01 ② 02 ④ 03 ② 04 kÉ4 05 -1 06 100 07 3 08 ① 09 xÛ`+4x-15=0 10 ⑤ 11 ④ 12 ④ 13 4`cm 14 2초
Step 1
시험에 꼭 나오는 문제 pp.54~5501
2xÛ`+5x+1=0에서 x= -5Ñ"Ã5Û`-4_2_1
4 = -5Ñ'¶17 4 따라서 p=-5, q=17이므로
p+q=12 답 ②
02
(x-2)(x+8)+k=0에서 xÛ`+6x-16+k=0 위의 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지려면 6Û`-4(-16+k)>0
100-4k>0
∴ k<25
따라서 자연수 k의 최댓값은 24이다. 답 ④
03
이차방정식 xÛ`-2ax+2a=0이 중근을 가지려면 (-2a)Û`-4_2a_1=0
4aÛ`-8a=0, 4a(a-2)=0
∴ a=0 또는 a=2
따라서 구하는 자연수 a의 값은
a=2 답 ②
04
이차방정식 xÛ`+2x+k-3=0이 해를 가지므로 2Û`-4(k-3)¾0
4-4k+12¾0, -4k¾-16
∴ kÉ4 답 kÉ4
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05
이차방정식 2xÛ`-5x-7=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=a=-{- 52 }= 5
2 (두 근의 곱)=b=- 7
2
∴ a+b= 52+{- 72 }=-1 답 -1
06
이차방정식 2xÛ`-30x+k=0의 두 근을 a, 2a라 하면 근과 계 수의 관계에 의하여
a+2a=-{- 302 } yy㉠
a_2a= k
2 yy㉡
㉠에서 3a=15 ∴ a=5
㉡에서 k=4aÛ`=4_25=100 답 100
07
이차방정식 xÛ`-10x+3k+4=0의 한 근이 5-2'3이고 계수 와 상수항이 모두 유리수이므로 다른 한 근은 5+2'3이다.
즉, 이차방정식 xÛ`-10x+3k+4=0의 두 근이 5-2'3, 5+2'3이므로 근과 계수의 관계에 의하여
(5-2'3)(5+2'3)=3k+4 13=3k+4
3k=9 ∴ k=3 답 3
다른풀이
5-2'3이 이차방정식 xÛ`-10x+3k+4=0의 근이므로 대입하 면 등식이 성립한다. 즉,
(5-2'3)Û`-10(5-2'3)+3k+4=0 37-20'3-50+20'3+3k+4=0 3k=9 ∴ k=3
08
- 13, 5
2 를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 6인 이차방정식은 6{x+ 13 }{x- 52 }=0, 6{xÛ`- 136x- 56 }=0
∴ 6xÛ`-13x-5=0 답 ①
09
-3과 5를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+3)(x-5)=0
∴ xÛ`-2x-15=0
위의 이차방정식은 보라가 x의 계수를 잘못 보고 푼 것이므로 처 음의 이차방정식의 상수항은 -15이다.
-2Ñ'3을 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+2-'3)(x+2+'3)=0
∴ xÛ`+4x+1=0
위의 이차방정식은 민수가 상수항을 잘못 보고 푼 것이므로 처음 의 이차방정식의 x의 계수는 4이다.
따라서 처음의 이차방정식은
xÛ`+4x-15=0 답 xÛ`+4x-15=0
10
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1 (x¾2)이라 하면 (x-1)(x+1)=3x+3
xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4 그런데 x¾2이므로 x=4
따라서 연속하는 세 자연수는 3, 4, 5이므로 그 합은
3+4+5=12 답 ⑤
11
물건의 원가를 a원이라 하면 a{1+ x100 }{1- x
200 }=a{1+ 12100 } (100+x)(200-x)=22400 xÛ`-100x+2400=0 (x-40)(x-60)=0
∴ x=40 또는 x=60
그런데 0<x<50이므로 x=40 답 ④
Ⅲ. 이차방정식 043
12
골프공이 지면에 떨어지면 골프공의 높이는 0`m이므로 19.6t-4.9tÛ`=0에서 tÛ`-4t=0
t(t-4)=0
∴ t=0 또는 t=4 그런데 t>0이므로 t=4
따라서 4초 후에 골프공은 지면에 떨어진다. 답 ④
13
처음 직사각형에서 늘인 가로, 세로의 길이의 비가 1`:`2이므로 늘인 가로, 세로의 길이를 각각 x`cm, 2x`cm라 하면 (x+6)(2x+4)=6_4+40, 2xÛ`+16x-40=0 xÛ`+8x-20=0, (x+10)(x-2)=0
∴ x=-10 또는 x=2 그런데 x>0이므로 x=2 따라서 늘인 세로의 길이는
2x=2_2=4(cm) 답 4`cm
14
두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후에 APÓ=x`cm, CQÓ=2x`cm이므로 PBÓ=(12-x)`cm, BQÓ=(20-2x)`cm
∴ △PBQ =1
2(12-x)(20-2x)
=xÛ`-22x+120 (cmÛ`) yy㉠
ABCD=20_12=240 (cmÛ`)이고
(삼각형 PBQ의 넓이)`:`(오각형 APQCD의 넓이)=1`:`2이므로
△PBQ =1
3 ABCD
= 13_240=80 (cmÛ`) yy㉡
Step 2
A등급을 위한 문제 pp. 56~60 01 ⑤ 02 "ÃbÛ`-4acb 03 -7 04 ②
05 27 06 x=1 또는 x=2 07 ④ 08 ② 09 ④ 10 ⑤ 11 -1
2 12 ④ 13 ⑤ 14 18 15 -1000 16 27 17 13명 18 ④ 19 x=1Ñ'¶17
4 20 24000원 21 ③ 22 81 2`cmÜ`
23 ③ 24 16`cm 25 ④ 26 ③ 27 3
● blacklabel 특강 ●필수개념
원가, 정가에 대한 문제
⑴ 원가가 a원인 물건에 x`%의 이익을 붙인 정가 (정가)=a+a_ x
100=a{1+ x100 }(원)
⑵ 정가가 b원인 물건을 y`% 할인한 판매가 (판매가)=b-b_ y
100=b{1- y100 }(원)
㉠, ㉡에서 xÛ`-22x+120=80 xÛ`-22x+40=0
(x-2)(x-20)=0
∴ x=2 또는 x=20
이때 0<2x<20, 0<x<12에서 0<x<10이므로 x=2
따라서 두 도형의 넓이의 비가 1`:`2가 될 때까지 걸린 시간은
2초이다. 답 2초
다른풀이
두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후의 PBÓ, BQÓ의 길이는 PBÓ=(12-x)`cm, BQÓ=(20-2x)`cm
삼각형 PBQ의 넓이는 1
2(12-x)(20-2x)=xÛ`-22x+120 오각형 APQCD의 넓이는
20_12-(xÛ`-22x+120)=-xÛ`+22x+120 두 도형의 넓이의 비가 1`:`2이므로
(xÛ`-22x+120) : (-xÛ`+22x+120)=1`:`2 -xÛ`+22x+120=2xÛ`-44x+240
xÛ`-22x+40=0 (x-2)(x-20)=0
∴ x=2 또는 x=20 그런데 0<x<10이므로 x=2
따라서 두 도형의 넓이의 비가 1`:`2가 될 때까지 걸린 시간은 2초이다.
본문 pp.54~56
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01
xÛ`-2'6x+5=0에서 x='6Ñ'Ä6-5='6Ñ1 이때 두 근이 a, b이므로
a='6-1, b='6+1 (∵ a<b)
∴ 5b
a = 5('6+1)
'6-1 = 5('6+1)Û`
('6-1)('6+1)
=('6+1)Û`=6+2'6+1
=7+2'6 답 ⑤
02
이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 양변을 a로 나눈 다음 상수항 을 우변으로 이항하면
xÛ`+ bax=- ca
위의 식의 양변에 { b2a }Û`= bÛ`4aÛ` 을 더하면 xÛ`+ bax+ bÛ`4aÛ` =- c
a+ bÛ`
4aÛ`
{x+ b2a }Û`=- c a+ bÛ`
4aÛ`
{x+ b2a }Û`= -4ac+bÛ`
4aÛ`
x+ b2a =Ñ "ÃbÛ`-4ac 2a
∴ x= -bÑ"ÃbÛ`-4ac2a
따라서 A= bÛ`4aÛ`, B= b2a, C= "ÃbÛ`-4ac2a 이므로 BC
A = b
2a_ "ÃbÛ`-4ac 2a _ 4aÛ`
bÛ`
= "ÃbÛ`-4ac
b 답 "ÃbÛ`-4ac
b
03
2(2x-1)Û`+2-4x=(1-2x)Û`+5에서 2(2x-1)Û`-2(2x-1)=(2x-1)Û`+5이므로 2x-1=A로 놓으면 위의 이차방정식에서 2AÛ`-2A=AÛ`+5
AÛ`-2A-5=0
∴ A=1Ñ'Ä1+5=1Ñ'6
즉, 2x-1=1Ñ'6이므로 2x=2Ñ'6
∴ x=1Ñ '62
이때 두 근이 a, b이고 a<b이므로 a=1- '6
2 , b=1+ '6 2
∴ b
a =1+ '6 2 1- '62
= 2+'6 2-'6
= (2+'6)Û`
(2-'6)(2+'6)= 4+4'6+6 -2
=-5-2'6
따라서 p=-5, q=-2이므로
p+q=-5+(-2)=-7 답 -7
다른풀이
2(2x-1)Û`+2-4x=(1-2x)Û`+5에서 2(4xÛ`-4x+1)+2-4x=(1-4x+4xÛ`)+5 8xÛ`-12x+4=4xÛ`-4x+6
4xÛ`-8x-2=0
∴ 2xÛ`-4x-1=0
따라서 x= 2Ñ"Ã(-2)Û`-2_(-1)2 =1Ñ '6 2 이므로 a=1- '6
2 , b=1+ '6
2 (∵ a<b)
∴ b
a =1+ '62 1- '62
= 2+'6
2-'6=-5-2'6 즉, p=-5, q=-2이므로 p+q=-7
04
mxÛ`+(2m-1)x+m-3=0에서
x = -(2m-1)Ñ"Ã(2m-1)Û`-4m(m-3)2m
= -(2m-1)Ñ'Ä8m+1 2m
두 근의 차가 2이므로 -(2m-1)+'Ä8m+1
2m - -(2m-1)-'Ä8m+1 2m
= 'Ä8m+1 m =2
'Ä8m+1=2m의 양변을 제곱하여 정리하면 4mÛ`-8m-1=0
∴ m= 4Ñ"Ã(-4)Û`-4_(-1)4 = 4Ñ'¶20
4 =1Ñ '5 2
따라서 양의 상수 m의 값은 1+ '52 이다. 답 ②
Ⅲ. 이차방정식 045
05
xÛ`-8x+m=0에서
x=4Ñ"Ã(-4)Û`-m=4Ñ'Ä16-m yy㉠
한편, xÛ`-5x+6=0에서
(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3
㉠의 한 근이 2와 3 사이에 있고, 4+'Ä16-m>3이므로 2<4-'Ä16-m<3
-2<-'Ä16-m<-1 1<'Ä16-m<2 1<16-m<4 -15<-m<-12
∴ 12<m<15
따라서 정수 m의 값은 13, 14이므로 그 합은
13+14=27 답 27
07
xÛ`-6x+(2a-9)=0에서 x =3Ñ"Ã(-3)Û`-(2a-9)
=3Ñ'Ä18-2a
=3Ñ"Ã2(9-a)
주어진 이차방정식의 해가 모두 정수가 되려면 9-a=2kÛ` (k는 정수) 꼴이어야 하므로 9-a=0, 2, 8, y
이때 a는 자연수이므로 a=1, 7, 9
따라서 조건을 만족하는 모든 자연수 a의 값의 합은
1+7+9=17 답 ④
08
1단계 미정이가 잘못 알고 이용한 근의 공식과 올바른 근의 공식을 비교 한다.
2단계 미정이가 잘못 구한 두 근을 이용하여 두 근 a, b를 각각 구한다.
3단계 2a-b의 값을 구한다.
axÛ`+bx+c=0에서 x= -bÑ"ÃbÛ`-4ac
2a 이므로
a= -b+"ÃbÛ`-4ac
2a , b= -b-"ÃbÛ`-4ac
2a `(∵ a>b) 이때 미정이가 근의 공식을 bÑ"ÃbÛ`-4ac
a 로 잘못 알고 구한 두 근이 -3, 6이므로
b-"ÃbÛ`-4ac
a =-3에서
a= -b+"ÃbÛ`-4ac
2a =-3_{- 12 }= 3 2 b+"ÃbÛ`-4ac
a =6에서
b= -b-"ÃbÛ`-4ac
2a =6_{- 12 }=-3
∴ 2a-b=3+3=6 답 ②
06
xÛ`-3ax+2a=0에서 x의 계수와 상수항을 서로 바꾸면 xÛ`+2ax-3a=0
위의 이차방정식의 한 근이 x=-3이므로 이를 대입하면 9-6a-3a=0, -9a=-9 ∴ a=1
따라서 처음의 이차방정식은 xÛ`-3x+2=0이므로 (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2 답 x=1 또는 x=2
본문 pp.56~57
09
axÛ`+2(a+4)x+a+6=0에서 {2(a+4)}Û`-4a(a+6)
=4aÛ`+32a+64-4aÛ`-24a
=8a+64=8(a+8) 이므로
Ú 8(a+8)>0, 즉 a>-8일 때,
주어진 이차방정식은 서로 다른 두 근을 갖는다.
Û 8(a+8)=0, 즉 a=-8일 때, 주어진 이차방정식은 중근을 갖는다.
Ü 8(a+8)<0, 즉 a<-8일 때, 주어진 이차방정식은 근을 갖지 않는다.
따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④
10
이차방정식 kxÛ`+2(k-3)x+k-5=0이 근을 가지려면 4(k-3)Û`-4k(k-5)¾0
(k-3)Û`-k(k-5)¾0 kÛ`-6k+9-kÛ`+5k¾0 -k¾-9 ∴ kÉ9
따라서 자연수 k는 1, 2, 3, y, 9의 9개이다. 답 ⑤
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11
이차방정식 (k+1)xÛ`-4kx+2k+3=0이 중근을 가지므로 (-4k)Û`-4(k+1)(2k+3)=0
4kÛ`-(k+1)(2k+3)=0 2kÛ`-5k-3=0
(k-3)(2k+1)=0
∴ k=3 또는 k=- 12 Ú k=3일 때,
(k-1)xÛ`+(2k-5)x+2k-5=0에서 2xÛ`+x+1=0
따라서 1Û`-4_2_1<0이므로 근이 없다.
Û k=- 1 2일 때,
(k-1)xÛ`+(2k-5)x+2k-5=0에서 -3
2xÛ`-6x-6=0, xÛ`+4x+4=0 ∴ (x+2)Û`=0
따라서 중근을 갖는다.
Ú, Û에서 k=- 1
2 답 - 1
2
12
이차방정식 xÛ`-6x-9=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=6, ab=-9
∴ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=36+36
=72 답 ④
13
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-a, ab=b
또한, xÛ`+3bx+a=0의 두 근이 a+b, ab, 즉 -a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-a+b=-3b, -ab=a 그런데 a+0이므로 a=-ab에서 1=-b ∴ b=-1
이를 -a+b=-3b에 대입하면 -a-1=3 ∴ a=-4
∴ a+b=-5 답 ⑤
15
이차방정식 xÛ`-2(k+5)x-10=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
ab=-10
x=a를 xÛ`-2(k+5)x-10=0에 대입하면 aÛ`-2(k+5)a-10=0
aÛ`-2ka-10a-10=0
∴ aÛ`-2ka-10=10a
또한, x=b를 xÛ`-2(k+5)x-10=0에 대입하면 bÛ`-2kb-10b-10=0
∴ bÛ`-2kb-10=10b
∴ (aÛ`-2ka-10)(bÛ`-2kb-10) =10a_10b=100ab
=100_(-10)=-1000 답 -1000
16
연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2`(x¾3)라 하면 (x-2)Û`+xÛ`+(x+2)Û`=251
xÛ`-4x+4+xÛ`+xÛ`+4x+4=251
14
이차방정식 2xÛ`-2ax+b=0의 한 근이 1+'52 이고, 계수와 상
수항이 모두 유리수이므로 다른 한 근은 1-'5 2 이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1+'52 + 1-'5
2 =-{- 2a2 } ∴ a=1 1+'52 _ 1-'5
2 = b
2 ∴ b=-2
이차방정식 axÛ`+2bx-a=0, 즉 xÛ`-4x-1=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=-1
∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=16+2=18
답 18
단계 채점 기준 배점
㈎ 2xÛ`-2ax+b=0의 다른 한 근을 구한 경우 20%
㈏ 유리수 a, b의 값을 각각 구한 경우 30%
㈐ axÛ`+2bx-a=0의 두 근의 합과 곱을 각각 구한 경우 30%
㈑ axÛ`+2bx-a=0의 두 근의 제곱의 합을 구한 경우 20%
㈎
㈏
㈐
㈑
Ⅲ. 이차방정식 047
17
학생 수를 x명이라 하면 각 학생이 받는 사탕의 개수는 (x+2) 개이므로
x(x+2)=195 xÛ`+2x-195=0 (x+15)(x-13)=0
∴ x=-15 또는 x=13 그런데 x>0이므로 x=13
따라서 학생 수는 13명이다. 답 13명
18
40t-4tÛ`=36에서 tÛ`-10t+9=0 (t-1)(t-9)=0
∴ t=1 또는 t=9
따라서 높이가 36`m 이상인 지점을 지나는 시간은 1초부터 9초
까지이므로 8초 동안이다. 답 ④
20
어제의 사과 판매량을 a`kg이라 하면 어제의 총 매출은 20000a원
오늘 총 매출은 20000a{1+ 2x100 }{1- 1 100_ 3
2x}원 그런데 총 매출액은 어제보다 2`% 증가했으므로 20000a{1+ 2x100 }{1- 1
100_ 3
2x}=20000a{1+ 2100 } {1+ 2x100 }{1- 1
100_ 3
2x}=1.02 (50+x)(200-3x)=1.02_10000 -3xÛ`+50x+10000=10200 3xÛ`-50x+200=0
(x-10)(3x-20)=0
∴ x=10 또는 x= 203
그런데 x는 자연수이므로 x=10 따라서 오늘 사과의 1`kg당 판매 가격은
20000{1+ 20100 }=20000_1.2=24000(원) 답 24000원
21
처음 소금의 양은 10
100_100=10(g)
x`g의 소금물을 퍼냈으므로 남은 소금의 양은 10- 10
100_x=10{1- x100 }(g)
다시 2x`g의 소금물을 퍼냈으므로 남은 소금의 양은 10{1- x100 }{1- 2x
100 }(g) 이 소금물의 농도가 4.8`%이므로
4.8=
10{1- x100 }{1- 2x100 }
100 _100
0.48={1- x100 }{1- 2x 100 } 0.48_5000=(100-x)(50-x) xÛ`-150x+5000=2400 xÛ`-150x+2600=0 (x-20)(x-130)=0
∴ x=20 (∵ 0<x<50) 답 ③
19
{(x+1) (-2x+1)}△{(3x+1) (-x+1)}=0에서 {(x+1)+(-2x+1)}△{(3x+1)+(-x+1)}=0 (-x+2)△(2x+2)=0
(-x+2)(2x+2)-(-x+2)-(2x+2)+2=0 -2xÛ`+2x+4+x-2-2x-2+2=0
2xÛ`-x-2=0
∴ x = 1Ñ"Ã(-1)Û`-4_2_(-2)4
= 1Ñ'Ä1+16 4
= 1Ñ'¶17
4 답 x= 1Ñ'¶174
본문 pp.57~59
3xÛ`+8=251 3xÛ`=243, xÛ`=81
∴ x=9 (∵ x¾3)
따라서 연속하는 세 홀수는 7, 9, 11이므로 그 합은
7+9+11=27 답 27
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22
잘라낸 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 직 육면체 모양의 상자에서 밑면의 가로의 길이는 (6-2x)cm, 세 로의 길이는 (12-2x)cm이다.
이때 상자의 밑면의 넓이가 27`cmÛ`이므로 (6-2x)(12-2x)=27
4xÛ`-36x+72=27 4xÛ`-36x+45=0 (2x-3)(2x-15)=0
∴ x= 32 또는 x= 152
그런데 0<x<3이므로 x= 32
따라서 만들어진 상자의 가로, 세로의 길이는 각각 3`cm, 9`cm 이고 높이는 3
2` cm이므로 부피는 3_9_ 3
2= 81
2 (cmÜ`) 답 81
2 `cmÜ`
24
처음 직사각형 모양의 종이의 가로의 길이를 x`cm라 하면 빗금친 사각형의 넓이는
12x-12_12-(x-12)Û`=32 12x-144-(xÛ`-24x+144)=32 xÛ`-36x+320=0
(x-16)(x-20)=0
∴ x=16 또는 x=20
그런데 CDÓ<DEÓ에서 x-12<12-(x-12), 즉 x<18이므로 x=16
따라서 처음 직사각형 모양의 종이의 가로의 길이는 16`cm이다.
답 16`cm
23
작은 원과 큰 원의 반지름의 길이를 각각 r1, r2`(r1<r2)라 하면 두 원의 둘레의 길이의 합이 6p이므로
2pr1+2pr2=6p
r1+r2=3 ∴ r2=3-r1 yy㉠
한편, 두 원의 넓이의 비가 1`:`3이므로 pr1Û``:`pr2Û`=1`:`3
3pr1Û`=pr2Û`, 3r1Û`=r2Û`
㉠을 위의 식에 대입하면 3r1Û`=(3-r1)Û`
3r1Û`=r1Û`-6r1+9 2r1Û`+6r1-9=0
∴ r1 = -3Ñ"Ã3Û`-2_(-9) 2
= -3Ñ'Ä9+18 2
= -3Ñ3'3 2
그런데 r1>0이므로 r1= 3'3-3 2
따라서 작은 원의 반지름의 길이는 3'3-3
2 이다. 답 ③
25
정오각형의 한 내각의 크기가 180ù_(5-2)
5 =108ù이므로
∠BAC=∠BCA=∠ABP=180ù-108ù 2 =36ù
따라서 ∠CBP=108ù-36ù=72ù, ∠CPB=36ù+36ù=72ù이 므로
△CPB는 BCÓ=CPÓ=1인 이등변삼각형이다.
이때 △ABC »△APB (AA`닮음)이므로 ABÓ`:`ACÓ=APÓ`:`ABÓ
1`:`(1+x)=x`:`1 xÛ`+x=1
∴ xÛ`+x-1=0 답 ④
● blacklabel 특강 ●필수개념
삼각형의 닮음조건
두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 닮은 도형이다.
⑴ 대응하는 세 쌍의 변의 길이의 비가 같을 때 a`:`a'=b`:`b'=c`:`c'
⑵ 대응하는 두 쌍의 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 서로 같을 때 a`:`a'=c`:`c', ∠B=∠B'
⑶ 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같을 때 ∠B=∠B', ∠C=∠C'
A' A
B'
B C C'
c c' a
b b'
a'
Ⅲ. 이차방정식 049
26
ACÓ, BCÓ를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 각각 r1`cm, r2`cm라 하면
2(r1+r2)=20에서 r1+r2=10
∴ r2=10-r1 yy㉠
한편, 색칠한 부분의 넓이가 21p`cmÛ`이므로 1
2_10Û`p- 12r1Û`p- 12r2Û`p=21p 100-r1Û`-r2Û`=42
∴ r1Û`+r2Û`=58
㉠을 위의 식에 대입하면 r1Û`+(10-r1)Û`=58 r1Û`+r1Û`-20r1+100=58 r1Û`-10r1+21=0 (r1-3)(r1-7)=0
∴ r1=3 또는 r1=7
그런데 r2<r1이므로 r1=7, r2=3
∴ ACÓ=2_7=14(cm) 답 ③
27
주어진 종이에 흰색 테이프가 붙어 있지 않은 부분의 넓이는 24_12-{24x+12x+2_12_ x2-xÛ`-2_ xÛ`
2 }=162 24_12-(48x-2xÛ`)=162
2xÛ`-48x+288=162 xÛ`-24x+63=0 (x-3)(x-21)=0
∴ x=3 또는 x=21
그런데 0<x<12이므로 x=3 답 3
● blacklabel 특강 ●참고
직사각형 모양의 땅 위의 도로 또는 종이 위의 테이프 문제 다음 그림과 같은 직사각형의 어두운 부분의 넓이는 모두 같다.
x
x x
x
x x
Step 3
종합 서술형 도전 문제 pp. 61~6201 ⑴ 40
9 ⑵ a=-18, b=15 02 ⑴ 6초 후 ⑵ 10초 03 ⑴ 4xÛ`+8x ⑵ 12 04 ⑴ 4tÛ`-24t+135 ⑵ 3초
05 13 06 33xÛ`+184x-17=0
07 20살 08 80분 후
01
● blacklabel 답안 ●
⑴ 3xÛ`-8x+4=0에서
(3x-2)(x-2)=0 ∴ x= 23 또는 x=2
이때 이차방정식 3xÛ`-8x+4=0의 두 근이 a, b이고, a<b 이므로
a=2 3, b=2
∴ aÛ`+bÛ`={ 23 }Û`+2Û`= 49+4= 40 9
⑵ a+a b= 2
3+ 2 3 2= 2
3+ 1 3=1 b+b
a=2+ 2 2 3
=2+3=5
따라서 1과 5를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은 3(x-1)(x-5)=0, 3xÛ`-18x+15=0
∴ a=-18, b=15
답 ⑴ 40
9 ⑵ a=-18, b=15
단계 채점 기준 배점
⑴ 두 근 a, b의 값을 각각 구한 경우 30%
aÛ`+bÛ`의 값을 구한 경우 20%
⑵ a+ ab, b+ ba의 값을 각각 구한 경우 30%
주어진 조건을 만족하는 a, b의 값을 각각 구한 경우 20%
다른풀이
⑴ 이차방정식 3xÛ`-8x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계 수의 관계에 의하여
a+b=8
3, ab=4 3
∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
= 649-2_ 4 3= 40
9
⑵ {a+ ab}+{b+b
a } =a+b+ aÛ`+bÛ`ab = 8 3+
40 9 4 3
=6
본문 pp.59~61
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02
● blacklabel 답안 ●
⑴ 물 로켓을 발사한 지 4초 후의 높이는 50_4-5_4Û`=200-80=120(m)
즉, 물 로켓을 발사한 지 x초 후의 높이가 120`m이므로 50x-5xÛ`=120
xÛ`-10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6 그런데 x>4이므로 x=6
따라서 물 로켓을 발사한 지 4초 후의 높이와 같은 지점을 다 시 지나는 것은 발사한 지 6초 후이다.
⑵ 물 로켓이 땅에 떨어지면 물 로켓의 높이는 0`m이므로 50x-5xÛ`=0
x(x-10)=0 ∴ x=0 또는 x=10 그런데 x>0이므로 x=10
따라서 물 로켓이 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 10초이다.
답 ⑴ 6초 후 ⑵ 10초
단계 채점 기준 배점
⑴
4초 후의 높이를 구한 경우 20%
높이에 대한 식을 이용하여 4초 후의 높이와 같은 지점을
지날 때까지 걸린 시간을 구한 경우 30%
⑵ 물 로켓이 다시 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간을 구한 경우 50%
03
● blacklabel 답안 ●
⑴ 제 1 단계에 있는 정사각형의 개수는 1_3=3(개) 제 2 단계에 있는 정사각형의 개수는 2_4=8(개) 제 3 단계에 있는 정사각형의 개수는 3_5=15(개) {a+ ab}{b+b
a } =ab+b+a+1
= 43+ 8 3+1=5 이때 두 근 a+a
b , b+ ba 의 합과 곱이 각각 6, 5이고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은
3(xÛ`-6x+5)=0, 3xÛ`-18x+15=0 ∴ a=-18, b=15
04
● blacklabel 답안 ●
⑴ 세 점 P, Q, R가 각각 이동한 시간이 t초이므로 각 선분의 길 이는 다음 그림과 같다.
R
A D
B C
Q P
15`cm {15-3t}`cm
{18-2t}`cm 3t`cm 2t`cm
{15-t}`cm t`cm
18`cm
따라서 삼각형 PQR의 넓이는
ABCD-△PBQ-△QCR- APRD =18_15-1
2_2t_(15-t)- 12_(18-2t)_3t - 12_(15-2t)_18 =270-15t+tÛ`-27t+3tÛ`-135+18t
=4tÛ`-24t+135
⑵ △PQR=99`cmÛ`이므로 4tÛ`-24t+135=99 4tÛ`-24t+36=0 tÛ`-6t+9=0
(t-3)Û`=0 ∴ t=3
따라서 △PQR의 넓이가 99`cmÛ`가 될 때까지 걸린 시간은 3초이다.
답 ⑴ 4tÛ`-24t+135 ⑵ 3초
단계 채점 기준 배점
⑴ 삼각형 PQR의 넓이를 t에 대한 식으로 나타낸 경우 50%
⑵ 삼각형 PQR의 넓이가 99`cmÛ`가 될 때까지 걸린 시간을
구한 경우 50%
따라서 제 x 단계에 있는 정사각형의 개수는 x(x+2)개이고 정사각형의 넓이는 2_2=4이므로 직사각형의 넓이는 4x(x+2)=4xÛ`+8x
⑵ 4pÛ`+8p=672에서 pÛ`+2p=168 pÛ`+2p-168=0, (p+14)(p-12)=0 ∴ p=-14 또는 p=12
그런데 p>0이므로 p=12
답 ⑴ 4xÛ`+8x ⑵ 12
단계 채점 기준 배점
⑴
제 x 단계의 정사각형의 개수를 구한 경우 30%
제 x 단계의 직사각형의 넓이를 x에 대한 식으로 나타낸
경우 20%
⑵ 제 p 단계의 직사각형의 넓이가 672일 때의 p의 값을 구
한 경우 50%