01 ② 02 ⑤ 03 3 04 -6 05 ① 06 5 07 ③ 08 ② 09 4 10 ③ 11 ② 12 ④ 13 4 14 ③
Step 1
시험에 꼭 나오는 문제 pp. 43~4401
ㄱ. x(x-5)=3에서 xÛ`-5x=3
∴ xÛ`-5x-3=0
ㄴ. xÜ`-3xÛ`+3=x(xÛ`-5)+2x에서 xÜ`-3xÛ`+3=xÜ`-5x+2x
∴ -3xÛ`+3x+3=0
ㄷ. xÛ`+ 1x=0은 이차방정식이 아니다.
ㄹ. (2x-2)Û`=2xÛ`+3에서 4xÛ`-8x+4=2xÛ`+3
∴ 2xÛ`-8x+1=0
ㅁ. 3xÜ`-6xÛ`+1=(x-3)(3xÛ`+3x)+x에서 3xÜ`-6xÛ`+1=3xÜ`+3xÛ`-9xÛ`-9x+x
∴ 8x+1=0
따라서 x에 대한 이차방정식은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답 ②
02
① 4Û`-4=12+0
② (-3)Û`-4_(-3)+3=24+0
③ 3(-2-2)(-2+1)=12+0
④ 1
2{2_ 12-3}=-1+1
⑤ 2(-3+2)(-3-1)+1=9=(-3)Û`
따라서 [ ] 안의 수가 해인 것은 ⑤이다. 답 ⑤
03
x=2를 3xÛ`-(2a-1)x-a+1=0에 대입하면 3_2Û`-2(2a-1)-a+1=0
12-4a+2-a+1=0 -5a+15=0, -5a=-15
∴ a=3 답 3
Ⅲ. 이차방정식 031
본문 pp.39~44
04
x=a, x=b를 xÛ`-5x-2=0에 각각 대입하면 aÛ`-5a-2=0, bÛ`-5b-2=0이므로 aÛ`-5a=2, bÛ`-5b=2
∴ (aÛ`-5a)(-2bÛ`+10b+1) =(aÛ`-5a){-2(bÛ`-5b)+1}
=2_(-2_2+1)=-6 답 -6
05
xÛ`+6x=27에서 xÛ`+6x-27=0 (x+9)(x-3)=0
∴ x=-9 또는 x=3
따라서 A=-9+3=-6, B=3-(-9)=12이므로
AB=-6_12=-72 답 ①
06
3xÛ`+x-10=0에서 (x+2)(3x-5)=0
∴ x=-2 또는 x= 53
∴ a=5
3 , b=-2 (∵ a>b)
따라서 xÛ`-(3a+b)x-4=0, 즉 xÛ`-3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4 그러므로 두 근의 차는
4-(-1)=5 답 5
07
x=-1을 4xÛ`-8x+3+a=0에 대입하면 4+8+3+a=0, 15+a=0
∴ a=-15
즉, 4xÛ`-8x-12=0이므로 4(x-3)(x+1)=0
∴ x=3 또는 x=-1
따라서 다른 한 근은 x=3이다. 답 ③
08
xÛ`+3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0
∴ x=-5 또는 x=2
따라서 이차방정식 xÛ`+ax+2a+4=0의 한 근이 x=2이므로 이 를 대입하면
4+2a+2a+4=0, 4a=-8
∴ a=-2 답 ②
10
3xÛ`+9x+2a+7=0에서 xÛ`+3x+ 2a+73 =0 위의 이차방정식이 중근을 가지므로
2a+73 ={ 32 }Û`, 2a+7 3 = 9
4
8a+28=27, 8a=-1 ∴ a=- 18 이를 주어진 방정식에 대입하면
3xÛ`+9x+ 274 =0에서 4xÛ`+12x+9=0 (2x+3)Û`=0 ∴ x=- 32
따라서 b=-3 2이므로 ab=- 18 _{- 32 }= 3
16 답 ③
09
x=-2가 두 이차방정식의 공통인 근이므로 4-2a-8=0에서 -2a=4 ∴ a=-2 4-2(b-1)+b=0에서
4-2b+2+b=0, -b=-6 ∴ b=6
∴ a+b=-2+6=4 답 4
11
(x-4)Û`=p에서
x-4=Ñ'p ∴ x=4Ñ'p
∴ p=6, q=4
∴ p+q=6+4=10 답 ②
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12
2xÛ`+5x+1=0의 양변을 2 로 나누면 xÛ`+ 52x+ 12=0, xÛ`+ 5
2x=- 12 위의 등식의 양변에 { 12_ 5
2 }Û`= ;1@6%; 를 더하면 좌변을 완전제 곱식으로 만들 수 있다. 즉,
xÛ`+ 52x+;1@6%; =- 12+;1@6%;
{x+ ;4%; }Û`= ;1!6&;
∴ x= -5Ñ'17 4
∴ ㈎ : 2, ㈏ : 25 16, ㈐ : 5
4, ㈑ : 17
16, ㈒ : -5Ñ'17 4
따라서 바르게 짝지어진 것은 ④이다. 답 ④
13
2xÛ`-1.1x- 1
2=x(x+1)+ 1 5x에서 2xÛ`- 1110 x- 12=xÛ`+x+ 15x
xÛ`- 2310 x- 12=0
위의 식의 양변에 10을 곱하면 10xÛ`-23x-5=0
(2x-5)(5x+1)=0
∴ x= 52 또는 x=- 15
이때 a>b이므로 a=5
2, b=-1 5
∴ 2a+5b =2_ 52+5_{- 15 }
=5-1=4 답 4
14
x6-3=X로 놓으면 주어진 이차방정식에서 2XÛ`-3X=12-2(-X)
2XÛ`-5X-12=0 (2X+3)(X-4)=0
∴ X=- 32 또는 X=4 Ú X=- 3
2일 때, x
6-3=- 3 2 x
6= 3
2 ∴ x=9 Û X=4일 때, x
6-3=4 x
6=7 ∴ x=42
Ú, Û에서 두 근 중 작은 근은 x=9이므로 이를 xÛ`-5x-3(a+4)=0에 대입하면
9Û`-5_9-3(a+4)=0, 81-45-3a-12=0
-3a=-24 ∴ a=8 답 ③
Step 2
A등급을 위한 문제 pp. 45~4901 ⑤ 02 ④ 03 ③ 04 33 05 8 06 x=-5 07 37 08 ① 09 2017 10 -3
2 11 11 12 a<1
2 또는 1
2<a<4 13 ② 14 13 15 ① 16 12 17 ④, ⑤ 18 16'3
3 19 ① 20 ④ 21 ④ 22 ③ 23 1
12 24 ① 25 ③ 26 ④ 27 ② 28 62 29 16 30 2
01
x=-1을 주어진 식에 대입하면 a-1-b+a-3+2b+1=0
∴ 2a+b-3=0 yy ㉠ x=3을 주어진 식에 대입하면 9a-9+3b-3a+9+2b+1=0
∴ 6a+5b+1=0 yy ㉡
㉠_3-㉡을 하면
-2b-10=0 ∴ b=-5 이를 ㉠에 대입하면
2a-5-3=0 ∴ a=4
∴ ab=4_(-5)=-20 답 ⑤
Ⅲ. 이차방정식 033
본문 pp.44~46
02
x=m을 6xÛ`-(4a+5)x-6=0에 대입하면 6mÛ`-(4a+5)m-6=0
6m-(4a+5)- 6m =0 (∵ m+0) 6{m- 1m }=4a+5
m- 1m =a이므로 6a=4a+5
2a=5 ∴ a= 52 답 ④
03
x=a를 xÛ`+5x-3=0에 대입하면 aÛ`+5a-3=0, a+5- 3a=0 (∵ a+0)
∴ a-3
a=-5 yy ㉠ {a- 3a }Û`=25, aÛ`-6+ 9
aÛ`=25
∴ aÛ`+9
aÛ`=31 yy ㉡
㉠, ㉡에서 aÛ`+a- 3a+ 9
aÛ` ={aÛ`+ 9
aÛ`}+{a- 3a }
=31-5=26 답 ③
04
x=m-3n을 xÛ`-mx-8nÛ`=0에 대입하면 (m-3n)Û`-m(m-3n)-8nÛ`=0 mÛ`-6mn+9nÛ`-mÛ`+3mn-8nÛ`=0 -3mn+nÛ`=0, n(n-3m)=0
∴ n-3m=0 (∵ n은 자연수)
∴ n=3m
따라서 m, n의 순서쌍 (m, n)은 (1, 3), (2, 6), y, (33, 99)
의 33개이다. 답 33
05
1단계 수영이가 잘못 본 이차방정식을 구한다.
2단계 현선이가 잘못 본 이차방정식을 구한다.
3단계 처음 이차방정식의 일차항의 계수와 상수항의 차를 구한다.
06
x=-3을 (k-1)xÛ`+(kÛ`+2k)x+17-k=0에 대입하면 9(k-1)-3(kÛ`+2k)+17-k=0
9k-9-3kÛ`-6k+17-k=0 -3kÛ`+2k+8=0, 3kÛ`-2k-8=0 (k-2)(3k+4)=0
∴ k=2 또는 k=-4 3
∴ k=2`(∵ k>0)
이를 (k-1)xÛ`+(kÛ`+2k)x+17-k=0에 대입하면 xÛ`+8x+15=0, (x+5)(x+3)=0
∴ x=-5 또는 x=-3
따라서 구하는 다른 한 근은 x=-5이다. 답 x=-5 처음 이차방정식을 2xÛ`+ax+b=0이라 하고, 수영이가 잘못 본 이차방정식을 2xÛ`+px+b=0이라 하자.
위의 식에
x=1을 대입하면 2+p+b=0 yy ㉠ x=3을 대입하면 18+3p+b=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=6, p=-8
현선이가 잘못 본 이차방정식을 2xÛ`+ax+q=0이라 하자.
위의 식에
x=-1을 대입하면 2-a+q=0 yy ㉢ x=2를 대입하면 8+2a+q=0 yy ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=-2, q=-4
따라서 처음 이차방정식이 2xÛ`-2x+6=0이므로 구하는 차는
6-(-2)=8 답 8
07
xÛ`-2(k-3)x+2kÛ`-13k+15
={x-(k-3)}Û`-(k-3)Û`+2kÛ`-13k+15
={x-(k-3)}Û`-kÛ`+6k-9+2kÛ`-13k+15
={x-(k-3)}Û`+kÛ`-7k+6
위의 식이 x에 대한 완전제곱식이 되려면 kÛ`-7k+6=0, (k-1)(k-6)=0
∴ k=1 또는 k=6
따라서 모든 상수 k의 값의 제곱의 합은
1Û`+6Û`=37 답 37
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09
xÛ`-2015x-2016=0에서
(x+1)(x-2016)=0 ∴ x=-1 또는 x=2016
∴ a=2016 yy ㉠
2016Û` xÛ`+2015_2017x-1=0에서 2016Û` xÛ`+(2016Û`-1)x-1=0
(x+1)(2016Û`x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x= 1 2016Û`
∴ b=-1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a-b=2016-(-1)=2017 답 2017
08
이차방정식 axÛ`-2x+b=0의 해가 x=-1이므로 a+2+b=0 ∴ a+b=-2 yy ㉠ 이차방정식 bxÛ`-2x+a=0의 해가 x= 1 3이므로
b 9- 2
3+a=0 ∴ 9a+b=6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3
따라서 이차방정식 xÛ`-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3
∴ m=3
또한, 이차방정식 -3xÛ`-2x+1=0에서
-(x+1)(3x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x= 1 3
∴ n=-1
∴ mn=3_(-1)=-3 답 ①
10
점 (2m-1, 4m+11)이 직선 y=mx-2m-4 위에 있으므로 4m+11=2mÛ`-m-2m-4
2mÛ`-7m-15=0, (m-5)(2m+3)=0
∴ m=5 또는 m=- 32 Ú m=5일 때,
y=5x-14이므로 직선은 제 1 사분면을 지난다.
Û m=- 3 2 일 때,
y=- 32 x-1이므로 직선은 제 1 사분면을 지나지 않는다.
Ú, Û에서 직선이 제 1 사분면을 지나지 않도록 하는 m의 값은
- 32 이다. 답 - 3
2
11
xÛ`+3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0
∴ x=-5 또는 x=2 Ú 공통인 근이 -5인 경우
x=-5를 xÛ`-ax+a+7=0에 대입하면 25+5a+a+7=0, 6a=-32 ∴ a=- 163 x=-5를 2xÛ`-bx-6=0에 대입하면 50+5b-6=0, 5b=-44 ∴ b=- 445 Û 공통인 근이 2인 경우
x=2를 xÛ`-ax+a+7=0에 대입하면 4-2a+a+7=0 ∴ a=11 x=2를 2xÛ`-bx-6=0에 대입하면 8-2b-6=0, 2b=2 ∴ b=1 Ú, Û에서 a, b는 양수이므로 a=11, b=1
∴ ab=11 답 11
12
2xÛ`+(2a-7)x-3(a-2)=0에서 (2x-3)(x+a-2)=0
∴ x=3
2 또는 x=-a+2 두 근이 서로 다르므로 3
2+-a+2
∴ a+1 2
Ú 32<-a+2, 즉 a< 12인 경우
작은 근이 3
2이므로 -2보다 크다.
Û 32>-a+2, 즉 a> 12인 경우
작은 근이 -a+2이므로 -a+2>-2에서 a<4
∴ 1 2<a<4
Ú, Û에서 구하는 상수 a의 값의 범위는 a< 12 또는 1
2<a<4 답 a< 12 또는 1 2<a<4
13
1단계 a가 소수일 때 조건을 만족하는 소수 p가 2밖에 없는지 확인한다.
2단계 a>3일 때, a가 항상 짝수인지 확인한다.
3단계 a가 5의 배수일 때, 조건을 만족하는 30 이하의 소수 p가 몇 개인 지 확인한다.
Ⅲ. 이차방정식 035
본문 pp.46~47
이차방정식 xÛ`-ax+p=0의 근이 서로 다른 두 자연수이고 p 는 소수이므로 이 이차방정식은
(x-1)(x-p)=0 ∴ x=1 또는 x=p
∴ a=p+1
ㄱ. p가 소수이고 a=p+1도 소수이려면 p=2
ㄴ. a>3이면 p+1>3 ∴ p>2
2보다 큰 소수는 모두 홀수이므로 a=p+1은 항상 짝수이다.
ㄷ. a=5k (k는 자연수)라 하면 5k=p+1
∴ p=5k-1
이를 만족하는 30 이하의 수 p의 값은 19, 29의 2개이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ②
14
3(x+p)Û`=q에서 (x+p)Û`=q 3 x+p=Ѿq
3 ∴ x=-pѾq 3 따라서 p=-2이고 q
3=5에서 q=15이므로
p+q=-2+15=13 답 13
15
2xÛ`+6x+3=0에서 2(xÛ`+3x)+3=0 2{x+ 32 }Û`- 92+3=0
{x+ 32 }Û`= 34
∴ a=3 2, b=3
4 또한, x+3
2=Ѿ3 4`이므로 x=- 32Ѿ 34
∴ c=- 32, d= 34
따라서 axÛ`+bx+c=d, 즉 32xÛ`+ 34x- 32= 3 4에서 2xÛ`+x-3=0
(x-1)(2x+3)=0
∴ x=1 또는 x=- 32
즉, 양수인 해는 x=1이다. 답 ①
16
xÛ`+2x-12k+1=0에서 (x+1)Û`=12k, x+1=Ñ'Ä12k
∴ x=-1Ñ2'¶3k
이때 서로 다른 두 근이 정수가 되려면 '¶3k가 자연수이어야 하 므로 k=3mÛ``(m은 자연수) 꼴이다.
∴ k=3, 12, 27, y
따라서 두 자리의 자연수 k의 최솟값은 12이다. 답 12
17
① xÛ`=0에서 x=0이므로 근이 존재한다.
② xÛ`=1에서 x=Ñ1이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
③ xÛ`=k에서 x=Ñ'k이고 k>0이므로 서로 다른 두 근을 갖 는다.
④ xÛ`=2에서 x=Ñ'2이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
⑤ xÛ`=k에서 x=Ñ'k이므로 |'k|=|-'k|
따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다. 답 ④, ⑤
18
두 이차방정식을 동시에 만족하는 근을 a라 하면 3aÛ`+aa-4=0 ´y´㉠
5aÛ`+aa-28=0 ´y´㉡
㉡-㉠을 하면 2aÛ`-24=0
aÛ`=12 ∴ a=Ñ2'3 Ú a=2'3일 때,
이를 ㉠에 대입하면 36+2'3a-4=0
2'3a=-32 ∴ a=- 16'33 Û a=-2'3일 때,
이를 ㉠에 대입하면 36-2'3a-4=0 2'3a=32 ∴ a= 16'33
Ú, Û에서 a= 16'33 (∵ a>0) 답 16'3 3
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19
(x-1)Û`= a-3
12 에서 x-1=ѾРa-312
∴ x=1-¾Ð a-312 또는 x=1+¾Ð a-312 따라서 두 근의 차는
1+¾Ð a-312 -{1-¾Ð a-312 `} =2¾Ð a-312
=¾4Ð_ a-312
=¾Ð a-33 `=1
따라서 a-3=3이므로 a=6 답 ①
21
이차방정식 xÛ`+kx+k+8=0이 중근을 가지므로 k+8={ k2 }Û`, k+8=kÛ`4, 4k+32=kÛ`
kÛ`-4k-32=0, (k+4)(k-8)=0
∴ k=-4 또는 k=8 Ú k=-4일 때,
xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0
∴ x=2 (중근) Û k=8일 때,
xÛ`+8x+16=0, (x+4)Û`=0
∴ x=-4 (중근)
Ú, Û에서 a<0이므로 a=-4, k=8
∴ a+k=-4+8=4 답 ④
20
이차방정식 xÛ`-2(2k+1)x+5kÛ`+5=0이 중근을 가지므로 5kÛ`+5=[ -2(2k+1) 2 ]Û`
5kÛ`+5 =(2k+1)Û`, 5kÛ`+5=4kÛ`+4k+1 kÛ`-4k+4=0, (k-2)Û`=0
∴ k=2 답 ④
22
이차방정식 xÛ`-2x+ab-1=0이 중근을 가지므로 ab-1={ -22 }Û` ∴ ab=2
이차방정식 xÛ`+(a+b)x+ab+2=0, 즉 xÛ`+(a+b)x+4=0이 중근을 가지므로
23
이차방정식 xÛ`-2ax+a+6b=0이 중근을 가지므로 a+6b={ -2a 2 }Û`, aÛ`=a+6b
aÛ`-a=6b ∴ 6b=a(a-1)
a와 b는 각각 주사위를 던져서 나온 눈의 수이므로 6_1=3_2, 6_2=4_3, 6_5=6_5에서 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (3, 1), (4, 2), (6, 5)의 3개이다.
따라서 주어진 이차방정식이 중근을 가질 확률은 363 = 1
12 답 1
12
● blacklabel 특강 ●필수개념
확률
어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 같다고 할 때, 일어나는 모든 경 우의 수를 n, 어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수를 a라 하면 사건 A가 일어날 확률 p는 다음과 같다.
p=(사건 A가 일어나는 경우의 수) (일어나는 모든 경우의 수) = a
n
24
(2 · xÛ`)+(3 · x)-(4 · 1)=0에서
(2xÛ`+2+xÛ`)+(3x+3+x)-(4+4+1)=0 3xÛ`+4x-4=0
(x+2)(3x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
3 답 ①
25
x-y=X로 놓으면 주어진 이차방정식에서 (X-2)(-2X+3)+21=0
-2XÛ`+7X-6+21=0 -2XÛ`+7X+15=0 2XÛ`-7X-15=0 (X-5)(2X+3)=0
∴ X=5 또는 X=- 3 2 4={ a+b2 }Û`, 4=(a+b)Û` 4
∴ (a+b)Û`=16
∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=16-4=12 답 ③
Ⅲ. 이차방정식 037
26
xÛ`-2xy-8yÛ`=0에서 (x+2y)(x-4y)=0
∴ x=-2y 또는 x=4y
이때 x, y가 모두 양수이므로 x=4y
∴ xÛ`-xy+yÛ`
xÛ`+xy+yÛ` =(4y)Û`-4y_y+yÛ`
(4y)Û`+4y_y+yÛ` = 16yÛ`-4yÛ`+yÛ`
16yÛ`+4yÛ`+yÛ`
= 13yÛ`
21yÛ`= 13
21 (∵ y+0) 답 ④
28
3<x>Û`-16<x>-12=0에서 (<x>-6)(3<x>+2)=0
∴ <x>=6 또는 <x>=- 23
∴ <x>=6 (∵ <x>는 음이 아닌 정수)
이때 <x>=6이려면 x보다 작은 소수가 2, 3, 5, 7, 11, 13이 어야 하므로
x=14, 15, 16, 17 따라서 구하는 합은
14+15+16+17=62 답 62
27
이차방정식 xÛ`+2(a+b)x-2(a+b)-1=0이 중근을 가지므로 -2(a+b)-1=[ 2(a+b) 2 ]Û`
(a+b)Û`+2(a+b)+1=0, (a+b+1)Û`=0
∴ a+b+1=0 yy ㉠
x=a를 xÛ`-(a-3)x+b=0에 대입하면 aÛ`-a(a-3)+b=0
∴ 3a+b=0 yy ㉡
㉡-㉠을 하면
2a-1=0 ∴ a= 1 2 이를 ㉠에 대입하면
12+b+1=0 ∴ b=- 32
∴ aÛ`+bÛ` ={ 12 }Û`+{- 32 }Û`= 52 답 ② 이때 x, y가 자연수이므로 X=x-y=5이다.
따라서 이를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (10, 5), (9, 4), (8, 3), (7, 2), (6, 1)의 5개이다. 답 ③
30
"ÃnÛ`+12=m의 양변을 제곱하면 nÛ`+12=mÛ`, mÛ`-nÛ`=12 (m-n)(m+n)=12 yy ㉠
이때 m, n은 자연수이고 m>n, m+n>m-n이므로 ㉠을 만 족하는 순서쌍 (m-n, m+n)은 (1, 12), (2, 6), (3, 4) 한편, (m-n)+(m+n)=2m=(짝수)이므로
m-n=2, m+n=6
위의 두 식을 연립하여 풀면 m=4, n=2
따라서 x=4, x=2를 xÛ`+ax+b=0에 각각 대입하면 16+4a+b=0, 4+2a+b=0
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=8
∴ a+b=-6+8=2 답 2
Step 3
종합 서술형 도전 문제 pp. 50~5101 ⑴ -2'19 ⑵ 43 02 ⑴ x=2 또는 x=-2
3 ⑵ -1 2 03 ⑴ x=-1 ⑵ x=1 ⑶ 근이 없다.
04 ⑴ x=-a 또는 x=3a-1 ⑵ 1- '10
3 <a<-2+'10
05 -1 06 210 07 3
08 x=1+'5
2 또는 x=2
29
|x|Û`=xÛ`이므로 주어진 방정식에서
|x|Û`+2|x|-24=0, (|x|+6)(|x|-4)=0
∴ |x|=-6 또는 |x|=4 이때 |x|¾0이므로 |x|=4 따라서 x=Ñ4이므로
a=4, b=-4 또는 a=-4, b=4
∴ aÛ`+ab+bÛ` =16-16+16=16
답 16
단계 채점 기준 배점
㈎ 인수분해를 이용하여 |x|의 값을 구한 경우 40%
㈏ a, b의 값을 각각 구한 경우 40%
㈐ aÛ`+ab+bÛ`의 값을 구한 경우 20%
㈎
㈏
㈐ 본문 pp.48~50
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02
●blacklabel 답안 ●
⑴ (x-1)★(x+1)=(1★x)+1에서
(x-1)Û`+2(x-1)(x+1)-(x+1)=1+2x-x+1 xÛ`-2x+1+2xÛ`-2-x-1=x+2
3xÛ`-4x-4=0 (x-2)(3x+2)=0
∴ x=2 또는 x=- 23
01
●blacklabel 답안 ●
⑴ 3xÛ`-2x-6=0의 한 근이 a이므로 3aÛ`-2a-6=0 yy ㉠
2a-3aÛ`=-6 ∴ 2a-3aÛ`+3=-3 한편, a+0이므로 ㉠의 양변을 a로 나누면 3a-2- 6a=0, 3a-6
a =2
∴ a-2 a= 2
3 yy ㉡
{a+ 2a}Û`={a- 2a }Û`+4_a_ 2a 이므로 {a+ 2a}Û`={ 23 }Û`+8= 76
9
∴ a+2 a= '76
3 = 2'1§9
3 `(∵ a>0)
∴ (2a-3aÛ`+3){a+ 2a} =-3_2'1§9 3
=-2'19
⑵ 3aÛ`-2a-6=0에서 3aÛ`=2(a+3), a+3= 3
2 aÛ`
∴ 3aÜ`
a+3- 4a = 3aÜ`
3
2 aÛ`- 4a=2a-4 a
=2{a- 2a}=2_2 3 (∵ ㉡)
= 43
답 ⑴ -2'19 ⑵ 43
단계 채점 기준 배점
⑴
2a-3aÛ`+3의 값과 a+ 2a의 값을 각각 구한 경우 30%
(2a-3aÛ`+3){a+ 2a}의 값을 구한 경우 20%
⑵ 3aÜ`
a+3- 4a의 값을 구한 경우 50%
03
●blacklabel 답안 ●
⑴ x< 12일 때, 2x-1<0, x-2<0이므로 주어진 방정식에서 xÛ`-(2x-1)=1-(x-2)
xÛ`-2x+1=-x+3, xÛ`-x-2=0 (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
∴ x=-1 {∵ x< 12 }
⑵ 1
2ÉxÉ2일 때, 2x-1¾0, x-2É0이므로 주어진 방정식에서 xÛ`+2x-1=1-(x-2)
xÛ`+2x-1=-x+3, xÛ`+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
∴ x=1 {∵ 12ÉxÉ2}
⑶ x>2일 때, 2x-1>0, x-2>0이므로 주어진 방정식에서 xÛ`+2x-1=1+x-2, xÛ`+x=0
x(x+1)=0
∴ x=0 또는 x=-1
그런데 x>2이므로 방정식을 만족하는 x의 값은 없다.
답 ⑴ x=-1 ⑵ x=1 ⑶ 근이 없다.
⑵ (x★k)+(k★k)=(1★4x)- 11 2 에서 xÛ`+2kx-k+kÛ`+2kÛ`-k=1+8x-4x- 11 2
xÛ`+2(k-2)x+3kÛ`-2k+ 9 2=0 위의 방정식이 중근을 가지려면
3kÛ`-2k+ 9 2=[ 2(k-2) 2 ]Û`, 3kÛ`-2k+ 9 2=kÛ`-4k+4 2kÛ`+2k+ 12=0, 2{kÛ`+k+ 14 }=0
2{k+ 12 }Û`=0 ∴ k=- 12
답 ⑴ x=2 또는 x=- 23 ⑵ -1 2
단계 채점 기준 배점
⑴ 주어진 방정식의 해를 모두 구한 경우 40%
⑵ 중근을 가질 조건을 이용하여 식을 세운 경우 30%
상수 k의 값을 구한 경우 30%
Ⅲ. 이차방정식 039
본문 pp.50~51
04
●blacklabel 답안 ●
⑴ xÛ`-(2a-1)x+a-3aÛ`=0에서 xÛ`-(2a-1)x+a(1-3a)=0 (x+a)(x+1-3a)=0
∴ x=-a 또는 x=3a-1
⑵ (x-2)Û`=10에서
x-2=Ñ'10 ∴ x=2Ñ'10 Ú -aÉ3a-1, 즉 a¾ 1
4인 경우
2-'10<-aÉ3a-1<2+'10이므로 a<-2+'10이고 a<1+ '103
∴ 1
4Éa<-2+'10 Û -a>3a-1, 즉 a< 1
4인 경우
2-'10<3a-1<-a<2+'10이므로 a>1- '10
3 이고 a>-2-'10
∴ 1- '10 3 <a< 14 Ú, Û에서 1- '10
3 <a<-2+'10
답 ⑴ x=-a 또는 x=3a-1 ⑵ 1- '103 <a<-2+'10
단계 채점 기준 배점
⑴ 주어진 방정식을 인수분해하여 근을 a에 대한 식으로 나
타낸 경우 40%
⑵ (x-2)Û`=10의 두 근 사이에 ⑴에서 구한 근이 있도록
하는 실수 a의 값의 범위를 구한 경우 60%
단계 채점 기준 배점
⑴ x< 1
2일 때, 절댓값과 근호를 정리하여 주어진 방정식 의 근을 구한 경우
30%
⑵ 1
2ÉxÉ2일 때, 절댓값과 근호를 정리하여 주어진 방 정식의 근을 구한 경우
30%
⑶ x>2일 때, 절댓값과 근호를 정리하여 주어진 방정식의
근을 구한 경우 40%
● blacklabel 특강 ●참고
\"aÛ``과 |a|
Ú a=0이면
"ÅaÛ`=0, |a|=0 ∴ "ÅaÛ`=|a|=0 Û a>0이면
"ÅaÛ`=a, |a|=a ∴ "ÅaÛ`=|a|=a Ü a<0이면
"ÅaÛ`=-a, |a|=-a ∴ "ÅaÛ`=|a|=-a Ú, Û, Ü에서 모든 실수 a에 대하여 "ÅaÛ`=|a|이다.
06
●blacklabel 답안 ●
3xÛ`-12x-k=0에서 3(xÛ`-4x)-k=0 3(xÛ`-4x+4)-12-k=0
3(x-2)Û`=k+12, (x-2)Û`= k3+4 x-2=ѾРk3+4 ∴ x=2ѾРk3+4 x가 정수가 되려면 k3+4가 제곱수이어야 하고
㈎
05
●blacklabel 답안 ●
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`+aa+b=0 yy ㉠, bÛ`+ab+b=0 이차방정식 xÛ`+bx+a=0의 두 근이 a, c이므로 aÛ`+ba+a=0 yy ㉡, cÛ`+bc+a=0
㉠-㉡을 하면
(a-b)a+(b-a)=0, (a-b)(a-1)=0
∴ a=b 또는 a=1
이때 a=b이면 xÛ`+ax+b=xÛ`+bx+a이므로 b+c인 조건에 모순이다.
∴ a=1
x=1을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면 1+a+b=0
∴ b=-(a+1) yy ㉢
㉢을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면
xÛ`+ax-(a+1)=0, (x-1)(x+a+1)=0
∴ x=1 또는 x=-a-1
㉢을 xÛ`+bx+a=0에 대입하면
xÛ`-(a+1)x+a=0, (x-1)(x-a)=0
∴ x=1 또는 x=a
∴ b=-a-1, c =a
∴ b+c =-a-1+a
=-1
답 -1
단계 채점 기준 배점
㈎ 주어진 이차방정식에 근을 대입하고 정리하여 a의 값을
구한 경우 40%
㈏ a의 값을 이용하여 b, c의 값을 각각 구한 경우 40%
㈐ b+c의 값을 구한 경우 20%
㈎
㈏
㈐
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1ÉkÉ100이므로 1 3É k
3É 100 3 133 É k3+4É 1123
13
3 =4.3y, 1123 =37.3y이므로 k3+4=9, 16, 25, 36
∴ k=15, 36, 63, 96
따라서 조건을 만족하는 모든 k의 값의 합은 15+36+63+96=210
답 210
단계 채점 기준 배점
㈎ 주어진 이차방정식의 근을 k에 대한 식으로 나타낸 경우 40%
㈏ 정수인 해를 가질 조건을 이용하여 k의 값을 모두 구한
경우 50%
㈐ 조건을 만족하는 모든 k의 값의 합을 구한 경우 10%
㈏
㈐
07
●blacklabel 답안 ●
2xÛ`+3ax+6b=0에서 xÛ`+ 3a
2 x+3b=0 위의 이차방정식이 중근을 가지려면 3b={ 3a4 }Û`, 3b= 916 aÛ`
∴ aÛ`=3b_16 9 = 4Û`
3 b yy ㉠
이때 a, b가 자연수이므로 b=3kÛ``(k는 자연수) 꼴이어야 한다.
10É3kÛ`<100에서 10
3 ÉkÛ`< 100 3
이를 만족하는 자연수 k의 값은 2, 3, 4, 5이다.
Ú k=2일 때, b=3_2Û`=12이므로
㉠에서 aÛ`=4Û`
3_12=8Û` ∴ a=8 Û k=3일 때, b=3_3Û`=27이므로
㉠에서 aÛ`=4Û`
3_27=12Û` ∴ a=12 Ü k=4일 때, b=3_4Û`=48이므로
㉠에서 aÛ`=4Û`
3_48=16Û` ∴ a=16 Ý k=5일 때, b=3_5Û`=75이므로
㉠에서 aÛ`=4Û`
3_75=20Û` ∴ a=20
Ú~~Ý에서 a, b는 두 자리의 자연수이므로 순서쌍 (a, b)는 (12, 27), (16, 48), (20, 75)의 3개이다.
답 3
㈎
㈏
㈐
단계 채점 기준 배점
㈎ 중근을 가질 조건을 이용하여 a, b 사이의 관계식을 구
한 경우 30%
㈏ b의 값에 따른 a의 값을 구한 경우 40%
㈐ 주어진 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구한
경우 30%
08
●blacklabel 답안 ●
x의 값의 범위를 0<x<1, 1Éx<2, 2Éx<3으로 나누자.
Ú 0<x<1일 때, [x]=0이므로 주어진 방정식에서 xÛ`=x+0, xÛ`-x=0
x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
그런데 0<x<1이므로 방정식을 만족하는 x의 값은 없다.
Û 1Éx<2일 때, [x]=1이므로 주어진 방정식에서 xÛ`=x+1, xÛ`-x-1=0
{x- 12 }Û`- 14-1=0
{x- 12 }Û`= 54 ∴ x= 12Ñ '5 2 이때 1Éx<2이므로 x=1+'5
2
Ü 2Éx<3일 때, [x]=2이므로 주어진 방정식에서 xÛ`=x+2, xÛ`-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2 이때 2Éx<3이므로 x=2 Ú, Û, Ü에서 x= 1+'5
2 또는 x=2
답 x= 1+'52 또는 x=2
단계 채점 기준 배점
㈎ [x]의 값이 달라지도록 x의 값의 범위를 나눈 경우 30%
㈏ x의 값의 범위에 따라 이차방정식을 세워 각각의 근을
구한 경우 50%
㈐ 주어진 이차방정식을 만족하는 수 x의 값을 모두 구한
경우 20%
㈎
㈏
㈐
미리보는
학력평가
p. 521 ③ 2 24 3 194 4 ①