전기퍼텐셜

전기퍼텐셜

 전기장 다음의 주제는 전기퍼텐셜이다.

 중력과 전기력의 유사성에 주목하자.

• 중력을 중력퍼텐셜로 기술하듯이 전기퍼텐셜로 전기력을 기술할 수 있다.

• 점전하

q

V

 전기퍼텐셜은 에너지와 일과 관련이 있다.

 전기장에서 전기퍼텐셜, 전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수 있다.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

전기 퍼텐셜에너지 (1)

 전기력은, 중력과 마찬가지로, 보존력이다.

• 보존력에서 한 일은 경로에 무관하다.

 두 개 이상의 입자계에 대해서 전기력이 한 일

W _e

배열이 초기상태에서 최종상태로 변할 때, 전기 퍼텐셜에너지

U

일 한

전기장이

전기퍼테녈에너지 최종

전기퍼테녈에너지 초기

















e f i

e i

f

W U U

W U

U

U

전기 퍼텐셜에너지 (2)

 중력 퍼텐셜에너지와 마찬가지로, 전기 퍼텐셜에너지에 대한 기준점을 항상 명시해야 한다.

 모든 전하가 무한히 먼 거리로 떨어져 있을 때 전기 퍼텐셜에너지를 0으로 정의한다.

 초기 퍼텐셜에너지를 0으로 하면 전기퍼텐셜의 표현식이 간단해진다.

 전기퍼텐셜은 전기장

E

•

E

U

•

E

U

f 0

U U U W

     

특별핚 경우: 일정핚 전기장 (1)

 일정한 전기장에서 점전하

q

d

 일정한 힘이 한 일

 이 경우 일정한 힘은 다음과 같다.

 … 따라서 전기장이 전하에 한 일은 다음과 같다.

W   F d

cos W  qE d     qEd 

Note:   angle between and E  d 

F

 qE

특별핚 경우: 일정핚 전기장 (2)

 변위와 전기장이 같은 방향

• 전기장과 같은 방향으로 움직이는 양전하는 퍼텐셜에너지를 잃는다.

 변위와 전기장이 반대 방향

• 전기장과 반대 방향으로 움직이는 양전하는 퍼텐셜에너지를 얻는다.

qEd U

qEd

W  so  

so

W  qEd    U qEd

so

W   qEd   U qEd

전기퍼텐셜의 정의

 전기장에서 전하

q

 따라서 시험전하의 전하량에 무관하게 전기장을 탐지할 물리량으로 전기퍼텐셜을 다음과 같이 정의한다.

 벡터인 전기장과는 달리 전기퍼텐셜은 스칼라이다.

• 전기퍼텐셜은 공간의 모든 곳에서 값을 가질 수 있지만, 방향은 없다.

 전기퍼텐셜의 SI단위는 줄/쿨롱(J/C)이다.

V U

 q

전기퍼텐셜 차, V

 초기점

i

f

q

 전기퍼텐셜의 변화는 전기장이 전하에 한 일과 같다.

 무한대에서 전기 퍼텐셜에너지를 0으로 놓으면 다음을 얻는다.

(

W

f i

f i

U U U

V V V

q q q

      

W e

V q

  

,

W e

V q

   i =  , f = x ⇒  V = V(x)  0

볼트

 전기퍼텐셜의 SI단위인 (줄/쿨롱)은 이탈리아의 물리학자 알렉산드로 볼타(1745-1827)를 기념하여 볼트(V)로 명명한다.

 볼트의 정의로 전기장의 단위는 다음과 같다.

 전기장의 단위로 V/m 를 자주 사용한다.

1 V = 1 J

1 C

[ ] N J/m V

[ ] [ ] C C m

E F

 q   

보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (1)

문제: 한 양성자가 진공에서 평행한 두 전도체 판 사이에 놓여 있다. 두 판 사이의 전기퍼텐셜차는 450V이다.

양의 판 근처에서 정지한 양성자를 놓아준다. 음의 판에 도달할 때

양성자의 운동에너지는 얼마인가?

답:

+ -

두 평판 사이의 퍼텐셜 차 = 450 V.

양성자 퍼텐셜에너지의 변화 d

V = dU / q

dU = q dV = e[V(-)-V(+)] = -450 eV

보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (2)

 많은 경우에 퍼텐셜차를 사용하여 대전입자를 가속시켜서

필요한 물리량을 측정하므로, 전자나 양성자 같은 단일 입자의 운동에너지를 주로 전자볼트(eV) 단위로 표기한다.

 양성자의 운동에너지는 특별히 계산하지 않아도 전자볼트의 정의로부터 450V, 즉 0.450keV를 얻을 수 있다.

1 eV 1.6022 10  

J

초기상태 최종상태

에너지 보존

 K =   U = + 450 eV

양성자의 운동에너지 K ^{= 1.6x10 -19 C x 450 V}

= 7.2x10 ^-17 J

밴더그래프 발전기 (1)

 높은 전기퍼텐셜을 만들어내는 장치

 미국의 물리학자 로버트 J.

밴더그래프1901-1967)가 발명한 장치이다.

 대형 밴더그래프 발전기는 수백만 볼트의 전기퍼텐셜을 만들 수 있다.

 밴더그래프 발전기는 입자가속기로 사용할 수 있다.

 교실 시범용으로 밴더그래프를 사용하고 있다.

 밴더그래프 발전기는 코로나

방전으로 만든 양전하를 움직이는

절연체 벨트에 옮겨준다 .

밴더그래프 발전기 (2)

 전동기로 움직이는 벨트 를 따라 속이 빈 금속구로 운반된 양전하들은

금속구와 도선으로

연결된 뾰족한 접촉점에 의해 벨트로부터

금속구로 옮겨진다.

 금속구에 모이는 양전하 들은 금속구의 바깥 표면 에 균일하게 분포한다.

 그림의 밴더그래프

발전기에 전압제한기가 달려 있어서 필요

이상으로 큰 방전을 일으키지 못하도록 방지하고 있다.











탄뎀 밴더그래프 가속기

보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (1)

문제:

단자 퍼텐셜차가 10.0MV(1.00천만볼트)인 탄뎀 밴더그래프

가속기로

¹²

답:

 탄뎀 밴더그래프 가속기는 두 단계로 가속된다.

• 1 단계: -1e의 탄소 이온이 에너지를 얻어서 단자 쪽으로 가속된다.

• 2단계: +6e 탄소 이온이 에너지를 얻어서 단자로부터 가속된다.

15 MV Tandem Van de Graaff at Brookhaven

보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (2)

12 -26

2

11

7 -26

The mass of a C nucleus is 1.99 10 kg 1

2

2 2 1.12 10 J

3.36 10 m/s 1.99 10 kg

11% of the speed of light

K mv

v K

m v







 

   





1 2  

1 2

-19

11

1 and 6 7 10 MV 70 MeV

1.602 10 J

70 MeV 1.12 10 J

1 eV

K U q V q V

q e q e

K e

K ^

         

   

  

    

Equipotential surface from eight point charges fixed at the corners of a cube

등퍼텐셜면과 등퍼텐셜선

 전기장이 존재하면 전기퍼텐셜은 어느 공간에서나 값을 가진다:

V(x)

 전기퍼텐셜이 같은 점들은 등퍼텐셜면을 형성한다.

V(x) = 일정한 값

 전하가 등퍼텐셜면을 따라 움직이면 전기장이 전하에 한 일은 전혀 없다.

 등퍼텐셜면은 3차원 공간에 존재한다.

 그러나 전기퍼텐셜의 대칭성을 고려하여, 등퍼텐셜면을 전하가 놓여있는

2차원 평면 위의 등퍼텐셜선으로 표시할 수 있다.

 전하가 전기장선에 수직으로 움직이면 전기장이 전하에 아무런 일을 하지 않는다 .

 전기장이 한 일이 0이면 전기퍼텐셜은 일정하다.

 따라서 등퍼텐셜선과 등퍼텐셜면들은 항상 전기장 방향에 수직이다 .

정성적 특징

V   W

q  0  V is constant 0 if

W  qE d     d   E 

일정핚 전기장

 일정한 전기장에서 전기장선들은 직선이고, 등간격이며, 평행하다.

 (3D) 등퍼텐셜면들은

E

 (2D)에서는 등간격인 등퍼텐셜선으로 표시한다

단일 점전하의 전기퍼텐셜

 전기장선:

양의 점전하에서 지름방향으로 퍼져나간다 .

 등퍼텐셜면(3D): 동심구

 등퍼텐셜선(2D): 동심원

양전하 음전하

반대 부호 두 점전하의 전기퍼텐셜

 반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.

 전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.

 등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다.

• 빨간색 선=양의 등퍼텐셜면

• 푸른색 선=음의 등퍼텐셜면

 각 전하에 가까운 곳의

전기장선과 등퍼텐셜선은

단일 점전하의 것과 닮아간다.

동일핚 두 점전하의 전기퍼텐셜

 반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.

 전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.

 등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다.

• 양의 등퍼텐셜면

 각 전하에 가까운 곳의

전기장선과 등퍼텐셜선은 단일 점전하의 것과

닮아간다

전기장에서 전기퍼텐셜 구하기

 힘

F

q

ds

:

 전하가 초기점

i

f

 퍼텐셜 차:

 퍼텐셜:

dW   F ds

 qE ds



f

W  

qE ds



e f

f i i

V V V W E ds

     q   



(기본규약: i =



V x

 

E ds



보기: 전기장에서 전하의 이동 (1)

 균일한 전기장

E

시험전하

q ₀

V _f -V _i

 적분: 를 경로 ic와 cf로 나눠서 적분한다.

  ^{ }  ^c   ^f 

f i f c c i

i c

V   V V  V  V  V    E ds ^  ^    E ds ^  ^

E ds   

1 2

0 (ds perpendicular to E)

cos(45 ) distance

c f

f i

i c

c i

f f

c c

V V E ds E ds

E ds

E ds E ds E

     

 

     

 



 

   

 

 

f i

V    V Ed

보기: 전기장에서 전하의 이동 (2)

점전하의 전기퍼텐셜 (1)

 점전하

q

R

V(R)

 거리

r

q

 점전하의 전기장 방향은 항상 지름방향이다.

•

V

 지름방향을 따라 거리 R에서 무한대까지 적분하면 다음을 얻는다.

2

kq

E r r

 r

 

R R 2

R

kq kq kq

V E ds dr

r r R

    

 

        

점전하의 전기퍼텐셜 (2)

양전하

음전하

( ) kq

V r  r

점전하 계의 전기퍼텐셜



n

.

 합은 공간의 어떤 점에서나 값을 가지지만 방향이 없는 전기퍼텐셜을 만든다. –스칼라 함수

 따라서 점전하 계에 의한 전기퍼텐셜 계산은 벡터를 합하는 전기장 계산보다 훨씬 쉽다.

1 1

n n

i i

i i i

V V kq

  r

   

보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (1)

 그림과 같이 세 점전하가 있다.

q ₁



q ₂



q ₃





q ₁

a

q ₂

q ₃

b

a

b

문제:

점

P

b

a

보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (2)

답:

 점

P

V  kq

r

i1



^{ k q} _r

 q

r

 q

r







  k q

b  q

a

 b

 q

a









V   8.99 10

N/C  ^1.50 _{6.00 m} ^10

^{C  2.50 10}

^C

8.00 m

 

^  ^{6.00 m} 

^

3.50 10

C 8.00 m





 







 

 V  562 V

r ₁

r ₂ r ₃

퍼텐셜에서 전기장 구하기 (1)

 전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수 있다.

 따라서 다음과 같이 표기할 수 있다.



ds

s

V   W

q

S

E V

s

  



s d E q

dW  





dV s

d E s

d E q

qdV      

    

수학의 기초- 편미분

 함수

V

x

y

z

 예:

V

x

y

z

xy ²

z ³

x , y, z

의미

:

편미분은 해당 방향에 대한 기울기이다

.

V

x V

y V

x

V

x  2y ²

V

y  4xy

V

x  3z ²

퍼텐셜에서 전기장 구하기 (2)

 전기장의 성분은 해당성분 방향의 변수에 대한 편미분으로 구할 수 있다.

 전기장 성분을 전기퍼텐셜의 편미분으로 표기하면 다음과 같다.

 전기퍼텐셜의 글패 표기에서 등퍼텐셜선에 수직인 퍼텐셜의 그래디언트 를 구하면 전기장을 얻는다.

; ;

x y z

V V V

E E E

x y z

  

     

  

also written as

E     V E    V

보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (1)

 세 점전하 계

q

 6.00  C q

  3.00 C  q

  9.00 C 

 x y

,

   1.5 cm,9.0 cm   x

, y

 ^  6.0 cm,8.0 cm   x y

,

   5.3 cm, 2.0 cm 

보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (2)

 점

P

 점

P

수직인 선을 +1000 V에서 – 1000 V까지 그린다.

 수직선의 길이는 약 1.5 cm이므로, 전기장은 대략 다음과 같다.

 전기장의 방향은 양의 등퍼텐셜선에서 음의

등퍼텐셜선으로 향한다.

 2000 V   0 V 

1.3 10 V/m 1.5 cm

S

E V

s

 

     



점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지

 고정된 전기장에서 점전하의 전기 퍼텐셜에너지를 구했다.

 고정된 전기장에서는 점전하 자체가 전기장에 영향을 끼치지 않는다.

 이번에는 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지를 구해 보자.

 무한히 떨어져있는 전하들로 구성된 계를 고려한다.

• 무한대는 기준상태이다:

U

 이들 전하를 서로 인접한 부근으로 옮겨오려면 전하에 일을 해야 하므로 계의 전기퍼텐셜이 변하게 된다.

 계의 전기 퍼텐셜에너지는 이들 전하를 무한히 멀리 떨어진 곳에서부터 가져오는데 필요한 일로 정의한다.

두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (1)

 예를 들어 두 점전하

q ₁

q ₂

 처음에 두 전하는 무한히 멀리 떨어져 있다고 가정한다.

 먼저 점전하

q ₁

 전하가 없는 계는 전기장이 없고 대응하는 전기력도 없기 때문에 첫 번째 전하에는 어떤 일도 하지 않는다.



점전하 q ₁

q ₂

r

• 이때 한 일=

q ₂ V ₁

r











2 1

( ) U  q V r

1 1 ( ) kq V r  r

kq q 1 2

U  r

두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (2)

문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (1)

 그림과 같이 한 변의 길이가

d

정삼각형을 이루는 세 점전하가 있다.

•

q ₁

q

•

q ₂

q

•

q ₃

q 문제:

세

답:

 전기 퍼텐셜에너지는 무한대에서 세 점전하를 가져오면서 한 일과 같다.

• 전하를 하나씩 가져오면서 한 일을 계산한다.

 무한대에서

q ₁

 일이 필요 없다.

 무한대에서

q ₂

 무한대에서

q ₃



q

q

문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (2)

문제: 세 점전하의 전기퍼텐셜

문제:

무한대에서

V

V

답:

• 그림을 그린다.

• 앞 문제와는 달리, 계의 중심에서 퍼텐셜을 구한다. .

• 대칭성과 중첩원리를 이용한다.

• 전하의 합은 0이고, 거리가 같다.

q ₁

₂

₃

1 2 3

( ) , where

2 cos(30 ) q

q q d

V C R

R R R

   

( )

q q q

V C R R R

  

    

보기문제 23.7: 네 점전하 (1)

 그림과 같이 네 점전하가 놓여 있다.

•

q ₁



•

q ₂



•

q ₃



•

q ₄



 위치는

a

b

문제:

네 점전하 계의 전기

퍼텐셜에너지는 얼마인가?

보기문제 23.7: 네 점전하 (2)

 무한대에서

q ₁

• 일이 필요 없다.

 무한대에서

q ₂

 무한대에서

q ₃

 무한대에서

q ₄

q ₁ q ₂

q ₃ q ₄

a q q

U k

 a

1 3 2 3

1 2

2 2

q q q q

U k q q k k

a b a b

  



b

1 3 2 3 3 4

1 2 1 4 2 4

2 2 2 2

q q q q q q

q q q q q q

U k k k k k k

a b a b a b b a

     

 

보기문제 23.7: 네 점전하 (3)

1 3

1 2 1 4

2 2

2 3 2 4 3 4

2 2

q q

q q q q

U k

a b a b

q q q q q q

b a

a b

    

 

    

 

총 에너지= 한 일의 총합

수치계산: 1.2 · 10

^-3

문제:

반지름 R인 원 위에 그림처럼 12개의 전자가 배열되어 있다. 무한대에서

V

답:

전기퍼텐셜:

12개 전자를 어떻게 배열하는가의 문제가 아니다. 대칭성과 중첩원리를 이용하여 구한다.

전기장:

대칭성과 반대편 전자들의 쌍을 이용하여 풀이한다.

보기: 원 위의 12개 전자 (1)

보기: 원 위의 12개 전자 (2)

전기퍼텐셜: 중첩원리

전기장: 반대편의 전자 쌍이 중심에 만드는 전기장은 서로 상쇄된다.

결국 대칭성에 따라 전기장은 0이다.

그렇지 않다면 전기장은 어느 방향으로 향할까?

   

12

1

( ) 12

i

e e

V C k k

R R



 

  

( ) 0

E C  