전기퍼텐셜
전기장 다음의 주제는 전기퍼텐셜이다.
중력과 전기력의 유사성에 주목하자.
• 중력을 중력퍼텐셜로 기술하듯이 전기퍼텐셜로 전기력을 기술할 수 있다.
• 점전하
q
의 전기퍼텐셜V
는 점전하까지 거리에 역비례한다. 전기퍼텐셜은 에너지와 일과 관련이 있다.
전기장에서 전기퍼텐셜, 전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수 있다.
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전기 퍼텐셜에너지 (1)
전기력은, 중력과 마찬가지로, 보존력이다.
• 보존력에서 한 일은 경로에 무관하다.
두 개 이상의 입자계에 대해서 전기력이 한 일
W e
은, 계의배열이 초기상태에서 최종상태로 변할 때, 전기 퍼텐셜에너지
U
의 변화와 같다.일 한
전기장이
전기퍼테녈에너지 최종
전기퍼테녈에너지 초기
e f i
e i
f
W U U
W U
U
U
전기 퍼텐셜에너지 (2)
중력 퍼텐셜에너지와 마찬가지로, 전기 퍼텐셜에너지에 대한 기준점을 항상 명시해야 한다.
모든 전하가 무한히 먼 거리로 떨어져 있을 때 전기 퍼텐셜에너지를 0으로 정의한다.
초기 퍼텐셜에너지를 0으로 하면 전기퍼텐셜의 표현식이 간단해진다.
전기퍼텐셜은 전기장
E
가 한 일의 음수이다.•
E
가 양의 일을 하면,U
< 0•
E
가 음의 일을 하면,U
> 0f 0
U U U W
특별핚 경우: 일정핚 전기장 (1)
일정한 전기장에서 점전하
q
가 변위d
로 움직이는 경우를 생각해 보자. 일정한 힘이 한 일
이 경우 일정한 힘은 다음과 같다.
… 따라서 전기장이 전하에 한 일은 다음과 같다.
W F d
cos W qE d qEd
Note: angle between and E d
F
qE
특별핚 경우: 일정핚 전기장 (2)
변위와 전기장이 같은 방향
• 전기장과 같은 방향으로 움직이는 양전하는 퍼텐셜에너지를 잃는다.
변위와 전기장이 반대 방향
• 전기장과 반대 방향으로 움직이는 양전하는 퍼텐셜에너지를 얻는다.
qEd U
qEd
W so
so
W qEd U qEd
so
W qEd U qEd
전기퍼텐셜의 정의
전기장에서 전하
q
의 퍼텐셜에너지는 전하의 크기는 물론 전기장의 크기에도 의존한다. 따라서 시험전하의 전하량에 무관하게 전기장을 탐지할 물리량으로 전기퍼텐셜을 다음과 같이 정의한다.
벡터인 전기장과는 달리 전기퍼텐셜은 스칼라이다.
• 전기퍼텐셜은 공간의 모든 곳에서 값을 가질 수 있지만, 방향은 없다.
전기퍼텐셜의 SI단위는 줄/쿨롱(J/C)이다.
V U
q
시험전하의 단위전하당 퍼텐셜에너지전기퍼텐셜 차, V
초기점
i
와 최종점f
사이의 전기퍼텐셜차는 각 점에 있는q
의 전기 퍼텐셜에너지로 다음과 같이 표기한다. 전기퍼텐셜의 변화는 전기장이 전하에 한 일과 같다.
무한대에서 전기 퍼텐셜에너지를 0으로 놓으면 다음을 얻는다.
(
W
는 전하를 무한대에서 가져올 때 전기장이 한 일이다.)f i
f i
U U U
V V V
q q q
W e
V q
,
W e
V q
i = , f = x ⇒ V = V(x) 0
볼트
전기퍼텐셜의 SI단위인 (줄/쿨롱)은 이탈리아의 물리학자 알렉산드로 볼타(1745-1827)를 기념하여 볼트(V)로 명명한다.
볼트의 정의로 전기장의 단위는 다음과 같다.
전기장의 단위로 V/m 를 자주 사용한다.
1 V = 1 J
1 C
[ ] N J/m V
[ ] [ ] C C m
E F
q
보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (1)
문제: 한 양성자가 진공에서 평행한 두 전도체 판 사이에 놓여 있다. 두 판 사이의 전기퍼텐셜차는 450V이다.
양의 판 근처에서 정지한 양성자를 놓아준다. 음의 판에 도달할 때
양성자의 운동에너지는 얼마인가?
답:
+ -
두 평판 사이의 퍼텐셜 차 = 450 V.
양성자 퍼텐셜에너지의 변화 d
V = dU / q
dU = q dV = e[V(-)-V(+)] = -450 eV
보기문제 23.1: 양성자의 에너지 획득 (2)
많은 경우에 퍼텐셜차를 사용하여 대전입자를 가속시켜서
필요한 물리량을 측정하므로, 전자나 양성자 같은 단일 입자의 운동에너지를 주로 전자볼트(eV) 단위로 표기한다.
양성자의 운동에너지는 특별히 계산하지 않아도 전자볼트의 정의로부터 450V, 즉 0.450keV를 얻을 수 있다.
1 eV 1.6022 10
19J
초기상태 최종상태
에너지 보존
K = U = + 450 eV
양성자의 운동에너지 K = 1.6x10 -19 C x 450 V
= 7.2x10 -17 J
밴더그래프 발전기 (1)
높은 전기퍼텐셜을 만들어내는 장치
미국의 물리학자 로버트 J.
밴더그래프1901-1967)가 발명한 장치이다.
대형 밴더그래프 발전기는 수백만 볼트의 전기퍼텐셜을 만들 수 있다.
밴더그래프 발전기는 입자가속기로 사용할 수 있다.
교실 시범용으로 밴더그래프를 사용하고 있다.
밴더그래프 발전기는 코로나
방전으로 만든 양전하를 움직이는
절연체 벨트에 옮겨준다 .
밴더그래프 발전기 (2)
전동기로 움직이는 벨트 를 따라 속이 빈 금속구로 운반된 양전하들은
금속구와 도선으로
연결된 뾰족한 접촉점에 의해 벨트로부터
금속구로 옮겨진다.
금속구에 모이는 양전하 들은 금속구의 바깥 표면 에 균일하게 분포한다.
그림의 밴더그래프
발전기에 전압제한기가 달려 있어서 필요
이상으로 큰 방전을 일으키지 못하도록 방지하고 있다.
밴더그래프 가속기는 높은 전기퍼텐셜을 사용하는 입자가속기로 응집물질과 핵물리과정을 연구하기 위해 사용된다.
탄뎀 밴더그래프는 단자 퍼텐셜차가 가속기의 중앙에 생기도록 만든 가속기로, 교실용 밴더그래프 장치를 훨씬 더 크고 정교하게 만든 것이다.
밴터그래프에서 생성된 음이온 C는 +10 MV 단자 쪽으로 가속되어 운동에너지를 얻는다.
얇은 박막을 통과하면서 음이온의 전자들이 제거되어 양이온으로 변한다.
이들 양이온은 계속해서 반대 편 밴더그래프에서 가속되어 탄뎀 가속기를 빠져 나간다.탄뎀 밴더그래프 가속기
보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (1)
문제:
단자 퍼텐셜차가 10.0MV(1.00천만볼트)인 탄뎀 밴더그래프
가속기로
12
C 핵을 가속시킨다. 탄소 핵이 탄뎀 가속기에서 얻을 수 있는 최대 운동에너지는 얼마인가?답:
탄뎀 밴더그래프 가속기는 두 단계로 가속된다.
• 1 단계: -1e의 탄소 이온이 에너지를 얻어서 단자 쪽으로 가속된다.
• 2단계: +6e 탄소 이온이 에너지를 얻어서 단자로부터 가속된다.
15 MV Tandem Van de Graaff at Brookhaven
보기문제 23.3: 탄뎀 밴더그래프 가속기 (2)
12 -26
2
11
7 -26
The mass of a C nucleus is 1.99 10 kg 1
2
2 2 1.12 10 J
3.36 10 m/s 1.99 10 kg
11% of the speed of light
K mv
v K
m v
1 2
1 2
-19
11
1 and 6 7 10 MV 70 MeV
1.602 10 J
70 MeV 1.12 10 J
1 eV
K U q V q V
q e q e
K e
K
Equipotential surface from eight point charges fixed at the corners of a cube
등퍼텐셜면과 등퍼텐셜선
전기장이 존재하면 전기퍼텐셜은 어느 공간에서나 값을 가진다:
V(x)
= 퍼텐셜 함수 전기퍼텐셜이 같은 점들은 등퍼텐셜면을 형성한다.
V(x) = 일정한 값
전하가 등퍼텐셜면을 따라 움직이면 전기장이 전하에 한 일은 전혀 없다.
등퍼텐셜면은 3차원 공간에 존재한다.
그러나 전기퍼텐셜의 대칭성을 고려하여, 등퍼텐셜면을 전하가 놓여있는
2차원 평면 위의 등퍼텐셜선으로 표시할 수 있다.
전하가 전기장선에 수직으로 움직이면 전기장이 전하에 아무런 일을 하지 않는다 .
전기장이 한 일이 0이면 전기퍼텐셜은 일정하다.
따라서 등퍼텐셜선과 등퍼텐셜면들은 항상 전기장 방향에 수직이다 .
정성적 특징
V W
eq 0 V is constant 0 if
W qE d d E
일정핚 전기장
일정한 전기장에서 전기장선들은 직선이고, 등간격이며, 평행하다.
(3D) 등퍼텐셜면들은
E
에 수직한 서로 평행한 평면들이다. (2D)에서는 등간격인 등퍼텐셜선으로 표시한다
단일 점전하의 전기퍼텐셜
전기장선:
양의 점전하에서 지름방향으로 퍼져나간다 .
등퍼텐셜면(3D): 동심구
등퍼텐셜선(2D): 동심원
양전하 음전하
반대 부호 두 점전하의 전기퍼텐셜
반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.
전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.
등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다.
• 빨간색 선=양의 등퍼텐셜면
• 푸른색 선=음의 등퍼텐셜면
각 전하에 가까운 곳의
전기장선과 등퍼텐셜선은
단일 점전하의 것과 닮아간다.
동일핚 두 점전하의 전기퍼텐셜
반대로 대전된 두 점전하의 전기장선은 약간 복잡하다.
전기장선은 양전하에서 출발하여 음전하로 끝난다.
등퍼텐셜선은 항상 전기장선에 수직이다.
• 양의 등퍼텐셜면
각 전하에 가까운 곳의
전기장선과 등퍼텐셜선은 단일 점전하의 것과
닮아간다
전기장에서 전기퍼텐셜 구하기
힘
F
가 전하q
에 작용하여 변위ds
가 생길 때 한 일:
전하가 초기점
i
에서 최종점f
까지 전기장에서 움직이는 동안에 전기력이 전하에 한 일: 퍼텐셜 차:
퍼텐셜:
dW F ds
qE ds
f
W
iqE ds
e f
f i i
V V V W E ds
q
(기본규약: i =
, f = x) ( ) xV x
E ds
보기: 전기장에서 전하의 이동 (1)
균일한 전기장
E
에서시험전하
q 0
이 경로 icfz(cf는 전기장과 45º)를 따라 움직일 때 퍼텐셜 차V f -V i
를 구해라. 적분: 를 경로 ic와 cf로 나눠서 적분한다.
c f
f i f c c i
i c
V V V V V V E ds E ds
E ds
1 2
0 (ds perpendicular to E)
cos(45 ) distance
c f
f i
i c
c i
f f
c c
V V E ds E ds
E ds
E ds E ds E
f i
V V Ed
보기: 전기장에서 전하의 이동 (2)
점전하의 전기퍼텐셜 (1)
점전하
q
의 전기장에서 거리R
의 함수로 전기퍼텐셜V(R)
을 구해보자. 거리
r
에서 점전하q
의 전기장은 다음과 같다. 점전하의 전기장 방향은 항상 지름방향이다.
•
V
는 스칼라이다. 지름방향을 따라 거리 R에서 무한대까지 적분하면 다음을 얻는다.
2
ˆ ( )kq
E r r
r
R R 2
R
kq kq kq
V E ds dr
r r R
점전하의 전기퍼텐셜 (2)
양전하
음전하
( ) kq
V r r
점전하 계의 전기퍼텐셜
n
개의 점전하 계가 한 점에 만드는 전기퍼텐셜은 다음의 합으로 구한다..
합은 공간의 어떤 점에서나 값을 가지지만 방향이 없는 전기퍼텐셜을 만든다. –스칼라 함수
따라서 점전하 계에 의한 전기퍼텐셜 계산은 벡터를 합하는 전기장 계산보다 훨씬 쉽다.
1 1
n n
i i
i i i
V V kq
r
보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (1)
그림과 같이 세 점전하가 있다.
q 1
= +1.50
Cq 2
= +2.50
Cq 3
= -3.50
C
q 1
의 위치= (0,a
)q 2
의 위치= (0,0)q 3
의 위치= (b
,0)a
= 8.00 m,b
= 6.00 m문제:
점
P
(b
,a
)에서 전기퍼텐셜은?보기문제 23.4: 전기퍼텐셜의 중첩 (2)
답:
점
P
에서 전기퍼텐셜은 세 점전하가 만드는 전기퍼텐셜의 합이다.V kq
ir
ii1
3 k q r
1 1 q
2r
2 q
3r
3
k q
1b q
2a
2 b
2 q
3a
V 8.99 10
9N/C 1.50 6.00 m 10
6C 2.50 10
6C
8.00 m
2 6.00 m
2
3.50 10
6C 8.00 m
V 562 V
r 1
r 2 r 3
퍼텐셜에서 전기장 구하기 (1)
전기퍼텐셜에서 전기장을 구할 수 있다.
따라서 다음과 같이 표기할 수 있다.
ds
방향의 전기장 성분을 보면 변수s
에 대한 편미분과 같다.V W
e,q
S
E V
s
s d E q
dW
dV s
d E s
d E q
qdV
수학의 기초- 편미분
함수
V
(x
,y
,z
)의 편미분: 예:
V
(x
,y
,z
) = 2xy 2
+z 3
x , y, z
각각에 대한 미분이다의미
:
편미분은 해당 방향에 대한 기울기이다
.
V
x V
y V
x
V
x 2y 2
V
y 4xy
V
x 3z 2
퍼텐셜에서 전기장 구하기 (2)
전기장의 성분은 해당성분 방향의 변수에 대한 편미분으로 구할 수 있다.
전기장 성분을 전기퍼텐셜의 편미분으로 표기하면 다음과 같다.
전기퍼텐셜의 글패 표기에서 등퍼텐셜선에 수직인 퍼텐셜의 그래디언트 를 구하면 전기장을 얻는다.
; ;
x y z
V V V
E E E
x y z
also written as
E V E V
보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (1)
세 점전하 계
q
1 6.00 C q
2 3.00 C q
3 9.00 C
x y
1,
1 1.5 cm,9.0 cm x
2, y
2 6.0 cm,8.0 cm x y
3,
3 5.3 cm, 2.0 cm
보기문제 23.6: 전기장의 그래프 표기 (2)
점
P
의 전기장 크기를 계산하기 위하여 점
P
에서 등퍼텐셜선에수직인 선을 +1000 V에서 – 1000 V까지 그린다.
수직선의 길이는 약 1.5 cm이므로, 전기장은 대략 다음과 같다.
전기장의 방향은 양의 등퍼텐셜선에서 음의
등퍼텐셜선으로 향한다.
2000 V 0 V
51.3 10 V/m 1.5 cm
S
E V
s
점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지
고정된 전기장에서 점전하의 전기 퍼텐셜에너지를 구했다.
고정된 전기장에서는 점전하 자체가 전기장에 영향을 끼치지 않는다.
이번에는 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지를 구해 보자.
무한히 떨어져있는 전하들로 구성된 계를 고려한다.
• 무한대는 기준상태이다:
U
= 0 이들 전하를 서로 인접한 부근으로 옮겨오려면 전하에 일을 해야 하므로 계의 전기퍼텐셜이 변하게 된다.
계의 전기 퍼텐셜에너지는 이들 전하를 무한히 멀리 떨어진 곳에서부터 가져오는데 필요한 일로 정의한다.
두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (1)
예를 들어 두 점전하
q 1
과q 2
의 전기 퍼텐셜에너지를 구해보자. 처음에 두 전하는 무한히 멀리 떨어져 있다고 가정한다.
먼저 점전하
q 1
을 계로 가져온다. 전하가 없는 계는 전기장이 없고 대응하는 전기력도 없기 때문에 첫 번째 전하에는 어떤 일도 하지 않는다.
점전하 q 1
을 정지상태로 유지시키면서, 무한대에 있는 두 번째 전하q 2
를 무한대에서 거리r
까지 가져온다.• 이때 한 일=
q 2 V 1
(r
)
전기 퍼텐셜에너지= 한 일
전기퍼텐셜
따라서 전기 퍼텐셜에너지는 다음과 같다.
두 전하가 같은 부호이면, 한 일은 양이므로, 무한대로부터 입자를 가져와서 움직이지 않도록 유지하는 데 양의 일이 필요하다.(즉 계가 에너지를 얻는다.)
두 전하가 반대부호이면, 음의 일을 해야 한다. (즉 계에서 에너지가 방출된다.)2 1
( ) U q V r
1 1 ( ) kq V r r
kq q 1 2
U r
두 점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지 (2)
문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (1)
그림과 같이 한 변의 길이가
d
인정삼각형을 이루는 세 점전하가 있다.
•
q 1
=+q
•
q 2
=-4q
•
q 3
=+2q 문제:
세
점전하 계의 전기 퍼텐셜에너지는 얼마인가?답:
전기 퍼텐셜에너지는 무한대에서 세 점전하를 가져오면서 한 일과 같다.
• 전하를 하나씩 가져오면서 한 일을 계산한다.
무한대에서
q 1
가져오기 일이 필요 없다.
무한대에서
q 2
가져오기 무한대에서
q 3
가져오기
q
1 과q
2 에 대해서 각각 일을 해야 한다.문제: 세 점전하의 전기 퍼텐셜에너지 (2)
문제: 세 점전하의 전기퍼텐셜
문제:
그림과 같이 세 점전하가 놓여 있다,.무한대에서
V
=0이면, 정삼각형의 중심 C에서 전기퍼텐셜V
는 무엇인가?답:
• 그림을 그린다.
• 앞 문제와는 달리, 계의 중심에서 퍼텐셜을 구한다. .
• 대칭성과 중첩원리를 이용한다.
• 전하의 합은 0이고, 거리가 같다.
q 1
=+q, q2
=-2q, q3
=+q C1 2 3
( ) , where
2 cos(30 ) q
q q d
V C R
R R R
2( )
q q q
0V C R R R
보기문제 23.7: 네 점전하 (1)
그림과 같이 네 점전하가 놓여 있다.
•
q 1
=+1.0
C•
q 2
= +2.0
C•
q 3
= -3.0
C•
q 4
= +4.0
C. 위치는
a
= 6.0 m,b
= 4.0 m이다.문제:
네 점전하 계의 전기
퍼텐셜에너지는 얼마인가?
보기문제 23.7: 네 점전하 (2)
무한대에서
q 1
가져오기• 일이 필요 없다.
무한대에서
q 2
가져오기 무한대에서
q 3
가져오기 무한대에서
q 4
가져오기q 1 q 2
q 3 q 4
a q q
1 2U k
a
1 3 2 3
1 2
2 2
q q q q
U k q q k k
a b a b
b
1 3 2 3 3 4
1 2 1 4 2 4
2 2 2 2
q q q q q q
q q q q q q
U k k k k k k
a b a b a b b a
보기문제 23.7: 네 점전하 (3)
1 3
1 2 1 4
2 2
2 3 2 4 3 4
2 2
q q
q q q q
U k
a b a b
q q q q q q
b a
a b
총 에너지= 한 일의 총합
수치계산: 1.2 · 10
-3
J문제:
반지름 R인 원 위에 그림처럼 12개의 전자가 배열되어 있다. 무한대에서
V
=0 로 놓으면 원의 중심 C에서 전기장과 퍼텐셜은 각각 얼마인가?답:
전기퍼텐셜:
12개 전자를 어떻게 배열하는가의 문제가 아니다. 대칭성과 중첩원리를 이용하여 구한다.
전기장:
대칭성과 반대편 전자들의 쌍을 이용하여 풀이한다.
보기: 원 위의 12개 전자 (1)
보기: 원 위의 12개 전자 (2)
전기퍼텐셜: 중첩원리
전기장: 반대편의 전자 쌍이 중심에 만드는 전기장은 서로 상쇄된다.
결국 대칭성에 따라 전기장은 0이다.
그렇지 않다면 전기장은 어느 방향으로 향할까?
12
1
( ) 12