IV. 한국과 중국의 중학교 수학교과서 비교
4. 단원별 교과내용 비교
가. 7-가 단계
(1) 집합과 자연수
한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고
1. 집합
• 어떤 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명 히 알 수 있는 것들의 모임을 집합이라고 한다.
이 때, 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합 의 원소라고 한다.
5가 집합 A의 원소일 때, 5는 집합 A에 속한 다고 하며, 이것을 기호로 5∈A와 같이 나타낸 다. 또, 4가 집합 A의 원소가 아닐 때, 4는 집 합 A에 속하지 않는다고 하며, 이것을 기호로 4∉A와 같이 나타낸다.
집합에 속하는 모든 원소를{ }안에 나열하여 집합을 나타내는 방법을 원소나열법이라고 한 다. 원소를 결정하는 조건을 제시하여 집합을 나타내는 방법을 조건제시법이라고 한다.
원소의 개수가 유한인 집합을 유한집합이라 하고, 원소가 무한히 많은 집합을 무한집합이 라고 한다. 원소가 하나도 없는 집합을 공집합 이라고 하며, 이것을 기호로 ∅와 같이 나타낸 다. 공집합은 유한집합으로 생각한다. 집합 A가 유한집합일 때, A의 원소의 개수를 기호로
n ( A )와 같이 나타낸다.
집합을 나타내는 그림을 벤 다이어그램이라고 한다.
집합 A ={ 1, 2, 3, 6}
• 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 집 합 A를 집합 B의 부분집합이라고 한다. 이 때, A는 B에 포함된다는 또는 B를 A를 포함한다고 하며, 이것을 기호로 A⊂B와 같이 나타낸다.
한편, 집합 A가 집합 B의 부분집합이 아닐 때, 이것을 기호로 A⊄B와 같이 나타낸다. 공집합 은 모든 집합의 부분집합으로 정한다. 모든 집 합은 자기 자신의 부분집합이다.
중국에서는 집 합을 고급 중학 교 과정에서 배 우게 된다. 초급 중학교 과정에 는 없다.
2 3 6 1
A
한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고 두 집합 A, B의 원소가 모두 같으면 집합 A와
집합 B는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로 A = B와 같이 나타낸다. 두 집합 A, B가 서로 같지 않을 때, 기호로 A≠B 와 같이 나타낸다.
ꋻ 두 집합 A, B에 대하여 A에도 속하고 B에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 교집합이라고 하며, 이것을 기호로
A∩B와 같이 나타낸다.
A∩B ={ x∣x∈A 그리고 x∈B}
ꋻ두 집합 A, B에 대하여 A에 속하거나 B에 속 하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 합 집합이라고 하며, 이것을 기호로
A∪B 와 같이 나타낸다.
A∪B ={ x∣x∈A 또는 x∈B}
ꋻ원소의 개수는 두 유한집합 A, B에 대하여 n( A∪B) = n(A) + n( B) - n( A∩B)
특히, A∩B = ∅이면 n( A∪B) = n(A) + n( B)
ꋻ어떤 주어진 집합에 대하여 그것의 부분집합 만을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을 전체집 합이라고 하며, 보통 U로 나타낸다.
전체집합 U의 부분집합 A에 대하여, U의 원소 중에서 A에 속하지 않는 모
든 원소로 이루어진 집합을 U에 대한 A의 여집합이라 고 하며, 이것을 기호로 Ac와 같이 나타낸다.
Ac= { x∣x∈U 그리고 x∉A}
ꋻ두 집합A, B에 대하여 A에 속하고 B에는 속 하지 않는 모든 원소로 이루어진
집합을 A에 대한 B의 차집합 이라고 하며, 이것을 기호로
A - B와 같이 나타낸다.
A -B ={ x∣x∈A 그리고 x∉B}
B A
B A
B A
U A
Ac
한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고
한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고 다른 풀이 :
①세 수의 공통인 소인수로 각 수를 나눈다.
②몫의 공약수가 1이 될 때까지 ①의 방법을 계속한다.
③나눈 소인수를 모두 곱한다.
2×2×3 = 12
두 개 이상의 자연수의 공배수는 그 수들의 최소공배수의 배수이다.
『예제4』소인수분해를 이용하여 세 수 12, 60, 90이 최소공배수를 구하 여라.
생각하기 : 세 수에 공통으로 있는 소인수와 공통으로 있지 않는 소인 수를 각각 찾는다.
풀이 : 12, 60, 90을 각각 소인수분 해하면 오른쪽과 같다. 따라서, 구하 는 최소공배수는
2× 2× 3× 3× 5 = 180
다른 풀이 :
①2개 이상의 수의 공통인 소인수로 각 수를 나눈다.
이 때, 나누어 떨어지지 않는
수는 그대로 내려쓴다.
②어느 두 수의 몫도 서로소가 될 때까지 ①의 방법을 계속한다.
③나눈 소인수와 마지막 맋을 모두 곱한다.
2× 3× 2× 5 × 1× 1× 3 = 180 공약수가 1
↑ ↑
3 ) 18 21 45 2 ) 36 42 90 2 ) 72 84 180
6 7 15
↑
12 = 2×2×3 60 = 2×2×3 ×5 90 = 2 ×3×3×5 2 2 3 3 5
2 ) 12 60 90 3 ) 6 30 45 2 ) 2 10 15 5 ) 1 5 15 1 1 3
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3. 십진법과 이진법
• 자리가 하나씩 올라감에 따라 자 리의 값을 10배씩 커지게 수를 나나 태는 방법을 십진법이라고 한다. 십 진법으로 나타낸 수 327을 10의 거듭 제곱을 써서 나타내면 다음과 같다.
327 = 3×102+ 2×10 + 7×1
이와 같이 십진법으로 나타낸 수를 10의 거듭제곱을 써서 나낸 식을 십 진법의 전개식이라고 한다.
• 자리가 하나씩 올라감에 따라 자 리의 값을 2배씩 커지게 수를 나타내 는 방법을 이진법이라고 한다. 이진 법으로 나타낸 수 1111( 2)을 거듭제곱 을 써서 나타내면 다음과 같다.
1111( 2 )= 1×23+ 1×22+ 1×2 + 1×1 이와 같이 이진법으로 나타낸 수를 2 의 거듭제곱을 써서 나타낸 식을 이 진법의 전개식이라고 한다. 십진법으 로 나타낸 수의 덧셈에서 한 자릿수 의 덧셈이 기본이 되는 것과 마찬가 리고, 이진법의 덧셈에서는 한 자릿 수의 덧셈이 기본이 된다.
0( 2)+0( 2)= 0( 2)
0( 2)+1( 2)= 1( 2)
1( 2)+0( 2)= 1( 2)
1( 2)+1( 2)= 10( 2)
이진법을 나타낸 수의 덧셈은 2씩 받 아올려서 계산한다. 이진법으로 나타 낸 수의 뺄셈은 앞의 덧셈을 역으로 이용할 수 있다.
0( 2)-0( 2)=0( 2)
1( 2)-0( 2)=1( 2)
1( 2)-1( 2)=0( 2)
10( 2)-1( 2)=1( 2)
중국에서는 십진법 과 이진법을 다루지 않는다. 한국에서는 이진법의 덧셈과 뺄 셈까지 다루고 있다.
(2) 정수와 유리수
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한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고 ꋻ덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 혼
합된 계산은 곱셈과 나눗셈을 먼 저한다. 또, 괄호가 있는 경우에 는 괄호 안을 먼저 계산한다.
• 유리수의 루승
• 근사수와 유효수자
• 전자수산기로 수의 가법, 감 법, 승법, 제법, 루승의 계산을 할 줄 알아야 한다.
전자수산기의 사용 방법을 설명 한 후 계산의 예를 보여준다.
『례4』 전자수산기로 (-40.5)÷2.5를 계산하여라.
(-40.5)를 입력하려면 먼저 40.5 를 입력하고 다음에 부호 변환키 +/- 를 누르면 된다.
풀이:
∴ (-40.5)÷2.5=-16.2
중국에서는 유리수 의 소단원‘유리수의 루승’에서 거듭제곱을 배우고 유리수 거듭 제곱의 계산까지 배 운다. 한국에서는 7단 계의 Ⅰ단원에서 거 듭제곱을 배운후 Ⅱ 단원에서 유리수 거 듭제곱을 배우게 된 다.
중국의 ‘근사수와 유 효수자’단원은 한국에 서는 8단계에서 배운 다.
중국에서는 ‘전자수 산기로 수의 간단한 계산을 하기’단원에서 전자계산기를 이용하 여 계산하는 방법을 배운다.
눌러야 할 키 표 시 ꊴꊰ․□ꊵ +/- -40.5 ÷□ -40.5 ꊲ․□ꊵ 2.5 =□ -16.2
(3)문자와 식
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(4) 함수
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반비례 관계를 나타내는 함수 y = a
x( a≠0)의 그래프는 정의 역이 0을 제외한 수 전체의 집 합일 때, 한 쌍의 곡선이다.
• 함수의 활용
『예제1』바닥에 x개의 타일을 이어붙었을 때, 그 넓이는 y ㎠라 한다. 타일 한 개의 넓 이가 9㎠일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) x 와 y사이의 관계식을 구하여라.
(2) 10개의 타일을 이어붙일 때, 그 넓이를 구하 여라.
생각하기 : 타일의 개수와 타일을 이어붙인 넓이 사이에는 정비례 관계가 있다.
풀이: (1) y = ax에서 x =1일 때, y = 9이므로 a =9이다.
따라서, 구하는 식은 y = 9x ( 2) x에 10을 대입하면
y = 9×10 = 90( ㎠)
『문제1』깊이가 60㎝인 원기둥 모양의 물통 에 물을 넣을 때, 수면의 높이가 매분 3㎝씩 올라간다. 물을 넣기 시작하여
x분 후의 수면의 높이를 y ㎝라 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) x 와 y사이의 관계식을 구하여라.
(2) 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간 을 구하여라.
『문제3』톱니의 수가 각각 16개, 32개인 톱 니바퀴 A, B가 서로 맞물려 돌고 있다. A가 x번 회전한다고 한다. x 와 y사이의 관계식을 구하고 그 그래프를 그려라.
( 1, a)
❶ a〉0일 때
x y
1 a
y =a x
❷ a〈0일 때
a y =a y
x
( 1, a) x 1
나. 8-가 단계
(1) 유리수
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1. 유리수와 소수
• 분수는 (분자)÷(분모)의 나눗셈을 하 면 정수 또는 소수로 나타내어진다.
0.2, 0.75와 같이 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 유한소수라 고 하며, 0.333…, 0.363636…과 같이 소 수점 아래의 0이 아닌 숫자가 무한히 많 은 소수를 무한소수라고 한다. 분모의 소 인수가 2나 5로만 이루어진 분수는 분 자, 분모에 2또는 5의 거듭제곱을 적당 히 곱하여 분모를 10의 거듭제곱으로 고 칠수 있으므로 유한소수로 나타낼 수 있다.
『예제1』 10 36 = 5
18 = 5 2×32
분모에 2나 5 이외의 소인수 3이 있 으므로 유한소수로 나타낼 수 없다.
• 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일 정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수를 순환소수라고 한다. 이 때, 되 풀이되는 한 부분을 순환마디라고 한다.
순환소수는 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 다음과 같이 간단히 나타낸다.
0.666… = 0. 6̇
1.272727… = 1. 2̇ 7̇
0.135135135… = 0. 1̇ 3 5̇
『예제1』순환소수 2.3̇6̇를 분수로 나타 내어라.
2. 3̇ 6̇을 x라고 하면
x = 2.363636… …①
①의 양변에 100을 곱하면 100x = 236.363636… …②
②에서①을 변끼리 빼면 99x = 234
∴x =234 99 =26
11
유리수인 무한소 수를 관찰하여 보 면 유한 개의 숫자 의 배열이 규칙적 으로 반복됨을 발 견할 수 있게 한 다.
(2) 근사값
한국의 교과내용 중국의 교과내용 비 고
• 근사값을 나타내는 숫자 중에서 반올림하지 않은 부분의 숫자나 측 정하여 얻은 믿을 수 있는 숫자를 유효숫자라고 한다.
395를 일의 자리에서 반올림한 근 사값은 400이고, 유효숫자는 4, 0 이다. 십의 자리에서 반올림한 근사 값도 400이지만 유효숫자는 4이다.
n은 양의 정수이고 1≦a < 10일 때, 근사값은 다음과 같이 나타낸다.
a×10n 또는 a× 1 10n
• 근사값의 덧셈․뺄셈
①근사값의 덧셈은 주어진 수를 더 한 후, 근사값 중 오차의 한계가 큰
①근사값의 덧셈은 주어진 수를 더 한 후, 근사값 중 오차의 한계가 큰