한 보충문제 제 강 [ Cool ] 7
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 1 -
핵심유형 3 역행렬에 관련된 참 거짓․
이차정사각행렬에 대하여 다음의 참 거짓을 판별하, 여라. ( ,단 는 영행렬)
⑴ ,의 역행렬이 모두 존재하면 의 역행렬도 존재한다.
⑵ 이면 의 역행렬은 존재한다.
⑶ 이면 의 역행렬은 존재하지 않는다.
생각
역행렬의 성질을 묻는 문제로 앞에 핵심유형과 마찬가지로 무조건적으로 반례를 외우기보다는 왜 반례가 생기는지 이유 를 알아두어야 한다.
특히 역행렬의 성질에서 , 의 역행렬이 존재하는 것은 곱 , 거듭제곱 의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조 건임에 주의해야 한다.
Cool Idea!! 적어도 ～, 또는 ～ 등의 표현이 있으면 대우를 취한다.
풀이 두 행렬
⑴ ,의 역행렬이 모두 존재한다고 해서 의 역행렬이 반드시 존재하는 것은 아니다. ▷ 거짓
반례 역행렬이 존재하는 두 행렬
[ ]
,
에 대해서 이므로, 의 역행렬은 존재 하지 않는다.
⑵ 의 양변에 를 더하면
∴ ▷ 참 또한, 이면 의 역행렬은 존재한다.
결론을 부정해서
⑶ 이면 A 의 역행렬 이 존재 한다면
∴
이것은 행렬 A 가 역행렬을 가진다는 것에 모순이다.
참
▷
한마디
행렬의 성분이 주어져 있을 때는 의 값이 인지 아 닌지를 이용하여 역행렬의 존재성을 쉽게 따질 수 있지만, 행렬에 대한 등식만 주어졌을 때는 주어진 식을 곱해서 단위 행렬이 나오는 꼴 즉,
⇔ , 로 고쳐 역행렬이 존재함을 보인다.
한편 행렬식이 주어진 경우에 역행렬이 존재하진 않는다는 것은 식을 변형해서는 보일 수가 없으므로, ⑶처럼 주어진 명제의 결론을 부정하여 전제에 모순이 되는 것을 보이는 증 명 방법인 귀류법을 이용하면 된다.
1
이차정사각행렬 에 대하여 다음의 참 거짓을 판별하여, 라. ( ,단 는 단위행렬, 는 영행렬)
⑴ 의 역행렬이 존재하면 의 역행렬도 존재한다.
⑵ 이면 의 역행렬이 존재한다.
⑶ 이면 행렬 는 역행렬이 존재한다.
⑷ 이면 의 역행렬이 존재한다.
[1]
2
이차정사각행렬 에 대하여 다음의 참 거짓을 구하여라, . ( ,단 는 단위행렬, 는 영행렬)
⑴ , 이면 행렬A 의 역행렬은 존재하지 않는 다.
⑵ 이고 ≠이면 의 역행렬은 존재한다.
⑶ 이면 행렬 A 의 역행렬은 존재하지 않는다.
⑷ 의 역행렬이 존재하지 않으면 중 적어도 하나 는 역행렬이 존재하지 않는다.
[2]
3 [ 평가원 ]
두 이차정사각행렬와 에 대하여
,
일 때, <보기 에서 옳은 것을 모두 고르면> ? ( ,단 는 단위 행렬이다.) [4 ]점
. 행렬
ㄱ 의 역행렬은 이다. .
ㄴ
. 행렬
ㄷ 가 역행렬을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[3]
4
행렬
일 때, 가 임의의 실수 에 대하여 항상 역행렬을 갖도록 정수 의 개수는? ( ,단 는 단위행렬 이다.) [3 ]점① ② ③
④ ⑤
[4]
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 8 , 9
5 19쪽 기출문제 4번 집합
≠ ≠ 는 실수
에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4 ]점 .
ㄱ ∈이면 ∈이다. .
ㄴ 행렬
의 성분 , , , 가 이 순서로 공차 가양수인 등차수열을 이루면 ∈이다. .
ㄷ ∈이면 는 역행렬을 가진다.
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[5]
6 19쪽 기출문제 9번 - 축에 접하는 원의 방정식 점 을 지나고, 축, 축에 동시에 접하는 원은 두 개가 있다 이 두 원의 반지름의 길이의 합은. ?
① ② ③
④ ⑤
[6]
한마디
중심의 좌표가 이고 반지름의 길이가, 인 원이
⑴ 축에 접할 때
이므로,
⑵ 축에 접할 때
이므로,
Plus +
중심의 좌표가 이고 반지름의 길, 이가 인 원이 축, 축에 모두 접할 때, 이므로
제 사분면1 ⇨ 제 사분면2 ⇨ 제 사분면3 ⇨ 제 사분면4 ⇨
7 [ 교육청 ]
이차정사각행렬 에 대하여
,
가 성립할 때, 을 간단히 하면? ( ,단 는 의 역행렬, 는 단위행렬, 는 영행렬) [ 점]
① ② ③
④ ⑤
[7]
8 [ 교육청 ]
함수 위의 임의의 점 와 의 역함 수 위의 임의의 점 로 행렬
를 만든다 다음 함수로 행렬. 를 만들 때 역행렬, 이 항 상 존재하는 것은? [4 ]점① ②
③ ④
⑤
[8]
9
원 위의 점 와 원 위의 점 에 대하여 행렬
로 정의하자 행렬. 의 역행렬이 존재하지 않도록 두 점 , 를 정할 때 선분, 의 길이의 최대값을 구하시오. [4 ]점
[9]
10
, 의 연립일차방정식
이 을 만족시키는 해를 가질 수 있도록 상수 ,
의 값을 정할 때, 의 최소값을 구하시오. [3 ]점
[10]
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 8 , 9
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 3 - 11 [ 교육청 ]
모든 실수 에 대하여 , 에 대한 연립방정식
가 단 한 쌍의 해를 가질 때 다음, 중 함수 의 그래프가 될 수 있는 것은? [4 ]점[11]
12
임의의 실수 t 에 대하여 이차 정사각행렬
의 역행렬이 항상 존재할 때 실수, a , b 의 관계를 그래프로 나 타내면? [4 ]점
① ② ③
b
a
b
a
O
-1
b
a
O 1
④ ⑤
b
a -1 O
b
a
O 1
[12]
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 8 , 9
읽기자료 ... 17쪽 실력굳히기 4번
■
훈이는 여름방학 때 아버 지를 따라 유럽에 파리 런, 던, 뮌헨, 암스테르담 4개 도시를 여행하기로 하였다. 이 4개 도시는 오른쪽 그 림과 같이 연결되어 있다.
이 때 여행사에서는 여러, 가지 관광 노선의 차표를
미리 찍어 놓으려고 하는데 어떻게 하면 이렇게 많은 관광, 노선을 계산할 수 있을까?
먼저 간단한 경우를 생각해 보면 한 도시에서 이웃하는 다, 른 도시로 가는 노선을 1급 노선이라고 한다 이를테면 런던. 에서 파리로 가는 1급 노선은 1개가 있고 런던에서 파리나, 암스테르담을 거쳐서만 뮌헨으로 갈 수 있으므로 런던에서 뮌헨으로 가는 1급 노선은 없다.
따라서 각 도시 사이의 1급 노선의 수를 표의 형태로 배열 한다면 다음의 < 1>표 과 같다.
파리 런던 뮌헨 암스테르담
파리 0 1 1 1
런던 1 0 0 1
뮌헨 1 0 0 1
암스테르담 1 1 1 0
표 급 노선의 수
[ 1] 1
이 때, < 1>표 을 행렬로 나타내면 오른쪽과 같다.
생각해 봅시다! ^^
■
급 노선 개를 연속가게 되는 노선을 급 노선이라고
1 2 2
⑴
한다 이를테면 런던에서 뮌헨으로 가는. 2급 노선은 런던 파- 리 뮌헨 런던 암스테르담 뮌헨의- , - - 2개가 있다.
표 과 같이 급 노선의 수를 표의 형태로 배열하여라
< 1> 2 .
단 한 도시에서 이웃하는 도시에 갔다가 오는 것도 급 노
( , 2
선으로 간주한다.)
위의 방법은 도시의 수가 많아진다거나 3급 노선, 4급 노
⑵
선(1급 노선 3 , 4개 개를 연속가게 되는 노선 을 고려하는 경) 우에는 상당히 힘들게 된다 수학에서는 행렬을 이용해서 간. 단하게 이를 해결할 수 있다 두 행렬. , 중 2급 노선 의 수를 나타내는 것은 어떤 것인지를 구하고 이를 응용하, 여 3급 노선의 수를 나타내는 행렬을 행렬 를 이용하여 나 타내어라.
의 결과를 이용하여 파리에서 암스테르담으로 가는 3급
⑶ ⑵
노선의 수를 구하여라.
생각해 봅시다! ^^ ... 에 대한 명쾌한 해설
■
주어진 그림에서 각 도시에서의 2급 노선의 수를 구하면,
⑴
다음과 같다.
파리 런던 뮌헨 암스테르담
파리 3 1 1 2
런던 1 2 2 1
뮌헨 1 2 2 1
암스테르담 2 1 1 3
표 급 노선의 수
[ 2] 2
⑵
,
이므
로, < 2>표 와 같이 2급 노선의 수 를 나타내는 행렬은 이다.
따라서, 3급 노선의 개수를 나타내는 행렬은 행렬 를 세 제곱한 이다.
파리에서 암스테르담으로 가는 3급 노선의 수는 행렬
⑶
의 성분 또는 성분이므로, 에서 행렬
의 행과 행렬 의 열을 곱하면 된다.
즉 위에서 알 수 있듯이, 가지이다.
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 11 , 12
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 5 - 13 [ 교육청 ] 26쪽 실력다지기 4번
임의의 실수 에 대하여 행렬
의 역행렬이 존재하도록 하는 정수 , 의 순서쌍 의 개수는? [4 ]점
① ② ③
④ ⑤
[13]
14 [ 교육청 ] 29쪽 실력다지기 11번
두 집합
,
에 대하여 ∩≠ 일 때 모든 상수, 의 값의 합은? [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[14]
15
이차정사각행렬 와 영행렬 에 대하여 집합 를
라 정의할 때 다음, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ( ,단 는 이차정사각행렬이고, 는 단위행렬이다.) [4 ]점
.
ㄱ ∈이면 ∈이다. .
ㄴ ∈이면 ∈이다. .
ㄷ ∈이면 ∈ 또는 ∈이다.
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[15]
16
이차정사각행렬로 이루어진 두 집합 , 가
,
와 같을 때 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은, ? ( ,단 는 영행렬, 는 단위행렬이다.) [3 ]점
.
ㄱ ∩ ∅ .
ㄴ ∈이면 행렬 의 역행렬이 존재한다. .
ㄷ ∈이면 행렬 의 역행렬이 존재하지 않는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[16]
한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 13 ~ 14
17
두 행렬의 곱
의 성분이 소수 가 되도록 하는 모든 자연수 의 합을 구하시오. [4 ]점[17]
18
이차 정사각행렬 의 성분 ( , , , 는) 곡선 와 직선
의 교점의 개수를 나타낼 때 행렬, 의 모든 성분의 합은? [4 ]점
① ② ③
④ ⑤
[18]
19
, 에 대한 연립방정식
가 을 이외의 해를 갖도록 하는 실수 , 에 대하 여 의 최대값과 최소값의 합을 구하시오. [4 ]점
[19]
20
좌표평면 위의 점 에 대하여 행렬
는 을 만족하고, 점 에 대하여 행렬
는 을 만족한다.두 점 , 사이의 거리 의 최대값과 최소값의 합을 구하시오. [4 ]점
[20]
21
다음 조건을 모두 만족하는 실수 , 에 대하여 좌표평면 위의 점 와 원점 를 연결한 선분 가 축의 양 의 방향과 이루는 각의 크기를 라 할 때 모든, 의 값들의 합은? ( , ≦ 단 ) [4 ]점
.
Ⅰ . 행렬
Ⅱ
가 역행렬을 갖지 않는다.① ②
③
④
⑤
[21]
22
이차정사각행렬 에 대하여 <보기 에서 옳은 것을 모>
두 고른 것은? ( ,단 는 영행렬, 는 단위행렬이다.) [3 ]점 .
ㄱ ≠이고 이면 이다. .
ㄴ 이면 이다. .
ㄷ 의 역행렬이 존재하면 의 역행렬도 존재한다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[22]
한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 13 ~ 14
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 7 - 23
이차정사각행렬
에 대하여 행렬 와 가 모두 역행렬이 존재하지 않을 때, <보기 에서 항상 옳은>것을 모두 고른 것은? [3 ]점 . 행렬
ㄱ 는 역행렬을 갖는다. .
ㄴ . 행렬
ㄷ 는 역행렬을 갖는다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[23]
24 [ 평가원 ]
이차 정사각행렬와에 대한 <보기 의 설명 중에서 옳>
은 것을 모두 고른 것은? ( ,단 는 영행렬) [3 ]점 .
ㄱ 와의 역행렬이 존재하면 이다. .
ㄴ 이면와 중에서 적어도 하나는 역행렬이 존재하지 않는다.
.
ㄷ 의 역행렬이 존재하지 않으면 연립방정식
의 해는 무수히 많다.① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄴ ㄷ,
[24]
25
두 이차정사각행렬 , 가 를 만족시킬 때, 보기 에서 항상 옳은 것을 모두 고르면 단
< > ? ( , 는 단위행
렬이다.) [4 ]점 .
ㄱ 의 역행렬이 존재한다. .
ㄴ 의 역행렬이 존재한다. .
ㄷ
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[25]
26
는 이차정사각행렬이고 의 역행렬이 존재할 때, <보 기 에서 옳은 것을 모두 고른 것은> ? ( ,단 는 영행렬이다.) [3 ]점
.
ㄱ 이면 이다. .
ㄴ 이면 이다. .
ㄷ 이면 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[26]
한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 13 ~ 14
27 [ 평가원 ]
이차정사각행렬 가 역행렬을 가질 때, <보기 에서 항>
상 옳은 것을 모두 고른 것은? ( ,단 는 단위행렬) [4 ]점 .
ㄱ .
ㄴ 이면 이다. .
ㄷ 이면 이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[27]
28
이차정사각행렬
에 대하여 ≠ 이고
일 때, <보기 의 연립방정식 중에서> 이외의 해가 존재하는 것을 모두 고른 것은? [4 ]점
.
ㄱ
.ㄴ
.ㄷ
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
,
④ ㄱ ㄴ ⑤ ㄴ ㄷ,
[28]
29
두 행렬
,
에 대하여 <보기> 중옳은 것을 모두 고른 것은? ( , , , , 는 실수,단 는 영 행렬) [4 ]점
.
ㄱ ≠ 이면 의 역행렬이 존재한다. .
ㄴ ≠ 이면 의 역행렬이 존재한다. .
ㄷ ≠이고 ≠이면 ≠이다.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[29]
30
연립방정식
의 해 , 에 대하여 보기< >중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4 ]점 .
ㄱ , 이면 해가 무수히 많다.
.
ㄴ 이면 해가 무수히 많다. .
ㄷ 이면 단 한 쌍의 해를 가진다.
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[30]
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- 9 - [1] 풀이참고
역행렬의 성질에서
⑴
( , 은 자연수)단
이므로, 의 역행렬이 존재하면 의 역행렬도 존재한다. 또한, 의 역행렬도 존재하면 의 역행렬도 존재한다.
참
▷
⑵ 이므로, 의 역행렬이 존재한다 즉. ,
역행렬의 성질에서
▷ 참
⑶ 에서 이므로
▷ 참
⑷ 의 양변에 를 더하면
,
즉, 의 역행렬은 이다. ▷ 참 [보충설명]
의 양변에 를 더하면
,
∴
즉, 의 역행렬은 임을 알 수 있다. [2] 풀이참고
결론을 부정해서
⑴ A2-A= O, A /= E 이면 A 의 역행렬 은 존재한다고 가정하자.
이 때, A 의 역행렬 A- 1을 A2-A= O 의 양변의 왼쪽에 곱하면
A- 1(A2-A) =A- 1O, (A- 1A)A-A- 1A=O A-E= O
∴A= E
이것은 A /= E 라는 것에 모순이다. ▷ 참
⑵ 이므로, 의 역행렬이 존재 하면 이다.
즉, 의 역행렬은 존재하지 않는다. ▷ 거짓 결론을 부정해서
⑶ 이면 의 역행렬 이 존재 한다면
, ∴ 이것은 행렬 가 역행렬을 가진다는 것에 모순이다.
참
▷ 주어진 명제의 대우 ‘
⑷ 모두 역행렬이 존재하면
의 역행렬이 존재한다.’ 가 참이므로 원래 명제도 참이다, . 참
▷ [3] ⑤
.
ㄱ 이므로 행렬, 의 역행렬은 이다. 참
▷ . 에서
ㄴ ㄱ 이므로
∴ ▷ 참 .
ㄷ ⇔ (∵ㄴ)
⇔ ⇔ (∵ㄱ)
⇔
즉 행렬, 의 역행렬은 이다. ▷ 참 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다.
[4] ②
인 행렬이 임의의 실수 에 대하여 항상 역행렬을 가지려면
≠
∴ ≠
즉, 에 대한 이차방정식 을 만족하 는 실근이 존재하지 않아야 하므로 판별식을 라 할 때,
,
∴
따라서 정수, 의 개수는 , , 의 개다.
[5] ⑤ .
ㄱ
라 하면
에서 ≠ 이므로 ≠
≠ 이므로 ≠
에서
∴ ∈ ▷ 참
. 공차를
ㄴ 라 하면
이므로, ≠ ≠ 이고
∴∈ ▷ 참 .
ㄷ
라 하면, 에서 이므로
그런데 ≠ ,≠ 이므로 ≠
따라서 는 역행렬을 가진다. ▷ 참
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다. [6] ④
원이 점 을 지나고, 축,
축에 접하면 오른쪽 그림과 같이, 이 원은 제 사분면에 위치한다.
그러므로 반지름의 길이를, 이라 하면 중심은, 이므로 원의, 방정식을
라 놓을 수 있다.
이 원이 점 을 지나므로
∴ 따라서 근과 계수와의 관계에 의해 두 원의 반지름의 길이, , 의 합은 이다.
y
O x
( - 1 , 3 )
[7] ⑤
이므로
,
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 7 ~ 14
에서
,
∴ [8] ④
그림과 같이 함수 와 의 그래프가 원점 을 지나는 직선과 교점이 생길 때 이를 각각 점, , 점 라 하면
가 성립하여 행렬 의 역행렬이 존재하지 않는다.
따라서 주어진 함수와 그 함수의 역함수가 원점 을 지나는 직선과 항상 교점을 갖지 않는 함수는
이다.
[9] 생각
행렬
의 역행렬이 존재하지 않으므로 ∴
이 성립한다. 이 때,
로 생각하면, 와
의 기울기가 같다는 것을 의미한다. ( , 는 원점)단 두 점 , 가 각각 원 , 원
위의 점이므로
, … ㉠ 이 때 행렬,
의 역행렬이 존재하지 않으므로 … ㉡ )
ⅰ ≠ 이면
즉 세 점, , , 는 원점을 지나는 직선 위에 있 으므로 오른쪽 그림과 같이 선분,
의 길이의 최대값은
)
ⅱ 이면 ㉠ ㉡, 에서
± , , ± 이 때 선분, 의 길이의 최대값은
따라서, ⅰ), ⅱ)에서 선분 의 길이의 최대값은 이다.
[10]
연립방정식
에서
∴
이 때, 이 을 만족하지 않으므로 이 연,
즉,
의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 ∴
이 때, 로그의 진수조건에서 , 이므로 산술평균, 과・기하평균 사이의 관계에서
≧ ( ,단 등호는 일 때 성 립)
따라서, 의 최소값은 이다.
[11] ⑤
주어진 연립방정식이 단 한 쌍의 해를 갖기 위해서는
의 역행렬이 존재해야 한다. × × ≠
따라서, 모든 실수 에 대하여 ≠ 이므로, 함수
의 그래프는 축과 만나지 않아야 한다. [12] ③
이차 정사각행렬
의 역행렬 이 존재하므로
≠
∴ ≠
이 식이 모든 실수 t 에 대하여 성립하므 로
∴
따라서 구하려는 그래프는, ③번이다b
a
O 1
b = a
[13] ⑤
역행렬이 존재하려면
∴
)
ⅰ 일 때,
＜에서
＜ ∴ ＜
이 때 이 부등식을 만족하는 순서쌍,
는
, , ,
, , ,
, ,
의 개다. )
ⅱ 일 때 임의의 실수, 에 대 하여
이 성립해야 하므로, 이다 즉. , (a,b) = (1, 4)
따라서 구하는 순서쌍의 개수는, 개 이다( ) . [14] ①
행렬
의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 7 ~ 14
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- 11 - 따라서, 이고 모든 의 값의 합은 이다.
[15] ② .
ㄱ ∈이면
이 때, 이므로
∴∈ ▷ 참
이차정사각행렬 .
ㄴ 와 이상인 자연수 에 대하여
이면 이므로, 에서
∴∈ ▷ 참
주어진 명제의 대우 .
ㄷ
‘∈ 그리고 ∈이면 ∈이다.’
의 참 거짓을 알아보자 즉, . , ∈, ∈에서
, … ㉠
이 때 행렬의 곱셈에는 영인자가 있으므로, , ㉠을 만족하면서
∴ ∈
인 이차정사각행렬 ,가 존재한다. ▷ 거짓 반례)
,
에 대하여
,
∴
따라서, <보기> 중에서 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 뿐이다. [16] ②
반례 행렬 . [ ]
ㄱ
에 대하여 이므로∈, ∈ ∴∩ ∅ ▷ 거짓 .
ㄴ ∈이면 ⋅ 이므로 역행렬의 정의에서,
즉 행렬, 의 역행렬이 존재한다. ▷ 참 반례 행렬
. [ ]
ㄷ
에 대하여∈이고 ▷ 거짓 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄴ뿐이다.
[17]
이 때, 이 소수가 되려면 )
ⅰ 이고 은 소수일 때
일 때 이므로 조건을 만족한다, . )
ⅱ 이고 은 소수일 때
,
∴ 또는
은 조건을 만족하지만, 는 조건을 만족하 지 않는다.
따라서, ⅰ), ⅱ)에서 조건을 만족하는 자연수 은 , 뿐 이고 그 합은, 이다.
[18]
다음 그림과 같이 의 그래프에 대하여
)
ⅰ 일 때, 직선은
이므로 교점의 개수는, 개 )
ⅱ 또는 일 때, 직선은
이므로 교점의 개수는, 개 )
ⅲ 일 때, 직선은
이므로 교점의 개수는, 8개
따라서 행렬,
의 모든 성분의 합은
[19]
에서
이므로
∴
이 방정식이 , 이외의 해를 가지려면 행렬,
의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 ,
∴ … ㉠
이 때, 라 놓으면 직선, 과 원 ㉠ 이 접할 때 는 최대 최소가 된다 즉, . ,
,
∴ 또는
따라서, 의 최댓값과 최솟값의 합은
[20]
에서 이므로
∴ … ㉠ 또, 에서 이므로
∴ … ㉡ 에서 두 점
,
㉠ ㉡ , 는 각각 두 원
,
의 원주 위를 움직이므로 다음 그림과 같이 선분, 의 길
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 7 ~ 14
이가 최소가 되는 것은 두 점 P , Q가 중심선 위에 있는 경 우이다 즉. ,
( 의 최소값)=(중심거리)-(두 원의 반지름의 합)
O
10
같은 원리로 선분, 의 길이가 최대값은
( 의 최대값)=(중심거리)+(두 원의 반지름의 합)
따라서, 의 최대값과 최소값의 합은
[21] ⑤
행렬
가 역행렬을 갖지 않으므로 ∴
또는
이 때, 가 위의 점이므로 주어진 조건, 을 만족하는 점 는 다음 그림과 같이 가지 경우가 있다.
따라서 모든, 의 값들의 합은
[22] ④ .
ㄱ (반례)
이라 하면 가 성립하지만 ≠이다.거짓
▷ .
ㄴ 의 양변에 를 곱하면
,
∴
즉, 의 역행렬이 존재한다. ▷ 참 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄴ ㄷ, 뿐이다.
[23] ③
두 행렬
,
의 역 행렬이 존재하지 않으므로
두 식을 연립하면
.
ㄱ 이므로 이 존재한다. ▷ 참 .
ㄴ 에서
이고, , 에 의하여
이므로
∴ ▷ 참 에 의하여
.
ㄷ ㄴ 이므로
이 때, 의 역행렬이 존재하지 않으므로,
의 역행렬이 존재하지 않는다. ▷ 거짓 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄱ ㄴ, 이다.
[24] ②
역행렬의 존재성과 교환법칙은 아무 상관이 없다
. .
ㄱ
(반례)
,
이라 하면, 와 의 역행렬이 존재한다 그러나.
,
이므로 ≠이다. ▷ 거짓
. 대우인 ㄴ
‘행렬 , 가 모두 역행렬이 존재하면 ≠이다.’
가 참임을 이용하여 주어진 명제가 참임을 증명하자.
행렬 , 의 역행렬을 각각 , 라 할 때 라 가정하면
)
ⅰ ⇒ ⇒ (모순) )
ⅱ ⇒ ⇒ (모순) 즉, ⅰ), ⅱ)에서 ≠
따라서 대우가 성립하므로 원래의 명제는 옳다, . ▷ 참 .
ㄷ 의 역행렬이 존재하지 않으면 연립방정식
의 해는 무수히 많거나 없으므로 거짓이다, .따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄴ 뿐이다.
한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 7 ~ 14
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 13 - .
ㄱ 에서
∴ 즉, 의 역행렬은 이다. ▷ 참 . (반례)
ㄴ
, 이면
이지만, 이므로 역행렬이 존재하지 않는다. 거짓
▷ 역행렬의 정의에 의해
.
ㄷ 에서
이므로
∴ ∴ ▷ 참 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄱ ㄷ, 이다.
[26] ③ .
ㄱ 이면 에서 이다.
∴ ▷ 참
.
ㄴ 이면 에서 이다.
∴ ▷ 참 . [반례]
ㄷ
이면 이 존재하고 이지만 ≠ ▷ 거짓 따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄱ ㄴ, 이다.
[보충설명]
이므로 ㄷ의 반례는
을 만족시키는 영인자를 이용하여 찾을 수 있다.
[27] ③
좌변과 우변을 정리하여 비교하면 .
ㄱ
∴ ▷ 참 .
ㄴ 이면
∴ ▷ 참 역행렬의 존재성과 교환법칙은 아무 상관이 없다
. .
ㄷ
즉, 을 만족하는 행렬 이 존재하고 행렬,
, 의 역행렬이 존재한다고 해서 행렬 , 에서 교환법칙 이 성립한다는 보장이 없다.
(반례)
,
이면 이므로,이지만
≠ ▷ 거짓
따라서 보기 중에서 옳은 것은, ㄱ ㄴ, 뿐이다.
[보충설명] 에서 행렬
ㄷ , 의 역행렬이 존재하는 것과 상관없이
⇒
⇒
⇒∕
임에 주의해야 합니다. [28] ③
.
ㄱ 에서 이므로, 와 의 역행렬이 존재하고 오직 한 쌍의 해 을 가진다.
.
ㄴ 이면
이므로 의 역행렬이 존재하고 오직 한 쌍의 해
을 가진다. .
ㄷ 이면 이고, ≠ 에서
≠ 이므로 ≠ ≠이고 의 역행렬 이 존재하지 않는다.
즉, 이외의 해를 가진다.
따라서, 이외의 해를 가지는 것은 ㄷ뿐이다. [29] ⑤
.
ㄱ
이므로 ≠ 이면 ≠
즉, 의 역행렬이 존재한다. ▷ 참 .
ㄴ ≠ 이므로 ≠ , ≠ 이다.
즉, , 는 각각 역행렬이 존재하고 이 때, , 의 역행렬
도 존재한다. ▷ 참
.
ㄷ ≠이므로 가 존재한다.
만약 라면 에서 이므로 모 순이다.
즉, ≠이고 ≠이면 ≠이다. ▷ 참 따라서 ㄱ ㄴ ㄷ, , 모두 옳다.
[30] ① 연립방정식 .
ㄱ
에서
⋅ , ⋅
∴
즉 이 연립방정식을 만족하는, , 는 무수히 많다. ▷ 참 . (반례)
ㄴ 일 때 연립방정식,
에서
그런데, , 이므로 이 연립방정식의 해는 없,
다. ▷ 거짓
.
ㄷ 이면,
의 역행렬이 존재하므로 연립방정 식
의 양변에
을 곱하면
∴ , 한 보충문제 제 강 강 [ Cool ] 7 ~ 14
그런데, , 이므로 이 연립방정식의 해는 없다, . 거짓
▷ 따라서 보기 중에서 항상 옳은 것은, ㄱ 뿐이다.
