3.3. Bolzano-Weierstrass의 정리
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3.3. Bolzano-Weierstrass의 정리
[3.3.1 정리] 축소구간정리(⇐ 완비성공리)
이
⊃
이고 유계인 폐구간열이면,
∞
≠ ∅ 이다.
⊃
∀∈
≤ ≤⋯≤ ≤⋯ ≤ ≤ ⋯≤ ≤
∞
≠ ∅∃∈
∞
∀∈
≤ ≤⋯≤ ≤⋯ ≤ ≤ ⋯≤ ≤ ⇒ ∃∈
∞
∈
∈
∞
≠ ∅ ⇐ ∃∈
∞
⇐ ∃∈
∀∈
≤ ≤ ⇐
[예제 1]
,
*
이
과 같이 폐구간이 아니거나,
∞ 와 같이 유계가 아닌 경우에는 일반적으로
∞
≠ ∅ 이 성립하지 않는다.[3.3.2 정리]
축소구간 정리 ⇒ 완비성공리(
≠ ∅ ⊂
가 위로 유계이면, sup
(∈
)가 존재한다.)
∈
∞
⊃
[증명]
, :
의 상계, :
의 상계가 아닌 점
가
의 상계이면, ,
가
의 상계가 아니면, ,
이런 식으로 만든 폐구간열 <
>은 유계이고
⊃
이므로, ∃∈
∞
≠ ∅ 이다.이제 sup
임을 보이자.(i) 는
의 상계임을 보이자.∃∈
⇒ ∃∈
⇒
≤ ≤ ⇒
(ii) 는
의 최소인 상계임을 보이자.
∃∈
⇒ ≤ ≤ ⇒
[3.3.3 정리] Bolzano-Weierstrass의 정리
유계인 임의의 무한집합
는 반드시 적어도 하나의 집적점을 갖는다.1)∃∈
∀ ∃≠ ∈
∩
⇐ ∃
∃∈
∞
⊂
[증명]
, 은
의 하계, 은
의 상계
:
와
중에서
의 점을 무한히 많이 포함하는 것.
:
와
중에서
의 점을 무한히 많이 포함하는 것....
이렇게 얻은 폐구간열
은 다음을 만족시킨다.∀∈
,
은
의 무한히 많은 점을 포함한다.
⊃
,
축소구간정리에 의해 ∃∈
∞
이다. 이제 ∈
′ 임을 보이자.∀ ∃≠ ∈
∩
⇐ ∀ ∃
⊂
⇐ ∀ ∃∈
