범위 이차함수 점과좌표 : -
1.
1) 이차함수 의 그래프가 축에 접하고 직선 와 서로 다른 두 점에서 만날 때 정수, 의 최솟값은?
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 다음 그림과 같이 일차함수 의 그래프와 이차함수 의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다 곡선. 위에 두 점 A, B를 잡고 직선, 위에 두 점 C, D를 잡아 이 도형 위에 정사각형 ABCD를 그린다 이 정사각형의 넓이가.
일 때 유리수, , 에 대하여 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
3.
3) 이차함수 의 그래프와 직선 이 점에서 접할 때, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
4.
4) 이차함수 ≤ ≤ 의 최댓값이 , 최솟값이 일 때 상수, 의 값은? ( , )단① ② ③
④ ⑤
5.
5) 다음 그림과 같이 이차함수 의 그래프가축과 만나는 점을 A라 하고, 축과 만나는 두 점을 각각 B, C라 하자 점. P 가 곡선 위를 따라 점 A에서 점 C까지 움직일 때, 의 최솟값은?
①
②
③
④
⑤
6.
6) 일차식 가 다음 조건을 만족시킨다.가
( ) , 나
( )
부등식 를 만족하는 정수해의 개수를 로 정의할 때, ⋯의 값은?
① ② ③
④ ⑤
7.
7) 두 이차식 , 에 대하여 사차방정식 의 근에 대한 보기 의 설명[ ] 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ( , , 는단 실수이다.).
ㄱ 일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.
.
ㄴ ≠일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.
.
ㄷ ≠일 때 서로 다른 실근의 개수는, 개다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄴ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
8.
8)에 대한 부등식 ≤ 의 해가 존재하지 않도록 하는 정수 의 최댓값은?① ② ③
④ ⑤
9.
9 ) 실수 에 대한 부등식 ≤
에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은[ ] ?
.
ㄱ 일 때 부등식의 해는, ≤ 이다.
.
ㄴ 일 때 부등식의 해가 존재하지 않도록 하는, 실수 의 값은 이다.
ㄷ ≤ ≤ 일 때 모든 실수. , 에 대하여 부등식을 만족시키는 실수 의 값은 항상 존재한다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
10.
1 0) 의 계수가 인 이차함수 의 그래프와 의 계수가 인 이차함수 의 그래프가 , 에서 만난다 모든 실수. 에 대하여 ≥ 를 만족하는 자연수 의 최솟값은?
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 에 대한 이차부등식 ≤ 가 실수 의 값에 관계없이 항상 해를 갖도록 하는 정수 의 최댓값은?① ②
④ ⑤
12.
12 ) 변 AD의 길이가 변 AB의 길이보다 만큼 긴 직사각형 ABCD가 있다 다음 그림과 같이 변. AD의 내분점을 P, 변 AD의 내분점을 P라 하고 변, DC의 내분점을 Q, 변 DC의 내분점을 Q라 하자.
삼각형 BCP의 넓이 , 사각형 PQQP의 넓이 에 대하여 ≤ ≤ 를 만족시킬 때 변, AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
13.
1 3) 양수 에 대하여 이차함수
의 그래프와 직선 가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q라 하자.
실수 의 값에 관계없이 OP
OQ
은 일정한 값 를
갖는다. 의 값은? ( , O는 원점이다.)단
① ②
③
④
⑤
14.
14) 아래 그림은 가로 길이 세로 길이가 각각, 인 직사각형 ABCD의 내부에 한 변의 길이가 인 정사각형 EFGH를 AB와 EF가 평행하도록 그린 것이다.보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 단 두 사각형
[ ] ? ( ,
ABCD와 EFGH는 만나지 않는다.)
.
ㄱ 의 값에 관계없이 AE CG BF DH을 만족시킨다.
.
ㄴ 일 때, AE DH
이면 BF
이다.
.
ㄷ 일 때 두 사다리꼴, ABFE와 CDHG의 넓이의 합은 이다
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄷ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
15.
15) 그림과 같이 세 점 O , A , B 를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다 선분. AB 위의 점 P 을 지나고 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선이 선분 OA와 만나는 점을 Q라 하자 직선. PQ의 기울기가 일 때,
의 값은? ( , , 은 서로소인 자연수이다.)단
① ② ③
④ ⑤
16.
1 6) 좌표평면 위의 세 점 , , 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원이 존재하도록 하는 점 의 개수는?가
( ) 는 자연수이다.
나 세 점
( ) 를 지나는 원의 중심이 선분 또는 선분 또는 선분 위에 있다.
① ② ③
④ ⑤
17.
17)삼각형 ABC의 내부의 세 점 P Q R에 대하여, Q는AR의 중점, R는 BP 의 중점, P는 CQ 의 중점이다 이때. , 삼각형 ABC의 무게중심과 삼각형 PQR의 무게중심이 일치하는 것을 증명하는 과정이다. ( )~( )가 마 에 들어갈 것으로 옳은 것은?
AB를 지나는 직선을 축으로 하고,
점 A를 지나 AB에 수직인 직선을 축으로 잡아 ABC 이라고 하자.
삼각형 ABC의 무게중심을 G이라고 하면 G
가
⋯ ①또 점, R의 좌표를 R 라고 하면 Q
P
이므로삼각형 PQR의 무게중심을 G라고 하면 G 나 다
한편 점, R는 BP 의 중점이므로
라 마
G의 좌표에 대입하면 G
⋯ ②에 의하여 점 ,
① ② G과G는 일치한다.
① 가( ):
② 나( ):
③ 다( ):
④ 라( ):
⑤ 마( ):
주관식
18.
18 ) 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다 이때. , 의 값을 구하시오.가 모든 실수
( ) 에 대하여 이다.
나
( ) ≤ ≤ 에서 함수의 최댓값은이다.
다
( ) ,
19.
1 9) 의 계수의 절댓값이 인 두 이차함수 와 의 그래프가 다음과 같다 자연수. 에 대하여
의 절편은 과 이고, 의 절편은 과
이다 부등식. ≥ 을 만족하는 정수 가 개이고, 부등식 ≥ 의 해가 ≤ ≤ 일 때, 의 값을 구하시오.
20.
20) 좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB를 ( 으로 외분하는 점을) Q라 하자.점 P 에 대하여 삼각형 PAQ의 넓이가 일 때 점, Q의 좌표를 라 하자. 의 값을 구하시오.
21.
21) 부등식 ≤ 가 해를 갖지 않도록 하는 실수 의 값의 범위를 구하시오.빠른정답
1) ② 2) ③ 3) ⑤ 4) ① 5) ②
6) ② 7) ① 8) ② 9) ③ 10) ③ 11) ③ 12) ④ 13) ② 14) ⑤ 15) ④ 16) ② 17) ④ 18) 19) 20)
21)
정답 및 풀이
1) ②i 함수 의 그래프가 축에 접할 때 방정식 의 판별식을 라 하면
이다.
ii 함수 의 그래프와 직선 가 서로 다른 두 점에서 만날 때
방정식 , 의 판별식 ′라 하면 ′ 이므로
이다.
이고 이므로
,
이다.
그러므로 조건을 만족하는 정수 의 최솟값은 이다.
2) ③
C , CA DB 라 하자.
A , B 이다.
두 점 A B는 위의 점이므로
⋯ ㉠
⋯ ㉡
㉡ ㉠을 하면
≠이므로 ,
㉠에 대입하면
, ±
∴
정사각형의 넓이는
그러므로
3) ⑤
는 을 중근으로 갖는다.
그러므로
4) ①
이고
이므로
이다.
는 ≤ ≤ 에서
일 때 최솟값 을 갖고
일 때 최댓값 를 갖는다.
즉, 이므로 이고
이므로 이다.
따라서 와 을 연립하면
이다.
그러므로
5) ②
점 는 절편이므로 이고 점 는 절편이므로 이다.
점 는 이차함수 위의 점이므로
이다.
또한 점 는 점 에서 점 까지 움직이므로
≤ ≤ 이다.
그러므로 는
일 때 최솟값
를 갖는다.
6) ②
, 라고 하자.
이므로 에서 이다.
함수 에 대하여 일 때 그래프 위의 정수인 점은 다음 그림과 같다.
는 함수 에서
(는 자연수 일 때 정수인 점의 개수와 같다) .
≤ ≤ 일 때 정수인 점의 개수는 개이므로
이다.
일 때 정수인 점의 개수는 개이므로
이다.
일 때 정수인 점의 개수는 개이므로
이다.
≤ ≤ 일 때 정수인 점의 개수는 개이므로
⋯ 이다.
그러므로 ⋯
7) ① .
ㄱ 이면 , 이므로
의 서로 다른 실근의 개수는 개다.
참 ( )
.
ㄴ ≠이면
방정식 의 판별식은 , 방정식 의 판별식은 이므로 두 방정식 모두 각각 서로 다른 두 실근을 갖는다.
방정식 과 의 공통근이 존재하는 경우 공통근을 라고 하면
, 이다.
두 식을 빼면 ,
이므로
또는 이다.
따라서 이면 방정식 과 은 일치하므로 방정식 은
서로 다른 개의 실근을 갖는다.
이면 두 방정식 과 은
개의 공통근을 가지므로
방정식 은 서로 다른 개의 실근을 갖는다. (거짓)
두 방정식 .
ㄷ 과 이 공통근을 가질 때 ㄴ에서 ≠이면 이다.
따라서 방정식 은 서로 다른 개의 실근을 갖는다. (거짓)
그러므로 참인 것은 ㄱ이다.
8) ②
이라 하자.
i 일 때
ii ≤ 일 때
iii ≥ 일 때
이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다.
≤ 이므로 해가 ≤ 임은 거짓이다.
ㄴ 일 때, . ≤ 이고 해가 존재하지 않으려면
방정식 에 대한 판별식을
라 하면
, 이므로
일 때 부등식을 만족하지 않는다, .
ㄷ . 에 대한 판별식을 ′라 하면 ′
즉, ′ 이다.
부등식 ≤ 이 해가 항상 존재하려면 ′ ≥ 이다.
모든 에 대하여 ′ ≥ 이려면 ′ 에 대한 판별식을 라 할 때
≤
≤ 이므로
≤ ≤ 이다.
즉, ≤ ≤ 에서
부등식 ≤ 에 대하여
값에 관계없이 ′ ≥ 이므로
부등식 ≤ 의 해는 항상 존재한다.
그러므로 참인 것은 ㄷ이다.
10) ③
방정식 의 해가 , 이므로 이다.
, 이라 하면
에서
, 이다.
, 이고
함수 의 그래프가 두 점 , 를 지나므로 이다.
∴ ,
이므로
이고 이다.
즉, , 이다.
∴ ,
11) ③
≤
≤ 이 항상 해를 가질 조건은
의 판별식 ≥ 이므로
≥
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면 의 판별식 ′ ≤ 이어야 한다.
′ ≤
≤
≤
∴ ≤ ≤
그러므로 정수 의 최댓값은 이다.
12) ④
AB , AD 라 하자.
∴
××
∆PDQ ∆PDQ
× ×
× ×
×
≤
≤
≤ ≤
≥ 을 풀면 ≥
≥
≤ 또는 ≥
≤ 를 풀면 ≤
≤
≤ ≤
따라서 ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ 이고 변 AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은
13) ②
점 P 점, Q 라고 하자.
방정식
에서
의 두 근이 , 이다.
따라서 , 이다.
OP
(∵ )OQ
(∵ )OP
OQ
이므로
이다.
실수 의 값에 관계없이
이 일정한 값
를 가지므로
라고 하면
등식
은에 대한 항등식이다.
양변을 제곱하면 ,
에서
, 이다.
이므로 에서
이다.
에서 , 이므로
이다.
따라서
, 이다.
이므로
이다.
그러므로
14) ⑤
.
ㄱ AE , CG ,
BF , DH 이므로
값에 관계없이
AE CG BF DH를 만족한다.
.
ㄴ 일 때
AE
DH
이므로
이다 따라서. 이다.
BC 이고 이므로
이다.
이므로
,
이다.
AB
이므로
이다.
따라서 BF
이다.
.
ㄷ 이므로
□ABFE
이고 □CDHG
이다.
이므로 이다.
사각형 ABFE와 사각형 CDHG의 넓이의 합은
이다.
그러므로 참인 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다.
15) ④
BP 이고
AP 이므로 AP BP 이다.
따라서 삼각형 PAO의 넓이는 삼각형 OAB의 넓이의
이다.
점 P를 지나는 직선이 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하려면 삼각형 PAQ의 넓이는 삼각형 OAB의 넓이의
이다.
삼각형 OAB의 넓이를 S라 하면
∆OPA
S, ∆PAQ
S이므로
∆PAQ
∆PAO
즉 점, Q는 선분 OA를 으로 내분하는 점이다.
∴ Q
직선 PQ의 기울기는
이므로
, 이다.
그러므로
∴
ii BC가 빗변일 때
BC AB CA
∴ , , , ,
그러므로 점 의 개수는 개다.
17) ④
가
나
다
라
마
18) 가 에서
( )
이므로
의 축의 방정식은 이다.
라 하자.
다 에 의해 ( )
≤ ≤ 에서 는 에서 최대이다.
최댓값 ⋯ ㉠
⋯ ㉡
㉠ ㉡을 연립하여 풀면 그러므로
19)
두 함수 , 의 식은
, 이다.
≥ 이면
≥ , ≥ 또는 ≤ ≤ 이다.
주어진 그래프에 의해 ≥ , ≥ 를 만족하는 값의 범위는 ≤ ≤ 이고
≤ ≤ 를 만족하는 값의 범위는
∴
부등식 ≥ 에서
≥
≤ 이고
이 부등식의 해가 ≤ ≤ 이므로
이다.
그러므로
20)
이므로 점 Q는 직선 AB 위에서 점 A와 더 가까운 AB의 외분점이다.
즉 점 Q는 직선 AB 위 제, 사분면에 있는 점이다.
직선 AB의 방정식은
, 이고,
점 P 까지의 거리는
따라서 ∆PAQ의 넓이는
×
× AQ 이고 AQ 이다.
점 Q는 AB의 외분점이므로 Q
AQ
이므로
∴
그러므로 이다.
21)
라고 하면
i
일 때
ii
≤
일 때
iii ≥
일 때
따라서 ≥
이므로 부등식
≤ 가 해를 갖지 않도록 하는 실수 의 값의 범위는