한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 25 ~ 27
꼭 알아두어야 할 그래프 ...
⎗
지수함수와 로그함수의 그래프 ( )
평행이동
지수함수의 대칭성
한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 25 ~ 27
1
함수 의 그래프는 의 값에 관계없이 항상 일 정한 점 를 지날 때, 의 값은? ( , 단 ) [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[1]
2
다음 물음에 답하여라. 함수
⑴ 의 최소값을 구하시오. 함수
⑵ 의 최대값을 구하시오.
[2]
3
두 함수 , 에 대하여 함수
∘ 가 최소값 를 가질 때, ∘ 의 값 은? ( , 단 ) [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[3]
4
의 최소값이 일 때 상수, 의 값 을 구하면? [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[4]
5
지수함수
에 대하여 집합
인 실수 라 할 때 집합,
의 모든 원소의 총합을 구하시오. ( , 단 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4 ]점[5]
6
함수 ( , 의 그) 래프가 네 점
, , ,
을 꼭지점으로 하는 직사각형과 만나도록 상수 의 값을 정할 때, 의 최대값과 최소값을 각각 라 한다. 의 값을 구하시오. [4 ]점
[6]
7 [ 교육청 ]
그림과 같이 두 곡선 , 와 두 직선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [3 ]점
[7]
8 [ 교육청 ]
그림에서 함수 의 그래프 위의 서로 다른 두 점
의 좌표를 각각 라 할 때,
의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? ( , ) [3단 점]
O
①
②
③
④
⑤
[8]
한 보충문제 제 강 제 강 [ Cool ] 25 ~ 27
핵심유형 ⇨ 지수방정식 ⋅지수부등식의 응용
에 대한 방정식
⋅
이 서로 다른 두 실근을 갖도록 상수 의 값의 범위를 구하 여라.
생각
지수방정식 부등식에서․ 로 치환하는 유형으로 앞에서 공부한 것처럼 치환했을 때의 범위에 주의해야 한다.
즉, 에서 이므로, 에 대한 방정식
⋅ 이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 것은
에 대한 방정식
이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다는 뜻이 된다.
Cool Idea!! 로 치환할 때는 이라는 것을 절대 잊지 말자!
풀이
⋅
⋅ 에서 로 치환하면
⋯ ㉠
이 때 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 방, 정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
즉, 에 대한 이차방정식 ㉠이 서 로 다른 두 양의 실근을 갖기 위해 서는
) 대칭축
ⅰ 가 경계점 의 오른쪽에 있어야 하므로
∴
서로 다른 두 실근을 가지므로 )
ⅱ
⋅ , ∴ 또는
) 경계점
ⅲ 에서의 함수값이 양수이어야 하므로
따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 의 값의 범위는
한마디
학년 때 배운 것처럼 이차방정식의 근의 범위에 관한 문 1
제는 이차함수의 그래프를 조건에 맞게 그린 후 대칭축의 위치
)
ⅰ ) 판별식
ⅱ )
9
다음 물음에 답하여라. 모든 실수
⑴ 에 대하여 부등식 ⋅ ≧ 이 항상 성립하도록 상수 의 값의 범위를 구하여라.
모든 실수
⑵ 에 대하여 부등식
이항상 성립할 때 상수, 의 값의 범위를 구하여라.
[9]
10 [ 교육청 ]
에 대한 방정식 ⋅ 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 상수 의 값의 범위는? [3 ]점
① ＞ ② ＜ ＜ ③
④ ＜＜ ⑤ ＞
[10]
11 [ 교육청 ]
모든 실수 에 대하여 부등식 ․ ≦ 가 성립하 도록 하는 실수 값의 범위는? [점]
① ≦ ② ≦ ≦ ③ ≦ ≦
④ ≦ ⑤ ≧
[11]
12
에 대한 방정식 이 하나의 음의 근과 하나 의 양의 근을 갖기 위한 실수 의 값의 범위는? [4 ]점
① ② ③
④ ⑤
[12]
y
O
인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강 제 강
[ ... Cool ] 28 ~ 29
13
그림과 같이 함수 의 그래프가 점 을 지나고 점근선이 일 때, 절편 의 값은? ( , 는 상수단 이다.) [3 ]점
① ②
③ ④ ⑤
[13]
14
그림과 같이 의 그래프 위의 한 점 를 지나고 축에 평행한 직선이 의 그래프 와 만나는 점을 점, 를 지나 고 축에 평행한 직선이 과 만나는 점을 라 한다 선분.
의 길이가 이고 선분, 의 길이를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [4 ]점
[14]
15 [ 평가원 ]
그림과 같이 곡선 위의 한 점 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 라 하자 점. 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을
라 하자 점. 를 지나고 축
에 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 라 하자.
, 일 때 사각형, 의 넓이는? [4 ]점
① ②
③
④ ⑤
[15]
16 [ 평가원 ]
오른쪽 그림은 일차함수 의 그래프이다 함수. 의 그래프 의 개형으로 알맞은 것은? [3 ]점
[16]
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[ ... Cool ] 30 ~ 31
17 실력다지기 번 관련유형8
이차방정식 의 두 근 , 에 대하여
가 성립할 때 실수, 의 값의 범위는? [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[17]
18 실력다지기 번 관련유형8
방정식 ⋅ 의 두 근 사이에 이 존재하도 록 하는 정수 의 개수는? [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[18]
19 실력다지기 10번 관련유형 수열
이
( ,단
⋯)
으로 정의될 때 다음 중 최소인 항은, ? [4 ]점
① ② ③
④ ⑤
[19]
20 실력다지기 14번 관련유형 [ 교육청 ]
시간이 지남에 따라 일정한 비율로 늘어나는 두 종류의 세 균
,
가 있다.
는 시간이 지날 때마다 그 수가 배로 늘어나고,
는 시간이 지날 때마다 배로 늘어난다.
세균마리와
세균 마리를 동시에 배양하기 시작하였을 때,
의 수가
의 수 이상이 되도록 배양하는데 걸리는 최 소의 시간은? ( , , 단 ) [4 ]점① ② ③
④ ⑤
[20]
21
다음 그림과 같이 세 지수함수 , , 위의 네 점으로 이루어진 사각형 가 정사각형일 때,
의 값을 구하시오. [4 ]점
[21]
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[ ... Cool ] 25 ~ 31
[1] ④
즉, 일 때 따라서 함수, 의 그래프는 의 값에 관계없이 항상 일정한 점 를 지난다.
∴ [2] ⑴ ⑵
⑴
⋅ ⋅
로 놓고 를 에 대해 나타내면
,
∴ 이 때 주어진 함수는,
또 치환을 했으므로, 의 범위를 알아내야 한다 즉. , ,
이므로 산술 기하 평균을 이용하면․
∴ ≧
⋅ 따라서 주어진 함수는 일 때 최소값 를 가진다.
⑵
로 놓고 를 에 대해 나타내면
,
∴ 이 때 주어진 함수는,
또 치환을 했으므로, 의 범위를 알아내야 한다. 즉, 이므로 산술 기하 평균을 이용하면․
∴ ≧
⋅ 따라서 주어진 함수는 일 때 최대값 을 가진다.
[3] ③
두 함수 , 의 합성함수
∘ 를 구하면
∘
이 때 이므로 이 함수는 일 때 최소값 를 가 진다.
즉, ∘ 이므로
(∵ )
따라서 이므로 구하는 값은
∘
⋅
[4] ⑤
모든 실수 에 대하여 이므로 산술 기․ 하 평균에 의해
≧
≧ ⋅
즉, 최소값은 ⋅이고 이는, 즉
일 때 성립한다.
따라서 일 때 가 최소값 을 가지므로
⋅ , ∴ [5]
오른쪽 그림과 같이 지수함수
의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.즉, 일 때, 이므로
, , ,
따라서 집합,
의 모든 원소의 총합은
[6]
에서 이면 이므로 오른쪽 그림과 같, 이 함수 의 그래프는 항상 점 를 지난다.
) 함수
ⅰ 가 점 를 지날 때
∴
) 함수ⅱ 가 점 를 지날 때
∴
따라서, ⅰ), ⅱ)에서 의 최대값은
, 최소값
이므로∴
[7]
주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 그 림과 같이 평행사변형 의 넓이와 같다.
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[ ... Cool ] 25 ~ 31
의 그래프는 의 그래프를
축, 축의 방향으로 각각 , 만큼 평행이동시킨 것이 다.
원점을 축, 축의 방향으로 각각 , 만큼 평행이동시 키면 이고 점, 는 직선 위의 점이 다.
따라서 의 그래프와 직선 의 교 점 의 좌표는 이다 이때 점. , 의 좌표는
이므로 이고 평행사변형, 의 넓이는
×
[8] ①
[9] ⑴ ≧ ⑵ ≧
⑴ ⋅ ≧ 에서 ⋅ ≧
로 치환하면 ≧ ⋯ ㉠ 이 때 주어진 부등식이 모든 실수
에 대하여 성립한다는 것은 부등식 이
㉠ 인 모든 실수 에 대하여 성립한다는 뜻이다.
즉 오른쪽 그림과 같이, 에서 에 대한 이차함수
이 축보다 위쪽에 있어야 하므로, 에 대한 이차방정식
이 중근 또는 허근을 가지면 된다. 따라서 구하는, 의 값의 범위는
⋅ ≦ ∴ ≧ [보충설명]
함수의 최소값이 보다 크거나 같다는 것을 이용하여 다 음과 같이 풀 수도 있다 즉. , 라 하면
이므로
≧ ∴ ≧
⑵
에서
,
⋅
이 때,
( 로 치환하면)
즉, 인 모든 실수 에 대하여 을 만족 하는 상수 의 값의 범위를 구하면 된다.
따 라 서
라 놓으면, 오른쪽 그림과 같이
일 때의 함수값 가 보다 크거나 같 으면 된다.
∴ ≧
O
-2
[10] ⑤
, 이라 하자.
방정식 ⋅ 이 서로 다른 두 실근을 가지면 방정식, 이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는 다.
방정식 의 서로 다른 두 양의 실근을 라 하면,
이므로 )
ⅰ
에서 … ㉠ )
ⅱ 에서 … ㉡ )
ⅲ 에서
… ㉢
따라서, ㉠ ㉡ ㉢ 에서 구하는 범위는 , , [11] ④
≧ 에서 ( 라 하면)
≧ )
ⅰ 의 대칭축이 양수일 때 ≦ )
ⅱ 의 대칭축이 음수일 때 )
ⅲ 일 때,
따라서, ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 의 값의 범위는
≦ [12] ①
로 놓으면 , 이므로 주어진 방, 정식은 이방정식이 과 의 범위 에서 근을 하나씩 가지면 원래의 방정식이 하나의 음의 근과 하나의 양의 근을 갖는다.
인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강 제 강
[ ... Cool ] 25 ~ 31
∴ [13] ④
곡선 의 점근선이 이므로,
의 그래프는 점근선이 이다.∴
이 때 주어진 함수의 그래프가 점, 을 지나므로
∴ 따라서 함수,
의 절편 의 값은
∴ [14]
의좌표를 라 하면 선분, 의 길이가 이므로 점 의좌표는
이 때 두 점,
,
의 좌표가 같으므로 , , ∴
따라서,
,
이므로
∴
[15] ④
라 하면 이므로
이 때, 의 좌표가 같아야 하므로
∴ … ㉠ 또, 이고, 이므로
∴ … ㉡ 과 에서
㉠ ㉡
,
∴ 이 때, , ,
한편 두 점, , 의 좌표가 같으므로, 에서
∴
따라서 사각형, 의 넓이를
라 하면
×
× × ×
[16] ④
이므로
따라서, 의 그래프의 개형은 ④와 같다. [17] ⑤
라 하면,
그림과 같이 되어야한다 즉. , )
ⅰ 에서
∴ )
ⅱ 에서
∴ 또는 따라서, ⅰ), ⅱ)로부터
x y= f(x)
-2 1
[18] ④
로 놓으면 주어진 방정식은
… ㉠
일 때 이므로 주어진 방정식의 두 근 사이에, 이 존재하려면 두 근이 모두 보다 크고 ㉠의 두 근 사이에 가 존재해야 한다.
즉, 으로 놓으면
이 때 이차방정식 의 두 근이 ±
이므로
∴ ××× ×××
따라서 정수, 는 , , … 로 개다, . [19] ④
＜ 에서 ＜ , ＜
＜ ＜
∴ ＜＜
즉, ⋯ 일 때
＞ ＞ ＞ ⋯ ＞ … ㉠ 또,
＞ 에서＞
∴＜ ＜ ⋯ … ㉡
한편, 일 때
… ㉢
따라서, ㉠ ㉡ ㉢, , 에서 최소항은 또는 이다. [20] ①
시간을 라 하면
는 시간마다 배씩 증가하므로 시간 후에는
배,
는 시간마다 배씩 증가하므로 시간 후에는
배 이다.
이 때,
세균 마리와
세균 마리를 동시에 배양하 기 시작하였을 때,
의 수가
의 수 이상이 되도록 배양하 는데 걸리는 최소의 시간을 이라 하면⋅
≧ ⋅
양변에 상용로그를 취하면
인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강 제 강
[ ... Cool ] 25 ~ 31
∴ ≧ × ×
[21] 93
오른쪽 그림과 같이 네 점의 좌표를 각각
, ,
,
이 때 두 점, , 와 두 점 , 의 좌 표가 각각 서로 같으므로
∴ ,
… ㉠
한편 정사각형, 의 한 변의 길이가 이므로
이 때, ㉠에서 이므로
,
∴ 이 때, 가 실수이므로
∴ , 따라서 구하는 값은,
α β
A C B
x y
O 1
y = ax y = cxy = bx
6 12
D
