이차함수 06. 이차함수의 그래프

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 -5 07 ① 08 a<0, p<0, q>0 09 ③ 10 풀이 참조 11 ③ 12 ① 13 10 14 ③ 15 ④ 16 16

Step 1

시험에 꼭 나오는 문제 pp. 68~69

01

① y=3x-4 (일차함수)

② y=-x(x-2)=-xÛ`+2x (이차함수)

③ y=- 1x에서 분모에 x가 있으므로 이차함수가 아니다.

④ xÛ`-4x+1=0 (이차방정식)

⑤ y=2(x+1)Û`-2xÛ`=4x+2 (일차함수)

따라서 이차함수인 것은 ②이다. 답 ②

02

① y=2xÛ`에서 x=1일 때, y=2이므로 점 (1, 2)를 지난다.

② 아래로 볼록한 포물선이다.

③ 축의 방정식은 x=0이다.

⑤ 이차함수 y=-2xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.

따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④

03

이차함수 y=axÛ`에서 a의 부호가 음수이면서 절댓값이 가장 큰

것을 찾으면 ③이다. 답 ③

04

주어진 그래프는 이차함수 y=axÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 그래프의 식은

y=axÛ`-1

함수 y=axÛ`-1의 그래프가 점 (2, 11)을 지나므로 11=4a-1 ∴ a=3

함수 y=3xÛ`-1의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로 b=3_(-1)Û`-1 ∴ b=2

∴ a+b=3+2=5 답 5

http://hjini.tistory.com

10

y =-5xÛ`-10x+7=-5(xÛ`+2x+1-1)+7

=-5(x+1)Û`+12

따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 12), 축의 방정식은 x=-1이다.

답 풀이 참조

12

y =-xÛ`-6x-3=-(xÛ`+6x+9-9)-3

=-(x+3)Û`+6

위의 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=-(x-2+3)Û`+6-1=-(x+1)Û`+5 위의 이차함수의 그래프가 점 (2, m)을 지나므로

m=-(2+1)Û`+5 ∴ m=-4 답 ①

13

y=0을 y= 12xÛ`+4x- 92에 대입하면 12xÛ`+4x- 92=0

xÛ`+8x-9=0, (x+9)(x-1)=0

∴ x=-9 또는 x=1

따라서 A(-9, 0), B(1, 0) 또는 A(1, 0), B(-9, 0)이므로

ABÓ=10 답 10

11

y =-3xÛ`-6x-2=-3(xÛ`+2x+1-1)-2

=-3(x+1)Û`+1

따라서 위의 이차함수의 그래프는 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표 가 (-1, 1)이며, y축과 만나는 점의 좌표가 (0, -2)인 포물

선, 즉 ③이다.` 답 ③

05

이차함수 y=- 1 3(x-1)Û`의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다.

⑤ x>1일 때, x의 값이 증가하면 y 의 값은 감소한다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤

O 1

- 13 x

y=- {x-1}@1 3

06

함수 y=-4xÛ`의 그래프를 주어진 값만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=-4(x-2)Û`-1

위의 함수의 그래프가 점 (3, k)를 지나므로

k=-4_(3-2)Û`-1=-5 답 -5

07

평행이동에 의하여 이차함수의 그래프의 폭은 변하지 않으므로 어떤 이차함수의 식을 y=(x-a)Û`+b라 하자.

위의 함수의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=(x-2-a)Û`+b-5

이 함수가 y=(x-3)Û`+1과 일치하므로 -2-a=-3, b-5=1 ∴ a=1, b=6

따라서 어떤 이차함수의 식은 y=(x-1)Û`+6이다. 답 ①

다른풀이

어떤 이차함수의 그래프는 함수 y=(x-3)Û`+1의 그래프를 x 축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것과 같으므로 어떤 이차함수는

y=(x+2-3)Û`+1+5

∴ y=(x-1)Û`+6

09

y =2xÛ`+4x+1=2(xÛ`+2x+1-1)+1`

=2(x+1)Û`-1

08

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

꼭짓점이 제 2 사분면 위에 있으므로 p<0, q>0

답 a<0, p<0, q>0

따라서 a=2, p=-1, q=-1이므로

a+p+q=2+(-1)+(-1)=0 답 ③

Ⅳ. 이차함수 055

14

y =4xÛ`-16x+10

=4(xÛ`-4x+4-4)+10

=4(x-2)Û`-6

따라서 이차함수 y=4xÛ`-16x+10의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값 이 증가할 때, y의 값은 감소하는 x의 값 의 범위는 ③ x<2이다.

답 ③

O 10

-6

x y y=4x@-16x+10

15

①, ②, ③ 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로

y =a(x+2)Û`=a(xÛ`+4x+4)

=axÛ`+4ax+4a=axÛ`+bx+c ∴ b=4a, c=4a

그래프가 위로 볼록하므로 a<0 ∴ b<0, c<0 ∴ ab>0

④ 주어진 그래프에서 x=1일 때의 y의 값은 음수이므로 x=1을 y=axÛ`+bx+c에 대입하면

a+b+c<0

⑤ 주어진 그래프에서 x=-2일 때의 y의 값은 0이므로 x=-2를 y=axÛ`+bx+c에 대입하면

4a-2b+c=0

따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④

16

y =-2xÛ`+12x-10에 y=0을 대입하면 -2xÛ`+12x-10=0

xÛ`-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0

∴ x=1 또는 x=5 즉, A(1, 0), B(5, 0) 한편,

y =-2xÛ`+12x-10`

=-2(xÛ`-6x+9-9)-10

=-2(x-3)Û`+8 이므로 점 C(3, 8)

따라서 삼각형 ABC의 넓이는

오른쪽 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로

△ABC=1

2_(5-1)_8=16 답 16

O C

A B

5 1 3 8

x y

y=-2x@+12x-10

Step 2

A등급을 위한 문제 pp. 70~73 01 ② 02 ③ 03 A : {- 23, 8

9 }, B : {- 23, -4 9 } 04 ④ 05 ③ 06 -1 07 ⑤ 08 ④ 09 ① 10 18 11 ④ 12 ② 13 2 14 ② 15 ① 16 -3 17 -1 18 0 19 ④ 20 4 21 ① 22 22 23 {- 12, 9

2 }

01

② a의 절댓값이 클수록 그래프가 y축에 가깝다.

⑤ a<0일 때, 이차함수 y=axÛ`의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x>0에서 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

답 ②

O x

y=ax@

02

그래프에서 a>0, b>0, c<0, d<0

또한, 두 이차함수 y=axÛ`, y=dxÛ`의 그래프가 x축에 대하여 서로 대칭이므로 d=-a

두 이차함수 y=bxÛ`, y=cxÛ`의 그래프가 x축에 대하여 서로 대 칭이므로 c=-b

① ac<0

② 이차함수 y=dxÛ`의 그래프가 y=bxÛ`의 그래프보다 y축에 더 가까우므로 |b|<|d|

③ a와 d는 절댓값이 같고 부호가 반대이며, b와 c도 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 a+d=0, b+c=0

∴ a+b+c+d=0

④ 각 그래프는 y축을 축으로 한다.

⑤ a>b>c>d이므로 가장 큰 값은 a이다.

따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③

03

점 D의 좌표를 (a, 2aÛ`) (a>0)이라 하면 A(-a, 2aÛ`), B(-a, -aÛ`), C(a, -aÛ`) ABCD가 정사각형이므로 ADÓ=CDÓ에서 2a=2aÛ`+aÛ`, 3aÛ`-2a=0

a(3a-2)=0 ∴ a= 23`(∵ a>0)

즉, A{- 23, 8

9 }, B{- 23, -4 9 } 답 A : {- 23, 8

9 }, B : {- 23, -4 9 }

본문 pp.68~70

http://hjini.tistory.com

04

1단계 점 A의 x좌표를 k에 대한 식으로 나타낸다.

2단계 점 B의 x좌표를 k에 대한 식으로 나타낸다.

3단계 양수 k의 값을 구한다.

점 A의 x좌표는 2xÛ`=k에서 xÛ`= k2

∴ x=¾ k2 (∵ x>0)

점 B의 x좌표는 12xÛ`=k에서 xÛ`=2k

∴ x='2k (∵ x>0)

이때 ABÓ=2이므로 '2k-¾ k2=2 {'2- '22 }'k=2, '22 'k=2

'k=2'2='8 ∴ k=8 답 ④

다른풀이

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라 하면 A(a, 2aÛ`), B{b, 12bÛ`}

이때 b>a이고 ABÓ=2이므로

b-a=2 yy ㉠

두 점 A, B의 y좌표가 k로 서로 같으므로 k=2aÛ`= 1

2bÛ` yy ㉡

즉, bÛ`=4aÛ`이고 a>0, b>0이므로 b=2a b=2a를 ㉠에 대입하면 a=2, b=4 이것을 ㉡에 대입하면 k=8

O k A B

x y

y=k y=2x@ y= x@1

05

함수 y=-xÛ`+q의 그래프가 점 (-3, -4)를 지나므로 -4=-9+q ∴ q=5

∴ y=-xÛ`+5

따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 5)이다. 답 ③

06

함수 y=-2xÛ`+3의 그래프가 점 (a, -a)를 지나므로 -a=-2aÛ`+3, 2aÛ`-a-3=0

(a+1)(2a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a= 3 2

이때 점 (a, -a)가 제 2 사분면 위에 있으므로 a<0

∴ a=-1 답 -1

● blacklabel 특강 ●^참고

각 사분면 위의 점의 좌표의 부호

제 1 사분면 제 2 사분면 제 3 사분면 제 4 사분면

x좌표 + - - +

y좌표 + + -

-07

주어진 그래프는 y축을 축으로 하고, 꼭짓점의 좌표가 (0, -5) 이므로 이차함수의 식을 y=axÛ`-5 (a>0)라 할 수 있다.

위의 함수의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0=a-5

∴ a=5

따라서 f(x)=5xÛ`-5이므로

f(-3)-f(0)-f(3) =40-(-5)-40=5 답 ⑤

다른풀이

주어진 그래프는 y축(x=0)을 축으로 하므로 ` f(a)=f(-a)

또한, 주어진 그래프로부터 f(0)=-5

∴ f(-3)-f(0)-f(3) =f(-3)-f(3)-f(0)

=-f(0)=5

08

함수 y=-3xÛ`+3의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동 한 그래프의 식은

y=-3xÛ`+3+q

이차함수 y=-3xÛ`+3의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 0=-3xÛ`+3에서 xÛ`=1 ∴ x=-1 또는 x=1

즉, x축과 만나는 두 점 사이의 거리는 1-(-1)=2

따라서 이차함수 y=-3xÛ`+3+q의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리는 4이고 축이 y축이므로 x축과의 두 교점의 좌 표는 (2, 0), (-2, 0)이다.

x=2, y=0을 y=-3xÛ`+3+q에 대입하면

0=-3_4+3+q ∴ q=9 답 ④

09

일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=b 점 (6, 0)을 지나므로 0=6a-3

∴ a= 12, b=-3

Ⅳ. 이차함수 057 즉, y=b(x-a)Û`=-3{x- 12 }Û`이

고 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하는 x의 값의 범위는 ① x> 12 이다.

답 ①

O x

y=-3

{ }

x- @ - 34

10

꼭짓점의 좌표가 (-1, 0)이므로 이차함수의 식은 y=2(x+1)Û`

이 함수의 그래프가 점 (2, a)를 지나므로

a=2_3Û`=18 답 18

12

꼭짓점의 좌표가 {2, 43 }이므로 p=2, q= 43

즉, 이차함수 y=a(x-2)Û`+ 43의 그래프가 점 (3, 1)을 지나 므로

1=a+ 43 ∴ a=- 13

∴ a+p+q=- 13+2+ 4

3=3 답 ②

11

색칠된 부분에 그래프가 그려지기 위해서는 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이어야 한다.

즉, 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+2)Û` (a+0)이라 하면 - 14<a<0 또는 0<a< 13

따라서 색칠된 부분에 그래프가 그려지는 이차함수의 식은 ④

이다. 답 ④

다른풀이

각 함수의 그래프를 그려 보면 다음 그림과 같다.

O y

① ②

③ ④ ⑤

따라서 조건을 만족하는 이차함수는 ④이다.

13

함수 y=-(x+1)Û`+4의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축 의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=-(x-2+1)Û`+4-3

∴ y=-(x-1)Û`+1 yy ㉠

㉠의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 1)이고 위로 볼록하다.

이때 ㉠의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (1, -1)이고 아래로 볼록하며 ㉠의 그래프와 폭과 모양이 일치한다.

즉, ㉠의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차 함수의 식은

y=(x-1)Û`-1 yy ㉡

㉡의 그래프가 점 (m, 4)를 지나므로

4=(m-1)Û`-1, (m-1)Û`=5 ∴ m=1Ñ'5 따라서 모든 m의 값의 합은

(1+'5)+(1-'5)=2

답 2

단계 채점 기준 배점

㈎ 평행이동한 그래프의 식을 구한 경우 30%

㈏ 그래프가 x축에 대하여 대칭인 이차함수를 구한 경우 40%

㈐ m의 값을 구한 경우 20%

㈑ 모든 m의 값의 합을 구한 경우 10%

㈎

㈏

㈐

㈑

14

함수 y=-(x-1)Û`+6의 그래프의 축의 방정식은 x=1이므로 제 1 사분면 위의 점 P(a, b)에서 그래프의 축까지의 거리와 x축 까지의 거리가 같게 되기 위해서는 a>1이어야 한다.

이때 점 P에서 축까지의 거리는 a-1이고, 점 P에서 x축까지의 거리는 -(a-1)Û`+6이므로

a-1=-(a-1)Û`+6에서 aÛ`-a-6=0, (a+2)(a-3)=0

∴ a=3 (∵ a>1) 답 ②

15

이차함수 y=a(x+p)Û`+aq의 그래프가 제 2, 3, 4 사분면만을 지나므로 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉, a<0, -p<0, aq>0, apÛ`+aq<0 이므로

a<0, p>0, q<0 yy㉠

이때 이차함수 y=-p(x-aq)Û`-(a-p)의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (aq, -a+p)이므로 ㉠에서 aq>0, -a+p>0이다.

O x aq -p

y 본문 pp.70~72

http://hjini.tistory.com

16

1단계 그래프가 x축에 대하여 대칭인 이차함수의 식을 구한다.

2단계 평행이동한 그래프의 식을 구한다.

3단계 x축과 만나는 두 점의 좌표를 구한다.

4단계 상수 q의 값을 구한다.

y=- 12(x-3)Û`+1 yy ㉠ 이라 하자.

㉠의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 1)이고 위로 볼록하다.

이때 ㉠의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (3, -1)이고 아래로 볼록하며 ㉠의 그래프와 폭과 모양이 일 치한다.

즉, ㉠의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프를 갖는 이차함수 의 식은

y= 12(x-3)Û`-1 yy ㉡

㉡의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면 y= 12(x-3)Û`-1+q yy ㉢

㉢의 그래프와 x축이 만나는 두 점 사이의 거리가 4'2이고 ㉢의 그래프는 축 x=3에 대하여 대칭이므로 ㉢의 그래프와 x축이 만 나는 두 점의 좌표는 각각

(3+2'2, 0), (3-2'2, 0) x=3+2'2, y=0을 ㉢에 대입하면 0= 12_(3+2'2-3)Û`-1+q 0=4-1+q

∴ q=-3 답 -3

17

y =-3xÛ`-6x-5

=-3(xÛ`+2x+1-1)-5

=-3(x+1)Û`-2

위의 함수의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q 만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=-3(x-p+1)Û`-2+q

위의 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p-1, -2+q), 축의 방정식은 x=p-1이다.

이때 꼭짓점이 x축 위에 있으므로 -2+q=0에서 q=2

축의 방정식이 x=-4이므로 p-1=-4에서 p=-3

∴ p+q=-1 답 -1

18

y =- 1

2xÛ`+x- 11 2

=- 12(xÛ`-2x+1-1)- 11 2

=- 12(x-1)Û`-5

∴ A(1, -5)

주어진 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향 으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=- 12(x-p-1)Û`-5+q

∴ B(1+p, -5+q)

두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기가 -2이므로 -5+q+5

1+p-1 =-2, q p =-2

-2p=q ∴ 2p+q=0 답 0

19

y =xÛ`+6ax+3a

=(xÛ`+6ax+9aÛ`-9aÛ`)+3a

=(x+3a)Û`-9aÛ`+3a

이때 꼭짓점의 좌표는 (-3a, -9aÛ`+3a)이고, 이 꼭짓점이 직 선 y=-2x-6 위에 있으므로

-9aÛ`+3a=-2_(-3a)-6 3aÛ`+a-2=0, (a+1)(3a-2)=0

∴ a=-1 또는 a= 23

그런데 그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있어야 하므로 -3a<0에서 a>0

∴ a= 23 ^답④

20

y =-3xÛ`+6ax

=-3(xÛ`-2ax+aÛ`-aÛ`)

=-3(x-a)Û`+3aÛ`

꼭짓점의 y좌표가 12이므로 3aÛ`=12 aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 a=2 Ú a=2일 때, 꼭짓점의 좌표는 (2, 12) Û a=-2일 때, 꼭짓점의 좌표는 (-2, 12) Ú, Û에서 두 점 (2, 12), (-2, 12) 사이의 거리는

2-(-2)=4 답 4

즉, 이차함수 y=-p(x-aq)Û`-(a-p)의 그래프의 꼭짓점은

제 1 사분면 위에 있다. 답 ①

Ⅳ. 이차함수 059

본문 pp.72~74

21

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 제 1, 3, 4 사분면만 지나므로 그래프의 개형은 오 른쪽 그림과 같아야 한다.

∴ a<0, b>0, c<0

따라서 y=cxÛ`+(a-b)x+b에서 c<0, a-b<0, b>0이므 로 이 함수의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ①이다. 답 ①

O x

y y=ax@+bx+c

23

1단계 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 구한다.

2단계 삼각형 ABC의 넓이를 구한다.

3단계 직선 AC의 방정식을 구한다.

4단계 교점 D의 좌표를 구한다.

y =-xÛ`-4x+5

=-(xÛ`+4x+4-4)+5

=-(x+2)Û`+9

∴ A(-2, 9)

y=0을 y =-xÛ`-4x+5에 대입하면 -xÛ`-4x+5=0, xÛ`+4x-5=0

(x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 즉, B(-5, 0), C(1, 0)

∴ △ABC=1

2_6_9=27

이때 직선 l이 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하므로

△BCD=1

2△ABC=27 2 점 D의 좌표를 (a, b)라 하면

△BCD=27 2= 1

2_6_b

∴ b= 9 2

Step 3

종합 서술형 도전 문제 pp. 74~75 01 ⑴ P : (k, 4kÛ`), Q : (k, akÛ`) ⑵ 3

2 02 ⑴ A(-m, 0), B(0, m), C(2m, 3m) ⑵ 3 03 ⑴ a=1

2, b=3 ⑵ (-3, -5)

04 ⑴ A : (1, 8), B : (0, 6), C : (3, 0) ⑵ 6 05 1

4 06 4

9ÉaÉ4

07 12 08 60

01

●blacklabel 답안 ●

⑴ R(k, 0)이므로 두 점 P, Q의 x좌표는 모두 k이다.

x=k를 y=4xÛ`에 대입하면 y=4kÛ` ∴ P(k, 4kÛ`) x=k를 y=axÛ`에 대입하면

y=akÛ` ∴ Q(k, akÛ`)

⑵ PQÓ=(4-a)kÛ`, QRÓ=akÛ`이므로 PQÓ`:`QRÓ=5`:`3에서 (4-a)kÛ``:`akÛ`=5`:`3

3(4-a)kÛ`=5akÛ`

12-3a=5a, 8a=12

∴ a= 32

답 ⑴ P : (k, 4kÛ`), Q : (k, akÛ`) ⑵ 32

단계 채점 기준 배점

⑴ 두 점 P, Q의 좌표를 각각 k를 이용하여 나타낸 경우 50%

⑵ 상수 a의 값을 구한 경우 50%

즉, D{a, 9 2 }

한편, 두 점 A, C를 지나는 직선의 방정식은 y=-3x+3

점 D{a, 9 2 }가 직선 y=-3x+3 위에 있으므로 9

2=-3a+3, 32=-3a ∴ a=- 1 2

∴ D{- 1 2, 9

2 } 답 {- 1 2, 9 2 }

● blacklabel 특강 ●^참고

이차함수의 그래프와 직선의 교점

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의 교점의 x좌표는 이차방정식 axÛ`+bx+c=mx+n, 즉 axÛ`+(b-m)x+c-n=0의 해와 같다.

즉, 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 해와 같다.

22

x=0을 y=xÛ`-2x-8에 대입하면 y=-8이므로 A(0, -8) y =xÛ`-2x-8

=(xÛ`-2x+1-1)-8

=(x-1)Û`-9

∴ C(1, -9)

또한, y=0을 y=xÛ`-2x-8에 대입하면 xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4 ∴ B(4, 0)

∴ OACB =△OAC+△OCB

= 12_8_1+ 1

2_4_9=22 답 22

O 1

-8-9 B

4 x y y=x@-2x-8

http://hjini.tistory.com

문서에서 정답 (페이지 53-60)