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범위 이차함수 점과좌표 : -

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Academic year: 2021

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(1)

범위 이차함수 점과좌표 : -

1.

1) 이차함수     의 그래프가 축에 접하고 직선

  와 서로 다른 두 점에서 만날 때 정수, 의 최솟값은?

①   ② ③

④  ⑤

2.

2) 다음 그림과 같이 일차함수   의 그래프와 이차함수

  의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다 곡선.    위에 두 점 A, B를 잡고 직선,    위에 두 점 C, D를 잡아 이 도형 위에 정사각형 ABCD를 그린다 이 정사각형의 넓이가.

  일 때 유리수, , 에 대하여   의 값은?

①  ② ③

④  ⑤

3.

3) 이차함수    의 그래프와 직선     이 점

에서 접할 때, 의 값은?

①  ② ③

④   ⑤ 

4.

4) 이차함수        ≤  ≤ 의 최댓값이 , 최솟값이  일 때 상수,  의 값은? ( ,   )단

①   ②   ③ 

④   ⑤  

5.

5) 다음 그림과 같이 이차함수     의 그래프가

축과 만나는 점을 A라 하고, 축과 만나는 두 점을 각각 B, C라 하자 점. P 가 곡선 위를 따라 점 A에서 점 C까지 움직일 때, 의 최솟값은?

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



(2)

6.

6) 일차식  가 다음 조건을 만족시킨다.

( )    ,    나

( )   

부등식   를 만족하는 정수해의 개수를 로 정의할 때,  ⋯의 값은?

①  ② ③

④  ⑤

7.

7) 두 이차식     ,      에 대하여 사차방정식   의 근에 대한 보기 의 설명[ ] 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ( , , 는단 실수이다.)

.

ㄱ     일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.

.

ㄴ  ≠일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.

.

ㄷ ≠일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄴ,

④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,

8.

8)에 대한 부등식     ≤ 의 해가 존재하지 않도록 하는 정수 의 최댓값은?

①   ②  ③ 

④   ⑤ 

9.

9 ) 실수 에 대한 부등식

   ≤  

에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은[ ] ?

.

ㄱ   일 때 부등식의 해는,  ≤ 이다.

.

ㄴ   일 때 부등식의 해가 존재하지 않도록 하는, 실수 의 값은 이다.

ㄷ  ≤  ≤ 일 때 모든 실수. , 에 대하여 부등식을 만족시키는 실수 의 값은 항상 존재한다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,

10.

1 0)의 계수가 인 이차함수   의 그래프와 의 계수가  인 이차함수   의 그래프가   ,

 에서 만난다 모든 실수. 에 대하여  ≥ 를 만족하는 자연수 의 최솟값은?

①  ②  ③

④  ⑤ 

11.

11) 에 대한 이차부등식    ≤  가 실수 의 값에 관계없이 항상 해를 갖도록 하는 정수 의 최댓값은?

①   ②    

④  ⑤ 

(3)

12.

12 ) 변 AD의 길이가 변 AB의 길이보다 만큼 긴 직사각형 ABCD가 있다 다음 그림과 같이 변. AD의    내분점을 P, 변 AD의    내분점을 P라 하고 변, DC의

   내분점을 Q, 변 DC의    내분점을 Q라 하자.

삼각형 BCP의 넓이 , 사각형 PQQP의 넓이 에 대하여  ≤ ≤ 를 만족시킬 때 변, AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은?

①  ② ③

④  ⑤

13.

1 3) 양수 에 대하여 이차함수   

의 그래프와 직선   가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q라 하자.

실수 의 값에 관계없이 OP

  OQ

 은 일정한 값 를

갖는다. 의 값은? ( , O는 원점이다.)단

①  ② 

 ③

④ 

 ⑤

14.

14) 아래 그림은 가로 길이 세로 길이가 각각,  인 직사각형 ABCD의 내부에 한 변의 길이가     인 정사각형 EFGH를 AB와 EF가 평행하도록 그린 것이다.

보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 단 두 사각형

[ ] ? ( ,

ABCD와 EFGH는 만나지 않는다.)

.

ㄱ 의 값에 관계없이 AE CG BF DH을 만족시킨다.

.

ㄴ   일 때, AE DH

 이면 BF 

 이다.

.

ㄷ   일 때 두 사다리꼴, ABFE와 CDHG의 넓이의 합은 이다

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄷ,

④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,

15.

15) 그림과 같이 세 점 O  , A , B 를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다 선분. AB 위의 점 P  을 지나고 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선이 선분 OA와 만나는 점을 Q라 하자 직선. PQ의 기울기가 

일 때,

 의 값은? ( , , 은 서로소인 자연수이다.)단

①  ②  ③

④  ⑤ 

(4)

16.

1 6) 좌표평면 위의 세 점  ,    ,  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원이 존재하도록 하는 점 의 개수는?

( )  는 자연수이다.

나 세 점

( )   를 지나는 원의 중심이 선분  또는 선분  또는 선분  위에 있다.

①  ② ③

④  ⑤

17.

17)삼각형 ABC의 내부의 세 점 P Q R에 대하여, Q는

AR의 중점, R는 BP 의 중점, P는 CQ 의 중점이다 이때. , 삼각형 ABC의 무게중심과 삼각형 PQR의 무게중심이 일치하는 것을 증명하는 과정이다. ( )~( )가 마 에 들어갈 것으로 옳은 것은?

AB를 지나는 직선을 축으로 하고,

점 A를 지나 AB에 수직인 직선을 축으로 잡아 ABC 이라고 하자.

삼각형 ABC의 무게중심을 G이라고 하면 G

가  

⋯ ①

또 점, R의 좌표를 R 라고 하면 Q

 

 P

 

 

 

이므로

삼각형 PQR의 무게중심을 G라고 하면 G 나  다 

한편 점, R는 BP 의 중점이므로

  라    마

G의 좌표에 대입하면 G

  

⋯ ②

에 의하여 점 ,

① ② G과G는 일치한다.

① 가( ): 

 

② 나( ): 

 

③ 다( ): 

 

④ 라( ): 

 

⑤ 마( ): 



(5)

주관식

18.

18 ) 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다 이때. , 의 값을 구하시오.

가 모든 실수

( ) 에 대하여    이다.

( )   ≤  ≤ 에서 함수의 최댓값은이다.

( )  ,  

19.

1 9)의 계수의 절댓값이 인 두 이차함수   와

  의 그래프가 다음과 같다 자연수. 에 대하여

  의 절편은  과 이고,   의 절편은 과

이다 부등식.  ≥ 을 만족하는 정수 가 개이고, 부등식  ≥ 의 해가  ≤  ≤ 일 때, 의 값을 구하시오.

20.

20) 좌표평면 위의 두 점 A  , B 에 대하여 선분 AB를    (     으로 외분하는 점을) Q라 하자.

점 P    에 대하여 삼각형 PAQ의 넓이가 일 때 점, Q의 좌표를  라 하자. 의 값을 구하시오.

21.

21) 부등식      ≤ 가 해를 갖지 않도록 하는 실수 의 값의 범위를 구하시오.

(6)

빠른정답

1) ② 2) ③ 3) ⑤ 4) ① 5) ②

6) ② 7) ① 8) ② 9) ③ 10) ③ 11) ③ 12) ④ 13) ② 14) ⑤ 15) ④ 16) ② 17) ④ 18)   19)  20)  

21)   



(7)

정답 및 풀이

1) ②

i  함수     의 그래프가 축에 접할 때 방정식     의 판별식을 라 하면

     이다.

ii  함수     의 그래프와 직선   가 서로 다른 두 점에서 만날 때

방정식     ,     의 판별식 ′라 하면 ′      이므로

     이다.

   이고      이므로

  ,   

이다.

그러므로 조건을 만족하는 정수 의 최솟값은 이다.

2) ③

C , CA DB 라 하자.

A  , B   이다.

두 점 A B는    위의 점이므로

   ⋯ ㉠

   ⋯ ㉡

㉡ ㉠을 하면     

 ≠이므로   ,   

  

㉠에 대입하면 

  

  

  

    ,    ±

∴   

정사각형의 넓이는

       

그러므로        

3) ⑤

    

     는   을 중근으로 갖는다.

      

      그러므로   

4) ①

  

 

 



이고

  이므로 

 이다.

  

 

 



는   ≤  ≤ 에서

  일 때 최솟값  을 갖고

  일 때 최댓값 를 갖는다.

즉,      이므로    이고

    이므로    이다.

따라서    와    을 연립하면

     이다.

그러므로    

5) ②

는 절편이므로  이고는 절편이므로   이다.

 는 이차함수      위의 점이므로

   이다.

또한 점 는 점 에서 점 까지 움직이므로

 ≤  ≤ 이다.

        

  

 



그러므로  는   

일 때 최솟값 

를 갖는다.

6) ②

   ,     라고 하자.

  이므로     에서   이다.

  

    

   

    

함수      에 대하여   일 때 그래프 위의 정수인 점은 다음 그림과 같다.

는 함수      에서

   (는 자연수 일 때 정수인 점의 개수와 같다) .

 ≤  ≤ 일 때 정수인 점의 개수는 개이므로

      이다.

  일 때 정수인 점의 개수는 개이므로

  이다.

  일 때 정수인 점의 개수는 개이므로

  이다.

 ≤  ≤ 일 때 정수인 점의 개수는 개이므로

   ⋯   이다.

그러므로 ⋯   

(8)

7) ① .

ㄱ     이면   ,   이므로

  의 서로 다른 실근의 개수는 개다.

참 ( )

.

ㄴ ≠이면

방정식   의 판별식은  , 방정식   의 판별식은  이므로 두 방정식 모두 각각 서로 다른 두 실근을 갖는다.

방정식   과   의 공통근이 존재하는 경우 공통근을 라고 하면

    ,    이다.

두 식을 빼면        ,

     이므로

   또는    이다.

따라서   이면 방정식   과   은 일치하므로 방정식   은

서로 다른 개의 실근을 갖는다.

  이면 두 방정식   과   은

개의 공통근을 가지므로

방정식   은 서로 다른 개의 실근을 갖는다. (거짓)

두 방정식 .

ㄷ   과   이 공통근을 가질 때 ㄴ에서 ≠이면   이다.

따라서 방정식   은 서로 다른 개의 실근을 갖는다. (거짓)

그러므로 참인 것은 ㄱ이다.

8) ②

      이라 하자.

i    일 때         

ii    ≤   일 때            

iii   ≥ 일 때           

이므로 함수       의 그래프는 다음과 같다.

       ≤ 이므로 해가  ≤  임은 거짓이다.

ㄴ   일 때, .       ≤ 이고 해가 존재하지 않으려면

방정식        에 대한 판별식을

라 하면         

   ,   이므로

  일 때 부등식을 만족하지 않는다, .

ㄷ .       에 대한 판별식을 ′라 하면 ′      

즉,  ′     이다.

부등식       ≤ 이 해가 항상 존재하려면 ′ ≥ 이다.

모든 에 대하여  ′     ≥ 이려면  ′  에 대한 판별식을 라 할 때

     ≤ 

       ≤ 이므로

 ≤  ≤ 이다.

즉,  ≤  ≤ 에서

부등식       ≤ 에 대하여

값에 관계없이  ′ ≥ 이므로

부등식       ≤ 의 해는 항상 존재한다.

그러므로 참인 것은 ㄷ이다.

10) ③

방정식   의 해가   ,    이므로       이다.

   ,     이라 하면

        에서

    ,    이다.

      ,      이고

함수 의 그래프가 두 점    ,  를 지나므로    이다.

        

∴   ,   

      이므로

    이고      이다.

즉,    ,    이다.

∴    ,    

(9)

11) ③

   ≤  

     ≤ 이 항상 해를 가질 조건은

      의 판별식  ≥ 이므로

      ≥ 

   ≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면     의 판별식 ′ ≤  이어야 한다.

′      ≤ 

  ≤ 

  ≤ 

∴  ≤  ≤ 

그러므로 정수 의 최댓값은  이다.

12) ④

AB , AD 라 하자.

   ∴  

  

 

××  

 ∆PDQ ∆PDQ

 

× × 

× ×

 



  

  

  

 × 

  

 

 

 ≤ 

  ≤ 

 ≤   ≤ 

  ≥ 을 풀면     ≥ 

  ≥ 

 ≤  또는  ≥ 

  ≤ 를 풀면     ≤ 

   ≤ 

  ≤  ≤ 

따라서  ≤  ≤ 이므로  ≤  ≤ 이고 변 AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은

   

13) ②

점 P  점, Q 라고 하자.

방정식   

에서

    의 두 근이 , 이다.

따라서   ,   이다.

OP

 

  (∵   )

OQ

  

  (∵   )

OP

  OQ

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 



 

     

    이므로    

 이다.

  



 

 

  

 

 



 





실수 의 값에 관계없이 





 

이 일정한 값

를 가지므로 







 라고 하면

등식

   

 은

에 대한 항등식이다.

양변을 제곱하면   ,

     에서

   ,   이다.

  이므로   에서  

이다.

   에서   ,   이므로   

이다.

따라서 

  

,   이다.

  이므로   

이다.

그러므로   

14) ⑤

.

ㄱ AE  , CG  ,

BF , DH 이므로

값에 관계없이

AE CG BF DH를 만족한다.

.

ㄴ   일 때

AE

 

  DH

이므로

(10)

  

이다 따라서.   이다.

BC    이고   이므로

   

이다.

 

이므로  

,   

이다.

AB       

이므로   

이다.

따라서 BF

 

 

  

 이다.

.

ㄷ   이므로

□ABFE  

이고 □CDHG  

이다.

   이므로    이다.

사각형 ABFE와 사각형 CDHG의 넓이의 합은



 

 

 

 

 이다.

그러므로 참인 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다.

15) ④

BP     이고

AP    이므로 AP  BP    이다.

따라서 삼각형 PAO의 넓이는 삼각형 OAB의 넓이의 

이다.

점 P를 지나는 직선이 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하려면 삼각형 PAQ의 넓이는 삼각형 OAB의 넓이의 

이다.

삼각형 OAB의 넓이를 S라 하면

∆OPA  

S, ∆PAQ  

S이므로

∆PAQ  

∆PAO

즉 점, Q는 선분 OA를    으로 내분하는 점이다.

∴ Q

 

직선 PQ의 기울기는 

  

  

 

이므로

  ,   이다.

그러므로    

  

∴      

ii  BC가 빗변일 때

BC AB CA

       

   

∴    ,  ,  ,  ,  

그러므로 점 의 개수는 개다.

17) ④

가  

 

나  



다  

 

라 



마  



18)   가 에서

( ) 

    

 이므로

  의 축의 방정식은   이다.

     라 하자.

다 에 의해 ( )   

  ≤  ≤ 에서 는   에서 최대이다.

최댓값       ⋯ ㉠

      

     ⋯ ㉡

㉠ ㉡을 연립하여 풀면       그러므로         

19) 

두 함수 , 의 식은

    ,      이다.

 ≥ 이면

 ≥ ,  ≥  또는  ≤   ≤ 이다.

주어진 그래프에 의해  ≥ ,  ≥ 를 만족하는 값의 범위는  ≤  ≤ 이고

 ≤   ≤ 를 만족하는 값의 범위는

(11)

∴   

부등식  ≥ 에서

      ≥    

   ≤ 이고

이 부등식의 해가  ≤  ≤ 이므로

        이다.

그러므로

  



   

20)  

  이므로 점 Q는 직선 AB 위에서 점 A와 더 가까운 AB의 외분점이다.

즉 점 Q는 직선 AB 위 제, 사분면에 있는 점이다.

직선 AB의 방정식은

  

   

    

  ,       이고,

점 P    까지의 거리는



     

 

따라서 ∆PAQ의 넓이는

  

× 

× AQ 이고 AQ  이다.

점 Q는 AB의    외분점이므로 Q

 

   



AQ  

 



 



 



    이므로    



   

  

∴      

      

그러므로   이다.

21)   



     라고 하면

i    

일 때

          

ii   

≤   

일 때

        

iii   ≥ 

일 때

        

따라서  ≥ 

이므로 부등식

    ≤ 가 해를 갖지 않도록 하는 실수 의 값의 범위는   



참조

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