이차함수의 활용

Ⅳ. 이차함수 063

Step 2

A등급을 위한 문제 pp. 79~82

01 ① 02 ② 03 -2 04 ④ 05 (1, 9) 06 ① 07 8 08 ④ 09 -2 10 ⑤ 11 0 12 34 13 8 14 99 15 ⑤ 16 200 17 ④ 18 ① 19 ⑤ 20 175

4 `cmÛ`

21 4 22 ②

01

조건 ㈏에서 이차함수의 식의 xÛ`의 계수는 - 13이다.

조건 ㈐에서 꼭짓점의 x좌표는 -1이므로 이 이차함수의 식을 y=- 13(x+1)²+q`(q는 상수)라 할 수 있다.

조건 ㈎에서 x=-2, y=2를 위의 식에 대입하면 2=- 1

3(-2+1)²+q ∴ q= 73 따라서 구하는 이차함수의 식은 y =- 13(x+1)²+ 7

3=- 1 3x²- 2

3x+2 답 ①

02

주어진 이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 (-2, 0), (3, 0) 이고 위로 볼록하므로 이차함수의 식을

y=a(x+2)(x-3)`(a<0)이라 할 수 있다.

이때 그래프가 점 (0, 12)를 지나므로 x=0, y=12를 위의 식 에 대입하면

12=a_2_(-3) ∴ a=-2

∴ y =-2(x+2)(x-3)=-2x²+2x+12

① a=-2, b=2, c=12이므로 a+b+c=12

② x=-1일 때, y=8이므로 점 (-1, 8)을 지난다.

③ y=-2x²+2x+12=-2{x- 12 }

2+ 25

2 이므로 꼭짓점의 좌표는 { 12, 25

2 }이다.

④ 이차함수 y=-2x²의 그래프를 평행이동한 것이다.

⑤ ③에서 꼭짓점의 좌표가 { 12, 25

2 }이므로 주어진 이차함수의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 꼭짓점의 좌표는 { 12, - 25

2 }이고 주어진 그래프와 폭이 일치하고 아래로 볼록 하다.

즉, 주어진 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내 는 이차함수의 식은

y =2{x- 12 }

2- 25

2 =2xÛ`-2x-12

=2(xÛ`-x-6)=2(x+2)(x-3)

따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ②

05

직선 y=-2x+8의 x절편은 4, y절편은 8이므로 B(4, 0), C(0, 8)

이차함수 y=-x²+bx+c의 그래프는 두 점 B, C를 지나므로 0=-16+4b+c, 8=c

03

주어진 이차함수의 그래프와 y축에 대하여 대칭인 그래프의 꼭 짓점의 좌표는 (1, 4)이고 점 (3, 0)을 지나며 위로 볼록하다.

이 그래프를 나타내는 이차함수의 식을

y=a(x-1)²+4`(a<0)라 하면 이 이차함수의 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로

0=4a+4, 4a=-4 ∴ a=-1 즉, 구하는 이차함수의 식은 y =-(x-1)²+4

=-x²+2x+3

따라서 a=-1, b=2, c=3이므로

a+b-c=-2 답 -2

04

꼭짓점의 좌표가 (5, -2)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-5)²-2 (a>0)라 할 수 있다.

위의 이차함수의 그래프가 점 (6, 0)을 지나므로 0=a-2 ∴ a=2

∴ y=2(x-5)²-2

위의 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향 으로 5만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y =2(x+2-5)Û`-2+5

=2(x-3)²+3

=2x²-12x+21 답 ④

다른풀이

꼭짓점의 좌표가 (5, -2)이고 점 (6, 0)을 지나는 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행 이동하면 꼭짓점의 좌표가 (3, 3)이고 점 (4, 5)를 지나는 그래 프가 된다.

꼭짓점의 좌표가 (3, 3)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-3)Û`+3`(a+0)이라 할 수 있다.

위의 이차함수의 그래프가 점 (4, 5)를 지나므로 5=a+3 ∴ a=2

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`+3=2xÛ`-12x+21

Ⅳ. 이차함수 065

06

이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (4, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-4)`(a>0)라 할 수 있다.

위의 이차함수의 그래프가 점 (0, -10)을 지나므로 -10=a_2_(-4) ∴ a= 5

4 따라서 이차함수 f(x)는

f(x) = 54(x+2)(x-4)= 54(xÛ`-2x-8)

= 54(x-1)²- 45 4

이므로 최솟값은 x=1일 때, - 454이다. 답 ①

08

y =4x²-8x+1

=4(x-1)²-3

이므로 주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같고 음의 정수인 함숫 값은 -3, -2, -1이다.

이때 그래프에서 y=-3인 x의 값은 1개이고, y=-2, y=-1인 x의 값 은 각각 2개씩 존재한다.

따라서 구하는 x의 값의 개수는

1+2+2=5(개) 답 ④

-3 -2 -1 1

1 x

y=4{x-1}@-3

07

점 (a, b)가 이차함수 y=-3xÛ`+5x+5의 그래프 위에 있으므 로 b=-3a²+5a+5

∴ a+b =a-3a²+5a+5

=-3a²+6a+5

=-3(a-1)²+8

따라서 a+b의 최댓값은 a=1일 때, 8이다. 답 8

09

y =-2xÛ`+4kx+5k

=-2(x-k)²+2k²+5k

위의 이차함수의 최댓값은 2kÛ`+5k이고 그 값이 -2이므로 2k²+5k=-2

2k²+5k+2=0, (k+2)(2k+1)=0

∴ k=-2 또는 k=- 12

그런데 꼭짓점의 x좌표, y좌표가 모두 정수이므로 k, 2kÛ`+5k 의 값이 모두 정수이어야 한다.

∴ k=-2 답 -2

10

y =-x²-2x+3

=-(x+1)²+4

이므로 위의 이차함수의 최댓값은 4이다.

한편, 이차함수 y=axÛ`-bx+12의 그래프가 점 (2, 4)를 지나 므로

4=4a-2b+12에서 2b=4a+8

∴ b=2a+4 yy㉠

∴ y =ax²-bx+12

=ax²-(2a+4)x+12

=a[x²-2_ a+2

a x+{ a+2a }

2]- (a+2)a ²+12

=a{x- a+2a }

2- (a+2)² a +12 이때 위의 이차함수의 최솟값이 4이므로 a>0이고 - (a+2)a ²+12=4

즉, -(a+2)²

a =-8에서 (a+2)²=8a a²+4a+4=8a, a²-4a+4=0 (a-2)²=0 ∴ a=2, b=8 (∵ ㉠)

∴ a+b=10 답 ⑤

11

1단계 이차방정식의 두 근과 이차함수의 최솟값을 이용하여 a의 값을 구 한다.

2단계 이차함수의 식을 완성하여 b, c의 값을 각각 구한다.

3단계 4a+2b+c의 값을 구한다.

이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 근이 -6, 2이므로 ax²+bx+c=a(x+6)(x-2)

∴ b=2, c=8

따라서 주어진 이차함수의 식은 y =-x²+2x+8

=-(x-1)²+9

이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 9)이다. 답 (1, 9)

본문 pp.79~80

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14

1단계 점 A의 좌표를 구한다.

2단계 점 B의 좌표를 구한다.

3단계 AOBP의 넓이의 최댓값을 구한다.

점 P가 이차함수 y=-xÛ`+2x+24의 그래프 위에 있으므로 점 P의 좌표를 (a, -a²+2a+24)라 하자.

x=0을 y=-x²+2x+24에 대입하면 y=24

∴ A(0, 24)

또한, y=0을 y=-xÛ`+2x+24에 대입하면 -x²+2x+24=0에서 x²-2x-24=0 (x+4)(x-6)=0

∴ x=-4 또는 x=6

그런데 그래프가 x축의 양의 부분과 만나는 점이 B이므로 B(6, 0)

∴ AOBP =△AOP+△OBP

= 12_24_a+ 12_6_(-a²+2a+24)

=12a-3a²+6a+72

=-3a²+18a+72

=-3(a-3)²+99

따라서 AOBP의 넓이의 최댓값은 a=3일 때, 99이다.

답 99

12

y =-x²+8x=-(x-4)²+16이므로 축의 방정식은 x=4 점 B의 좌표를 (4+a, 0)이라 하면 A(4-a, 0)

점 C의 x좌표는 점 B의 x좌표와 같고, 이차함수 y=-x²+8x 의 그래프 위에 있으므로

y=-(4+a)Û`+8(4+a)=-aÛ`+16

∴ C(4+a, -aÛ`+16)

이때 점 D의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같고, y좌표는 점 C의 y좌표와 같으므로

D(4-a, -aÛ`+16)

∴ ( ABCD의 둘레의 길이) =2_2a+2(-aÛ`+16)

=-2a²+4a+32

=-2(a-1)²+34

따라서 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 a=1일 때, 34이다.

답 34

13

점 P의 x좌표를 a라 하면 Q{a, - 14a+4}이므로 OPÓ=a, PQÓ=- 14a+4

∴ OPQR =a{- 14a+4}=- 14a²+4a

=- 14(a-8)²+16

따라서 a=8일 때, OPQR의 넓이는 최대가 되므로 구하는 점

P의 x좌표는 8이다. 답 8

15

h =-5t²+40t+10

=-5(t-4)²+90

따라서 t=4일 때 지면으로부터의 높이가 90`m로 최대가 된다.

답 ⑤

16

하루에 x개의 제품을 생산하여 얻을 수 있는 이익을 y만 원이라 하면

y =- 15xÛ`+80x-3000

=- 15(x-200)Û`+5000

따라서 x=200일 때 y의 최댓값은 5000이므로 하루에 200개의 제품을 생산할 때 이익이 5000만 원으로 최대가 된다.

답 200 이때 이차함수

y =ax²+bx+c=a(x+6)(x-2)

=a(x²+4x-12)=a(x+2)²-16a 의 최솟값이 -2이므로

-16a=-2에서 a= 1 8

∴ y = 18(x²+4x-12)= 18 x

2+ 1 2 x- 3

2 따라서 a= 18, b= 12, c=- 32이므로 4a+2b+c= 1

2+1- 3

2=0 답 0

● blacklabel 특강 ●^필수원리

두 근을 알 때, 이차방정식 세우기

두 근이 a, b이고 xÛ`의 계수가 a인 이차방정식은 a(x-a)(x-b)=0 ⇨ a{xÛ`-(³a+b)x+³ab}=0 두 근의 합 ª `£ 두 근의 곱

Ⅳ. 이차함수 067

18

상품의 가격을 x원 올릴 때의 총 판매 금액을 y원이라 하면 y =(100+x)(800-5x)

=-5x²+300x+80000

=-5(x-30)²+84500

따라서 x=30일 때 y의 최댓값은 84500이므로 판매 금액이 최 대일 때 상품 한 개의 가격은

100+30=130(원) 답 ①

19

합이 10인 두 수를 x, 10-x라 하고 두 수의 제곱의 합을 y라 하면

y =xÛ`+(10-x)Û`

=2xÛ`-20x+100 =2(x-5)Û`+50

따라서 x=5일 때 y의 최솟값은 50이므로 합이 10인 두 수가 5 와 5일 때 두 수의 제곱의 합은 50으로 최소이다. 답 ⑤

17

둘레의 길이가 40`cm인 부채꼴의 반지름의 길이는 r`cm이므로 호의 길이는 (40-2r)`cm이다.

이때 이 부채꼴의 넓이가 S`cmÛ`이 므로

S = 1

2r(40-2r)

=-r²+20r

=-(r-10)²+100

따라서 r=10일 때 S의 최댓값이 100이므로 반지름의 길이가 10`cm일 때 부채꼴의 넓이가 100`cm²로 최대가 된다. 답 ④

● blacklabel 특강 ●^필수개념

부채꼴의 넓이

반지름의 길이가 r이고, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이를 S라 할 때

S= 1 2rl

{40-2r}`cm

r`cm r`cm

r S

21

직각이등변삼각형의 직각을 낀 한 변의 길이를 x라 하면 정사 각형의 한 변의 길이는 6-x 이므로 두 도형의 넓이의 합을 y라 하면

y =(6-x)²+ 1 2x²

= 32x²-12x+36

= 32(x-4)²+12

따라서 x=4일 때 y의 최솟값은 12이므로 두 도형의 넓이의 합 이 최소가 될 때 직각이등변삼각형의 직각을 낀 한 변의 길이는

4이다. 답 4

6-x 6-x

20

두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후에 BPÓ=x`cm, CQÓ=2x`cm이므로 PCÓ=(10-x)cm, QDÓ=(10-2x)cm

△APQ= ABCD-△ABP-△PCQ-△AQD이므로

△APQ의 넓이를 y`cm²라 하면

y =100- 12_x_10- 12_(10-x)_2x- 12_10_(10-2x) =100-5x-10x+x²-50+10x

=x²-5x+50 ={x- 52 }

2+ 175 4

따라서 x= 52일 때 y의 최솟값은 1754 이므로 두 점 P, Q가 동

시에 출발한 지 5

2초 후에 △APQ의 넓이는 175

4 `cm²로 최소가 된다.

답 175 4 `cm²

단계 채점 기준 배점

㈎ 두 점 P, Q가 움직인 시간을 x초라 하고 각 선분의 길이

를 x로 나타낸 경우 30%

㈏ △APQ의 넓이를 y`cmÛ`라 하고 x, y 사이의 관계식을

세운 경우 40%

㈐ △APQ의 넓이의 최솟값을 구한 경우 30%

10`cm

10`cm x`cm

2x`cm {10-x}`cm

{10-2x}`cm A

P C

㈎

㈏

㈐ 본문 pp.80~82

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Step 3

종합 서술형 도전 문제 pp. 83~84

01 ⑴ y=x²+4x-7, y=2x²+2x-7 ⑵ - 372 02 ⑴ C(-4, 5), Q{-3, 338 } ⑵ y= 1

8x²+3 ⑶ 6`

03 ⑴ f(k)=-1

2kÛ`+3k ⑵ 92 04 ⑴ -k²+4k+4a ⑵ 9

05 8, 17 06 -17

07 2`m 08 15

01

● blacklabel 답안 ●

⑴ 이차함수 y=ax²+bx-7의 그래프가 점 (2, 5)를 지나므로 5=4a+2b-7, 4a+2b=12

∴ 2a+b=6 yy㉠

이때 a, b는 주사위를 던져서 나오는 눈의 수이므로 ㉠을 만 족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 4), (2, 2)이다.

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=x²+4x-7, y=2x²+2x-7

22

1단계 B 지점과 공장 사이의 거리를 x`km, 수송 비용을 y원이라 하고 이차함수의 식을 세운다.

2단계 완전제곱식을 이용하여 이차함수의 식을 정리한다.

3단계 y의 값이 최소가 될 때의 x의 값을 구한다.

원료를 수송하는 비용은 거리의 제곱에 비례하므로

(수송 비용)=k_(거리)Û` (k>0인 상수) 꼴로 나타낼 수 있다.

A 10`km B 20`km C

{10+x}`km x`km {20-x}`km 공장

이때 B 지점과 공장 사이의 거리를 x`km, 수송 비용을 y원이라 하면

y =k(10+x)²+kx²+k(20-x)²

=k(3x²-20x+500)

=3k{x- 103 }Û`+ 1400 3 k

따라서 B 지점과 공장 사이의 거리가 10

3`km일 때, 수송 비용

이 최소가 된다. 답 ②

02

● blacklabel 답안 ●

⑴ 로고를 ABÓ가 x축, ABÓ의 중점을 원 점으로 하는 좌표평면 위에 놓으면 오른쪽 그림과 같다.

ABÓ=8이므로 OAÓ=4 CEÓ=10이므로 CAÓ=5 ∴ C(-4, 5)

또한, APÓ=1, PQÓ=1 2 QRÓ=1

2_ 33 4= 33

8 이므로 Q{-3, 338 }

⑵ 곡선 CD를 포함하는 포물선의 꼭짓점이 y축 위에 있으므로 이차함수의 식을 y=ax²+q`(a>0)라 할 수 있다. 이 이차 함수의 그래프가 두 점 C(-4, 5), Q{-3, 338 }을 지나므로

( {9

16a+q=5 yy㉠

9a+q= 33

8 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 18, q=3

따라서 곡선 CD를 포함하는 포물선을 그래프로 하는 이차함 수의 식은

y= 18x²+3

⑶ ⑴과 같이 좌표평면 위에 놓았을 때, 두 곡선 CD, EF가 y축 과 만나는 점을 각각 S, T라 하자.

곡선 CD를 포함하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수가 y= 18xÛ`+3이므로 S(0, 3)

A P B

E F C Q

R -4 O

-5 5

-3 4

x y

⑵ Ú y =x²+4x-7

=(x+2)²-11

이므로 x=-2일 때, 최솟값 -11을 갖는다.

Û y =2x²+2x-7

=2{x+ 12 }

2- 15 2

이므로 x=- 12 일 때, 최솟값 -15

2 를 갖는다.

Ú, Û에서 구한 모든 이차함수의 최솟값의 합은 -11+{- 152 }=- 37

답 ⑴ y=x²+4x-7, y=2x²+2x-7 ⑵ - 372

단계 채점 기준 배점

⑴ 조건을 만족하는 이차함수의 식을 모두 구한 경우 40%

⑵ 두 이차함수의 최솟값을 각각 구한 경우 50%

최솟값의 합을 구한 경우 10%

Ⅳ. 이차함수 069

05

● blacklabel 답안 ●

x=1일 때, 최댓값 20을 갖는 이차함수의 식은 y=a(x-1)²+20`(a<0)이라 할 수 있다.

위의 이차함수의 그래프가 점 (4, 17)을 지나므로 17=9a+20, -9a=3 ∴ a=- 13

∴ y=- 13(x-1)²+20

위의 이차함수의 그래프가 직선 y=k와 만나는 점의 x좌표는 이 차방정식 -1

3(x-1)²+20=k의 해와 같다.

- 13(x-1)²+20=k에서 - 13(x-1)²=k-20 (x-1)²=-3k+60 ∴ x=1Ñ'Ä-3k+60

즉, 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 서로 다른 두 점의 좌표 는 (1-'Ä-3k+60, k), (1+'Ä-3k+60, k)이므로 두 점 사 이의 거리는

1+'Ä-3k+60-(1-'Ä-3k+60)=2'Ä-3k+60

이때 -3k+60=3(-k+20)이므로 2'Ä-3k+60이 0이 아닌

㈎

03

● blacklabel 답안 ●

⑴ 이차함수 y=6xÛ`+3kÛ`x-18kx+3의 그래프가 직선 y=3 과 만나는 점의 x좌표는 x에 대한 이차방정식

6x²+3k²x-18kx+3=3의 해와 같다.

6x²+3k²x-18kx+3=3에서

6x²+3k²x-18kx=0, 2x²+k²x-6kx=0 x(2x+k²-6k)=0

∴ x=0 또는 x=- 12k²+3k

그런데 f(k)+0이므로 f(k) =- 12k²+3k

⑵ f(k)=- 12kÛ`+3k=- 12(k-3)²+ 9 2 따라서 k=3일 때 f(k)의 최댓값은 92이다.

답 ⑴ f(k) =- 12k²+3k ⑵ 9 2

단계 채점 기준 배점

⑴

주어진 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 점의 x좌표를

구한 경우 30%

f(k)를 구한 경우 20%

⑵ f(k)의 최댓값을 구한 경우 50%

곡선 CD와 곡선 EF는 ABÓ, 즉 x축에 대하여 대칭이므로 T(0, -3)

따라서 로고에서의 길이가 가장 짧은 부분의 길이는 STÓ의 길 이이므로 STÓ=3-(-3)=6

답 ⑴ C(-4, 5), Q{-3, 338 } ⑵ y= 18x²+3 ⑶ 6

단계 채점 기준 배점

⑴ 두 점 C, Q를 각각 구한 경우 20%

⑵ 곡선 CD를 포함하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수

의 식을 구한 경우 50%

⑶ 로고에서의 길이가 가장 짧은 부분의 길이를 구한 경우 30%

04

● blacklabel 답안 ●

⑴ 두 이차함수 y= 14xÛ`-a, y=- 1

4xÛ`+a의 그래프의 개형을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그 림과 같고, 직사각형의 꼭짓점 중

제 1 사분면 위에 있는 점의 좌표는 {k, - 14k²+a}이다.

O x

a 1

-a k y

y= x@-a

14 y=- x@+a

이때 두 이차함수 y= 14xÛ`-a, y=- 14xÛ`+a의 그래프는 x 축에 대하여 대칭이고, 각 그래프의 축이 y축이므로 두 그래 프는 각각 y축에 대하여 대칭이다.

즉, 직사각형의 가로의 길이는 2k, 세로의 길이는 2{- 14k²+a}=- 12k²+2a이므로

(직사각형의 둘레의 길이) =2_{2k- 12k²+2a}

=-k²+4k+4a

⑵ 직사각형의 둘레의 길이를 f(k)라 하면 f(k) =-k²+4k+4a

=-(k-2)²+4a+4

f(k)의 최댓값은 4a+4이고, 직사각형의 둘레의 길이의 최 댓값은 40이므로

4a+4=40, 4a=36 ∴ a=9

답 ⑴ -k²+4k+4a ⑵ 9

단계 채점 기준 배점

⑴

직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 k에 대한

식으로 나타낸 경우 20%

직사각형의 둘레의 길이를 k에 대한 식으로 나타낸 경우 30%

⑵

둘레의 길이를 나타낸 k에 대한 이차함수의 식에서 최댓

값을 구한 경우 20%

상수 a의 값을 구한 경우 30%

본문 pp.82~84

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06

● blacklabel 답안 ●

조건을 만족하는 이차함수의 식을 f(x)=axÛ`+bx+c (a+0)라 하자.

이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=4의 두 교점의 x좌표가 -2, 5이므 로 두 교점의 좌표는 (-2, 4), (5, 4)

이다. 즉, 이차함수 y=f(x)의 그래프는 두 점 (-2, 4), (5, 4)를 지나므로

4=4a-2b+c yy㉠

4=25a+5b+c yy㉡

또한, 이차함수 y=f(x)의 그래프와 y축의 교점의 y좌표가 -1 이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 점 (0, -1)을 지난다.

즉, c=-1 yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a= 12, b=- 3

2, c=-1

∴ f(x) = 12x²- 3 2x-1

= 1

2{x- 32 }

2- 17 8

따라서 x= 32일 때 이차함수 y=f(x)의 최솟값은 - 178 이다.

답 - 17 8

단계 채점 기준 배점

㈎ 이차함수의 식을 구한 경우 60%

㈏ 이차함수의 최솟값을 구한 경우 40%

y y=f{x}

y=4 O

-2 5

-1 4

㈎

㈏

07

● blacklabel 답안 ●

수평 방향의 땅을 x축, 나무를 y축으 로 하는 좌표평면에서 나무의 높이를 h`m라 하면 원숭이가 던진 나무의 열 매가 그리는 포물선을 그래프에 포함 하는 이차함수의 식은

y=a(x-1)²+h+ 1 4`(a<0) 이라 할 수 있다.

포물선은 두 점 (0, h), (4, 0)을 지나므로 h=a+h+ 14에서 a=- 14

0=9a+h+ 14에서 -9

4+h+ 14=0

∴ h=2

따라서 나무의 높이는 2`m이다.

답 2`m

단계 채점 기준 배점

㈎ 나무의 열매가 그리는 포물선을 그래프에 포함하는 이차

함수의 식을 구한 경우 50%

㈏ 나무의 높이를 구한 경우 50%

x h+ h

O 1 4

㈎

㈏

정수가 되려면 -k+20=3mÛ` (m은 자연수) 꼴이어야 한다.

∴ k=20-3mÛ` (단, m은 자연수) Ú m=1일 때, k=20-3=17 Û m=2일 때, k=20-12=8

Ü m¾3이면 k<0이므로 k는 자연수가 아니다.

Ú, Û, Ü에서 구하는 자연수 k의 값은 8, 17이다.

답 8, 17

단계 채점 기준 배점

㈎ 이차함수의 식을 구한 경우 30%

㈏ 두 점 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 자연수 k의 조

건을 구한 경우 40%

㈐ 두 점 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 자연수 k의 값

을 모두 구한 경우 30%

㈏

㈐

다른풀이

이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=4의 두 교점의 x좌표가 각각 -2, 5이므로 방정식 f(x)=4, 즉 f(x)-4=0의 해가 x=-2 또는 x=5이다.

이때 f(x)는 이차식이므로

f(x)-4=a(x+2)(x-5)`(a+0) 라 할 수 있다.

∴ f(x)=a(x+2)(x-5)+4

또한, 위의 이차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 -1이므로 f(0)=-1에서

-1=-10a+4, 10a=5 ∴ a= 1 2

∴ f(x) = 12(x+2)(x-5)+4

= 12x²- 3 2x-1

= 12 {x- 32 }

2- 17 8

따라서 x= 32일 때 이차함수 y=f(x)의 최솟값은 - 178 이다.

문서에서 정답 (페이지 63-72)