[제2장] 경제모형
※ 경제모형(economic model)
현실경제의 복잡성으로 모든 상호관계를 단번에 이해하기 불가능
→ 당면문제 관련해 가장 중요하다고 여겨지는 요인과 관계를 추려 집중적 관심 (의도적 단순화)
※ 어떤 모형에서 내생변수는 다른 모형에서 외생변수가 될 수 있다.
※ (→ 대신)
a: 변수인 상수, 파라미터 상수(parametric constant), 파라미터(parameter)
→ 주어진 상수를 나타내는 것으로 생각되나 어떤 특정한 수치로도 지정되지 않았기에 실 제로는 어떤 값도 취할 수 있다.
1. 수리모형의 요소
□ 경제모형은 단지 이론적 틀일뿐(not always 수리적)
→ if 수리적
→ equations
여러 변수들(variables)를 특정한 방법으로 관련시틴 방정식들(equations)로 구성
□ 분석적 가정들을 수리화 → 적절한 수학적 조작 → 결론 도출
(1) 변수, 상수, 파라미터
□ 변수(variable)
: 크기가 변할 수 있는 것(여러 값을 취할 수 있는 것)
[예] 가격, 이윤, 수입, 비용, 국민소득, 소비, 저축, 수입, 수출
□ 내생변수(endogenous variables)
: 모형의 내에서 해의 값이 구해지는 그러한 us수들 [예] 시장청산, 가격수준, 이윤극대화 수출수준
□ 외생변수(exogenous variables)
: 모형 외부의 힘에 의해 결정, 외부자료로서만 주어지는 변수
□ 상수(constant) : 변하지 않는 양
□ 계수(coefficient) : 변수에 결합되는 상수
※ 변수들이 등식, 부등식에 의해 서로 관련이 있음
[예]
≡
: 총이윤은 총수입이 총비용을 초과하는 부분
[예]
국민소득의 변화에 따른 총소비의 행태, 기업의 총비용이 산출의 변화에 어떻게 반응하는 가
⇒ 일반적인 제도적 배경까지 기술 가능
[예]
수요량 공급량 시장모형의 균형
의도된 저축 의도된 투자 국민소득 모형균형
[예]
￭ 어떤 학급의 각 학생들을 나이와 체중을 (a,w)로 표시
￭ 최종후보자 5명 선발(비순서쌍) 후 우승, 준우승(순서쌍) (2) 방정식과 항등식
① 정의식(definitional equation)
: 똑같은 의미를 갖는 두 개의 다른 표현 간의 항등관계
② 행태식(behavioral equation)
: 한 변수가 다른 변수들의 변화에 어떤 식으로 대응하는가 규정
③ 균형조건식(equilibrium conditions) : 모형이 균형 개념을 포함하는 경우
2. 실수체계 3. 집합개념
4. 관계와 함수
(1) 순서쌍
□ 집합 {a, b} = {b, a}
⇒ 순서에 관심 없어 “비순서쌍(unordered pair)”
⇒ a와 b의 순서가 의미가 있다면 a=b가 아니라면 (a,b)≠(b,a)
□ 데카르트 곱(cartesian product: direct product-직접곱) : ×
[예]
×
× ∣∈ 및 ∈
* y=f(x)
각각의 x값이 “유일하게” 하나의 y값만을 결정하는 성질을 갖는 순서쌍 (→ 그 역은 성립하지 않아도 됨)
￭ × ∣∈ 및 ∈
: 실수값을 갖는 원소들로 된 모든 순서쌍의 집합
⇒ 각 순서쌍은 직교 좌표평면의 “유일한” 점에 대응, 좌표평면상의 각 점도 집합 × 에 속하는 “유일한” 순서쌍에 대응
⇒ × 으로 표시
￭ × × ∣∈ ∈ ∈
⇒ 3중 순서쌍(ordered triples)
3차원 공간상의 모든 점들의 집합과 대응
□ 함수(function)
① 각 x점 값에 대해서 오직 하나의 y값만이 대응되는 관계
② 모사(mapping), 변환(transformation) : 어떤 것을 다른 것과 연관시키는 함의
→ f: 모사시키는(변화시키는) 규칙
→
③ x: 독립변수(argument, independent variable) y: 함수의 값(value), 종속변수(dependent variable)
④ 정의역(domain)
: 어떤 주어진 문맥에서 x가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 치역(range) : x값이 사상되는 y값들의(상: image) 집합
[예]
홍익기업의 하루 총비용(C)는 Q의 함수
C=150+7Q (단 기업의 산출능력은 일당 100단위로 제한)
∣ ≦ ≦
￭ 정의역
∣ ≦ ≦
￭ 치역 ∣ ≦ ≦ [예]
외생적 결정되는 투자가 모형에서 억원,
※ 다항함수는 항상 상수함수 1에 대한 비로 표현 가능
→ 자신이 유리함수
[예]
▶ PQ=a (모든 점에서의 탄력성 값이 1)
▶ 평균고정비용(AFC) 곡선
⇒ 는 점근적(asymptotically) 축에 접근 (5) 함수의 유형
□ 상수함수(constant fuction)
□ 다항함수(polynomial function)
□ 유리함수(rational function)
y가 변수 x에 관한 두 다항식들의 비로 표현
￭
⇒ 직각쌍곡선(rectangular hyperbola)
□ 비대수함수(nonalgebraic function) : 지수함수, 로그함수 등
☞ 대수함수(algebraic function)
다항식이나 다항식의 근(root)로 표현되는 모든 함수
[법칙1]
[법칙2]
[법칙3]
[법칙4]
[법칙5]
[법칙6]
[법칙7]
[예]
※ 보다 일반적인 형태는
이지만 경제적 의미 있는 결과를 위해 모델에 질적 제한을 가함
☞ <경제적 분석의 방법>
[1단계] 모형에 포함된 적절한 변수(내생, 외생변수)를 선택
[2단계] 변수의 작용에 영향을 주는 행태적(인간적 제도적, 기술적, 법적) 측면의 제약(가정)하에 방정식을 세움
[3단계] 수학적 연산과 조작 [4단계] 결론의 도출
[5단계] 적절한 경제적 해석
□ 지수(exponent)
(6) 2이상의 독립변수를 갖는 함수
x와 y값의 주어진 쌍은 종속변수 z의 값을 유일하게 결정한다.
⇒ 단, x,y가 둘 다 구체적 정해질 때 z를 결정 가능해 정의역은 순서쌍 (not 수)의 집합(x,y)가 된다.
⇒ (x,y,z) 같이 3중 순서쌍의 집합이 된다.
⇒ 궤적은 곡면(surface)의 형태를 띰
(7) 일반성의 정도
파라미터를 사용하여 각 함수는 곡선이 아닌 곡선군을 대표
⇒ 여러 다른 값을 대입해 추론과정을 새롭게 반복하지 않고 특정한 해의 집단을 얻을 수 있음 (보다 일반적)
<꼭 풀어봐야 할 문제>
[1]
일때 다음을 구하여라 (1) × (2) × (3) ×[2] 앞의 문제에서 주어진 정보로부터 ××를 구하여라 [3] 일반적으로 ×는 ×라고 할 수 있는가?
어떤 조건하에서 이 두 데카르트 곱들이 같아지는가?
[4] 정의역이 -5≦≦5로 이루어진 집합일 때 다음 함수들을 도시하여라.
(1) (2)
여기서 항의 계수의 부호가 이 2차함수의 그래프가 “언덕”모양인지 “계곡”모양인지를 결정한다는 것은 잘 알려진 바이다. 이 문제에 의하면, 어떤 부호가 “언덕”과 관련이 있는 가? 이에 대해서 직관적인 설명을 해보아라.
[5] 다음을 구하여라.
(1)
(2) ×
[6]
임을 보여라. 이 때 각 단계에 적용된 법칙을 구체적으로 지적 해보아라.[7]
이며, ∪ ∩ ∪
일 때 집합 B의 원소를 구하여라.[8]
로 정의될 때 ∩
가 되도록 a의 값을 결정하여라.[9] ∣ 또는 ←
∣ ≦ ≦
로 주어진 경우∪
∣∈
∩
∣ ≦
이 성립한다고 하자. 와 의 값을 구하여라.
[10] 어느 농산물의 수요량이
으로 주어져 있다.
(1) 가격이 얼마 이상으로 상승하면 수요가 없어질 것인가?
(2) 수요함수의 정의역이 [0, ∞)이 되도록 수요함수를 재정의하고, 치역도 같이 구하여라.
[11] 새로운 “막강”시리즈의 타이어를 독점생산하고 있는 홍익타이어는 이 제품의 1주일 간 수요가 인 것으로 추정된다. 1주일간의 총수입을 판매량 Q의 함수 로 나타내고 이 함수의 정의역과 치역도 구하여라.
[12] 최고급 디자이너 셔츠를 생산하는 어느 기업의 생산원가구조를 보니까, 생산량에 관 계없이 월8,000만원의 비용이 소요되며, 셔츠 1 벌당 자재 및 노무비는 8만원으로 추정되 었다. 셔츠에 대한 수요는 이라고 한다. (는 판매량, 는 가격)
(1) 생산과 관련된 비용을 의 함수로 나타내어라.
(2) 셔츠 판매를 통한 총수입을 의 함수로 나타내어라.
(3) 이익은 얼마인가?
