16 (x+2y)¤ -2x-4y=3에서 (x+2y)¤ -2(x+2y)-3=0
x+2y=A로 치환하면 A¤ -2A-3=0 (A+1)(A-3)=0, A=-1 또는 A=3
∴ A=x+2y=3 (∵ x>0, y>0) 이때 x+2y=3, x-y=;2#;`을 연립하여 풀면 x=2, y=;2!; ∴ xy=1
17 x¤ -2(k+1)x+k¤ +3=0의 해가 없으므로 4(k+1)¤ -4(k¤ +3)<0
4k¤ +8k+4-4k¤ -12<0 8k-8<0 ∴ k<1
따라서 k의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤ 1이다.
-3—"√33 11124442 -3—"√3¤ -4_(-6)
1111111124442 n(n+1)
125314522
18 두 근이 -3, 2이고, x¤ 의 계수가 a인 이차방정식은 a(x+3)(x-2)=0, a(x¤ +x-6)=0
ax¤ +ax-6a=0
따라서 b=a, c=6a이므로 b : c=a : 6a=1 : 6
19 x¤ 의 계수가 1이고, 해가 x=1 또는 x=8인 이차방정식은 (x-1)(x-8)=0
즉, x¤ -9x+8=0이므로 b=8
x¤ 의 계수가 1이고, 해가 x=-1 또는 x=7인 이차방정식 은 (x+1)(x-7)=0
즉, x¤ -6x-7=0이므로 a=-6
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -6x+8=0이므로 (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4
20 두 점 (4, 0), (0, 8)을 지나는 일차함수의 그래프의 식은 y= x+8 ∴ y=-2x+8
따라서 점 P의 좌표를 P(a, -2a+8)로 놓으면
`BOAP=8이므로
OA”_PA”=8, a(-2a+8)=8 a¤ -4a+4=0, (a-2)¤ =0
∴ a=2
따라서 점 P의 좌표는 (2, 4)이다.
21 접은 높이를 x cm라고 하면 빗금친 부분의 넓이가 30 cm¤
이므로 (16-2x)_x=30, -2x¤ +16x=30 x¤ -8x+15=0, (x-3)(x-5)=0
∴ x=3 또는 x=5
따라서 양쪽 높이를 3 cm 또는 5 cm씩 접어야 한다.
1253550-84-0
01⑤ 02⑤ 03②, ③ 04①
05② 06① 07 ④ 08⑤
0944 10④ 11⑤ 12⑤
132 14 ① 15 ⑤ 16 -8, 0, 8
17 ⑤ 18 ② 19 ② 20 18
21 20명 22 6초 후 23 12 m 24 -6 25 26 26 36 cm¤
대단원 EXERCISES
178~181쪽01 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하 였을 때, (x에 대한 이차식)=0 꼴로 변형되는 방정식을 찾는다.
① 3x¤ -x-2=0 (이차방정식)
② x¤ -4x-4=0 (이차방정식)
③ x¤ +7x-6=0 (이차방정식)
④ -3x¤ +2x-6=0 (이차방정식)
⑤ 3x+14=0 (일차방정식)
02 (a-2)x¤ -3x=0이 이차방정식이 되려면 a-2+0이어 야 하므로 a+2
03 x=3을 각 이차방정식에 대입하면
① 3¤ +3_3-4=14+0
② 3¤ -3_3=0
③ 3_3¤ -27=0
④ (3-3)¤ =0+1
⑤ (3+3)(3_3-1)=48+0
따라서 x=3을 근으로 갖는 이차방정식은 ②, ③이다.
04 x¤ +3x+1=0에 x=a를 대입하면 a¤ +3a+1=0 양변을 a로 나누면
a+3+;a!;=0 ∴ a+;a!;=-3
05 ㄱ. 4x¤ -4x+1=0이므로
ㄱ. (2x-1)¤ =0 ∴ x=;2!; (중근) ㄴ. (x+2)(2x-3)=0
ㄱ. ∴ x=-2 또는 x=;2#;
ㄷ. x=-;2#; 또는 x=2 ㄹ. x=;2!; (중근)
따라서 해가 같은 것끼리 짝지어진 것은 ㄱ, ㄹ이다.
06 x¤ -8x+15=7이므로 x¤ -8x=-8 x¤ -8x+16=-8+16, (x-4)¤ =8 따라서 p=4, q=8이므로
p+q=4+8=12
07 (x+A)¤ =5의 해는 x=-A—'5=2—'∂B 따라서 A=-2, B=5이므로
2A+B=-4+5=1
08 ⑤ 3—2'2
09 2x¤ -3x-4=0이므로
x= =
따라서 A=3, B=41이므로 A+B=3+41=44
10 양변에 10을 곱하면 15x¤ +20x-4=0
∴ x= =
∴ k=10
11 x-2=A로 치환하면
;2!;A¤ =3A-;2(;, A¤ -6A+9=0 (A-3)¤ =0 ∴ A=3 (중근) 따라서 x-2=3이므로 x=5 (중근)
12 (x+a)¤ =b에서 ㄱ. b=0이면 (x+a)¤ =0 ㄱ. ∴ x=-a (중근) ㄴ. b>0이면 x+a=—'b
ㄱ. 즉, x=-a—'b이므로 두 근의 절댓값은 같지 않다.
ㄷ. a=0이고 b>0이면 x¤ =b
∴ x=—'b
ㄱ. 즉, 두 근의 합은 'b+(-'b)=0 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
13 (1-a)x¤ -4x-2=0이 서로 다른 두 근을 가지려면 (-4)¤ -4_(1-a)_(-2)=-8a+24>0
∴ a<3
그런데 a+1이므로 구하는 자연수 a의 값은 2이다.
14 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=- =3, ab=2k-1이므로 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2ab=17
∴ ab=-4 11-31
-10—4'∂10 1253111215 -10—"√10¤ -15_(-4)
1253145425111112115
3—'∂41 1253114 -(-3)—"√(-3)¤ -4_2_(-≈4)
125314542511111111112_2
Ⅲ. 이차방정식
039
개념BOOK
따라서 2k-1=-4이므로 k=-;2#;
15 2(x+5)(x-1)=0의 두 근은 x=-5 또는 x=1이므로 두 근의 합은 -5+1=-4, 두 근의 곱은 (-5)_1=-5 이다.
즉, 두 근이 -4, -5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x+5)=0 ∴ x¤ +9x+20=0
따라서 p=9, q=20이므로 q-p=20-9=11
16 곱이 -9인 두 정수근은 -9, 1 또는 -3, 3 또는 -1, 9
이때, p는 두 근의 합이므로 p가 될 수 있는 수는 -8, 0, 8 이다.
17 일차함수 y=ax-b의 그래프가 두 점 (3, 0), (0, -5)를 지나므로 기울기는 =;3%;, y절편이 -5이다.
∴ a=;3%;, b=5
두 근이 ;3%;, 5이고, x¤ 의 계수가` 3인 이차방정식은 3{x-;3%;} (x-5)=0, 3{x¤ -:™3º:x+:™3∞:}=0
∴ 3x¤ -20x+25=0
따라서 이 이차방정식의 상수항은 25이다.
18 x¤ +4px+2p¤ =q의 한 근이 2+'3이므로 다른 한 근은 2-'3이다.
-4p=(2+'3 )+(2-'3 )=4
∴ p=-1
2p¤ -q=(2+'3 )_(2-'3 )=1 2-q=1 ∴ q=1
∴ p¤ -4q=1-4=-3
19 [x]¤ -[x]-6=0에서 ([x]+2)([x]-3)=0
∴ [x]=3 (∵ [x]는 자연수)
따라서 양의 약수가 3개인 10 이하의 자연수는 4, 9의 2개 이다.
20 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라고 하면 (x-2)¤ +x¤ +(x+2)¤ =116
0-(-5) 111153-0
3x¤ =108, x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 세 짝수는 4, 6, 8이므로 구하는 세 짝수의 합은 4+6+8=18
21 학생 수를 x명이라고 하면 한 학생에게 나누어 줄 수 있는 초콜릿 수는 (x+2)개이므로
x(x+2)=440, x¤ +2x-440=0
(x+22)(x-20)=0 ∴ x=20 (∵ x>0) 따라서 학생 수는 20명이다.
22 폭죽을 쏘아 올리고 2초 후의 높이가 60 m이므로 60=30+k_2-5_2¤
2k=50 ∴ k=25
그런데 땅에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 30+25x-5x¤ =0, x¤ -5x-6=0 (x+1)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 따라서 폭죽은 쏘아 올린 지 6초 후에 땅에 떨어진다.
23 화단의 가로의 길이를 3x m, 세로의 길이를 2x m라고 하 면 길을 제외한 화단의 넓이는
(3x-3)_2x=72, 6x¤ -6x=72 x¤ -x-12=0, (x-4)(x+3)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 가로의 길이는 12 m이다.
24 9x¤ +2ax+4=0이 중근을 가지므로 (2a)¤ -4_9_4=0, 4(a¤ -36)=0
∴ a=—6 ……❶
⁄a=6일 때, 9x¤ +12x+4=0
⁄(3x+2)¤ =0 ∴ x=-;3@; (중근)
¤a=-6일 때, 9x¤ -12x+4=0
⁄(3x-2)¤ =0 ∴ x=;3@; (중근)
따라서 양수인 중근을 갖도록 하는 상수 a의 값은 -6이
다. ……❷
25 x¤ +4x-5=0의 한 근이 x=k이므로 k¤ +4k-5=0 양변을 k로 나누면
❶중근을 갖도록 하는 a의 값 구하기
❷조건을 만족하는 a의 값 구하기
60 % 40 %
채점 기준 배점
k+4-;k%;=0 ∴ k-;k%;=-4 ……❶
∴ k¤ + ={k-;k%;}2 +10
∴ k¤ + =16+10=26 ……❷
26 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 작은 정사각 형의 한 변의 길이는 (9-x) cm이므로
두 정사각형의 넓이의 합은
x¤ +(9-x)¤ =45 ……❶
2x¤ -18x+81-45=0, x¤ -9x+18=0 (x-3)(x-6)=0
∴ x=6 {∵ ;2(;<x<9} ……❷ 따라서 AP”=6 cm이므로 큰 정사각형의 넓이는
6_6=36 (cm¤ ) ……❸
12525k¤
❶이차방정식 세우기
❷이차방정식의 해 구하기
❸큰 정사각형의 넓이 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
❶k-5의 값 구하기 1k
❷k¤ +25의 값 구하기 12k¤
50 %
50 %
채점 기준 배점
[유제] 01x=-1 또는 x=2 또는 x=3 02⑴ (x+2-2'2)(x+2+2'2)
⑵ (x+3-'∂10)(x+3+'∂10) 03⑴ 두 근이 모두 양수이다.
⑵ 두 근이 모두 음수이다.
⑶ 한 근은 양수, 다른 한 근은 음수이다.