유형``
④ 점 (2, 6)을 지난다.
6-1 y=-2x¤ +5의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 -7만큼 평행이동하면
④ y=-2(x+1)¤ -2의 그래프와 완전히 포개어진다.
6-2 y=3(x-p)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 1)이므로 p=-2, q=1
y=3(x+2)¤ +1의 그래프가 점 (-3, r)를 지나므로 r=3(-3+2)¤ +1=4
∴ p+q+r=-2+1+4=3
6-3 y=3(x-1-m)¤ +4+n의 그래프가 y=3x¤ 의 그래프 와 일치하므로 -1-m=0, 4+n=0
따라서 m=-1, n=-4이므로 m+n=-1+(-4)=-5
6-4 y=-2(x+1)¤ -4의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 한 그래프의 식은 y=2(x+1)¤ +4이므로
a=2, `p=-1, q=4
∴ a+p+q=2+(-1)+4=5
6-5 a>0이므로 아래로 볼록하다. 또한, 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이고, x좌표는 양수, y좌표는 음수이므로 꼭짓점 의 좌표는 제`4사분면에 있다.
6
01②, ④ 02⑤ 03;2!;, 3 04②, ④ 053 06① 07(0, -4) 08-4
09①, ② 10⑤ 11③ 12⑤
13⑤ 141 15① 162
17-16 186 19-4 20제`1, 2사분면 21{;3@;, ;9$;} 22;;¡2¡;; m 231 245
2516
중단원 EXERCISES
216~219쪽01 ① y=3x (일차함수)
② y=x¤ (이차함수)
③ y=2x (일차함수)
④ y=;4!;px¤ (이차함수)
⑤ y=2px‹ (삼차함수)
02 y=a¤ x¤ +3a(1+x)¤ =(a¤ +3a)x¤ +6ax+3a가 x에 대한 이차함수가 되려면 a¤ +3a+0이어야 하므로 a(a+3)+0 ∴ a+-3이고 a+0
03 f(a)=2a¤ -6a+3=a, 2a¤ -7a+3=0 (2a-1)(a-3)=0 ∴ a=;2!; 또는 a=3
04 ② 제`3, 4사분면을 지나는 포물선이다.
④ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
05 y=-3x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은 y=3x¤ 이고 이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로 k=3_(-1)¤ =3
06 y=ax¤ 에서 그래프의 모양은 a>0이면 아래로 볼록하고, a<0이면 위로 볼록하다. 또한, |a|의 값이 클수록 그래프
의 폭이 좁아지므로 a의 값이 가장 큰 것은 ㉠, a의 값이 가 장 작은 것은 ㉣이다.
07 y=2x¤ -4이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다.
08 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 그 래프의 식은 y=3(x-p)¤ 이고, 이 그래프가 점 (-2, 3) 을 지나므로
3=3(-2-p)¤ , p¤ +4p+3=0
(p+3)(p+1)=0 ∴ p=-3 또는 p=-1 따라서 모든 p의 값의 합은 -3+(-1)=-4
09 ③ 제1, 2사분면을 지난다.
④ x>;2!;일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
⑤ y={x-;2!;}2 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은
⑤y=-{x-;2!;}2 이다.
10 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이므로 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향 으로 3만큼 평행이동한 그래프이다.
∴ y=-2(x-1)¤ +3
11 꼭짓점의 좌표가 (-1, 1)이고 위로 볼록한 포물선은 ③이 다.
12 아래로 볼록한 그래프의 식은 ①, ③, ⑤이므로 꼭짓점의 좌표를 구해 보면
① (-3, 5)˙k 제`2사분면
③ (2, 1)˙k 제`1사분면
⑤ (1, -4)˙k 제`4사분면 13 ① 축의 방정식은 x=-1이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (-1, -1)이다.
③ y=;3!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의
③방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
④ y=;2!;x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다.
14 꼭짓점의 좌표가 (-4, 3)이므로 `p=-4, q=3
y=a(x+4)¤ +3의 그래프가 점 (-3, 5)를 지나므로 5=a+3 ∴ a=2
∴` a+p+q=2+(-4)+3=1
15 x<-1이면 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가한다.
16 y=;5@;(x-p)¤ +3p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 3p)이고, 이 점이 y=-;2!;x+7의 그래프 위에 있으므로 3p=-;2!;p+7, ;2&;p=7 ∴ p=2
17 y=-(x-2)¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y 축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x-2-m)¤ +1+n
이 그래프가 y=-(x-6)¤ -3의 그래프와 일치하므로 -2-m=-6, 1+n=-3
따라서 m=4, n=-4이므로 mn=4_(-4)=-16
18 이차함수 y=-2(x-1)¤ +5에 x=0을 대입하면 y=-2+5=3이므로 A(0, 3)
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프는 y=2(x-1)¤ -5이고
x=0을 대입하면 y=2-5=-3이므로 B(0, -3) 따라서 AB”의 길이는 3-(-3)=6
19 y=3(x-2)¤ +1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=-3(x-2)¤ -1
이 그래프가 점 (3, k)를 지나므로 k=-3(3-2)¤ -1=-4
20 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0, 꼭짓점이 제`4사분면에 있으므로 p>0, q<0
이때 y=q(x-a)¤ +pq의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, pq)이고 a>0, pq<0이므로 제`4사분면에 있다.
또한` q<0이므로 위로 볼록하다.
따라서 y=q(x-a)¤ +pq의 그래프는 제1, 2사분면을 지 나지 않는다.
21 점 A, B의 좌표를 각각 (a, a2), (a, 4a2)이라 하자.
점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로
Ⅳ. 이차함수
045
개념BOOK
4a2=x2에서 x=2a ∴ C(2a, 4a2)
ABCD가 정사각형이므로 AB”=BC”, 즉 3a2=a이므로 a(3a-1)=0 ∴ a=;3!; (∵ a>0)
따라서 점 C의 좌표는 {;3@;, ;9$;}이다.
22 점 E를 원점, 직선 DC를 x축으로 하는 좌표평면으로 생각 하면 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)이므로 포물선의 식은
y=ax¤ +2
이때 점 C의 좌표가` (2, 0)이므로 4a+2=0 ∴ a=-;2!;
따라서 문의 윗부분이 나타내는 포물선의 식은 y=-;2!;x¤ +2이고, x=-1일 때의 함숫값은 y=-;2!;+2=;2#;이므로
PQ”=;2#;+4=;;¡2¡;;(m)
23 직선 y=2x-4가 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -4)이므로
A(2, 0), B(0, -4)
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 p=2
y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 B를 지나므로 -4=a(0-2)¤ , -4=4a ∴ a=-1
∴ a+p=-1+2=1
24 y=-3x¤ +12의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 12), y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이다.
y=-3x¤ +12의 그래프가 점 (p, 0)을 지나므로 0=-3p¤ +12, p¤ =4 ∴ p=2 (∵ p>0) y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 (0, 12)를 지나므로 12=a(0-2)¤ , 4a=12 ∴ a=3
∴ a+p=3+2=5
25 y=2(x-1)¤ +2에 y=10을 대입하면 2(x-1)¤ +2=10, x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 B(-1, 10), A(3, 10)이고, 꼭짓점의 좌표는 C(1, 2)이므로
△ABC=;2!;_4_8=16
2. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
01. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
개념 CHECK
228쪽⑴ a(x-p)¤ +q ⑵ 아래로, 위로, c ⑶ 왼, 오른 01⑴ y=(x-3)¤ -5, (3, -5), x=3
01⑵ y=-(x+1)¤ +1, (-1, 1), x=-1 01⑶ y=-2(x-2)¤ +2, (2, 2), x=2 01⑷ y=;3!;(x-3)¤ -2, (3, -2), x=3 02⑴ x절편：-1, 3, y절편：-3 01⑵ x절편：4, y절편：16 01⑶ x절편：-3, 7, y절편：21 01⑷ x절편：-;3$;, 2, y절편：8 03a>0, b>0, c<0
04⑴ y=(x-2)¤ -3 ⑵ y=2(x+3)¤ -3 05⑴ y=-2x¤ +x+3 ⑵ y=-x¤ -x+2
02 ⑴ y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0
⑴(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3
⑴x=0을 대입하면 y=-3
⑴따라서 x절편은 -1, 3이고, y절편은 -3이다.
⑵ y=0을 대입하면 x¤ -8x+16=0
⑴(x-4)¤ =0 ∴ x=4 (중근)
⑴x=0을 대입하면 y=16
⑴따라서 x절편은 4이고, y절편은 16이다.
⑶ y=0을 대입하면 -x2+4x+21=0, x2-4x-21=0
⑴(x+3)(x-7)=0 ∴ x=-3 또는 x=7
⑴x=0을 대입하면 y=21
⑴따라서 x절편은 -3, 7이고, y절편은 21이다.
⑷ y=0을 대입하면 -3x¤ +2x+8=0, 3x¤ -2x-8=0
⑴(3x+4)(x-2)=0 ∴ x=-;3$; 또는 x=2
⑴x=0을 대입하면 y=8
⑴따라서 x절편은 -;3$;, 2이고, y절편은 8이다.
03 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
04 ⑴ 구하는 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ -3으로 놓으면
이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 x=0, y=1을 대입하면
1=a(0-2)¤ -3, 1=4a-3 ∴ a=1
⑴∴ y=(x-2)¤ -3
⑵ 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+3)¤ +q로 놓으면 이 그래프가 점 (-1, 5), (0, 15)를 지나므로
⑴x=-1, y=5를 대입하면
5=a(-1+3)¤ +q ∴ 5=4a+q yy`㉠
⑴x=0, y=15를 대입하면
15=a(0+3)¤ +q ∴ 15=9a+q yy`㉡
⑴㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=-3
⑴∴ y=2(x+3)¤ -3
05 ⑴ 구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
⑴x=0, y=3을 대입하면 c=3
⑴x=1, y=2를 대입하면 a+b+3=2 yy`㉠
⑴x=-1, y=0을 대입하면 a-b+3=0 yy`㉡
⑴㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1
⑴∴ y=-2x¤ +x+3
⑵ 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-1)로 놓고 x=0, y=2를 대입하면
⑴2=a(0+2)(0-1), 2=-2a ∴ a=-1
⑴∴ y=-(x+2)(x-1)=-x¤ -x+2
유형 12 1-1 -4 1-2 ① 1-3 4 1-4 3 1-5 ③ 1-6 x>1 1-7 4
유형 x절편：-5, 1, y절편：-5 2-1 -3 2-2 (-5, 0) 2-3 8
유형 ④ 3-1 ④ 3-2 q>3
유형 ③ 4-1 ⑤
유형 15 5-1 27 5-2 24
유형 -2 6-1 7 6-2 y=2(x-2)¤ +1 6-3 -8
유형 6 7-1 x=;3!; 7-2 (-3, -4)
7-3 ;3$;