을 대입하면 x¤ -x-6=0, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3 즉, A(-2, 0), B(3, 0)
y=x¤ -x-6에 x=0을 대입하면 y=-6
∴ C(0, -6)
∴ △ABC=;2!;_5_6=15
5-1 y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9이므로 A(2, 9)
y=0을 대입하면 0=-x¤ +4x+5
(x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5
∴ B(-1, 0), C(5, 0)
∴ △ABC=;2!;_6_9=27
5-2 y=-x¤ +ax-4a
y=-{x¤ -ax+ }+a¤ -4a 144 14a¤4 5
y=-{x- }2 + -4a
이 그래프의 축의 방정식은 x= =-1이므로 a=-2
따라서 y=-x¤ -2x+8이므로 x=0을 대입하면 y=8 ∴ A(0, 8) y=0을 대입하면 -x¤ -2x+8=0
(x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2 따라서 B(-4, 0), C(2, 0)이므로
△ABC=;2!;_6_8=24 1a2 14a¤4
1a2
유형``
꼭짓점의 좌표가 (1, -4)이므로 p=1, q=-4 그래프의 식을 y=a(x-1)¤ -4로 놓으면 이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=a(0-1)¤ -4, -3=a-4 ∴ a=1
∴ a+p+q=1+1+(-4)=-2
6-1 꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이므로 y=a(x-2)¤ -1
점 (1, 1)을 지나므로 1=a-1 ∴ a=2
∴ y=2(x-2)¤ -1=2x¤ -8x+7 따라서 y절편은 7이다.
6-2 y=a(x-2)¤ +q로 놓으면 이 그래프가 두 점 (0, 9)와 (-1, 19)를 지나므로
4a+q=9, 9a+q=19
두 식을 연립하여 풀면 a=2, q=1
∴ y=2(x-2)¤ +1
6-3 y=a(x+2)¤ +q로 놓으면 이 그래프가 두 점 (0, 2), (-1, 8)을 지나므로
2=4a+q, 8=a+q
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, q=10
따라서 y=-2(x+2)¤ +10의 그래프가 점 `(-5, k) 를 지나므로
k=-2(-5+2)¤ +10=-8 6
유형``
y=ax¤ +bx+c에
x=0, y=-2를 대입하면 c=-2
x=1, y=2를 대입하면 a+b-2=2 yy`㉠
x=2, y=4를 대입하면 4a+2b-2=4` yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1`, b=5
∴ a+b-c=-1+5-(-2)=6
7-1 주어진 세 점을 지나는 그래프의 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=0, y=1을 대입하면 c=1
x=1, y=2를 대입하면 a+b+1=2 yy`㉠
x=-1, y=6을 대입하면 a-b+1=6 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2
따라서 y=3x¤ -2x+1=3{x-;3!;}2 +;3@;이므로 그래프의 축의 방정식은 x=;3!;이다.
7-2 그래프의 x절편이 -5, -1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+5)(x+1)로 놓으면 이 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 5a=5 ∴ a=1
∴ y=(x+5)(x+1)=x¤ +6x+5
=(x+3)¤ -4
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-3, -4)이다.
7-3 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 x절편이 -3, 1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-1)로 놓으면 이 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로
-3a=-2 ∴ a=;3@;
따라서 y=;3@;(x+3)(x-1)=;3@;x¤ +;3$;x-2이므로 a=;3@;, b=;3$;, c=-2
∴ a-b-c=;3@;-;3$;-(-2)=;3$;
7
Ⅳ. 이차함수
049
개념BOOK
01① 02② 03-11 04④
05-9 06x<2 07-5 08n<-7
09④ 10① 11③ 126
131 14⑤ 153 16④
17희윤 18-4 194 20(1, -4)