Interface Capturing for Immiscible Two-phase Fluid Flows by THINC Method

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THINC법을 이용한 비혼합 혼상류의 경계면 추적

Interface Capturing for Immiscible Two-phase Fluid Flows by THINC Method

이광호*·김규한**·김도삼***

Kwang Ho Lee*, Kyu Han Kim** and Do Sam Kim***

요 지 :기체와 액체의 유동 및 고체의 변형을 동시에 고려할 수 있는 혼상류모델을 이용하여 파동장을 해석하는

경우, 서로 다른 비혼합의 유체 경계면의 시간변형을 고정도로 추적하는 것이 대단히 중요하다. 본 연구에서는 경 계면의 추적에 있어서 VOF(Volume of Fluid)법으로 대표되는 경계면 형상의 재구축이 필요한 Geometrical-type의 경계추적법의 대신에 Algebraic-type의 경계추적법인 THINC(Tangent of Hyperbola for INterface-Capturing)법을 적 용하였다. THINC법은 경계면에 대한 형상의 구축이 필요하지 않으므로 VOF법에 비해 비교적 간단한 알고리즘을 가지며, 기존의 Navier-Stokes solver에로 적용성이 용이한 장점을 갖는다. 본 연구에서는 THINC법의 기본적인 이 류특성을 고찰하고, 혼상류수치모델인 TWOPM(one-field Model for immiscible TWO-Phase flows)과 결합한 수치모 델을 파동장에 적용하여 비혼합 혼상류에서 경계면의 추적능을 검토하였다. 그 결과, 혼상류의 경계면 추적에 있어 서 상대적으로 간단한 알고리즘의 THINC법이 기존의 VOF법과 유사한 정도를 갖는 해석법이라는 것을 확인할 수 있었고, 따라서 향후 기포의 연행을 동반하는 쇄파 및 쇄파력의 해석 등에 그의 적용성이 기대된다.

핵심용어 :THINC법, VOF법, 혼상류수치모델, Navier-Stokes solver

Abstract : In the numerical simulation of wave fields using a multi-phase flow model that considers simultaneous flows of materials with different states such as gas, liquid and solid, there is need of an accurate representation of the interface separating the fluids. We adopted an algebraic interface capturing method called tangent of hyperbola for interface-capturing(THINC) method for the capture of the free-surface in computations of multi-phase flow simulations instead of geometrical-type methods such a volume of fluid(VOF) method. The THINC method uses a hyperbolic tangent functions to represent the surface, and compute the numerical flux for the fluid fraction functions. One of the remarkable advantages of THINC method is its easy applicability to incorporate various numerical codes based on Navier-Stokes solver because it does not require the extra geometric reconstruction needed in most of VOF-type methods. Several tests were carried out in order to investigate the advection of interfaces and to verify the applicability of the THINC method to wave fields based on the one-field model for immiscible two-phase flows (TWOPM). The numerical results revealed that the THINC method is able to track the interface between air and water separating the fluids although its algorithm is fairly simple.

Keywords : THINC method, VOF method, two-phase flow model, Navier-Stokes solver

1. 서 론

기체 및 액체의 유동을 동시에 고려할 수 있는 혼상류모델 은 각각의 유체 상태에서 형성되는 난류나 속도경사 및 온도 등이 서로 다른 상태의 유체에 미치는 영향을 고려하는 미시 적인 모델에서부터 각각 유체 상태간의 미세구조를 무시한 적 절한 평균화를 통한 거시적인 모델에 이르기까지 해석의 대 상에 따라 다양한 혼상류모델들이 제안되어 왔다. 해안·해 양공학분야에서는 주로 거시적인 혼상류모델로 분류될 수 있 는 단일유체모델(One-field model for immiscible multi fluid)

이 적용되는 예가 많다(이 등, 2008; 이 등, 2010a; 이 등, 2010b; 오 등,2011; 허·이, 2011). 단일유체모델은 서로 혼 합되지 않는 기체와 액체상태의 비압축성 뉴턴유체를 고려 하며, 각각의 유체는 서로 다른 유체와 명확한 경계면으로 식 별될 수 있다는 가정에 기초하고 있다. 따라서, 단일유체모델 의 적용에서는 서로 다른 유체의 경계면에 대한 정밀한 추적 이 요구되며, 최종적으로는 경계면에 대한 추적의 정도가 모 델의 계산 정도를 좌우하게 된다.

일반적으로, 유체 사이의 경계면을 추적하는 방법에는 계 산격자를 경계면의 형상에 따라 변형시키면서 해석하는 수법

*관동대학교 산학협력단 (Corresponding author : Kwang Ho Lee, Industry and Academia Cooperation Foundation, Kwandong University, Bumil road, Gangneung, Gangwon-do, Korea. [email protected])

**관동대학교 토목공학과 (Department of Civil Engineering, Kwandong University)

***한국해양대학교 건설공학과 (Department of Civil Engineering, Korea Maritime University)

과 계산격자의 재구성이 필요하지 않은 수법으로 대별될 수 있다. 전자의 계산방법으로 유한요소법(Ushijima et al., 2008), 경계적합좌표법(Wang et al., 2007) 및 Lagrangian법(Hirt et al., 1974) 등을 대표적으로 들 수 있고, 후자의 경우는 MAC(Marker And Cell)법(Harlow and Welch, 1965), Level- set법(Osher and Sethian, 1988), VOF법(Hirt and Nichols, 1981) 등을 대표적으로 들 수 있다. 이와 같은 다양한 경계 면 추적기법 중에서 각각의 유체에 대한 점유율의 비율분포 를 나타내고, 물리량을 갖지 않는 컬러함수를 도입하여 경계 면을 추적하는 VOF법이 다양한 분야에서 널리 활용되어 왔다. 특히, VOF법은 계산격자를 통한 이류계산시 유체의 체 적율을 보존하기 위하여 고정도의 Donor-acceptor법을 채용 하고 있으며, VOF법은 다음과 같은 일반적인 계산과정을 수 행한다.

1) 계산격자를 0과 1 사이의 범위를 갖는 유체점유율함수 C 및 주변 계산셀의 상황에 따라 기체, 액체 및 기체와 액 체가 공존하는 셀(수면셀) 등으로 구분한다.

2) 기체와 액체가 공존하는 수면셀에서 자유수면의 위치를 결정한다.

3) 운동방정식 등에 의해 산정되는 유속장을 적용하여 유 체점유율함수 C에 대한 이류계산을 수행한다.

4) 1)-3)의 과정을 변화하는 시간에 따라서 반복·수행한다.

Hirt and Nichols(1981)에 의해 제안된 초기의 VOF법은 자유수면의 위치를 결정하는데 있어서 액체와 기체의 경계면 이 좌표축에 평행 혹은 수직이 되도록 결정하고 있고, 자유 수면의 경사를 고려할 수 없는 단점을 지니고 있는 SLIC (Simple Linear Interface Calculation)법이다. 따라서, 이를 개 선하기 위하여 Youngs(1982)에 의해 제안된 PLIC(Piecewise Interface Calculation)법을 시작으로, SL(Segment Lagrangian) -VOF법(Biausser et al., 2004)이나 MARS(Multi-interface Advection and Reconstruction Solver)법(Kunugi 2000)과 같은 수정된 VOF법이 개발되어 있으나, 상세한 알고리즘이 불분명하거나 복잡하여 3차원으로의 확장이 곤란하다. 이와 같은 대부분의 경계면 추적법은 유체점유율함수 C에 대한 이 류계산을 수행하기 위하여 경계면이 존재하는 셀(기체와 액 체가 공존하는 셀로 수면셀)의 위치를 결정하여야 하는 과정 이 반드시 수반된다. VOF법으로 대표되는 이러한 Geometrical- type의 경계추적법은 계산 대상셀 및 주변 셀의 유체점유율 로부터 경계면의 형상에 대한 재 구축이 필요하므로 계산알 고리즘이 복잡하게 되며, 부가적인 계산시간도 요구된다.

한편, 최근에는 Geometrical-type의 경계추적법의 대신에 수면셀에서 유체점유율함수 C의 적절한 근사로부터 이류계 산을 수행하는 CICSAM(Compressive Interface-Capturing Scheme for Arbitrary Meshes)법(Ubbink and Issa, 1999) 및 THINC법(Xiao et al, 2005)와 같은 Algebraic-type의 경

계추적법이 제안되어 있다. Algebraic-type의 경계추적법은 Geometrical-type의 경계추적법에서 유체점유율의 이류계산 후 에 수행되는 자유수면에 대한 형상구축이 필요하지 않으므로 계산의 알고리즘이 비교적 간단하고, 기존의 Navier-Stokes solver와 같은 다양한 코드에로 적용성이 용이한 장점을 지 닌다. 특히, 해안·해양공학분야에서 Navier-Stokes solver에 기초한 3차원의 직접수치계산법을 적용하는 경우에는 전술한 Algebraic-type의 경계추적법이 기존의 Geometrical-type의 경 계추적법에 비하여 알고리즘이 간단하기 때문에 계산의 효율 을 크게 향상시킬 수 있다.

본 연구에서는 전술한 Algebraic-type의 경계추적법인 THINC법을 M-CIP(M-type Constrained Interpolation Profile) 법(Nakamura and Yabe, 1999)에 기초한 수치파동수조모델인 TWOPM(one-field Model for immiscible TWO-Phase flows, 이 등, 2008)에 적용하여 THINC 법의 기본적인 특성을 파악 하고, 파동장에 적용하여 비혼합혼상류에서 경계면의 추적능 을 면밀히 검토한다.

2. 수치모델의 개요

TWOPM은 비혼합의 기체 및 액체의 유동을 동시에 고려 할 수 있는 단일유체모델로, 비압축성 뉴턴유체에 기초한 다 음의 연속방정식과 Navier-Stokes운동방정식에 기초하고 있다.

(1)

(2)

여기서, 은 기체 및 액체상의 유속벡터, p는 압 력, 는 해석영역내의 조파를 위한 조파소스, q는 조파소스의 위치인 x = xs에서의 조파강도, δxs는 x = xs에서 의 x방향의 격자크기, t는 시간, γ는 부가감쇠영역에서만 값 을 갖는 감쇠계수, Fb는 중력 및 표면장력에 의한 체적력, E는 변위-응력벡터, τ는 SGS(Sub-Grid Scale)응력벡터이다.

또한, 와 은 각각 계산격자상에서의 평균밀도와 평균동 점성계수로, 유체점유율함수 C를 사용하여 다음과 같이 결 정된다.

(3) (4)

여기서, 유체점유율함수 C는 의 범위에 있으며, 첨 자 w 및 g는 액체 및 기체를 각각 나타낸다. 본 연구에서 적용하고 있는 수치모델은 비혼합성의 유체를 고려하고 있 으므로 먼저 액체 상태에 대한 유체점유율함수 Cw를 추적

∇ V⋅ = q˜

∂V

---∂t+(V ∇⋅ )V ∇p ---ρˆ

– +∇ 2vˆE τ⋅( – )

= 2

3---∇ vˆ ∇ V{ ( ⋅ )}

– +Fb–γV

V ui wk= + q˜=q⁄δxs

ρˆ vˆ

ρˆ C= wρw+Cgρg

vˆ=Cwvw+Cgvg

0 C 1≤ ≤

하고, 이로부터 주어지는 Cw+ Cg= 1의 관계를 이용하여 기 체상태에 대한 유체점유율을 산정할 수 있게 된다.

한편, 운동방정식(2)는 격자크기의 난류를 해석할 수 있 으며, 격자크기 이하의 경우는 모델을 적용하여 난류해석을 수 행한다. TWOPM에서는 난류모델로 Smagorinsky(1963)에 의한 LES(Large-Eddy Simulation)모델을 적용한다. Smagorinsky모 델은 국부적인 재현성이 저하되는 단점을 지니지만, 총 에너 지소산을 타당하게 재현할 수 있고, 안정된 수치계산이 가능 하기 때문에 다양한 분야의 난류해석에 활용되고 있다. 따 라서, 식(2)중의 SGS응력벡터 τ는 다음과 같이 산정된다.

(5) (6) 여기서, ve는 와동점성계수, ∆는 SGS의 필터크기( ), C_s는 Smagorinsky의 상수이다. 또한, 기존의 TWOPM에서 는 무시되었던 자유수면에 작용하는 표면장력을 평가하기 위 하여 Brackbill et al.(1992)에 의해 제안된 CSF(Continuum Surface Force)모델을 적용하였다. CSF모델은 기체와 액체 의 경계면이 유한폭을 갖는 천이영역으로 가정하여, 표면장 력을 천이영역의 전체에 작용되는 체적력으로 정의하여 다 음과 같이 나타낸다.

(7)

여기서, σ는 표면장력계수, <C>는 기체 및 액체 상태의 유 체점유율함수에 대한 평균을 취하여 <C> = 0.5(Cw+ C_g)로 산정되며, κ는 자유수면의 곡률로, 다음의 식으로 계산된다.

(8) 여기서, 은 자유수면에 대한 단위법선벡터( )이며, 격자점에서의 법선벡터 n은 유체점유율함수 Cw로부터 산정 될 수 있다.

이상의 기초방정식을 교호격자(Staggered mesh)를 이용 하여 이산화하고, 쌍곡선방정식의 수치해석에서 수치확산이 적고, 다차원으로 확장이 용이한 것으로 알려진 M-CIP법 (Nakamura and Yabe, 1999)을 적용하여 수치계산을 수행하 였다. 또한, 시간발전에 관해서는 압력항을 제외한 모든 항에 대하여 다음의 식 (9)에 나타내는 2차정도의 Adams-Bashforth 법을 적용하여 양적으로 계산을 수행한다.

(9)

여기서, 는 n + 1의 시간스텝에서 연속방정식을 만족하지 않는 임시유속, H는 이류항, 점성항 및 체적력항 등을 포함 하는 이산화 연산자이다. 식(9)로부터 얻어진 해석영역내의 유속장이 식(1)의 연속방정식을 만족하도록 Poisson방정식으 로부터 압력보정을 수행한다.

이상의 Navier-Stokes solver 및 경계조건 등과 관련된 상 세한 사항은 이 등(2008)을 참조바란다.

3. THINC법에 의한 자유수면의 추적

전술한 바와 같이, 기체와 액체가 혼재된 비혼합혼상류를 해석하는 경우, 특히 공기연행이 수반되는 쇄파의 발생과정 과 전파양상 혹은 구조물에 작용하는 쇄파력의 정밀한 추정 등을 위해서는 자유수면형상의 시간변화를 고정도로 추적할 필요가 있다. 자유수면의 형상에 대한 추적은 액상에 대한 유 체점유율함수Cw의 시간발전을 사용하여 다음과 같은 이류방 정식으로부터 계산될 수 있다.

(10)

상기의 식에서 시간항에 전진차분을 적용하고, 이류항에 중 앙차분근사를 수행하면 다음과 같은 이산화 방정식을 얻을 수 있다.

(11)

기존의 VOF법에서는 식(11)의 유체점유율함수 Cw에 대한 이류계산에서 수치확산과 자유수면의 형상이 불선명해지는 것 을 방지하기 위해 풍상측의 Donor셀과 풍하측의 Acceptor셀 의 유체점유율함수 Cw에 의해 유체점유율함수의 이류량을 계 산한다. 즉, 풍하측의 자유수면형상과 이류에 의해 이동되는 유체 형상의 연속성에 주의하여 유체점유율함수의 값을 결정 한다. 따라서, 기존의 VOF법은 유체점유율함수가 0 ≤ Cw≤ 1 의 범위를 갖는 수면셀에서 자유수면의 형상을 구축할 필요 가 있다. 자유수면의 형상은 다음의 식에 나타내는 바와 같 이 계산에 이용되는 좌표축 중의 하나와 연직되게 결정되므 로 유체점유율함수의 이류면과 자유수면의 관계는 항상 연직 이거나 평행이 된다.

(12)

(13) τ=–2veE

ve=(Cs∇)²E

∆= δxδz

Fs σκ∇Cw

〈 〉C ---C_w

=

κ=–(∇ nˆ⋅ )

nˆ nˆ n n= ⁄

V˜ Vⁿ ∆t

--- 3H2( ⁿ–H^{n 1–} ) ∆t ---∇2 pⁿ

---ρˆ – +

=

V˜

∂Cw

---∂t +∇ C⋅ wV=C_w(∇ V⋅ )

Cwn 1+

( )i k, Cwn

( )i k, ∆t (C_wu)_{i 1}ⁿ_{+ 2 k⁄,} –(C_wu)_{i 1}ⁿ_{– 2 k⁄ ,} δxi

--- –

=

∆t (Cww)_{i k 1}ⁿ_{, + 2⁄} –(CwW)_{i k 1}ⁿ_{, – 2⁄} δxk

--- Cwn

( )i k, q˜i k,

– –

∂Cw

---∂x ∂Cw

---∂z

< ≈horizontal free surface

∂Cw

---∂z <0 neighboring fluid cell on the bottom

∂Cw

---∂z > neighboring fluid cell on the top0

⎩⎪

⎨⎪

⎧

∂Cw

---∂x ∂Cw

---∂z

> ≈vertical free surface

∂Cw

---∂x <0 neighboring fluid cell on the left

∂Cw

---∂x > neighboring fluid cell on the right0

⎩⎪

⎨⎪

⎧

이러한 자유수면의 형상에 따른 이류계산은 계산의 효율성 을 저하시킬 수 있다. 이에 반해, THINC 법은 유체점유율함 수가 0 ≤ Cw≤ 1의 범위를 갖는 수면셀에서 Tanh함수를 자유 수면에 대한 모델함수로 이용하여 유체점유율함수의 이류량 을 계산하는 수법으로, 자유수면에 대한 형상의 구축이 요구 되지 않는다. Tanh함수를 이용한 x방향에 대한 모델함수 α(x) 는 다음과 같이 기술된다.

(14)

여기서, 은 셀 (i,k)에 인접한

셀에서 유체점유율함수의 최대치, γ = sgn[(Cw)_{i + 1}, (C_w)_i-1)]는 자유수면경사의 방향, β는 자유수면에 대한 모델함수인 Tanh 함수의 변화율을 제어하는 변수로, Fig. 1에 제시하고 있는 바 와 같이 β값이 증가할수록 모델함수의 경사가 증가한다.

Xiao et al(2005)은 이와 같은 모델함수의 경사 β에 대해 β = 3.5를 기본값으로 제안하고 있다. 따라서, THINC법을 적 용하는 본 연구의 수치계산에서 β에 대한 특별한 기술이 없 는 경우는 β = 3.5를 적용하는 것으로 한다.

그리고, δi는 모델함수인 Tanh함수의 값이 중앙값이 되는 좌표이다.(Fig. 2참조) 계산셀에서 유체율함수를 모델함수의 셀 평균값으로 정의하면 δi는 다음의 식에 의해 결정할 수 있다.

(15)

식(15)로부터 산정된 δi를 식(14)에 대입하면 각 계산셀에서 모델함수 α(x)를 구할 수 있다. 또한, Dimensional splitting algorithm을 적용하여 식(11)에 나타낸 유체율함수의 이류방 정식을 다음과 같이 이산화할 수 있다.

(16)

(17)

여기서, 윗첨자는 계산스텝을, F는 유체율함수에 대한 Flux

를 각각 나타낸다. 이류면에서 Flux는 식(14)와 (15)에 의해 산정된 모델함수를 이용하여 이류속도의 방향에 따라 다음 과 같이 산정될 수 있다.

, (18)

, (19)

이상의 THINC법에 의한 유속계산의 개념을 Fig. 2에 나 타낸다.

4. 자유수면의 추적결과의 검토

4.1 THINC법의 이류성능 검토

THINC법에 의한 자유수면의 추적능을 검토하기에 앞서, 다 양한 이류계산에 대한 벤치마크로 적용되는 Zalesak 디스크 문제에 적용하여 THINC법에 의한 이류계산의 특성을 고찰 하였다. 계산에 적용한 Zalesak 디스크는 Fig. 3에 나타낸 바 와 같이 반경 0.17 m의 원형디스크에 폭 0.05 m, 길이 0.27 m 의 슬롯을 포함하고 있다. 수치계산에서는 1 × 1 m의 정사각 형 계산영역내에 위치한 Fig. 3의 Zalesak 디스크를 각 방향 에 대해 일정한 속도 (u = A(0.5 − y), v = A(0.5 - y), 여기서 A는 비례상수)로 반시계방향으로 회전시켰다. 계산에 사용된 격자해상도는 100 × 100이며, Zalesak 디스크를 회전시켜 초 α x( )i k, α_max

--- 12 γ β x x– _{i 1– 2⁄} x_{i 1+ 2⁄} –x_{i 1– 2⁄} ---–δi

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

tanh +

=

α_max=max C[( )w_{i 1+} ,( )Cw _{i 1–} ]

1

∆xi

--- α x( )idx

x_{i 1– 2⁄} x_{i 1+ 2⁄}

∫ ^{=( )Cw i}

Cw

( )i k1, ( )Cw i k,

– n =–[( )Fx _{i 1+ 2 k⁄ ,} –( )Fx _{i 1– 2 k⁄ ,} ]⁄∆xi

Cw

( )i k,

n ∆t u[ _{i 1+ 2⁄ k,} –u_{i 1– 2⁄ k,} ] ∆x⁄ i

+ Cw

( )i kn 1,+ –( )Cwi k1, =–[( )Fz _{i k 1, + ⁄2}–( )Fz _{i k 1, – ⁄2}]⁄∆zk

Cw

( )i k,

n ∆t w[ _{i k 1, + ⁄2}–w_{i k 1, – ⁄2}] ∆z⁄ k

+

F_{i+(1 2⁄ )} α x( )idx

x_{i 1+ 2⁄} xi 1+ 2 u∆t⁄ –

∫

–

= u 0≥

F_{i+(1 2⁄ )} α x( )_{i 1+} dx

x_{i 1+ 2⁄} xi 1+ 2 u∆t⁄–

∫

= u 0<

Fig. 1. Effect of changing the value of the beta.

Fig. 2. Computation of flux using characteristic function.

Fig. 3. Initial configuration of Zalesak’s disk (Colors refer to val- ues of the fluid fraction function)

Fig. 4. Advection results of Zalesak’s disk at 4 different instants by the VOF method (Colors refer to values of the fluid fraction function).

Fig. 5. Advection results of Zalesak’s disk at 4 different instants by the THINC method (Colors refer to values of the fluid fraction function).

기위치로 복귀하기까지 총 628 스텝이 소요되도록 A를 설정 하였다.

Fig. 4는 기존의 VOF법에 의한 Zalesak 디스크의 이류계 산결과를 위상에 따라 도식한 결과이며, VOF법과 동일한 계 산조건하에서 본 연구의 THINC법에 의한 계산결과를 Fig. 5 에 나타낸다. 기존의 VOF법에 의한 계산결과를 살펴보면 π/

4의 위상에서 이미 수치확산이 발생하여 이류계산이 수행된 이후에 Zalesak 디스크의 잔상(Small droplets)이 발생하는 것을 알 수 있다. 또한, 이류계산의 과정에서 발생한 이러한 잔상들은 Zalesak 디스크가 초기의 위치까지 회전하는 동안 계속하여 증가하며, 발생한 잔상은 이류계산 동안에 소멸되 지 않는 것을 확인할 수 있다. 이러한 잔상은 혼상류해석에 서 경계면의 추적에 VOF법을 시간발전형의 수치모델로 적 용하는 경우에 유체점유율함수에 대한 누적오차를 발생시킬 수 있다는 것을 나타낸다. VOF법에 의한 이러한 오차를 제 어하기 위하여 일반적으로 Maximum and minimum Bounds preserving(MmB) 스킴(Wu and Yang, 1989)이나 유체점유율 함수에 대한 Limiter function을 적용한다. 한편, 반시계방향으 로 완전히 회전된 Fig. 4(d)에서의 이류계산 결과는 Fig. 3의 초기상태를 완전하게 유지하고 있지는 않지만, Zalesak 디스 크의 형태를 양호하게 추적하고 있다는 것을 알 수 있다.

THINC법에 의한 Zalesak 디스크의 이류계산결과를 나타 내는 Fig. 5를 살펴보면 VOF법에 의한 Fig. 4에서 확인된 Zalesak 디스크의 잔상이 발생하지 않는 점이 VOF법과의 가 장 큰 차이점이라고 할 수 있다. 이러한 결과는 THINC법의 경우에 경계면에 대한 식(14)의 모델함수의 적용에서 MmB 스킴과 유사하게 인접한 셀에서의 유체점유율을 고려하고 있 기 때문인 것으로 판단된다. 또한, 이류계산에 따른 Zalesak 디스크의 형상 유지측면에서 Fig.4와 5를 비교하면 THINC 법이 VOF법에 비해 슬롯형상의 추적성능이 상대적으로 저

하되고 있으나, Zalesak 디스크의 내측슬롯을 제외하면 간단 한 알고리즘을 갖는 THINC법 역시 VOF법과 동일한 정도의 추적능을 갖는다는 것을 확인할 수 있다.

4.2 Dam-break에 따른 단파의 전파 추적

다음으로, THINC법을 혼상류모델인 TWOPM에 적용하여 댐파괴에 따른 단파의 전파해석에 적용하였다. 댐파괴에 대 한 계산조건은 Martin and Moyce(1952)가 수행한 수리실험 조건과 동일하게 설정되었다. 또한, THINC법의 격자의존성 을 고찰하기 위하여 계산영역의 공간분해능에 따른 수치계산 을 수행하였다. 단, 수치계산에 있어서 댐파괴를 발생시키기 위하여 설치한 게이트의 두께와 게이트가 완전히 개방되기까 지 소요되는 시간은 무시되었다.

Fig. 6은 댐파괴로 인하여 발생하는 단파의 선단위치를 무 차원시간함수 (여기서, L은 초기 저수조의 폭) 대하 여 기존의 VOF법 및 THINC법에 의한 계산결과와 Martin and Moyce(1952)와 Hu and Sueyoshi(2010)가 수행한 수리 실험결과를 각각 비교한 것이다. VOF법과 THINC법에 의해 계산된 수치결과는 단파의 전파속도에서 실험결과와 다소 차 이를 보이고 있으나, 전체적으로 양호하게 단파의 선단위치 를 재현하고 있다는 것을 확인할 수 있다. 특히, 수치계산결 과는 Martin and Moyce(1952)의 수리실험에 비해 최근에 수 행된 Hu and Sueyoshi(2010)의 실험결과와 높은 대응성을 나타내고 있다. 단파의 전파속도에 대한 수리실험결과와의 차 이는 전술한 바와 같이 수치계산의 경우는 게이트의 개방시 간과 바닥마찰의 영향을 고려하지 않고 있기 때문에 발생하 는 것으로 판단된다. 또한, 계산 격자의존성을 살펴보면 VOF 법의 경우는 무차원시간 의 영역에서부터 계산 영역의 해상도의 변화에 따라 계산결과가 상이하지만, THINC 법의 경우는 인접한 유체점유율함수를 고려한 모델함수를 대

t 2g L⁄

t 2g L⁄ >1.5 Fig. 6. Artificial dam-break problem solved by TWOPM.

상으로 이류계산을 수행하기 때문에 경계면의 경사를 고려하 지 않는 VOF법(SLIC법)에 비해 상대적으로 낮은 격자의존 성을 나타내는 것을 알 수 있다.

본 연구의 THINC법은 제3장에서 언급한 바와 같이 Dimensional splitting algorithm으로부터 다차원으로 확장될 수 있다. 이와 같은 3차원으로의 확장성을 검토하기 위해 THINC법을 3차원의 댐파괴 현상에 적용하였다. 수치계산조 건은 Arnason(2005)이 수행한 수리모형실험과 동일하게 설정 되었고, 길이 1.6 m, 폭 0.61 m, 높이 0.75 m의 수조에 길이

0.4 m, 높이 0.3 m의 물기둥으로부터 단파발생을 유도하였 으며, 수조의 바닥에 높이 0.02 m의 액체가 존재하는 Wet bed 조건을 적용하였다. 또한, 물기둥을 유지시키는 게이트로 부터 0.5 m, 수조의 측면에서 0.24 m 떨어진 위치에 0.12 × 0.12 m의 정사각형기둥을 설치하여 단파에 의한 작용파력을 측정하였다. 수치계산에 적용한 계산영역에의 해상도는 160 × 61× 75이다.

Fig. 7은 이상의 계산조건에 대한 수치계산결과를 단파의 시간발전에 따라 Snapshot을 나타낸 것으로, THINC법에 의

Fig. 7. Snapshots of the water surface profile around the square column.

해 추적된 혼상류의 경계면은 유체점유율함수 Cw= 0.5의 Iso- surface로 표현되었다. Fig. 7로부터 확인되는 바와 같이 수 치계산결과는 단파가 흐름방향으로 진행함에 따라 발생하는 구조물 주위의 수면변위를 고정도로 재현하고 있다는 것을 알 수 있다. 혼상류해석에서 서로 다른 유체 사이에 경계면의 추 적은 압력을 포함한 다른 물리량에 큰 영향을 미친다. 따 라서, 보다 정량적인 평가를 위해 정사각형기둥에 작용하는 단파파력을 수리실험결과와 비교하였다.

Fig. 8은 Arnason(2005)의 수리실험에서 MC3A분력계 (Advanced Mechanical Technology Inc.)로 측정된 파력과 TWOPM에 의해 계산된 파력을 비교한 것이다. 그림으로부터 알 수 있는 바와 같이 수치계산결과는 단파에 의해 발생하는 구조물의 최대파력 및 벽면의 반사로 인해 발생하는 (−)방향 의 파력까지 수리실험을 고정도로 재현하고 있다. 또한, Wet bed 조건을 적용하고 있기 때문에 Dry bed 조건에 비해 바 닥마찰의 영향을 직접적으로 받지 않기 때문에 수리실험과 거 의 동일한 시간에 파력이 측정되는 것을 알 수 있다. 이상의 결과로부터 THINC법을 적용한 TWOPM은 댐파괴에 의해 발생하는 단파와 구조물간의 상호작용을 충분하게 재현할 수 있다는 것을 확인할 수 있었다.

4.3 파동장으로의 적용

이상에서는 THINC법의 기본적인 경계면의 추적능을 고찰 하기 위하여 일방향흐름이 지배적인 수리현상을 적용하였다.

본 절에서는 THINC법을 진동류인 파동장으로의 적용성을 검 토한다. 특히, 파동장으로 THINC법의 적용성을 면밀히 검토 하기 위하여 액체와 기체간의 경계면(이하 자유수면으로 정 의함)이 극심하게 변동하는 잠수구조물 주위의 파랑변형해석 에 적용하였다. 수중에 설치되는 잠수구조물은 마루상의 급

격한 수심변화로 인하여 구조물 주위에서 고주파성분을 갖는 다양한 형태의 파랑변형이 발생되므로 자유수면의 추적능 검 토에서 최적의 구조물로 판단된다. 본 연구에서는 Fig. 9에 제 시하는 바와 같이 Losada et al.(1997)에 의해 수행된 불투과 잠수구조물을 해석대상구조물로 수치계산을 수행하였다. 단, 본 연구에서 적용하고 있는 TWOPM모델은 무반사조파조건 을 포함하고 있기 때문에 계산의 효율을 고려하여 수리실험 에서 이용된 조파수조의 길이를 축소하여 수치계산을 수행하 였다. 계산에 이용한 격자해상도는 잠수구조물 주변에서 발 생하는 구조물과 파랑과의 상호작용에 대한 해석능과 계산효 율을 동시에 고려하여 구조물 주변과 수면에서는 높은 해상 도를 적용하고, 그 밖의 계산영역은 상대적으로 낮은 해상도 를 갖는 가변격자구조를 이용하였으며, 최소격자크기는 0.05 × 0.05 m로 설정하였다.

Fig. 10에 불투과잠수구조물에 의해 발생하는 파랑변형에 대하여 THINC법을 적용한 계산결과와 Losada et al.(1997) 의 실험결과를 비교하였다. 또한, 기존의 VOF법과의 비교를 위해 VOF법에 의해 계산된 결과도 동시에 나타내었다. 그림 중의 (a)는 잠수구조물의 전면에서의 수면변동을, (b)와 (c)는 구조물 마루상에서의 수면변동을, (d)와 (e)는 구조물 배후에 서의 수면변동을 각각 나타낸다. 한편, THINC법을 적용한 계 산에서는 모델함수의 변화율을 제어하는 β값에 대하여 βx= βy= 1과 βx= 2, βy= 3을 각각 적용하였다. 여기서, βx βy는 Dimensional splitting algorithm을 적용함에 있어서 각 방향 에 대한 모델함수의 변화율을 나타낸다. Fig. 10의 계산결과 와 Losada et al.(1997)의 실험결과와의 비교로부터 βx= βy

= 1을 적용한 THINC법의 계산결과는 수리실험에 측정된 수 면변동과 기존의 VOF법을 이용한 계산결과와 양호한 대응 성을 보이고 있는 반면에, βx= 2, βy= 3을 적용한 계산결과 는 수면변동에 대한 추적능이 급격히 저하되고 있다는 것을 알 수 있다. 특히, βx= 2, βy= 3을 적용한 경우에는 파곡 부 근에서 고주파성분의 Ripple이 발생하는 것을 알 수 있다. 이 와 같은 Ripple현상은 고정도의 차분계산에서 발생하는 것으 로, Fig. 1에 나타낸 바와 같이 β값이 증가함에 따라 모델함 수의 기울기가 급해져서 Donor-acceptor법에 근접하기 때문 인 것으로 판단된다. 따라서, 일방향흐름이 지배적이지 않는 파동장과 같은 진동류에 대한 자유수면의 추적에 THINC법 을 적용하는 경우는 모델함수의 기울기가 중요한 변수라는 것 을 확인할 수 있었다. 특히, 본 연구에서 제시하고 있지 않 Fig. 8. Comparison of force acting on the square column between

numerical and experimental results.

Fig. 9. Experimental set-up for impermeable submerged step conducted by Losada et al.(1997).

지만 Xiao et al.(2005)가 제안한 β = 3.5를 각 방향의 모델함 수의 기울기에 적용한 경우는 파동장의 자유수면을 성공적으 로 추적할 수 없었다는 사실을 부기하여 둔다. 한편, 모델함 수의 β값이 감소함에 따라 발생하는 완만한 모델함수의 기 울기는 선명한 자유수면의 추적성능을 저하시킬 수 있으므로 추후 보다 자세한 검토가 요구된다.

4. 결 론

본 연구에서는 VOF법으로 대표되는 경계면형상의 재구축 이 반드시 수반되는 Geometrical-type의 경계추적법을 대신 하여 Algebraic-type의 경계추적법인 THINC법에 대한 기본 적인 이류계산의 특성을 고찰함과 동시에, 혼상류수치모델인 TWOPM에 적용하여 비혼합 혼상류의 경계면의 추적능을 검 토하였다. Zalesak 디스크의 이류계산결과에 따르면 THINC

법은 이류계산이 진행됨에 따라 기존의 VOF법에서 발생된 잔상이 발생하지 않고 디스크의 형상을 고정도로 추적할 수 있다는 사실을 확인하였다. 또한, TWOPM과 결합된 THINC 법을 혼상류의 경계면이 극심하게 변형하는 댐파괴에 따른 단 파해석과 잠수구조물 주변의 파랑변형해석에 적용하였다. 이 로부터 THINC법에 의한 혼상류의 경계면의 계산결과는 일 방향이 탁월한 흐름에 대해서는 양호한 추적능을 보였으나, 파동장과 같은 흐름 및 자유수면이 진동하는 혼상류에 대해 서는 자유수면에 대한 모델함수의 기울기에 큰 의존성을 나 타내었다.

따라서, THINC법은 계산 알고리즘이 매우 간단하여 기존 의 다양한 수치모델과의 결합이 용이하며, 특히 3차원 직접 수치해석법에 적용되는 경우에 계산시간의 대폭적인 단축으 로 그의 유용성이 기대된다. 하지만, THINC법을 파동장에 적 용하기 위해서는 모델함수에 대한 보다 심층적인 연구가 필 요한 것으로 판단된다.

감사의 글

본 연구는 지식경제부 지혁혁신센터(RIC)사업(관동대학교 첨단해양공간개발연구센터)의 지원에 의하여 이루어진 것입 니다.

참고문헌

이광호, 김도삼, Y. Harry (2008). 단파의 전파에 따른 수위 및 유속변화의 특성에 관한 연구. 대한토목학회논문집, 28(5B), 575-589.

이광호, 정성호, 하선욱, 김도삼 (2010a). 2열 불투과성 사각형 잠제를 이용한 단주기파랑 및 고립파의 제어. 한국해안·해 양공학회 논문집, 22(4), 203-214.

이광호, 최현석, 백동진, 김도삼 (2010b). 슬리트케이슨제에 의 한 반사율과 구조물에 작용하는 파압에 관한 2차원 및 3차 원해석. 한국해안·해양공학회 논문집, 22(6), 374-386.

오남선, 최익창, 김대근, 정신택 (2011). FLOW-3D 모형을 이용 한 용승류 모의. 한국해안·해양공학회 논문집, 23(6), 451-457.

허동수, 이우동 (2011). 3차원 무반사 수치파동수조에서 경사입 사파의 조파기법 개발. 한국해안·해양공학회 논문집, 23(6), 401-406.

Arnason, H. (2005). Interaction between an incident bore and a free-standing coastal structure, Ph.D Dissertation, University of Washongton, USA.

Biausser, B., Guignard, S., Marcer, R. and Fraunie, P. (2004). 3D two phase flows numerical simulations by SL-VOF method. Int.

J. Numerical Methods in Fluids, 45, 581-604.

Brackbill, J.U., Kothe, D.B. and Xemach, C. (1992). A continuum method for modeling surface tension. J. Comput. Phys., 100, 335-354.

Harlow, F.H. and Welch, J.E. (1965). Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free Fig. 10. Comparisons between numerical and experimental results of

wave transformations around submerged step.

surface. Phys. Fluids, 8, 2182-2189.

Hirt, C.W. and Amsden, A.A. and Cook, J.L. (1974). An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all speeds. J. Com- put. Phys., 14, 227-253.

Hirt, C.W. and Nichols, B.D. (1981). Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. J. Comput. Phys., 39, 201-225.

Kunugi, T. (2000). MARS for multiphase calculation, CFD J., 9(1), IX-563.

Losada, I. J., Patterson, M. D. and Losada, M. A. (1997). Har- monic generation past a submerged porous step. Coastal Eng., 31, 281-304.

Martin, J. C. and W. J. Moyce, W.J. (1952). An experimental study of collapse of liquid columns on a rigid horizontal plane. Phil.

Trans. Roy. Soc. London A,. 244, 312-324.

Nakamura, T. and Yabe, T. (1999). Cubic interpolated propagation scheme for solving the hyper-dimensional Vlasov-Poisson equa- tion in phase space. Comp. Phys. Comm., 120, 122-154.

Osher, S. and Sethian, J.A. (1988). Fronts propagating with curva- ture-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations. J. Comput. Phys., 79, 12-49.

Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with the primitive equations. Mon. Weather Rev., 91(3), 99-164.

Ubbink, O. and Issa, R.I. (1999). Method for capturing sharp fluid interfaces on arbitrary meshes, J. Comput. Phys., 153, 26-50.

Ushijima, S. Kuroda, N. and Nezu, I. (2008). 3D numerical pre- diction for interaction between free-surface flows and elastic bodies with MICS and finite element method, Annual J.

Hydraulic Eng., 52, 1033-1038. (in Japanese)

Wang, L.Q., Li, Z.F., Wu. D.Z. and Hao, Z.R. (2007). Transient flow around an impulsively started cylinder using a dynamic mesh method. Int. J. Comput. Fluid Dynmic., 21(3-4), 127-135.

Wu, II-M and Yang, S. (1989). A new class of accurate high res- olution schemes for conservation laws in two dimensions.

IMPACT of Comput. Sci. and Eng., 1, 217-259.

Xiao, F., Honma, Y. and Kono, T. (2005). A simple algebraric inter- face capturing scheme using hyperbolic tangent function, Int. J.

Numerical Methods in Fluids, 48, 1023-1040.

Youngs, D.L. (1982). Time-dependent multimaterial flow with large fluid distortion. Numerical Methods for Fluid Dynamics, Academic Press, New York, 273-285.

원고접수일: 2012년 8월 6일 수정본채택: 2012년 8월 21일 게재확정일: 2012년 8월 22일