숨마쿰라우데 개념기본서3 상 해설BOOK

•개념 BOOK 002

•테스트 BOOK 054

상

3

1. 제곱근과 실수

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념

_BOOK

>

>

>

실수와 그 계산

I

01. 제곱근의 뜻과 성질

개념

CHECK

028쪽 ⑴ 'a, -'a ⑵ 0 ⑶ 음수 ⑷ a, -a 01⑴ 0 ⑵ —'6 ⑶ —'∂0.7 ⑷ —Æ;5#; ⑸ 없다. ⑹ —;3@; 02⑴ —11, 11 ⑵ —0.5, 0.5 03⑴ -4 ⑵ 12.3 ⑶ -5 04⑴ 8 ⑵ 4 05⑴ < ⑵ > ⑶ < 02. 무리수와 실수

개념

CHECK

036쪽 ⑴ 무리수 ⑵ 음의 실수 ⑶ 크다 01 Ƭ;1£6;, '2+3, '5 02 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ 03 ⑴ 7.416 ⑵ 7.436 ⑶ 7.497 ⑷ 7.556 04 ⑴ '∂10 ⑵ 2+'∂10 ⑶ '∂13 ⑷ 2-'∂13 05 ⑴ > ⑵ <

0

4

⑴ ('5)¤ +(-'3)¤ =5+3=8 ⑵ "ç17¤ -"√(-13)¤ =17-13=4

0

5

⑴ 12<15이므로 '∂12<'∂15 ⑵ ;3!;>;5!;이므로 Æ;3!; >Æ;5!; ⑶ 6='∂36이므로 6>'∂30 ∴ -6<-'∂30

0

1

'∂49=7, 0.3H6= =;9#0#;=;3!0!;, -Ƭ;10#8;=-Ƭ;3¡6;=-;6!; 이므로 무리수는 Ƭ;1£6;, '2+3, '5이다. 36-3 1115₉₀

0

2

⑴ '9=3과 같이 근호가 있는 수가 유리수인 것도 있다. ⑵ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.

0

4

⑵ AP”=AB”='∂10이므로 점 P에 대응하는 수는 2+'∂10 이다. ⑷ AQ”=AC”='∂13이므로 점 Q에 대응하는 수는 2-'∂13 이다.

0

5

⑴ -2>-4이므로 양변에 '5를 더하면 '5-2>'5-4 ⑵ '2<'6이므로 양변에서 '3을 빼면 '2-'3<'6-'3 유형 ③ 1-1 ② 1-2 ③ 1-3 2 1-4 '∂29 cm1-5 '∂28 cm1-6 ①, ⑤ 유형 ③ 2-1 ⑤ 2-2 -6 2-3 ③ 유형 a 3-1 a-3b 3-2 2a-2 3-3 -1 유형 15 4-1 5 4-2 18 4-3 4, 12 유형 ⑤ 5-1 ;2%; 5-2 31 5-3 7 유형 ②, ⑤ 6-1 3개 6-2 ⑤ 6-3 ② 유형 _{A(2-'∂10), B(-2+'5)} 7-1 '2, '5, '∂10 7-2 ⑤

유형

EXERCISES

037~040쪽 2 3 1 4 6 7 5 유형`` ① 4는 16의 양의 제곱근이다. ② 0의 제곱근은 0이다. ④ 음수의 제곱근은 없다. ⑤ 제곱근 1은 1이다.

1

-1 ② —'2 ①, ③, ④, ⑤ '2

1

-2 "≈9¤ ='ß81=9이므로 9의 제곱근은 —3

1

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₀₃

개념 BOOK

1

-3 25의 양의 제곱근은 5이므로 A=5 (-3)¤ =9의 음의 제곱근은 -3이므로 B=-3 ∴ A+B=5+(-3)=2

1

-4 대각선의 길이를 x cm라고 하면 x¤ =5¤ +2¤ =29 _{∴ x='∂29 (∵ x>0)} 따라서 대각선의 길이는 '∂29 cm이다.

1

-5 (삼각형의 넓이)=;2!;_7_8=28(cm¤ ) 즉, 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 x¤ =28 _{∴ x='∂28 (∵ x>0)} 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 '∂28 cm이다.

1

-6 ① '∂169=13 ⑤ Æ˚:™9∞:=;3%; ∴ "çb¤ c¤ -"ç(1-bc)¤ ="ç(bc)¤ -"ç(1-bc)¤ =-bc-(1-bc)=-1 유형`` ③ (-'7)¤ =7

2

-1 ①, ②, ③, ④ 3 ⑤ -3

2

-2 '∂0.04_"√(-5)¤ -(-'7)¤ =0.2_5-7=1-7=-6

2

-3 ③ -"√(-a)¤ =-a

2

유형`` a>0이므로 (주어진 식)=-(-a)+2a-{-(-2a)} =a+2a-2a=a

3

-1 "ça¤ =a이므로 a>0 ∴ -a<0 "çb¤ =-b이므로 b<0 ∴ 3b<0 ∴ "√(-a)¤ +"ç9b¤ ="√(-a)¤ +"√(3b)¤ =-(-a)+(-3b)=a-3b

3

-2 a+2>0, a-4<0이므로 (주어진 식)=(a+2)-{-(a-4)}=2a-2

3

-3 b, c의 부호가 서로 다르므로 bc<0이고 1-bc>0

3

유형`` = 가 제곱수가 되어야 하므로 x=3_5, 2¤ _3_5, 2› _3_5 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_5=15이다.

4

-1 20-n=0, 1, 4, 9, 16이 되게 하는 자연수 n의 값은 20, 19, 16, 11, 4의 5개이다.

4

-2 24a=2‹ _3_a가 제곱수가 되게 하는 a의 최솟값은

2_3=6 이때 b의 값은 "√2› _3¤ ="√(4_3)¤ ="ç12¤ =12 따라서 a+b의 최솟값은 6+12=18

4

-3 20 이하의 자연수 x에 대하여 2x+1이 제곱수가 되어야 하므로 2x+1=1에서 x=0, 2x+1=4에서 x=;2#;, 2x+1=9에서 x=4, 2x+1=16에서 x=:¡2∞:, 2x+1=25에서 x=12, 2x+1=36에서 x=:£2∞: 따라서 조건을 만족하는 자연수 x의 값은 4, 12이다. 2› _3_5 11114_x 240 11_x

4

유형`` ① '∂17 >'∂15 ② 4='∂16이므로 4>'∂12 ③ '5<'6이므로 -'5>-'6 ④ 0.1='∂0.01이므로 0.1<'∂0.1

5

-1 (음수)<0<(양수)이므로 음수와 양수로 나누어 비교한다. ⁄ 음수 : 3<'∂10이므로 -'∂10<-3 ¤ 양수 : ;2!;=Æ;4!; , Æ;8!; , '∂0.2=Ƭ;1™0;=Æ;5!; ¤_{이므로 Æ;8!;<'∂0.2<;2!;} 따라서 a=-'∂10, b=;2!;이므로 a¤ b¤ =(-'∂10)¤ _{;2!;}¤ =;2%;

5

5

-2 2<'n<6에서 '4<'n<'∂36이므로 4<n<36 따라서 자연수 n의 개수는 36-4-1=31

5

-3 3…'ƒx-2<4에서 9…x-2<16이므로 11…x<18 따라서 자연수 x의 개수는 18-11=7 유형`` ② 순환소수는 무한소수이지만 유리수이다. ⑤ 무리수는 순환소수로 나타낼 수 없다.

6

-1 1.2˙ = =:¡9¡:, 3.14, -'∂0.16=-"√(0.4)¤ =-0.4는 유리수이다. 따라서 '6, '3+2, '∂0.4는 무리수이므로 무리수는 모두 3개이다.

6

-2 ① '∂0.04="√(0.2)¤ =0.2 ② '∂1.69="√(1.3)¤ =1.3 ③ Æ;9!;=;3!;=0.3H ④ "ç0.4H =Æ;9$;=;3@;=0.6H ⑤ '∂14.4는 무리수이므로 순환하지 않는 무한소수로 나 타내어진다.

6

-3 ② 순환하지 않는 무한소수로 나타내어진다. 12-1 1124₉

6

유형`` 정사각형 ㈎, ㈏의 한 변의 길이는 각각 '5, '∂10이므로 A(2-'∂10), B(-2+'5)

7

-1 OA”='2`, OB”='5`, OC”='∂10

따라서 P`, Q`, R에 대응하는 세 수는 각각 '2, '5, '∂10 이다.

7

-2 ⑤ E(-1+'2)

7

01③ 023 03'7 048 05-a-2b 062x-1 07 ④ 08 15 09 ③, ④ 10P(2-'2), Q(1+'3 ) 11⑤ 12③ 13b<c<a 14 ⑤ 157 16-2, 3 172bc 1875 1970 20 6 21 a='∂10-3, b=4-'∂10

중단원

EXERCISES

041~043쪽

0

1

① 16의 제곱근은 —4이다. ② 2의 음의 제곱근은 -'2이다. ④ "ç(-5)¤ =5 ⑤ (-6)¤ =36의 제곱근은 —6이다.

0

2

'∂36=6의 양의 제곱근은 '6, "ç(-15)¤ =15의 음의 제곱 근은 -'∂15이므로 a='6, b=-'∂15 ∴ "√b¤ -a¤ ='∂15-6='9=3

0

3

두 정사각형 A, B의 넓이가 각각 2, 5이므로 정사각형 C 의 넓이는 2+5=7이다. 따라서 정사각형 C의 한 변의 길이는 '7이다.

0

4

45=3¤ _5이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 5이다. 48=2› _3이므로 가장 작은 자연수 b의 값은 3이다. ∴ a+b=5+3=8

0

5

a>0, b<0이므로 b-a<0 ∴ (주어진 식)=-(b-a)-2a-b=-a-2b

0

6

x+1>0, x-2<0이므로 (주어진 식)=(x+1)-{-(x-2)}=2x-1

0

7

④ 3='9이고 '8<'9이므로 -'8>-'9

0

8

'∂12<n<'∂42의 각 변을 제곱하면 12<n¤ <42 따라서 자연수 n의 값은 4, 5, 6이므로 그 합은 4+5+6=15

0

9

순환하지 않는 무한소수는 무리수이다. ① 1.4H =:¡9£:

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₀₅

개념 BOOK ② (0.04의 제곱근)=—'∂0.04=—0.2 ⑤ '1+'∂0.81=1+0.9=1.9

10

CP”=AC”='2 이므로 점 P의 좌표는 P(2-'2) BE”='2, BF”="√('2 )¤ +1¤ ='3 이므로 점 Q의 좌표는 Q(1+'3 )

11

⑤ 수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있다.

12

화살표에 대응하는 수는 왼쪽부터 차례로 -1-'2, -'2, -2+'2, -1+'2, 2-'2이다. ③ -2+'2>-'2

13

3<'∂12<4이므로 -2<'∂12-5<-1 4<'∂20<5이므로 -3<2-'∂20<-2 따라서 a=-1.___, b=-2.___, c=-2이므로 b<c<a ■ 다른 풀이 ■ a-c='ß∂12-5-(-2)='∂12-3>0이므로 a>c b-c=2-'ß20-(-2)=4-'ß20<0이므로 b<c ∴ b<c<a

14

⑤ =0.252<'3

15

3<'∂10<4이므로 -2<'∂10-5<-1 2<'5<3이므로 5<3+'5<6 따라서 두 수 사이에 있는 정수는 -1, 0, y, 4, 5의 7개이 다.

16

⁄`_{2a-1æ0, 즉 aæ;2!;일 때}

⁄`<sub>"√(2a-1)¤ =2a-1=5</sub> ∴ a=3 ¤`_{2a-1<0, 즉 a<;2!;일 때}

⁄`_{"√(2a-1)¤ =-(2a-1)=5} ∴ a=-2 ⁄, ¤에서 구하는 a의 값은 -2, 3이다.

17

ac>0, bc<0이므로 a, b의 부호는 서로 다르다. 즉, ab<0이므로 ab-1<0, ab+bc<0, 1-bc>0 ∴ (주어진 식)=-(ab-1)-{-(ab+bc)}-(1-bc) =2bc '5-'3 14511₂

18

48=2› _3이므로 n=3_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. ∴ n=3, 12, 27, 48, 75 이 중에서 25+n이 제곱수가 되게 하는 자연수 n의 값은 75이다. ■ 참고 ■ 'ƒ25+n이 자연수가 되려면 25+n=36, 49, 64, 81, 100, 121 ∴ n=11, 24, 39, 56, 75, 96

19

근호 안의 수를 소인수분해하면 1_2_3_y_9_n =1_2_3_2¤ _5_(2_3)_7_2‹ _3¤ _n =2‡ _3› _5_7_n 따라서 n=2_5_7_(자연수)¤ 꼴이어야 하므로 가장 작은 자연수 n의 값은 n=2_5_7=70

20

f(1)="ç0.H1=Æ;9!;=;3!;, f(2)="ç0.H2=Æ;9@; , f(3)="ç0.H3=Æ;9#;=Æ;3!; , f(4)="ç0.H4=Æ;9$;=;3@;, f(5)="ç0.H5=Æ;9%; , f(6)="ç0.H6=Æ;9^;=Æ;3@; , f(7)="ç0.H7=Æ;9&; , f(8)="ç0.H8=Æ;9*; 따라서 f(1), f(4)만 유리수이므로 무리수의 개수는 8-2=6

21

⁄ '9<'∂10<'∂16이므로 3<'∂10<4 ⁄_{즉, '∂10의 정수 부분은 3이고, 소수 부분은 '∂10-3} ⁄_{∴ a='∂10-3} ¤_{-'∂16<-'∂10<-'9이므로 -4<-'∂10<-3} ⁄_{∴ 2<6-'∂10<3} ⁄_{즉, 6-'∂10의 정수 부분은 2이고, 소수 부분은} ⁄_{6-'∂10-2=4-'∂10} ⁄_{∴ b=4-'∂10}

2. 근호를 포함한 식의 계산

01. 제곱근의 곱셈과 나눗셈

개념

CHECK

051쪽 ⑴ ① ab ② ;aB; ③ a ⑵ 유리화 01⑴ '∂77 ⑵ 12'2 ⑶ 12'∂14 02⑴ '6 ⑵ 3'3 ⑶ 03⑴ 3'6 ⑵ 2'∂30 ⑶ 12'2 04⑴ ⑵ ⑶ 05⑴ 2'3 ⑵ 3'2 ⑶ 06⑴ 5'2 ⑵ 10 '∂15 11₂ '3 12₅ '7 12₉ '3 12₂ '2 12₃

0

1

⑵ 2'2_6=(2_6)'2=12'2 ⑶ 4'2_3'7=(4_3)'ƒ2_7=12'∂14

0

2

⑴ '∂72÷'∂12= =Æ…;1&2@;='6 ⑵ 21'6÷7'2=:™7¡:Æ;2^; =3'3 ⑶ Ƭ;1¢5; ÷Æ;5^;=Æ…;1¢5;_;6%;=Æ;9@;=

0

3

⑴ '∂54="√3¤ _6=3'6 ⑵ 'ƒ120="√2‹ _3_5=2"√2_3_5=2'∂30 ⑶ 3'∂32=3"√4¤ _2=3_4'2=12'2

0

4

⑵ Ƭ;8¶1; =æ≠ = ⑶ '∂0.12=Ƭ;1¡0™0; =Ƭ;2£5; =æ≠ =

0

5

⑴ = = _=2'3 ⑵ = = = = _=3'2 ⑶ = = =

0

6

⑴ '2_'∂75÷'3='ƒ150_ ='∂50=5'2 ⑵ 2'∂30÷'6_'5=2'∂30_131 _'5=2'5_'5=10 '6 1 12 '3 '∂15 1235₂ 3'∂15 1215₆ 3'5_'3 11112 2'3_'3 3'5 115 2'3 6'2 1242₂ 6_'2 124132 '2_'2 6 124 '2 12 122 2'2 12 124 '8 6'3 124₃ 6_'3 124132 '3_'3 6 124 '3 '3 12₅ 3 13_5¤ '7 12₉ 7 13_9¤ '2 124₃ '∂72 11 '∂12 02. 제곱근의 덧셈과 뺄셈

개념

CHECK

057쪽 ⑴ m+n ⑵ m-n ⑶ 10, 13 01⑴ 5'3 ⑵ 4'2 ⑶ 3'6-'3 ⑷ '7-2'6 02⑴ 3'2-'6 ⑵ 4-'3 ⑶ 2'3 ⑷ 3'6 03-5'6 04⑴ 47.01 ⑵ 0.4583 ⑶ 0.04615 ⑷ 471.2

0

1

⑵ 3'8-2'2=6'2-2'2=4'2 ⑶ '6-3'3+'∂24+'∂12 ='6-3'3+2'6+2'3 =(1+2)'6+(-3+2)'3=3'6-'3 ⑷ 3'7-5'6-'∂28+'∂54=3'7-5'6-2'7+3'6 ='7-2'6

0

2

⑴ '3('6-'2 )='3_'6 -'3_'2 =3'2-'6 ⑵ (4'2-'6 )÷'2 =4'2÷'2 -'6÷'2 =4-'3 ⑶ '∂27+9÷'3-4'3=3'3+ -4'3 '∂27+9÷'3-4'3=3'3+3'3-4'3=2'3 ⑷ '∂84÷'∂14+2'2_'3='ƒ84÷14+2'ƒ2_3 ='6+2'6=3'6

0

3

4xy-12'2y=4_ _ _{-12'2_} 4xy-12'2y= - _{=5'6-10'6=-5'6}

0

4

⑴ '∂2210='ƒ22.1_100=10'∂22.1 ⑴ '∂2210=10_4.701=47.01 ⑵ '∂0.21=Æ…21_;10!0;= ⑵ '∂0.21=;1¡0;_4.583=0.4583 ⑶ 'ƒ0.00213=Æ…21.3_;100!00;=;10!0;'∂21.3 ⑶ 'ƒ0.00213=;10!0;_4.615=0.04615 ⑷ 'ƒ222000='ƒ22.2_10000=100'∂22.2 ⑷ 'ƒ222000=100_4.712=471.2 '∂21 1242₁₀ 30'2 124444 '3 30 1555 '6 5 12444 2'3 5 12444 2'3 3 1555 '2 9 12 '3

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₀₇

개념 BOOK 유형 ③ 1-1 2 1-2 6 1-3 ④ 유형 ③ 2-1 6'3 2-2 , '∂0.12, Ƭ;4£9; 2-3 ④ 유형 ⑤ 3-1 ;3@; 3-2 3-3 7 유형 '6 4-1 2'∂30 4-2 4-3 유형 4 5-1 9'∂10 5-2 3'5 cm 유형 10 6-1 5'3-2'5 6-2 6-3 6-4 A<B 유형 '6 7-1 9 7-2 6 7-3 -1 7-4 -2 유형 ④ 8-1 104.14 8-2 ② 8-3 ④ 7'2 1225₁₂ '6 12₆ 3'2 11₄ '2 12₈ '8 12₃ '3 12₂

유형

EXERCISES

058~061쪽 2 3 1 4 6 7 5 8 유형`` ① '2_'3_'6='ƒ2_3_6="≈6¤ =6 ② =Ƭ:¡3™:='4=2 ③ =Ƭ:™9¶:='3 ④ Æ;3@;_Æ;6(;=Æ…;3@;_;6(;=1 ⑤ ÷Ƭ;1∞4;=Æ…:¡7º:_:¡5¢:='4=2

1

-1 'a=Æ…:¡3¢:_Æ;7^;=Æ…:¡3¢:_;7^;='4 ∴ a=4 'b=Æ;5@; ÷Æ;5$; =Æ;5@; _Æ;4%; =Æ…;5@;_;4%; =Æ;2!; ∴ b=;2!; ∴ ab=4_;2!;=2

1

-2 '3_'4_'∂18_'x='ƒ3_4_18_x='ƒ36_36 3_4_18_x=36_36 ∴ x=6

1

-3 ④ 4'∂18÷2'6=4'∂18_1221 =2'3 2'6 '∂10 122 '7 '∂27 122 '9 '∂12 122 '3

1

유형`` ③ '∂90=3'∂10

2

-1 '∂72="√6¤ _2=6'2이므로 a=6 3'2="√3¤ _2='∂18이므로 b=18 ∴ '∂ab='ƒ6_18="√6¤ _3=6'3

2

-2 '∂0.12=æ≠ =Ƭ;2£5;= Ƭ;4£9;=Ƭ = ∴ >'ƒ0.12>Ƭ;4£9;

2

-3 '∂135="≈3‹ _'5=('3)‹ _'5=a‹ b '3 12₂ '3 12₇ 3 14_7¤ '3 12₅ 12 125₁₀₀

2

유형`` ① = = ② = = = ③ = = ④ = = _='6

3

-1 = = = = ∴ a=;9!; = = = = = ∴ b=;3!; ∴ 3a+b=3_;9!;+;3!;=;3@;

3

-2 Æ;3@;= = , ;3@;= , = = 이므로 큰 수부터 차례로 나열하면 , , , , Δ , , Æ;3@;, ;3@;, 따라서 두 번째에 오는 수는12'8이다. 3 '2 12₃ '8 12₃ 2 12 '3 '2 12₃ '4 12₃ '6 12₃ '8 12₃ '∂12 11₃ '∂12 122₃ 2'3 122₃ 2 12 '3 '4 12₃ '6 12₃ '2 12 '3 '5 12₃ 5'5 1234₁₅ 5_'5 123411_{3'5_'5} 5 1234_3'5 5 12124 "√3¤ _5 5 124 '∂45 '3 12₉ '3 123411_{3'3_'3} 1 1234_3'3 1 12124 "√3¤ _3 1 124 '∂27 3'6 1234₃ 3'2_'3 1212222 '3_'3 3'2 1224 '3 '3 12₆ '3 1212222 2'3_'3 1 1224 2'3 '6 12₃ 2'6 1234₆ 2_'6 121222 '6_'6 2 12 '6 '6 12₃ '2_'3 121222 '3_'3 '2 12 '3

3

3

-3 = = = 따라서 3a=21이므로 a=7 '∂21 1225₂ '∂3a 1225₂ 3'a_'3 121125_{2'3_'3} 3'a 1225_2'3 유형`` ÷ _ = _ _ = ='6

4

-1 '∂32_'∂45÷'∂12 =4'2_3'5_ = = = _=2'∂30

4

-2 2Ƭ;1£4;_3Æ;6%;÷6Ƭ:¢7º: = _ _ = =

4

-3 æ≠ _ ÷ _ = _ _ _{_} = =113'2 4 3 122 2'2 3'ßb 122 '∂2a '∂2b 112 '∂10a 'a 1225 '∂3b '∂15a 112_2'b '∂9b 122 '∂2a '∂10a 112 '∂2b 'a 1225 '∂3b 15a 123_4b '2 12₈ 1 122 4'2 '7 122235 12'∂10 3'5 122 '6 2'3 1223 '∂14 6'∂30 1222₃ 6'∂10_'3 12245115 '3_'3 6'∂10 12245 '3 1 122 2'3 6 12 '6 2'2 122 '∂15 '5 12 '6 3'3 122 '2 '8 122 '∂15 '6 12 '5 3'3 122 '2

4

유형`` (삼각형의 넓이)=;2!;_'∂32_'∂24 (삼각형의 넓이)=;2!;_4'2_2'6=8'3 (직사각형의 넓이)=x_'∂12=2'3x 8'3=2'3x ∴ x= =4

5

-1 AB”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 18이므로 AB”='∂18=3'2 BC”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 45이므로 BC”='∂45=3'5 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 3'2_3'5=9'∂10

5

-2 직육면체의 높이를 h cm라고 하면 '3_'6_h=9'∂10 ∴ h= =122349'∂10_=3'5 3'2 9'∂10 12234 '∂18 8'3 122_2'3

5

유형`` 2'∂45-'∂48-'∂125+3'∂75 =2_3'5-4'3-5'5+3_5'3 =6'5-5'5-4'3+15'3 =11'3+'5 따라서 a=11, b=1이므로 a-b=11-1=10

6

-1 A=2'3+6'3-3'3=(2+6-3)'3=5'3 B=3'5-7'5+6'5=(3-7+6)'5=2'5 ∴ A-B=5'3-2'5

6

-2 - = - = - =

6

-3 '2- + -='2- + -='2- + -= - + - =

6

-4 A-B={'3+ }-{'2+ } A-B_='3+ -'2-A-B= - = <0 따라서 A-B<0이므로 A<B 2'3-3'2 111124₆ '2 12₂ '3 12₃ 2'3 1225₃ '2 12₂ 2 12 '3 1 12 '2 7'2 1225₁₂ 2'2 1225₁₂ 3'2 1225₁₂ 6'2 1225₁₂ 12'2 1223₁₂ '2 12₆ '2 12₄ '2 12₂ 1 122 3'2 1 122 2'2 1 12 '2 1 122 '∂18 1 12 '8 1 12 '2 '6 12₆ '6 12₃ '6 12₂ '2 12 '3 '3 12 '2 a 1_b b 1_a

6

유형`` '3('6-'2)+'2('∂12-3) ='3 '6-'3 '2+'2 '∂12-3'2 ='∂18-'6+'∂24-3'2 =3'2-'6+2'6-3'2='6

7

-1 '6x+'3y='6('3+'6)+'3('3-'6) ='6 '3+'6 '6+'3 '3-'3 '6 =6+3=9

7

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₀₉

개념 BOOK

7

-2 = = = = = _-'2 이므로 (주어진 식)= -'2-'2('3-1) (주어진 식)= _-'2-'6+'2= 따라서 = 이므로 a=6

7

-3 '∂12 { - }-= - - + ='6-2-'6+1=-1

7

-4 4('5-2a)+'∂20(a-4'5) =4('5-2a)+2'5(a-4'5) =4'5-8a+2a'5-40 =(-8a-40)+(4+2a)'5 유리수가 되려면 4+2a=0 ∴ a=-2 '3 12 '3 3'2 122 '3 '∂12 122 '3 '∂12 122 '2 3'2-'3 122115 '3 1 12 '3 1 12 '2 'a 123₂ '6 123₂ '6 125₂ 3'6 1225₂ 3'6 1225₂ 3'6 12255₂ 3'6-2'2 12212522₂ (3'3-2)_'2 12212512512 '2_'2 3'3-2 122125 '2 6'3-4 122125 2'2 'ƒ108-4 12222225 '8 유형`` ① '∂311='∂3.11_100=10'∂3.11 ③ 'ƒ0.0341=Æ…3.41_;10!0;= ④ '∂0.33=Æ…;1£0£0; = 이므로 '∂33의 값을 알아야 한다. ⑤ 'ƒ33100='∂3.31_∂10000=100'∂3.31

8

-1 '∂626+'ƒ6260='∂6.26_100+'∂62.6_100 =10'∂6.26+10'∂62.6 =25.02+79.12=104.14

8

-2 ① '∂0.07=Æ…;10&0;= ② '∂0.7=Æ…;1¶0;=Æ…;1¶0º0;= 이므로 '∂70의 값을 알 ②아야 한다. '∂70 1244₁₀ '7 124₁₀ '∂33 1225₁₀ '∂3.41 1221₁₀

8

③ = ④ '∂700='∂7_100=10'7 ⑤ '∂70000='∂7_10000=100'7

8

-3 ① '∂300="√3_100=10'3=17.32 ② 'ƒ3000="√30_100=10'∂30=54.77 ③ '∂0.3=Æ…;1£0º0;= =0.5477 ④ '∂0.03=Æ…;10#0;= =0.1732 ⑤ 'ƒ0.003=Æ…;10£00;=Æ…;10£0º00;=1225'∂30 =0.05477 100 '3 124₁₀ '∂30 1225₁₀ '7 124₇ 1 124 '7 01④ 027 034'6 04 05 06④ 074 08③ 09 - 107-5'2 114'∂15 1217 13;6!; 14-;3!; 15 16-'3 17-4+3'6 18⑤ 1918 20③ 21105 cm¤ 2218'2 cm 23 -24-'∂30-'3 25 26;4#; 27-5'2 '∂15 122₂ '2 125₃ '2 125₂ '3 125₆ '6 125₁₂ 3'∂30 1222₅ '∂30 122₈

중단원

EXERCISES

062~065쪽

0

1

'∂300="√2¤ _3_5¤ =('2)¤ _'3_5=5a¤ b

0

2

2'ƒ25+a=4'6=2"√2¤ _6=2'∂24에서 25+a=24이므로 a=-1 'ƒ20-b=2'3="√2¤ _3='∂12에서 20-b=12이므로 b=8 ∴ a+b=7

0

3

aæ– +bæ– =æ– +æ– ='∂3ab+æ– aæ– +bæ– ='ƒ3_18+Ƭ:¡3•: aæ +bæ– =3'6+'6=4'6 ab 12₃ ab¤ 12_3b 3a¤ b 1223_a a 12_3b 3b 12_a

0

4

5'6_Æ;8#;÷ =5'6_ _ 5'6_Æ;8#;÷ = Æ…6_;2#;_;1™5; 5'6_Æ;8#;÷ =;8%;Æ;5^;= =

0

5

피타고라스 정리에 의하여 BC”="√('∂27 )¤ +(3'2 )¤ ='∂27+18='∂45=3'5 △ABC=;2!;_'∂27_3'2=;2!;_3'5_AH” ∴ AH”= = = =

0

6

① 3'2+2'3은 더이상 간단히 할 수 없다. ② '∂12-'9=2'3-3 ③ '5('2-3)='∂10-3'5 ⑤ -

=-0

7

'∂450-4'∂18+ '2 =15'2-4_3'2+ '2 =15'2-12'2+ '2 =3'2+ '2=7'2 따라서 3+ =7이므로 =4

0

8

③ '5+3

0

9

+ - -= + - -= + - -={ - _}+{ - _} =

-10

2'2='8이므로 2'2<3, 3'2='∂18이므로 3'2>4 ∴ (주어진 식)=-(2'2-3)-(3'2-4) =-2'2+3-3'2+4=7-5'2

11

x+y=('5+'3)+('5-'3)=2'5 x-y=('5+'3)-('5-'3)=2'3 '3 12₆ '6 12₁₂ 4'3 1254₆ 3'3 1254₆ 3'6 1254₁₂ 4'6 1254₁₂ 2'3 1254₃ '6 135₄ '3 135₂ '6 135₃ 6 1254 3'3 '3 1254 2'2 3 122_2'3 '2 125 '3 6 122 '∂27 '3 125 '8 3 122 '∂12 '2 125 '3 '∂15 122₆ '5 122 2'3 3'∂30 1223₅ 3'6 122 '5 3'3_3'2 11112_3'5 '∂27_3'2 11112_3'5 '∂30 122₈ 5'6 12255 8'5 5 1224_{2_4} '2 12234 4'∂15 '3 122 2'2 4'∂15 12234 '2 ∴ (x+y)(x-y)=2'5_2'3=4'∂15

12

2'∂75+'∂128- + =10'3+8'2-2'2+'3 =6'2+11'3 따라서 a=6, b=11이므로 a+b=17

13

= = _=;2!;-;3!;'6 따라서 x=;2!;, y=-;3!;이므로 x+y=;2!;+{-;3!;}=;6!;

14

- = -- = -- = _{+'3- +'3} - =2'3-따라서 a=2, b=-;6!;이므로 ab=-;3!;

15

'∂16=4이므로 a=2 ∴ 'a- ='2- ='2- =

16

x='∂108-'∂147=6'3-7'3=-'3이므로 x‹ -2x=(-'3)‹ -2_(-'3) =-3'3+2'3=-'3

17

÷{ -Æ…;2¡4; }+'∂18('3-'2) = _{÷{ - }+3'2('3-'2)} = _{÷{ - }+3'6-6} = ÷ _+3'6-6 = _ _+3'6-6 =2+3'6-6 =-4+3'6 4 124 '6 '6 124₂ '6 124₄ '6 124₂ '6 124₁₂ '6 124₃ '6 124₂ 1 1224 2'6 2 124 '6 '6 124₂ 2 124 '6 '3 124 '2 '2 124₂ '2 124₂ 1 124 '2 1 124 'a '6 42255₆ 2'6 1254₃ '6 42255₂ 2'6-3'3 122341425₃ '6+'∂12 1223442255₂ '3(2'2-3) 12234142255 '3_'3 '2('3+'6) 122341422555 '2_'2 2'2-3 12122 '3 '3+'6 122341 '2 3-2'6 1223422₆ ('3-2'2)_'3 1223414112255 2'3_'3 '3-'8 122341 2'3 6 122 '∂12 '∂32 122₂

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₁₁

개념 BOOK

18

(직육면체의 높이)=(4'∂45-'∂10)÷('5_2'3) (직육면체의 높이)=(4'∂45-'∂10)÷2'∂15 (직육면체의 높이) =2'3-(직육면체의 높이) =2'3-(직육면체의 높이)=2'3- (cm)

19

2'7='∂28이고 5<'∂28<6이므로 2<2'7-3<3 즉, 2'7-3의 정수 부분은 2이므로 a=2 또, 3'2='∂18이고 4<'∂18<5이므로 9<3'2+5<10 즉, 정수 부분이 9이므로 소수 부분은 3'2+5-9=3'2-4 ∴ b=3'2-4 ∴ (2a+b)¤ =(4+3'2-4)¤ =(3'2)¤ =18

20

③ 'ƒ0.419=Æ…41.9_;10!0;=;1¡0;'ƒ41.9=0.6473

21

정사각형 A의 한 변의 길이는` 'ƒ500=10'5 (cm) 정사각형 B의 한 변의 길이는` 'ƒ45=3'5 (cm) 따라서 직사각형 C의 가로의 길이는 3'5 cm, 세로의 길이는 10'5-3'5=7'5(cm)이므로 구하는 넓이는 3'5_7'5=105(cm¤ )

22

정사각형의 한 변의 길이가 각각 '2 cm, '8=2'2 (cm), '∂18=3'2 (cm)이므로 주어진 도형의 둘레의 길이는 2('2+2'2+3'2)+2_3'2=18'2 (cm)

23

f(2)+ f(4)+ f(6)+y+ f(14)+ f(16) ={ - _}+{ - _} =_+{ - }+y+{ - } =_+{ - _} ={ - _}+{ - _}+{ - _} =_+y+{ - _}+{ - _} =- + =- +1545551 3'2 1 1545 '2 1 15455 '∂18 1 1545 '2 1 15455 '∂16 1 15455 '∂18 1 15455 '∂14 1 15455 '∂16 1 1545 '6 1 1545 '8 1 1545 '4 1 1545 '6 1 1545 '2 1 1545 '4 1 15455 '∂16 1 11255554 'ƒ16+2 1 15455 '∂14 1 11255554 'ƒ14+2 1 1545 '6 1 11254 'ƒ6+2 1 1545 '4 1 11254 'ƒ4+2 1 1545 '2 1 11254 'ƒ2+2 '6 124₆ '2 1254_2'3 '∂10 1144 2'∂15 =- +

=-24

BP”="√1¤ +1¤ ='2, AP”="√1¤ +2¤ ='5이므로 p=-1-'5, q=-1+'2 ∴ '6p+'3q='6(-1-'5)+'3(-1+'2) =-'6-'∂30-'3+'6 =-'∂30-'3

25

+ _{=1의 x절편은 '3, y절편은 '5이고,} + _{=1의 x절편은 '∂12, y절편은 '5이다.} 따라서 구하는 넓이는 다음 그림의 색칠한 부분의 넓이이다. ∴ (구하는 넓이) ∴=;2!;_('∂12-'3)_'5=;2!;_(2'3-'3)_'5 ∴=;2!;_'3_'5=

26

= = = = = = _{=;4#;'2 ∴ =;4#;}

27

Æ -Æ = -Æ -Æ ='∂ab {151_a -151_b } '∂ab 135555_b '∂ab 135555_a a 15_b b 15_a 3 11444 2'2 115₃ 2 11444 4'2 115₃ 2 11114 '2 '2+1555₃ 2 1111444₂ '2+115 3'2 2 11113444₁ '2+1155 3'2 11₂ 2 11111114₁ '2+11112 '2 '2+124₂ 2 11111114₁ '2+11112₁ '2+124 '2 '∂15 212₂ O :::+:::=1 x y '5 '3 '∂12 '3 x '5 y ::::+:::=1 '∂12 x '5 y y 125 '5 x 1253 '∂12 y 125 '5 x 125 '3 '2 1545₃ '2 1545₆ '2 1545₂

0

1

① -'5는 제곱하면 5가 되는 수이다. ③ '∂200은 '2의 10배이다. ④ 0.1='∂0.01이므로 '∂0.1은 0.1보다 크다. ⑤ '∂1.21=1.1의 제곱근은 —'∂1.1이다.

0

2

1.H7= _{=:¡9§:의 양의 제곱근은 Ƭ:¡9§:=;3$;} (-9)¤ =81의 음의 제곱근은 -'∂81=-9 따라서 a=;3$;, b=-9이므로 ab=;3$;_(-9)=-12

0

3

"≈2¤ +(-'3)¤ -"√(-5)¤ _'∂0.16 =2+3-5_0.4=2+3-2=3

0

4

"≈a¤ -"ç4b¤ -"√(-a)¤ +"√(-3b)¤ =a-(-2b)-{-(-a)}+(-3b) =a+2b-a-3b=-b

0

5

-;2!;<a<0이므로 -1<2a<0 0<2a+1<1, -2<2a-1<-1 ∴ (주어진 식)=(2a+1)-{-(2a-1)} =2a+1+2a-1=4a 17-1 113355₉

0

6

36-n의 값이 제곱수가 되어야 하므로 36-n=1, 4, 9, 16, 25 따라서 n의 값은 35, 32, 27, 20, 11이므로 35+32+27+20+11=125

0

7

a=;3!;이라고 하면 ① a=;3!; ② 'ßa=Æ;3!;=

③ Æ;a!;='3 ④ ;a!;=3 ⑤ a¤ =;9!; 따라서 ⑤ a¤ 의 값이 가장 작다.

0

8

81<85, 36<47이므로 f(85)=9, f(47)=6 ∴ f(85)-f(47)=9-6=3

0

9

3…'∂2x<5의 각 변을 제곱하면 9…2x<25이므로 ;2(;…x<:™2∞: ∴ x=5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 또한 '∂15<x<'∂60의 각 변을 제곱하면 15<x¤ <60 ∴ x=4, 5, 6, 7 따라서 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 x의 값은 5, 6, 7 이므로 합은 5+6+7=18이다.

10

0.H31H4=;9#9!9$;, "ç0.H1=Æ;9!;=;3!;, Ƭ;2¢5;=;5@;이므로 무리수는 p+1, '2-1, 의 3개이다.

11

② 순환소수는 모두 유리수이다.

12

AQ”=AC”='2, BP”=BD”='2 ④ 점 Q의 좌표는 2+'2이다. ⑤ PA”=PB”-AB”='2-1

13

① '6_'8='∂48='ƒ16_3=4'3 ② '3+'∂27='3+3'3=4'3 ③ '3(4-'3)+3=4'3-3+3=4'3 ④ +2('3-1)=2'3+2'3-2=4'3-2 ⑤ '3('3+1)- ('∂18-'∂54) ⑤=3+'3-'9+'∂27 =3+'3-3+3'3=4'3 1 125 '2 6 125 '3 '2 135₃ '3 135₃ 01② 02-12 033 04-b 054a 06125 07⑤ 083 0918 103개 11② 12④, ⑤ 13④ 14⑤ 154 163 174'3-4'2184+'3 193'2+'5-5 203+'5 21 22'6-'2 23② 24㉡ 253'2+'6 52'2 1225555₃

대단원

EXERCISES

068~071쪽 Æ -Æ ='∂ab _ Æ -Æ ='2_1155-10₂ =-5'2 b-a 1155_ab

Ⅰ. 실수와 그 계산

₀₁₃

개념 BOOK

14

⑤ '∂60="√2¤ _3_5=2ab이므로 Ƭ;6¡0;=

15

= = = _{은 '6의 ;5@;배이다.} 즉, x=;5@;이므로 10x=10_;5@;=4

16

'∂108+'x-'∂75=2'3에서 6'3+'x-5'3=2'3 'x=2'3-'3='3 ∴ x=3

17

5'2='∂50, 4'3='∂48이므로 5'2>4'3 = = = , = = = 이므로 < ∴ (주어진 식)=(5'2-4'3)-6{ - _} ∴ (주어진 식)=5'2-4'3-9'2+8'3 ∴ (주어진 식)=4'3-4'2

18

4'2='∂32, 5<'∂32<6이므로 2<4'2-3<3 3<'∂12<4이므로 4<'∂12+1<5 4<'∂18<5이므로 -5<-'∂18<-4에서 2<7-'∂18<3 1<'3<2이므로 -2<-'3<-1에서 1<3-'3<2 따라서 가장 큰 수는 '∂12+1, 가장 작은 수는 3-'3이므로 a='∂12+1, b=3-'3 ∴ a+b=('∂12+1)+(3-'3) =2'3+1+3-'3='3+4

19

두 직각삼각형의 빗변의 길이가 각각 '5, '∂10이므로 두 점 A, B에 대응하는 수는 각각 -1-'5, 3+'∂10이다. 즉, a=-1-'5, b=3+'∂10이므로 '5a+'2b='5(-1-'5)+'2(3+'∂10) =-'5-5+3'2+'∂20 =-'5-5+3'2+2'5 =3'2+'5-5

20

a=2, b=(1+'5)-2='5-1 4'3 1432₃ 3'2 1432₂ 4 143 '3 3 143 '2 '∂192 14323₆ 8'3 1432₆ 4'3 1432₃ 4 143 '3 '∂162 14323₆ 9'2 1432₆ 3'2 1432₂ 3 143 '2 2'6 13544₅ 4'6 13544₁₀ 4'3 135444 5'2 4'3 13544 '∂50 1 13544_2ab c=2-('5-1)=3-'5 d=('5-1)-(3-'5)=2'5-4 ∴ 2ab+c-d=2_2_('5-1)+3-'5-(2'5-4) =4'5-4+3-'5-2'5+4 =3+'5

21

(처음 사각뿔의 부피)=;3!;_('∂18_'∂12)_'∂27 (처음 사각뿔의 부피)=;3!;_(3'2_2'3)_3'3 (처음 사각뿔의 부피)=18'2 자르기 전 사각뿔과 잘라낸 사각뿔의 높이의 비가 3 : 1이므로 부피의 비는 3‹ : 1‹ =27 : 1이다. ∴ (잘라낸 사각뿔의 부피)=;2¡7;_18'2= ∴ (잘라내고 남은 입체도형의 부피) ∴=18'2- =

22

2'3='∂12이고 3<'∂12<4이므로 2<2'3-1<3 따라서 a=2, b=2'3-3이므로 = _='6-'2

23

② 'ƒ0.21= 이므로 '∂21의 값을 알아야 한다.

24

a=2-'2, b=3+'2이므로 ……❶ = = ……❷ 3'2='∂18이고 4<'∂18<5이므로 2<3'2-2<3 ∴ 1< <;2#; 따라서 의 값이 대응하는 구간은 ㉡이다. ……❸

25

두 정사각형의 넓이의 비가 2 : 3이므로 AC” : BC”='2 : '3 ……❶ 이때 AC”=2'3+2이므로 a+1 1222_b-3 3'2-2 122155₂ 3'2-2 122155₂ 3-'2 12215 '2 a+1 121_b-3 '∂21 1252₁₀ 2'3-2 11135 '2 b+1 1155 'a 52'2 14322₃ 2'2 1432₃ 2'2 1432₃ ❶a, b의 값 구하기 ❷식의 값 구하기 ❸수직선에서 식의 값에 대응하는 구간 말하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점

'2 : '3=(2'3+2) : BC” ……❷ '2 BC”=6+2'3 ∴ BC”=111446+2'3 =3'2+'6 ……❸ '2 [유제] 01풀이 참조

Advanced Lecture

072~073쪽

01

'3이 유리수라고 가정해 보자. 그러면 서로소인 두 정수 a, b(a+0)에 대하여 '3= yy`㉠ 와 같이 분수로 나타낼 수 있을 것이다. 이때 ㉠의 양변을 제곱하면 3= Δ 3a¤ =b¤ yy`㉡` 좌변인 3a¤ 이 3의 배수이므로 우변인 b¤ 도 3의 배수이다. 이로부터 b도 3의 배수임을 알 수 있다. 이제 b=3k라 하고, ㉡에 대입하면 3a¤ =(3k)¤ Δ a¤ =3k¤ 즉, a¤ 이 3의 배수이므로 a도 3의 배수임을 알 수 있다. 그런데 a, b가 모두 3의 배수이면 a, b가 서로소여야 한다 는 것에 모순이다. 결국 '3이 유리수라는 가정은 잘못된 것이다. 따라서 '3은 무리수이다. b¤ 12_a¤ b 1_a

1. 다항식의 곱셈과 인수분해

다항식의 곱셈과 인수분해

II

01. 곱셈 공식

개념

CHECK

090쪽 ⑴ 2 ⑵ b¤ ⑶ a+b ⑷ ad+bc 01⑴ 4x¤ +12x+9 ⑵ 9x¤ -24xy+16y¤ ⑶ x¤ -25y¤ ⑷ 9x¤ -4y¤ 02⑴ a¤ +3a-18 ⑵ b¤ -10b+24 ⑶ 15x¤ +26x+8 ⑷ 12x¤ -2x-4 03a¤ +2ab+b¤ +3a+3b+2

04⑴ 10+2'3 ⑵ 2 ⑶ 41616 ⑷ 39984 05⑴ 35 ⑵ 45

0

3

a+b=A로 치환하면 (a+b+1)(a+b+2)=(A+1)(A+2) =A¤ +3A+2 =(a+b)¤ +3(a+b)+2 =a¤ +2ab+b¤ +3a+3b+2

0

4

⑴ (2'3-1)(2'3+2) =(2'3)¤ +(-1+2)_2'3+(-1)_2 =12+2'3-2=10+2'3 ⑵ = ⑵ = = = ⑵∴ _(3-'5)= _(3-'5) ⑵ ∴ _(3+'5)=;2!;_{3¤ -('5)¤ } ⑵ ∴ _(3+'5)=;2!;_4=2 ⑶ 204¤ =(200+4)¤ =40000+1600+16=41616 ⑷ 204_196=(200+4)(200-4) =40000-16=39984

0

5

⑴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=5¤ -2_(-5)=35 ⑵ (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy

=5¤ -4_(-5)=45 3+'5 1115₂ '5+1 1115 '5-1 3+'5 1115₂ 6+2'5 11125₄ 6+2'5 11125_5-1 ('5+1)¤ 111111155 ('5-1)('5+1) '5+1 1115 '5-1 ❶AC”, BC”의 길이의 비 구하기 ❷BC”를 구하는 식 세우기 ❸BC”의 길이 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₁₅

개념

BOOK

유형 ⑴ xy-2x+3y-6 ⑵ 2x¤ -7xy+6y¤ +6x-9y

1-1 ④ 1-2 5 1-3 ② 유형 -5x¤ -24x+5 2-1 ⑴ x¤ +8xy+16y¤ ⑵ 9p¤ -12pq+4q¤ 2-2 ④ 2-3 ③ 유형 ③ 3-1 x¤ -;4!;y¤ 3-2 -5x¤ -4xy 3-3 ⑤ 유형 ② 4-1 ⑤ 4-2 10 4-3 -x¤ +x+22 유형 ⑴ 2x¤ +x-3 ⑵ -6x¤ +13x+5 5-1 ① 5-2 ④ 5-3 ① 유형 ;2#; 6-18 6-27 6-3-3 6-41 유형 ③ 7-1㈎ 2 ㈏ 196 7-2⑴ 63.99 ⑵ 10815 ⑶ 90 유형 11 8-1⑴ 8 ⑵ 4 ⑶ -4 8-2④ 8-3⑴ 7 ⑵ 12

유형

EXERCISES

091~094쪽 유형`` ⑵ (주어진 식)=2x¤ -3xy-4xy+6y¤ +6x-9y =2x¤ -7xy+6y¤ +6x-9y

1

-1 (주어진 식)=-5x¤ +3xy+5xy-3y¤ =-5x¤ +8xy-3y¤

1

-2 (주어진 식)=x¤ +xy-3x-2xy-2y¤ +6y =x¤ -xy-2y¤ -3x+6y 따라서 xy의 계수는 -1, y의 계수는 6이므로 -1+6=5

1

-3 (주어진 식)=8x‹ -12x¤ +16x-6x¤ +9x-12 =8x‹ -18x¤ +25x-12 따라서 p=-18, q=25이므로` p+q=7 ■ 다른 풀이 ■ x¤ 항이 나오는 부분만 전개하면 -12x¤ -6x¤ =-18x¤ ∴ p=-18 x항이 나오는 부분만 전개하면 16x-9x=25x ∴ q=25 ∴ p+q=7

1

2 3 1 4 6 7 8 5 유형`` (-2x+3)¤ ={-(2x-3)}¤ =(2x-3)¤ (-3x-2)¤ ={-(3x+2)}¤ =(3x+2)¤ 이므로 (주어진 식)=4x¤ -12x+9-(9x¤ +12x+4) =-5x¤ -24x+5

2

-2 {x+;3!;}2 =x¤ +;3@;x+;9!;=x¤ +ax+b이므로 a=;3@;, b=;9!; ∴ 9a¤ +18b=9_{;3@;}2 +18_;9!;=4+2=6

2

-3 (4x+A)¤ =16x¤ +8Ax+A¤ =Bx¤ +Cx+9이므로 B=16, 8A=C, A¤ =9 이때 A는 양수이므로 A=3, C=24 ∴ A+B+C=3+16+24=43

2

유형`` (-x+1)(-x-1)=(-x)¤ -1¤ =x¤ -1

3

-2 (주어진 식)=-x¤ +y¤ -(4x¤ +4xy+y¤ ) =-5x¤ -4xy

3

-3 (a-1)(a+1)(a¤ +1)(a› +1)

=(a¤ -1)(a¤ +1)(a› +1) =(a› -1)(a› +1)=a° -1 ∴ =8

3

유형`` {x-;3!;}{x+;4!;}=x¤ +{-;3!;+;4!;}x-;1¡2; {x-;3!;}{x+;4!;}=x¤ -;1¡2;x-;1¡2; 따라서 a=-;1¡2;, b=-;1¡2;이므로` a+b=-;6!;

4

-1 (x+a)(x-4)=x¤ +(a-4)x-4a x의 계수는 a-4=-2 ∴ a=2 따라서 상수항은 -4a=-4_2=-8

4

-2 (x-a)(x-3)=x¤ -(a+3)x+3a=x¤ -bx+6 에서 a+3=b, 3a=6이므로 a=2, b=5 ∴ ab=10

4

유형`` ⑴ (2x+3)(x-1)=2x¤ +(-2+3)x-3 ⑴ (2x+3)(x-1)=2x¤ +x-3 ⑵ (3x+1)(-2x+5)=-6x¤ +(15-2)x+5 ⑵ (3x+1)(-2x+5)=-6x¤ +13x+5

5

-1 (x-3)(2x-4)=2x¤ -10x+12=ax¤ +bx+12 따라서 a=2, b=-10이므로 ab=-20

5

-2 (2x+5)(3x+B)=6x¤ +(2B+15)x+5B (2x+5)(3x+B)=6x¤ +Ax-20 따라서 A=2B+15, -20=5B이므로 B=-4, A=7 ∴ A-B=11

5

-3 (색칠한 부분의 넓이) =(5a-2b)(3a-b)+2b_b =15a¤ -11ab+2b¤ +2b¤ =15a¤ -11ab+4b¤

5

4

-3 (주어진 식)=x¤ -x-2-2(x¤ -x-12) (주어진 식)=x¤ -x-2-2x¤ +2x+24 (주어진 식)=-x¤ +x+22 = -=('2-1)-(2+'2)=-3

6

-4 x= = =2+'3이므로 x-2='3 양변을 제곱하면 x¤ -4x+4=3, x¤ -4x=-1 ∴ x¤ -4x+2=-1+2=1 2+'3 1223334_4-3 2+'3 12233311114 (2-'3)(2+'3) 2+'2 1223334_2-1 '2-1 12233_2-1 유형`` (4-2'3)(3+a'3)=12+(-6+4a)'3-6a =(12-6a)+(-6+4a)'3 이때 -6+4a=0이므로 a=;2#;

6

-1 ('3+'2)¤ +('6+1)('6-3) =(3+2'6+2)+(6-2'6-3)=8

6

-2 (5+3'2)(4-'2)=20+(12-5)'2-6 =14+7'2 즉, a=14, b=7이므로 a-b=14-7=7

6

-3 -= -1221241114'2('2+1) ('2-1)('2+1) '2-1 1221241114 ('2+1)('2-1) '2 12233 '2-1 1 12233 '2+1

6

유형`` x¤ -3x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-3- =0 ∴ x- =3 ∴ x¤ + ={x- }¤ +2=9+2=11

8

-1 ⑴ x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy

=(2'3)¤ +2_(-2)=12-4=8 ⑵ (x+y)¤ =(x-y)¤ +4xy

=(2'3)¤ +4_(-2) =12-8=4 ⑶ + = =1228 =-4 -2 x¤ +y¤ 111_xy x 1_y y 1_x 1 1_x 1 12_x¤ 1 1_x 1 1_x

8

유형`` ① 101¤ Δ (100+1)¤ ② 298¤ Δ (300-2)¤ ③ 54_46 Δ (50+4)(50-4) ④ 997¤ Δ (1000-3)¤ ⑤ 98_102 Δ (100-2)(100+2)

7

-1 = = =200-4= ∴ ㈎ : 2, ㈏ : 196

7

-2 ⑴ 8.1_7.9=(8+0.1)(8-0.1)=64-0.01=63.99 ⑵ 103_105=(100+3)(100+5) =10000+800+15=10815 ⑶ 'ƒ89_91+1="√(90-1)(90+1)+1 ='ƒ8100-1+1='ƒ8100=90 196 (40000-800+4)-4 111111125555555555₂₀₀ 11111115₂₀₀ 198¤ -4 11125₂₀₀

7

(200- 2 )¤ -4

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₁₇

개념

BOOK

8

-2 (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy

=6¤ -4_(-3)=48

8

-3 ⑴ a¤ + ={a+;a!;}2 -2=3¤ -2=7 ⑵ {x-;[!;}2 ={x+;[!;}2 -4=(-4)¤ -4=12 1 12_a¤ ⑷ 3x¤ -7xy-6y¤ =(x-3y)(3x+2y) 02. 인수분해

개념

CHECK

106쪽 ⑴ 3b ⑵ 2b ⑶ 2b, 2b ⑷ 3 ⑸ 3 01ㄱ, ㄷ, ㄹ 02⑴ x(x+1) ⑵ 2b(ab+2)

06⑶ 3x¤ y(y-2) ⑷ x¤ (y¤ +2x-y)

03⑴ (x+4)¤ ⑵ (y-7)¤ ⑶ {a-;3@;}2 ⑷ (3x+5y)¤ 04⑴ —1 ⑵ 36 ⑶ 9 ⑷ —20 05⑴ (2x+1)(2x-1) ⑵ {;6!;a+b}{;6!;a-b} 06⑶ (3x+7)(3x-7) ⑷ 3(4a+5)(4a-5) 06⑴ (x+1)(x+4) ⑵ (x-4)(x+6) 06⑶ (a+2)(2a+1) ⑷ (x-3y)(3x+2y)

0

4

⑴ ;4!;={;2!;}2 이므로` =—2_;2!;=—1 ⑵ ={ }2 =36 ⑶ 4x¤ +12x+ =(2x)¤ +2_2x_3+ `에서 ⑵ =3¤ =9 ⑷ 25x¤ + `xy+4y¤ =(5x)¤ + `xy+(2y)¤ 이므로 ⑵ =—2_5_2=—20

0

5

⑶ -49+9x¤ =9x¤ -49=(3x+7)(3x-7) ⑷ 48a¤ -75=3(16a¤ -25)=3(4a+5)(4a-5)

0

6

⑴ 합이 5, 곱이 4인 두 정수는 1, 4이므로 x¤ +5x+4=(x+1)(x+4) ⑵ 합이 2, 곱이 -24인 두 정수는 -4, 6이므로 x¤ +2x-24=(x-4)(x+6) ⑶ 2a¤ +5a+2=(a+2)(2a+1) -12 113₂ 03. 인수분해 공식의 활용

개념

CHECK

113쪽

⑴ A+2, 3 ⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 01⑴ (x-1)¤ ⑵ (x+2y-3)(x+2y+5) ⑶ x(x-6) ⑷ (x+y)(x-y-6) ⑸ (x+y+1)¤ ⑹ (x¤ +5x+5)¤ 02⑴ (x-y)(x+y-2) ⑵ (x+2y-1)(x-2y-1) ⑶ (x-2)(x+y+3) ⑷ (3x-y)(3x-y-1) 03⑴ 800 ⑵ 89991 ⑶ 4900 ⑷ 1600 04⑴ 250000 ⑵ 1000000

0

1

⑴ x+2=A로 치환하면 (주어진 식)=A¤ -6A+9=(A-3)¤ =(x+2-3)¤ =(x-1)¤ ⑵ x+2y=A로 치환하면 (주어진 식)=A¤ +2A-15=(A-3)(A+5) =(x+2y-3)(x+2y+5) ⑶ x-3=A로 치환하면 (주어진 식)=A¤ -9=(A+3)(A-3) =(x-3+3)(x-3-3)=x(x-6) ⑷ x-3=A, y+3=B로 치환하면 (주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B) =(x-3+y+3)(x-3-y-3) =(x+y)(x-y-6) ⑸ x+y=A로 치환하면 (주어진 식)=A(A+2)+1=A¤ +2A+1 =(A+1)¤ =(x+y+1)¤ ⑹ (주어진 식)={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+1 =(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1 =(A+4)(A+6)+1 =A¤ +10A+24+1 =A¤ +10A+25=(A+5)¤ =(x¤ +5x+5)¤

0

2

⑴ (주어진 식)=x¤ -y¤ -2x+2y =(x+y)(x-y)-2(x-y) =(x-y)(x+y-2) 1 2 2 1 4 1 5 1 -3 3 2 -9 -2 -7

⑵ (주어진 식)=(x-1)¤ -(2y)¤ =(x+2y-1)(x-2y-1) ⑶ 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식)=xy-2y+x¤ +x-6 =y(x-2)+(x+3)(x-2) =(x-2)(x+y+3) ⑷ (주어진 식)=(3x-y)¤ -(3x-y) =(3x-y)(3x-y-1)

0

3

⑴ 102¤ -98¤ =(102+98)(102-98)=200_4=800 ⑵ 303_297=(300+3)(300-3)=90000-9=89991 ⑶ 63¤ +14_63+7¤ =(63+7)¤ =70¤ =4900 ⑷ 43¤ -6_43+3¤ =(43-3)¤ =40¤ =1600

0

4

⑴ x¤ +20x+100=(x+10)¤ =(490+10)¤ =500¤ =250000 ⑵ x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤ =(1111-111)¤ =1000¤ =1000000 유형``

-4xy‹ +6y¤ =-2y¤ (2xy-3)

1

-1 ⑤ 3x¤ y-2xy+6xy¤ =xy(3x-2+6y)

1

-2 ⑤ a(2-b)는 ab(2a-b)의 인수가 아니다.

1

유형 ④ 1-1 ⑤ 1-2 ⑤ 유형 ⑤ 2-1 3 2-2 7 2-3 4 유형 1 3-1 ③ 3-2 (a+b)(a-b)(x-2) 3-3 ③ 유형 A=4, B=7 4-1 ①, ⑤ 4-2 2x+10 4-3 ④ 유형 20 5-1 (2x+y)(2x-5y) 5-2 8 5-3 -10 유형 4x+10 6-1 2x+9 6-2 x+3 6-3 2x-1 유형 (a+b-2)(a+b-1) 7-1 (2a+3)(3a+1) 7-2 -2 7-3 -2(x-7)(5x+9) 7-4 (x¤ +x-10)(x¤ +x+2) 유형 (a+b)(a-2b+c) 8-1 ⑴ (x+2)(x+4y) ⑵ (x+1)(x-1)(x-2) 8-2 -4 8-3 (x-y+6)(x-y-2) 유형 875 9-1 2021 9-2 -36 9-3 6 유형 3 10-12 10-22'3 10-335

유형

EXERCISES

114~118쪽 2 3 1 4 6 7 5 8 10 9 유형`` ⑤` ;4(;x¤ -12x+16={;2#;x-4}2

2

-1 (x+B)¤ =x¤ +2Bx+B¤ =x¤ +Ax+9 B¤ =9에서 B=—3 ∴ B=3 (∵ B>0) A=2B=2_3=6 ∴ A-B=6-3=3

2

-2 4a+8={ }2 =36 ∴ a=7

2

-3 -3<x<1이므로 x-1<0, x+3>0 ∴ (주어진 식)="√(x-1)¤ +"√(x+3)¤ =-(x-1)+x+3=4 -12 113₂

2

유형`` 25x¤ -16=(5x+4)(5x-4)이므로 A=5, B=4 ∴ A-B=5-4=1

3

-1 ③ ;2¡5;x¤ -;1¡6;y¤ ={;5!;x+;4!;y} {;5!;x-;4!;y}

3

-2 a¤ (x-2)+b¤ (2-x)=a¤ (x-2)-b¤ (x-2) =(a¤ -b¤ )(x-2) =(a+b)(a-b)(x-2)

3

-3 x› -16=(x¤ )¤ -4¤ =(x¤ +4)(x¤ -4) =(x¤ +4)(x+2)(x-2) 따라서 x› -16의 인수가 아닌 것은 ③이다.

3

유형`` (x-3)(x-A)=x¤ -(3+A)x+3A=x¤ -Bx+12이므 로 3+A=B, 3A=12 `∴ A=4, B=7

4

-1 x¤ +5xy-6y¤ =(x-y)(x+6y)

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₁₉

개념 BOOK

4

-2 x¤ +10x-24=(x+12)(x-2)에서 두 일차식은 x+12, x-2이므로 (x+12)+(x-2)=2x+10

4

-3 곱하여 16이 되는 두 정수는 -1, -16 또는 -2, -8 또는 -4, -4 또는 4, 4 또는 2, 8 또는 1, 16이므로 A 의 값이 될 수 있는 것은 -17, -10, -8, 8, 10, 17이 다. (도형 B의 넓이)=(2x+1)_(세로의 길이) 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 도형 B의 세로의 길이 는 2x-1이다. 유형`` ax¤ -bx+7=(x-1)(3x-c)=3x¤ -(3+c)x+c 즉, a=3, b=3+c, 7=c이므로 b=10 ∴ a+b+c=3+10+7=20

5

-1 4x¤ -8xy-5y¤ =(2x+y)(2x-5y)

5

-2 6x¤ +7x+2=(2x+1)(3x+2)이므로 a=2, b=1, c=3, d=2 또는 a=3, b=2, c=2, d=1 ∴ a+b+c+d=2+1+3+2=8

5

-3 12x¤ +ax-8=2(2x+1)(3x+ ) =(4x+2)(3x+ ) 이므로` -8=2_ ∴ =-4 ∴ a=4_ +2_3=-16+6=-10

5

유형`` a+b=A로 치환하면 (a+b)(a+b-3)+2=A(A-3)+2 =A¤ -3A+2 =(A-2)(A-1) =(a+b-2)(a+b-1)

7

-1 a+2=A로 치환하면 6(a+2)¤ -13(a+2)+5 =6A¤ -13A+5 =(2A-1)(3A-5) =(2a+4-1)(3a+6-5) =(2a+3)(3a+1)

7

-2 2x-1=A로 치환하면 (2x-1)¤ -4=A¤ -2¤ =(A+2)(A-2) =(2x-1+2)(2x-1-2) =(2x+1)(2x-3) 즉, a=1, b=-3 또는 a=-3, b=1이므로 a+b=-2

7

-3 x+5=A, x-3=B로 치환하면 3(x+5)¤ -7(x+5)(x-3)-6(x-3)¤ =3A¤ -7AB-6B¤ =(A-3B)(3A+2B) =(x+5-3x+9)(3x+15+2x-6) =(-2x+14)(5x+9) =-2(x-7)(5x+9)

7

-4 (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-32 =(x-2)(x+3)(x-1)(x+2)-32 =(x¤ +x-6)(x¤ +x-2)-32 =(A-6)(A-2)-32 =(A¤ -8A+12)-32 =A¤ -8A-20 =(A-10)(A+2) =(x¤ +x-10)(x¤ +x+2)

7

유형`` (넓이)=x¤ +5x+4=(x+1)(x+4) 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 2{(x+1)+(x+4)}=4x+10

6

-1 정사각형의 한 변의 길이를 A라고 하면 정사각형의 넓이 는 A¤ =4x¤ +36x+81=(2x+9)¤ ∴ A=2x+9 (∵ A>0)

6

-2 주어진 사다리꼴의 넓이는 3x¤ +7x-6이므로 ;2!;_{(2x-3)+(4x-1)}_(높이)=3x¤ +7x-6 (3x-2)_(높이)=(x+3)(3x-2) ∴ (높이)=x+3

6

-3 (도형 A의 넓이)=(2x)¤ -1¤ =(2x+1)(2x-1)

6

x¤ +x=A로 치환

유형``

a¤ -ab+ac-2b¤ +bc는 a에 대한 2차식, b에 대한 2차식, c 에 대한 1차식이므로 가장 낮은 차수를 가지고 있는 문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 a¤ -ab+ac-2b¤ +bc =ac+bc+a¤ -ab-2b¤ =c(a+b)+(a¤ -ab-2b¤ ) =c(a+b)+(a-2b)(a+b) =(a+b)(c+a-2b) =(a+b)(a-2b+c)

8

-1 ⑴ x¤ +4xy+2x+8y =x(x+4y)+2(x+4y) =(x+2)(x+4y) ⑵ x‹ -2x¤ -x+2 =x¤ (x-2)-(x-2) =(x¤ -1)(x-2) =(x+1)(x-1)(x-2)

8

-2 x¤ +4y¤ -4xy-16 =(x¤ -4xy+4y¤ )-16 =(x-2y)¤ -4¤ =(x-2y+4)(x-2y-4) 따라서 a=-2, b=4, c=-2, d=-4 또는 a=-2, b=-4, c=-2, d=4이므로 a+b+c+d=-4

8

-3 x¤ -2xy+4x+y¤ -4y-12 =x¤ -(2y-4)x+(y-6)(y+2) ={x-(y-6)}{x-(y+2)} =(x-y+6)(x-y-2) ■ 다른 풀이 ■ x¤ -2xy+4x+y¤ -4y-12 =x¤ -2xy+y¤ +4x-4y-12 =(x-y)¤ +4(x-y)-12 =A¤ +4A-12 =(A+6)(A-2) =(x-y+6)(x-y-2)

8

유형`` 22.5¤ _1.75-2.5¤ _1.75 =1.75_(22.5¤ -2.5¤ ) =1.75_(22.5+2.5)_(22.5-2.5) =1.75_25_20 =1.75_500 =875

9

-1 = = =2021

9

-2 1¤ -2¤ +3¤ -4¤ +5¤ -6¤ +7¤ -8¤ =(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4) +(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8) =-3-7-11-15=-36

9

-3 3⁄ fl -1=(3° +1)(3° -1)=(3° +1)(3› +1)(3› -1) 3⁄ fl -1=(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3¤ -1) 3⁄ fl -1=(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3+1)(3-1) 3⁄ fl -1=(3° +1)_82_10_4_2 따라서 3⁄ fl -1의 약수 중 10 이하인 것은 1, 2, 4, 5, 8, 10의 6개이다. 2021¤ 1143₂₀₂₁ (2020+1)¤ 11135513₂₀₂₁ 2020¤ +2_2020+1 1113125511135₂₀₂₁

9

유형``

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -8=1이므로 a¤ (a-b)+b¤ (b-a)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)

=(a¤ -b¤ )(a-b) =(a+b)(a-b)(a-b) =(a+b)(a-b)¤ =3_1=3

10

-1x= ='3-1이므로 (x-1)¤ +4(x-1)+3 =A¤ +4A+3 =(A+1)(A+3) =(x-1+1)(x-1+3) =x(x+2) =('3-1)('3-1+2) =('3-1)('3+1) =3-1=2 2 111 '3+1

10

x-y=A로 치환 x-1=A로 치환 A=x-1을 대입 x='3-1을 대입

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₂₁

개념 BOOK

10

-2x+y=2, x-y='3이므로 x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=2'3

10

-3x¤ -y¤ +4x-4y =(x+y)(x-y)+4(x-y) =(x-y)(x+y+4) =5_7=35 01④ 02④ 03① 04-1 052020 06-24 072a¤ -2a-b¤ +2b 08① 09① 10④ 1153 125 13⑤ 14① 15⑤ 163 177 18(x+7)¤ 1955 20② 213-6'5 2230 234 24⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6) 25(x¤ -3)(x¤ -2) 26③ 27;2!0!; 28-2'3+3

중단원

EXERCISES

119~122쪽

0

1

x¤ 항이 나오는 부분만 전개하면 -x_3x=-3x¤ ∴ a=-3 xy항이 나오는 부분만 전개하면 -x_(-y)+2y_3x=7xy ∴ b=7 ∴ a+b=-3+7=4

0

2

(3x+A)¤ =9x¤ +6Ax+A¤ =Bx¤ -3x+C이므로 9=B, 6A=-3, A¤ =C ∴ A=-;2!;, C=;4!; ∴ A+B+C=-;2!;+9+;4!;=;;£4∞;;

0

3

(x-1)(x+1)(x¤ +1)=(x¤ -1)(x¤ +1)=x› -1

0

4

(주어진 식)=2(3x¤ -x-2)-3(4-4x+x¤ ) (주어진 식)=6x¤ -2x-4-12+12x-3x¤ (주어진 식)=3x¤ +10x-16 따라서 A=3, B=10, C=-16이므로 A-2B-C=3-20-(-16)=-1

0

5

= = = =2020

0

6

-= = =-24

0

7

(a-1)¤ +(a-b+1)(a+b-1) =(a-1)¤ +{a-(b-1)}{a+(b-1)} =(a-1)¤ +(a-A)(a+A) =a¤ -2a+1+a¤ -A¤ =2a¤ -2a+1-A¤ =2a¤ -2a+1-(b-1)¤ =2a¤ -2a+1-(b¤ -2b+1) =2a¤ -2a+1-b¤ +2b-1 =2a¤ -2a-b¤ +2b

0

8

a+b=2, a¤ +b¤ =5이므로

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ 에서 2¤ =5+2ab 2ab=-1 _{∴ ab=-;2!;} ∴ ;bA;+;aB;= =5÷{-;2!;}=5_(-2)=-10

0

9

x¤ y-y=y(x¤ -1)=y(x+1)(x-1)

10

① a¤ +8a+16=(a+4)¤ ② ;4!;x¤ +x+1={;2!;x+1}2 ③ 1+2y+y¤ =(y+1)¤

④ 9a¤ +30ab+16b¤ =(3a+8b)(3a+2b) ⑤ 3x¤ -12xy+12y¤ =3(x-2y)¤

11

x¤ -14xy+ y¤ =x¤ -2_x_7y+ y¤ ∴ =7¤ =49 36x¤ + x+;9!;=(6x)¤ + x+{;3!;}¤ ∴ =2_6_;3!;=4 ∴ 49+4=53 a¤ +b¤ 1113_ab 7'3-12-7'3-12 11111114444555_49-48 '3(7-4'3)-'3(7+4'3) 1111111111244445 (7+4'3)(7-4'3) '3 111445 7-4'3 '3 111445 7+4'3 2020¤ 1124₂₀₂₀ 2020¤ -1+1 1111123₂₀₂₀ (2020+1)(2020-1)+1 1111111111234₂₀₂₀ 2021_2019+1 111111234₂₀₂₀ b-1=A로 치환 A=b-1을 대입

12

0<x<5이므로 x-5<0 ∴ (주어진 식)="≈x¤ +"√(x-5)¤ =x-(x-5)=5

13

x¤ -ax+20이 x-5로 나누어 떨어지므로 x-5는 x¤ -ax+20의 인수이다. x¤ -ax+20=(x-5)(x+b)로 놓으면 x¤ -ax+20=x¤ -(5-b)x-5b에서 a=5-b, 20=-5b이므로 b=-4 ∴ `a=5-(-4)=9

14

x¤ -4x+3=(x-1)(x-3) 2x¤ -3x-9=(x-3)(2x+3) 즉, 두 식의 공통인수는 x-3이다.

15

⑤ 2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1)

16

(2x+1)¤ +(2x+1)(x-3) =(2x+1)(2x+1+x-3) =(2x+1)(3x-2) 따라서 a=1, b=-2이므로 a-b=1-(-2)=3

17

x¤ +kx-8=x¤ +(a+b)x+ab이므로 ab=-8인 두 정 수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, -8), (2, -4), (4, -2), (8, -1) (-1, 8), (-2, 4), (-4, 2), (-8, 1)

k=a+b이므로 위의 순서쌍 (a, b) 중에서 a와 b의 합이 가장 큰 (-1, 8) 또는 (8, -1)일 때, k는 가장 큰 값을 가진다. 따라서 k가 될 수 있는 수 중에서 가장 큰 값은 7이다.

18

직사각형의 넓이를 x¤ +14x+a=(x+8)(x+b)로 놓으 면 x¤ +14x+a=x¤ +(8+b)x+8b에서 8+b=14 ∴ b=6 즉, 직사각형의 세로의 길이는 x+6이 된다. 직사각형의 둘레의 길이는 2{(x+8)+(x+6)}=4x+28 이므로 정사각형의 한 변의 길이는 ;4!;_(4x+28)=x+7 따라서 정사각형의 넓이는 (x+7)¤ 이다.

19

x¤ -9ax+b+(ax+7b)=x¤ -8ax+8b 이 다항식을 인수분해하였을 때 완전제곱식이 되려면 { }¤ =8b이어야 한다. 즉, b=2a¤ 이므로 (a, b)는 (1, 2), (2, 8), (3, 18), (4, 32), (5, 50)이다. 따라서 a+b의 최댓값은 5+50=55이다.

20

x¤ -y¤ +6x-6y=(x+y)(x-y)+6(x-y) =(x-y)(x+y+6) 따라서 두 일차식은 x-y, x+y+6이므로 두 일차식의 합 은 (x-y)+(x+y+6)=2x+6

21

x= _{='5-2, y= ='5+2이므로} x+y=2'5, x-y=-4

∴ x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y¤ -2y+1) =x¤ -(y-1)¤ =(x+y-1)(x-y+1) =(2'5-1)_(-4+1) =-6'5+3=3-6'5

22

101¤ -99¤ =(101+99)_(101-99) =200_2=400=100A ∴ A=4 37¤ -2_3_37+3¤ =(37-3)¤ =34¤ =B¤ ∴ B=34 ∴ B-A=34-4=30

23

길의 한가운데를 이은 원의 반지 름의 길이를 r m라고 하면 2pr=60p ∴ r=30 이때 길의 넓이가 480p m¤ 이므로 p(30+a)¤ -p(30-a)¤ =480p (30+a)¤ -(30-a)¤ =480 {(30+a)+(30-a)}{30+a-(30-a)}=480 120a=480 ∴ a=4

24

⑴ (x-4)(x+3)=x¤ -x-12에서 지호는 상수항을 제 대로 보았으므로 상수항은 -12이다. (x-3)(x+7)= x¤ +4x-21에서 태희는 x의 계수 를 제대로 보았으므로 x의 계수는 4이다. 따라서 처음의 이차식은 x¤ +4x-12`이다. ⑵ x¤ +4x-12 =(x-2)(x+6) a m r m 1 11244 '5-2 1 11244 '5+2 8a 12₂

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₂₃

개념 BOOK

25

(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+2 =(x¤ -1)(x¤ -4)+2 =(A-1)(A-4)+2

=A¤ -5A+4+2=A¤ -5A+6 =(A-3)(A-2)=(x¤ -3)(x¤ -2)

26

x¤ =A로 치환하면 x› -13x¤ +36=A¤ -13A+36 =(A-4)(A-9) =(x¤ -4)(x¤ -9) =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) ∴ (x+2)+(x-2)+(x+3)+(x-3)=4x

27

f(2)_f(3)_f(4)_y_f(10) ={1- }{1- }{1- }_y_{1- } ={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;} _y_{1-;9!;}{1+;9!;}{1-;1¡0;}{1+;1¡0;} =;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_y_;9*;_:¡9º:_;1ª0;_;1!0!; =;2!;_;1!0!;=;2!0!;

28

2<4-'3<3이므로 x=(4-'3)-2=2-'3 0<'3-1<1이므로 y='3-1 즉, x+y=1, x-y=-2'3+3이므로 x‹ -y‹ +x¤ y-xy¤ =x¤ (x+y)-y¤ (x+y)

=(x+y)(x¤ -y¤ ) =(x+y)¤ (x-y) =1_(-2'3+3)=-2'3+3 1 12_10¤ 1 14_4¤ 1 14_3¤ 1 14_2¤

0

1

③ (x-4)(x+2)=x¤ -2x-8

0

2

(직사각형의 넓이)=(2a-3)(2a+3)=4a¤ -9(cm¤ )

0

3

(3x-ay)(bx+y)=3bx¤ +(3-ab)xy-ay¤ =6x¤ +cxy-2y¤ 3b=6, 3-ab=c, -a=-2이므로 a=2, b=2, c=-1 ∴ a+b+c=3

0

4

a를 b로 나타내면 a=('b-1)¤ c를 b로 나타내면 c=('b+1)¤ ∴ a+b+c=('b-1)¤ +b+('b+1)¤ =b-2'b+1+b+b+2'b+1=3b+2

0

5

2(3x+2)(x-2)-(2x-5)(2x+5) =2(3x¤ -4x-4)-(4x¤ -25) =6x¤ -8x-8-4x¤ +25 =2x¤ -8x+17 x='3+2에서 x-2='3이므로 양변을 제곱하면 (x-2)¤ =3, x¤ -4x+4=3 ∴ x¤ -4x=-1 ∴ 2x¤ -8x+17=2(x¤ -4x)+17 =2_(-1)+17=15

0

6

{x+;[!;}2 =x¤ + +2=23+2=25 x>0이므로 x+;[!;=5

0

7

x= _{=3-2'2, y= =3+2'2이므로} x+y=6, xy=1

∴ x¤ +y¤ -3xy=(x+y)¤ -5xy =6¤ -5_1=31

0

8

① a¤ +4a+4=(a+2)¤ ② 4x¤ -9y¤ =(2x+3y)(2x-3y) ④ 4x¤ +xy-3y¤ =(4x-3y)(x+y) ⑤ 18x¤ y+12xy+2y=2y(3x+1)¤

0

9

(x+4)(x+6)+k=x¤ +10x+24+k 이 식이 완전제곱식이 되려면 24+k=5¤ ∴ k=1 1 11124_3-2'2 1 11124_3+2'2 1 12_x¤ 01③ 02① 03⑤ 04⑤ 0515 06⑤ 0731 08③ 091 102(x-2)(5x-6) 11④ 12③, ⑤ 13① 14-8 15④ 16③ 175, 7 18④ 19① 204 21(x+y+2)(x+y+3) 22③ 23① 24⑤ 2524 cm 2642x¤ +36x-2 272x 2815

대단원

EXERCISES

124~127쪽 x¤ =A로 치환

10

(주어진 식)=9x¤ -30x+25+x¤ -2x-24+23 =10x¤ -32x+24 =2(5x¤ -16x+12) =2(x-2)(5x-6)

11

-6<x<6이므로 x-6<0, x+6>0 ∴ (주어진 식)="√(x-6)¤ -"√(x+6)¤ =-(x-6)-(x+6)=-2x

12

3x¤ +4x+1=(x+1)(3x+1)이므로 직사각형의 가로 의 길이와 세로의 길이가 될 수 있는 것은 ③, ⑤이다.

13

새로운 직사각형의 가로의 길이는 x+a, 세로의 길이는 x-b이므로 직사각형의 넓이는 x¤ +4x-12=(x+6)(x-2)=(x+a)(x-b) ∴ a=6, b=2 (∵ a, b는 자연수) 따라서 직사각형의 가로의 길이는 x+6이다.

14

6x¤ -5x-6=(2x-3)(3x+2) 3x¤ -19x-14=(x-7)(3x+2)이므로 두 식의 공통인 수는 3x+2이다. 즉, 3x¤ -10x+a의 공통인수도 3x+2이므로 3x¤ -10x+a=(3x+2)(x+b)로 놓으면 3x¤ -10x+a=3x¤ +(2+3b)x+2b에서 2+3b=-10이므로 b=-4 ∴ a=2b=-8

15

x¤ +6x+k=(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab이므로 a+b=6, k=ab 즉, 자연수 a, b의 합이 6인 경우에 k의 값은 다음과 같다. ⁄a=1, b=5 또는 a=5, b=1일 때, k=ab=5 ¤a=2, b=4 또는 a=4, b=2일 때, k=ab=8 ‹a=3, b=3일 때, k=ab=9

16

x¤ +ax+b=(x+m)(x+n)=x¤ +(m+n)x+mn이 므로 합이 a, 곱이 b인 두 정수가 존재하는 경우를 찾는다. ① 합이 2, 곱이 1인 두 정수 : 1, 1 ② 합이 3, 곱이 2인 두 정수 : 1, 2 ③ 합이 8, 곱이 -12가 되는 두 정수는 없다. ④ 합이 -3, 곱이 -10인 두 정수 : -5, 2 ⑤ 합이 -3, 곱이 -18인 두 정수 : -6, 3

17

n¤ -2n-8=(n+2)(n-4)가 소수가 되려면 n-4는 1이고 n+2는 소수이어야 한다. n-4=1일 때, n=5이므로 이 소수는 5¤ -2_5-8=7

18

x› -y› =(x¤ -y¤ )(x¤ +y¤ )=(x-y)(x+y)(x¤ +y¤ )

19

x-2=A로 치환하면 8(x-2)¤ +6(x-2)-9 =8A¤ +6A-9=(2A+3)(4A-3) =(2x-4+3)(4x-8-3)=(2x-1)(4x-11) 따라서 두 일차식의 합은 (2x-1)+(4x-11)=6x-12

20

3xy-x-3y+1=5에서 x(3y-1)-(3y-1)=5 ∴ (x-1)(3y-1)=5 x-1, 3y-1은 자연수이고, 5는 소수이므로 ⁄x-1=1, 3y-1=5인 경우：x=2, y=2 ¤_{x-1=5, 3y-1=1인 경우：x=6, y=;3@;} 따라서 주어진 식을 만족시키는 자연수 x, y의 값은 x=2, y=2뿐이다. ∴ xy=4

21

x¤ +2xy+5x+y¤ +5y+6 =x¤ +(2y+5)x+(y+2)(y+3) =(x+y+2)(x+y+3)

22

2⁄ fl -1=(2° +1)(2° -1) =(2° +1)(2› +1)(2› -1) 2› +1=17, 2› -1=15이므로 2⁄ fl -1은 17과 15로 나누어 떨어진다. 따라서 그 합은 17+15=32이다.

23

2x¤ +2y¤ +4xy=2(x¤ +2xy+y¤ ) =2(x+y)¤ =2(1.21+2.79)¤ =2_4¤ =32

24

2<'5<3이므로 a='5-2 ∴ a¤ +5a+6=(a+2)(a+3) ='5('5+1)=5+'5

Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해

₀₂₅

개념 BOOK

25

4(a+b)=120이므로 a+b=30 a¤ -b¤ =180이므로 (a+b)(a-b)=180 ∴ a-b=6 따라서 두 카드의 둘레의 길이의 차는 4(a-b)=4_6=24 (cm)

26

(직육면체의 겉넓이) =2{(2x+3)(3x-1)+(3x-1)(3x+1) +(2x+3)(3x+1)} ……❶ =2(6x¤ +7x-3+9x¤ -1+6x¤ +11x+3) =2(21x¤ +18x-1) =42x¤ +36x-2 ……❷

27

0<x<1이므로 x+ >0, x- <0 ……❶ ∴ æ≠x¤ + +2-æ≠x¤ + -2 ∴=æ≠{x+ }2 -æ≠{x- }2 ∴=x+ _{-[-{x- }]=2x} ……❷

28

6x¤ +ax-3=(2x+3)(3x+k)라고 하면 6x¤ +ax-3=6x¤ +(9+2k)x+3k이므로 3k=-3에서 k=-1 ∴ a=9+2k=7 ……❶ 이때 x¤ +6x-7=(x+7)(x-1)이므로 b=7, c=1 ……❷ ∴ a+b+c=7+7+1=15 ……❸ 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 14_x¤ 1 14_x¤ 1 1_x 1 1_x ❶겉넓이 구하는 식 세우기 ❷겉넓이 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점 ❶x+11_x, x-1_x1의 부호 알기 50 % 채점 기준 배점 ❷주어진 식 간단히 하기 50 % ❶a의 값 구하기 ❷b, c의 값 구하기 ❸a+b+c의 값 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 [유제] 01풀이 참조 02⑴ (a+b)fl ⑵ (x-1)fl

Advanced Lecture

128~129쪽

01

⑴ (a+b)‡

=a‡ +7afl b+21afi b¤ +35a› b‹ +35a‹ b› +21a¤ bfi +7abfl +b‡

⑵ (a+b)·

=a· +9a° b+36a‡ b¤ +84afl b‹ +126afi b› +126a› bfi +84a‹ bfl +36a¤ b‡ +9ab° +b·

02

⑴ 파스칼의 삼각형에서 6행을 구하면 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⑴로 주어진 식의 계수와 같다. ⑴따라서 주어진 식을 인수분해하면 (a+b)fl 이 된다. ⑵ xfl -6xfi +15x› -20x‹ +15x¤ -6x+1 ⑴=1(-x)fl +6(-x)fi +15(-x)› ⑴ = +20(-x)‹ +15(-x)¤ +6(-x)+1 ⑴=(-x+1)fl =(x-1)fl