고등학생을 위한 고급미적분학
+ 다변수함수, 복소수함수 2013
이슬비는 여러분을 사랑합니다
수학 나라의 앨리스
http://www.aliceinmathland.com
펴낸곳 수학 나라의 앨리스 | http://aliceinmathland.com 이슬비 | http://iseulbee.com
발행일 2013년 3월 1일
이 책의 모든 저작권은 지은이에게 있습니다.
허가사항 독자는 이 책을 비상업적인 개인 학습 용도로 인쇄할 수 있습니다.
금지사항 독자는 이 책의 인쇄물이나 파일을 배포할 수 없습니다. 다른 저작물에 이 책을 끼워서 배포할 수 없습니다. 이 책이
번지점프
점프하여 내려오는 동안 낙하하는 몸은 최저점에 도달할 때까지 중력의 영향을 받아 가속도 운동한다. [관련단원 : 함수의 미분법, 함수의 적분법]
김연아 선수의 2012 NRW 트로피 대회 모습
빙판 위에서는 몸에 가해지는 알짜힘 벡터의 방향과 스케이트 날의 방향이 평행해야 넘어지지 않는다. [관련단원 : 평면도형과 공간도형]
놀이공원의 대관람차
일정한 각속도로 원운동하는 대관람차에서 시간에 따른 탑승자의 위치는 사인 함수와 코사인 함수로 나타낼 수 있다. [관련단원 : 삼각함수, 극좌표]
남해대교
현수교의 다리를 지지하는 구조물의 모양은 현수선이라고 불리는 쌍곡선코사인 함수의 그래프로 표현된다. [관련단원 : 쌍곡선함수]
이 과목에서 공부하는 내용은 자연 현상을 수학적으로 분석하고 이해하기 위해 필요한 내용이다.
일상생활에서 접하는 다양한 상황 속에 수학적 원리가 숨겨져 있다.
미적분학은 미분과 적분을 이용하여 함수의 성질을 밝히고 이를 이용하여 다양한 문제를 해결하는 수학의 분야입니다.
미분은 본래 함수의 변화율을 계산하는 방법이고 적분은 본래 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산하는 방법 입니다. 그러나 뉴턴, 라이프니츠와 같은 수학자들에 의하여 미분과 적분의 연관성이 밝혀지고 그때부터 미분과 적분이 하나로 합쳐져 미적분학이라는 이름으로 연구되기 시작하였습니다. 오늘날 미적분학은 물리학, 공학, 경제학, 통계학 등 학문의 거의 모든 분야에서 중요한 역할을 하고 있습니다.
이 책은 고등학교 과정과 학부 초급 과정의 미적분학 내용을 담은 교재로서, 고등학교 미적분학 수업 교재나 학부 미적 분학 학습을 위한 복습 교재로 사용할 수 있습니다. 1단원부터 7단원까지는 고등학교 과정의 미적분학과 기하학에 관련 된 내용을 담고 있으며 8단원과 9단원은 학부 과정의 기초 내용을 담고 있습니다. 각 단원별로 핵심 내용을 정리하고 중요한 문제를 실어 학습자가 미적분학의 내용을 이해하고 이를 응용하여 다양한 문제를 해결하는 능력을 기를 수 있도 록 하였습니다.
이 책이 미적분학을 공부하는 많은 분들께 도움이 되기를 바랍니다.
2013년을 시작하는 겨울, 이슬비
01
집합과 함수 10~17쪽 01. 명제와 조건02. 집합의 연산 03. 진리집합과 한정명제 04. 실수와 복소수
05. 방정식 06. 부등식 07. 함수
08. 합성함수와 역함수
02
수열의 극한과 함수의 극한 20~35쪽01. 수열의 뜻
02. 등차수열과 등비수열 03. 수열의 합
04. 여러 가지 수열의 합 05. 수열의 수렴과 발산 06. 수열의 극한에 관한 성질 07. 등비수열의 극한 08. 무한급수
09. 무한등비급수 10. 양항급수★
11. 한 점에서의 함수의 극한 12. 무한대에서의 함수의 극한 13. 좌극한과 우극한 14. 함수의 극한에 관한 성질 15. 함수의 연속
16. 연속함수의 성질
03
여러 가지 함수 38~53쪽01. 삼각함수의 뜻 02. 일반각과 호도법 03. 삼각함수의 그래프 04. 삼각함수의 성질 05. 사인법칙과 코사인법칙 06. 삼각함수의 덧셈정리 07. 삼각함수의 극한 08. 삼각함수의 활용
09. 지수의 확장 10. 지수함수의 그래프 11. 지수함수의 극한 12. 로그의 뜻
13. 상용로그와 자연로그 14. 로그함수의 그래프 15. 로그함수의 극한 16. 역삼각함수와 쌍곡선함수★
04
함수의 미분법 56~65쪽01. 미분계수 02. 도함수
03. 여러 가지 미분법
04. 지수함수와 로그함수의 미분법 05. 삼각함수의 미분법
06. 고계도함수 07. 평균값 정리 08. 함수의 그래프
09. 로피탈의 법칙과 테일러의 정리★ 10. 역도함수
05
함수의 적분법 68~77쪽01. 구분구적법과 정적분 02. 정적분의 성질 03. 부정적분
04. 여러 가지 함수의 부정적분 05. 여러 가지 적분법
06. 이상적분★ 07. 테일러 급수★ 08. 도형의 넓이와 부피 09. 속도와 가속도 10. 질량과 무게중심★
02. 행렬의 곱셈 03. 역행렬 04. 연립일차방정식
06. 여러 가지 일차변환 07. 합성변환과 역변환 08. 도형의 변환
07
평면도형과 공간도형 90~101쪽01. 포물선 02. 타원 03. 쌍곡선 04. 이차곡선의 활용 05. 공간도형 06. 좌표공간
07. 벡터의 뜻 08. 벡터의 성분 09. 벡터의 내적 10. 직선의 방정식 11. 평면의 방정식 12. 벡터의 활용★
08
다변수함수의 미적분 104~115쪽01. 다변수함수와 벡터함수★ 02. 극한과 연속★
03. 편미분★ 04. 전미분★★
05. 곡선과 곡면★ 06. 미분의 활용★
07. 중적분★ 08. 반복적분★
09. 중적분의 변수변환★★
10. 선적분★★
11. 면적분★★
12. 그린의 정리와 스토크스의 정리★★
09
복소수함수 118~123쪽01. 복소평면★ 02. 복소수함수★ 03. 복소수함수의 미분★★
04. 복소수함수의 적분★★
05. 테일러 급수와 로랑 급수★★
06. 유수를 이용한 적분법★★
A
부록 124~172쪽• 주요 공식 ∙ 정리 증명
• 문제 정답과 간략한 해설
• 상용로그표
• 삼각함수표
• 기본함수의 미적분 공식
• 참고서적
※ 별이 한 개 붙은 단원은 고급과정이며 별이 두 개 붙은 단원은 학부과정입니다.
01
|||명제와 조건집합의 연산진리집합과 한정명제|
실수와 복소수
| 방정식
| 부등식
| 함수
|
합성함수와 역함수
집합, 함수의 기본적인 개념과 성질을 살펴보는 것은 매우 중요한 일이다.
한편 미적분학에서 다루는 함수는 대부분 수의 집합을 정의역과 공역으로 하므로 미적분 학을 공부하기 위해서는 수와 식의 성질에 익숙해야 한다.
이 단원에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 명제, 집합, 수 체계, 함수의 개념과 기본 성질을 살펴본다.
학 습 목 표
|
명제의 성질을 이용하여 기본적인 증명을 할 수 있다.
|
집합의 연산을 이해하고 집합의 다양한 연산을 할 수 있다.
|
실수와 복소수의 성질을 이용하여 수의 연산을 할 수 있다.
|
다양한 형태의 방정식과 부등식을 풀 수 있다.
|
함수의 개념을 이해하고 함수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
1
명제 를 ‘밥을 많이 먹는다’, 를 ‘키가 크다’라고 했을 때 다음 기호를 문장으로 나타내어라.⑴ → ⑵ → ⑶ ～ → ～
⑷ ∧ ⑸ ∨ ⑹ ～ ∧
2
다음 중 서로 같은 의미를 가지는 것을 찾아라. (단, 대상영역은 실수 전체 집합이다.)⑴ ∼ ⑵ ∼
⑶ ∼ ⑷ ≤
⑸ ⑹ ≠
3
명제 ‘ 가 보다 크면 는 양수이다’의 역, 이, 대우를 구하고 각각 참, 거짓을 밝혀라.4
다음 중에서 ‘ ’이기 위한 필요조건과 충분조건을 각각 찾아라.⑴ ⑵
⑶ ⑷
5
조건 , 가 다음과 같이 주어졌을 때 는 이기 위한 어떤 조건인지 말하여라.⑴
⑵
⑶
01 01 명제와 조건 명제와 조건
개념 핵심정리 (1) 명제 : 참 또는 거짓 중 한 가지로만 결정되는 수학적 문장 (2) 조건 : 변수의 값에 따라 참, 또는 거짓이 결정되는 수학적 문장 (3) 부정 : ‘가 아니다’를 의 부정이라고 부르며 ∼ 로 나타낸다.
(4) 가정과 결론 : ‘이면 이다’를 → 로 나타낸다. 이때 를 가정, 를 결론이라고 부른다.
① → 를 → 의 역이라고 부른다.
② ∼ → ∼ 를 → 의 이라고 부른다.
③ ∼ → ∼ 를 → 의 대우라고 부른다.
(5) 명제의 합성
① ‘ 그리고 ’를 ∧ 로 나타낸다.
② ‘ 또는 ’를 ∨ 로 나타낸다.
(6) 함의문 : 명제 → 가 참일 때 이것을 ⇒ 로 나타낸다.
① ⇒ 에서 를 이기 위한 충분조건, 를 이기 위한 필요조건이라고 부른다.
② → 와 → 가 모두 참인 것을 로 나타내며 와 는 서로 필요충분조건이 다라고 말한다.
1
집합 에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?① ∈ ② ⊂ ③ ∈
④ ∈ ⑤ ⊂
2
집합 에 대하여 ∩ , 을 만족시키는 집합 의 개수를 구하여라.3
두 집합
, 에 대하여 ∩ 일 때, 실수 의 값을 구하여라.4
집합 에 대하여 다음을 구하여라.⑴ × ⑵ ×× ⑶
×××
⑷
⑸
⑹
∩
5
전체집합이 ⋯ 이고 { 는 의 약수}일 때 다음을 구하여라.⑴ ∪∪ ⋯ ∪ ⑵ ∩∩∩
⑶
⑷
⑸
⑹
6
60명의 학생에게 A, B 두 문제를 풀게 하였더니 A를 푼 학생은 36명, B를 푼 학생은 41명, A 와 B를 모두 풀지 못한 학생은 4명이었다. 이때 A만 푼 학생의 수를 구하여라.02 02 집합의 연산 집합의 연산
개념 핵심정리 (1) 부분집합
① 의 모든 원소가 에 속할 때 ⊂ 로 나타내고 는 의 부분집합이다라고 말한다.
② ⊂ 이지만 ≠ 일 때 는 의 진부분집합이다라고 말한다.
③ 의 모든 부분집합들의 모임을 멱집합이라고 부르고 로 나타낸다.
(2) 집합의 연산
① ∪ ∈ ∨ ∈ ② ∩ ∈ ∧ ∈
③
∪∪ ⋯ ∪ ④
∩∩ ⋯ ∩
⑤ × ∈ ∧ ∈
⑥
××⋯×
⋯
∈
. 특히
.
⑦ ∖ ∈ ∧ ∉ ( 라고 나타내기도 한다.)
⑧ ∈ ∧ ∉ (단, 는 전체집합)
1
조건 를 ‘ ’, 조건 를 ‘ ’라고 하자. 의 진리집합을 , 의 진리집합을 라고 했을 때 다음 중 옳은 것은? (단, 전체집합은 모든 실수의 집합이다.)
① ⊂ ② ⊂ ③
④ ⊂ ⑤ ∩
2
두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라고 하자. ⊂ 일 때 다음 중 옳은 것은?① ⇒ ② ∼ ⇒ ③ ⇒ ∼
④ ⇒ ⑤ ∼ ⇒ ∼
3
다음 문장의 부정을 말하여라.⑴ 이 세상에는 고구마를 먹지 못하는 사람이 있다.
⑵ 모든 백조는 하얗다.
⑶ 나는 점심시간에 밥을 먹거나 피자를 먹을 것이다.
⑷ 짱구는 축구도 잘 하고 농구도 잘 한다.
4
, , 가 실수일 때, 다음 중 의 진리집합과 의 진리집합이 서로 같은 것은?①
② 는 짝수 는 짝수
③
④
⑤
★
5
를 모든 사람의 집합이라고 하고 를 ‘는 의 친구이다’라고 하자. 이때 문장 ‘모든 사람에게는 친구가 있다’를 한정명제의 기호를 사용하여 나타내어라.03 03 진리집합과 한정명제 진리집합과 한정명제
개념 핵심정리 (1) 진리집합 : 조건 가 참이 되도록 하는 들의 모임을 의 진리집합이라고 부른다.
즉 의 진리집합은 이다.
(2) 한정명제 : ‘모든 ~에 대하여 …이다’ 또는 ‘…인 ~가 존재한다’라는 말이 들어간 명제를 한 정명제라고 부른다. 한정명제에는 전칭명제와 존재명제가 있다.
① 전칭명제 : ‘집합 의 모든 원소 에 대하여 가 항상 참이다’를 ∀ ∈ 로 표기한다. ∀∈ 의 부정은 ∃∈ ∼ 이다.
② 존재명제 : ‘집합 의 원소 중에서 가 참이 되도록 하는 것이 하나 이상 존재한 다’를 ∃∈ 로 표기한다. ∃∈ 의 부정은 ∀∈ ∼ 이다.
1
다음 복소수의 계산을 하여라.⑴ ⑵
⑶ ⑷ ÷
2
, 일 때 다음을 구하여라.⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ÷ ⑹ ÷
3
실수 , 가 를 만족시킬 때 , 의 값을 구하여라.4
일 때 실수 , 의 값을 구하여라.5
실수 , 에 대하여
가 성립할 때 의 값을 구하여라.
6
집합 가 좌표평면에서 나타내는 도형의 모양을 설명하여라.7
실수 , 가 임의의 양수 에 대하여 를 만족시킬 때, 와 의 크기를 비교하여라.★
8
{
과 은 정수}라고 하자. 이때 인 모든 실수 , 에 대하여 와 사 이에 의 원소가 존재함을 증명하여라.04 04 실수와 복소수 실수와 복소수
개념 핵심정리 (1) 실수 : 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있는 수를 실수라고 부른다.
※ 실수의 조밀성 : ≠ 이면 와 사이에 유리수와 무리수가 존재한다.
(2) 복소수 : 제곱하여 이 되는 수는 두 개가 있는데 그중 하나를 로 나타내고 허수단위라 고 부른다. 실수 , 에 대하여 의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 복소수라고 부른다.
① 에서 를 실수부분, 를 허수부분이라고 부른다.
복소수 의 실수부분을 Re , 허수부분을 Im 로 나타낸다.
② 에서 ≠ 이면 허수, , ≠ 이면 순허수, 이면 실수라고 부른다.
③ 일 때 를 의 켤레복소수라고 부른다.
④ 일 때
을 의 절댓값이라고 부른다.(3) 덧셈과 곱셈의 성질 : 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
(4) 집합의 표기 : 복소수 집합 ℂ, 실수 집합 ℝ, 유리수 집합 ℚ, 정수 집합 ℤ, 자연수 집합 ℕ
1
다음 방정식의 해를 구하여라.⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2
다음 연립방정식을 풀어라.⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
3
다음 분수방정식을 풀어라.⑴
⑵
⑶
⑷
4
실수 범위에서 다음 무리방정식을 풀어라.⑴
⑵
⑶
⑷
5
실수 의 값에 따라서 무리방정식
의 실근의 개수가 어떻게 변하는지 조사하여라.05 05 방정식 방정식
개념 핵심정리 (1) 방정식의 해 : 등식의 성질을 이용하여 (상수) 꼴로 변형한다.
(2) 다항방정식 : 좌변을 2차 이하인 식으로 인수분해하여 해를 구한다.
(3) 이차방정식 : 이차방정식 의 해는
±
. (4) 분수방정식 : 양변에 분모의 최소공배수를 곱한 후 해를 구하고 무연근을 제외한다.
(5) 무리방정식 : 양변을 제곱하여 해를 구하고 무연근을 제외한다.
(6) 연립방정식 : 가감법과 대입법을 이용하여 문자가 하나인 식으로 변형하여 푼다.
1
다음 이차부등식을 풀어라.⑴ ⑵
⑶ ≥ ⑷
⑸ ≤ ⑹
⑺ ⑻
2
다음 부등식을 풀어라.⑴ ⑵ ≥
⑶ ⑷ ≤
3
다음 부등식을 풀어라.⑴
⑵ ≥
4
다음 연립부등식을 풀어라.⑴
≥ ⑵ ≤
⑶
≤
≥ ⑷
≥
≤
⑸
≤
⑹
≥
≤
06 06 부등식 부등식
개념 핵심정리 (1) 부등식의 풀이
① 부등식의 성질을 이용하여 주어진 식을
, ≥ , , ≤ 중 하나의 꼴로 바꾼다. (단, 는 다항식)
② 방정식 의 해를 경계로 하는 의 값의 범위에서 의 부호를 조사하여 부 등식의 해를 구한다.
③ 구한 해 중에서 무연근을 제외한다.
(2) 부등식과 함수의 그래프
① 부등식 의 해는 함수 의 그래프의 점들 중 축의 위쪽에 있는 점들 의 좌표이다.
② 부등식 의 해는 함수 의 그래프의 점들 중 축의 아래쪽에 있는 점 들의 좌표이다.
(3) 연립부등식의 풀이 : 연립된 모든 부등식의 해를 각각 구한 뒤 공통부분(교집합)을 구한다.
1
다음 중 에서 로의 함수가 아닌 것은?① ② ③
④ ⑤
2
다음 함수의 치역을 구하여라. (단, 괄호 안의 범위를 정의역으로 한다.)⑴ (모든 실수)
⑵
( ≥ )⑶ ( ≥ )
3
다음 함수 중 일대일함수와 일대일대응인 것을 각각 찾아라.⑴ 정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때
⑵ 정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때
⑶ 집합 ≥ 에 대하여 → ,
⑷ 자연수 전체의 집합 ℕ 에 대하여 ℕ → ℕ ,
4
집합 , 에 대하여 , 일 때 다음을 구하여라.⑴ 에서 로의 함수의 개수 ⑵ 에서 로의 일대일함수의 개수
⑶ 에서 로의 일대일대응의 개수 ⑷ 에서 로의 상수함수의 개수
5
다음에서 일대일대응, 항등함수, 상수함수를 각각 찾아라. (단, 정의역과 공역은 ℝ 로 한다.)① ② ③
i f ≥ i f
④ ⑤
07 07 함수 함수
개념 핵심정리 (1) 함수 : 집합 의 원소를 집합 에 하나씩 대응시키는 관계를 함수라고 부른다.
① 이때 를 정의역, 를 공역이라고 부른다.
② 함수의 이름이 이고 정의역이 , 공역이 인 것을 → 로 나타낸다.
③ 함숫값들의 모임 ∈를 의 치역이라고 부른다.
④ ⊆ 일 때 에 의한 의 상을 ∈로 정의한다.
(2) 함수의 분류
① 정의역의 모든 원소 , 에 대하여 ≠ 일 때마다 ≠ 이면 를 일대 일함수라고 부른다.
② 가 일대일함수이면서 ( 의 공역) ( 의 치역)이면 를 일대일대응이라고 부른다.
③ 의 치역의 원소가 개이면 를 상수함수라고 부른다.
④ 이면 를 항등함수라고 부른다.
1
정의역과 공역이 실수 전체 집합인 두 함수 와 에 대하여 ∘ 와 ∘ 를 구하고, 두 합성함수의 치역을 각각 구하여라.
2
다음 중 두 함수 , 에 대하여 ∘ ∘ 가 성립하기 위한 필 요충분조건은?① ② 또는 ③ 또는
④ ⑤
3
세 함수 , , 에 대하여 다음 합성함수를 구하여라.⑴ ∘ ∘ ⑵ ∘ ∘
4
일차함수 의 역함수를 구하여라.5
함수 에 대하여 , 일 때 와 의 값을 구하여라.6
함수 에 대하여 , 이 성립할 때 와 의 값을 구하여 라.★
7
모든 실수 에 대하여 정의된 함수 의 치역을 구하여라. (단, 는 를 넘 지 않는 최대 정수이다.)★
8
함수 ℝ → ℝ 를
i f is rational i f is irrational
08 08 합성함수와 역함수 합성함수와 역함수
개념 핵심정리 (1) 합성함수 : 함수 → 와 → 가 주어졌을 때 의 원소 를 에 대 응시키는 함수를 와 의 합성함수라고 부르며 ∘ 로 나타낸다.
(2) 역함수 : → 가 일대일대응일 때, 의 각 원소 에 대하여 가 되는 의 원소 는 단 하나가 존재한다. 이때 를 에 대응시키는 함수를 역함수라고 부르고 로 나타낸다.
(3) 역함수의 성질 → 가 일대일대응일 때
① 의 역함수 → 가 존재한다.
②
③ ∘ 와 ∘ 는 항등함수이다.
④ 의 그래프와 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
02
||수열의 뜻등차수열과 등비수열|
수열의 합
|
여러 가지 수열의 합
|
수열의 수렴과 발산
|
수열의 극한에 관한 성질
|
등비수열의 극한
| 무한급수
|
무한등비급수
| 양항급수
|
한 점에서의 함수의 극한
|
무한대에서의 함수의 극한
|
좌극한과 우극한
|
함수의 극한에 관한 성질
|
함수의 연속
|
연속함수의 성질
때 정확한 값을 구하기 위해 극한이 사용된다.
특히 함수의 극한은 미분과 적분을 정의하기 위해 필수적인 개념이며, 수열의 극한은 함수 의 극한을 이해하기 위해 반드시 필요한 개념이다. 따라서 미적분을 공부하기 위해서는 수열과 함수의 극한을 정확하게 이해하고 그 성질을 자유롭게 사용할 수 있어야 한다.
이 단원에서는 수열의 극한과 함수의 극한을 정의하고 그와 관련된 다양한 성질을 살펴본 다.
학 습 목 표
|
수열의 개념을 이해하고 수열의 일반항을 구할 수 있다.
|
합 기호의 성질을 이해하고 수열의 합을 구할 수 있다.
|
수열의 수렴과 발산을 판별하고 수열의 극한을 구할 수 있다.
|
무한급수의 수렴과 발산을 판별하고 무한급수의 합을 구할 수 있다.
|
함수의 극한을 이해하고 함수의 극한을 구할 수 있다.
|
연속함수의 개념을 이해하고 함수의 연속성을 판별할 수 있다.
|
연속함수의 성질을 이용하여 다양한 문제를 해결할 수 있다.
1
다음 수열의 규칙을 찾아보고, 제 12 항을 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵
,
,
,
,
, ⋯
2
다음 수열
의 첫째항부터 제 5 항까지 구하여라.⑴ ⑵
⑶
⑷
3
다음 수열의 일반항을 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵ ⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋯
⑶ , , , , ⋯ ⑷ , , , , , ⋯
4
다음 조건을 만족시키는 수열
의 첫째항부터 제 10 항까지 구하여라.⑴ ,
⑵ ,
5
다음 조건을 모두 만족시키는 수열
의 첫째항부터 제 10 항까지 구하여라. , ,
6
다음 수열의 일반항을 구하여라., , , , , , , , ⋯
01 01 수열의 뜻 수열의 뜻
개념 핵심정리 (1) 수열
① 수를 일렬로 나열한 것을 수열이라고 부른다.
② 나열된 각 수를 항이라고 부르며 차례로 , , , ⋯ 과 같이 나타낸다.
③ 수열은 정의역이 자연수 집합인 함수라고 생각할 수 있다.
④ 항의 개수가 무한인 수열을 무한수열이라고 부르며 항의 개수가 유한인 수열을 유한수열 이라고 부른다.
(2) 일반항
① 수열의 제 항을 과 같이 나타낸다. 이때 을 나타내는 식을 일반항이라고 부른다.
② 제 항이 인 수열을
으로 나타낸다.※ 수열은
,
,
, ⋯ 과 같이 이름에 따라서 표기가 달라진다.1
다음 등차수열의 일반항을 구하여라.⑴ 첫째항이 , 공차가 ⑵ 첫째항이 , 공차가
⑶ , , , , ⋯ ⑷ , , , , ⋯
⑸ 제 5 항이 , 제 8 항이 ⑹ 제 4 항이 , 제 10 항이
2
다음 등비수열의 일반항을 구하여라.⑴ 첫째항이 , 공비가 ⑵ 첫째항이 , 공비가
⑶ , , , , ⋯ ⑷ ,
,
,
, ⋯
⑸ 제 3 항이 , 제 6 항이
3
일반항 이 다음과 같은 등차수열의 첫째항과 공차를 구하여라.⑴ ⑵
⑶
⑷
4
다음 각 수열이 등차수열이 되도록 , 를 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , ⋯
5
다음 수열이 등비수열이 되도록 , 를 각각 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵
, , , , , ⋯
6
과 사이에 세 수를 넣어 전체가 등차수열이 되도록 할 때, 이 세 수를 구하여라.7
와 사이에 세 양수를 넣어 전체가 등비수열이 되도록 할 때, 이 세 양수를 구하여라.02 02 등차수열과 등비수열 등차수열과 등비수열
개념 핵심정리 (1) 등차수열 : 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 부르며, 더하 는 일정한 수를 공차라고 부른다.
(2) 등비수열 : 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 부르며, 곱하 는 일정한 수를 공비라고 부른다.
(3) 등차수열과 등비수열의 일반항
① 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열의 일반항 :
② 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의 일반항 :
1
다음 등차수열의 합을 구하여라.⑴ ⋯
⑵ ⋯
⑶ 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의 합
⑷ 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의 합
⑸ 첫째항이 , 끝항이 , 항의 개수가 인 등차수열의 모든 항의 합
⑹ 첫째항이 , 끝항이 , 항의 개수가 인 등차수열의 모든 항의 합
2
다음 등비수열의 합을 구하여라.⑴ 첫째항이 , 공비가
인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합
⑵ 첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합
⑶
⋯
3
다음을 합의 기호 ∑를 사용하여 나타내어라.⑴ ⋯ ⑵ ⋯
⑶
⋯
⑷ ⋯
4
,
일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
⑴
⑵
03 03 수열의 합 수열의 합
개념 핵심정리 (1) 합의 기호 : ⋯ 을 간단히
로 나타낸다.
(2) ∑의 성질
①
②
③
④
(3) 등차수열의 합 : 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의 합은
(4) 등비수열의 합 : 첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합은
① ≠ 일 때
② 일 때
1
다음 합을 구하여라.⑴ ⋯ ⑵ ⋯
⑶ ⋯ ⑷ ⋯
2
다음 합을 구하여라.⑴
⑵
⑶ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⑷ ⋯
3
다음 합을 구하여라.⑴ ⋅
⋅
⋅
⋯
⑵ ⋅
⋅
⋅
⋯
4
다음 수열의 계차수열을 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , , ⋯
5
다음 수열의 일반항 을 구하여라.⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , ⋯
04 04 여러 가지 수열의 합 여러 가지 수열의 합
개념 핵심정리 (1) 자연수의 거듭제곱의 합
①
②
③
(2) 계차수열
① 계차수열의 뜻 : 수열
에서 으로 정의되는 수열
을
의 계차수열이라고 부른다.② 수열
의 계차수열이
일 때
(단, ≥ )
1
다음 수열의 극한값을 구하여라.⑴ ,
,
,
, ⋯ ⑵
,
,
, ⋯
⑶
,
,
,
, ⋯ ⑷ ,
,
,
, ⋯
2
다음 수열의 수렴, 발산을 조사하여라.⑴ , , , ⋯ ⑵
,
,
, ⋯
⑶ , , , , , , ⋯ ⑷
,
,
,
,
, ⋯
3
다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 극한값을 구하여라.⑴
⑵
⑶
4
수열
의 일반항이 다음과 같을 때 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 극한값을 구하고, 발산 하면 발산의 형태를 조사하여라.⑴ sin
⑵ ⑶
05 05 수열의 수렴과 발산 수열의 수렴과 발산
개념 핵심정리 (1) 수열의 수렴 : 무한수열
에서 이 한없이 커질 때 의 값이 일정한 값 에 한없이 가까워지면 ‘수열
은 에 수렴한다’라고 말하고 를
의 극한 또는 극한값이라고 부른다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim
→ ∞
또는 ‘ → ∞ 일 때 → ’
(2) 수열의 발산 : 수열이 수렴하지 않을 때 발산한다고 말한다.
① 의 값이 한없이 커질 때 의 값이 한없이 커지면 ‘수열
은 양의 무한대로 발산한 다’라고 말한다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim
→ ∞
∞ 또는 ‘ → ∞ 일 때 → ∞ ’
② 의 값이 한없이 커질 때 의 값이 한없이 작아지면 ‘수열
은 음의 무한대로 발산한 다’라고 말한다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim
→ ∞
∞ 또는 ‘ → ∞ 일 때 → ∞ ’
③ 수열
이 발산하지만 양의 무한대에 발산하지 않고 음의 무한대에도 발산하지 않으 면 ‘
은 진동한다’라고 말한다.1
다음 극한값을 구하여라.⑴
lim
→ ∞
⑵ → ∞lim
⑶ → ∞lim
2
수열
이 에 수렴하고 수열
이 에 수렴할 때, 다음 수열의 극한값을 , 로 나타 내어라.⑴
⑵
⑶
(단, ≠ )3
다음 극한값을 구하여라.⑴
lim
→ ∞
⑵
lim
→ ∞
⑶
lim
→ ∞
⑷
lim
→ ∞
⑸lim
→ ∞
⑹
lim
→ ∞
4
다음 극한값을 구하여라. (단, 는 상수이다.)⑴
lim
→ ∞
sin ⑵
lim
→ ∞
cos ⑶
lim
→ ∞ sin
5
수열
이 모든 자연수 에 대하여 부등식 을 만족시킬 때,
의 극한값을 구하여라.06 06 수열의 극한에 관한 성질 수열의 극한에 관한 성질
개념 핵심정리 (1) 극한과 사칙계산 : 두 수열
,
이 수렴하고lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
일 때
①
lim
→ ∞
②
lim
→ ∞
③
lim
→ ∞
(는 상수) ④
lim
→ ∞
⑤
lim
→ ∞
(단, ≠ )
(2) 극한과 부등호 : 두 수열
,
이 수렴하고lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
일 때
① 모든 자연수 에 대하여 ≤ 이면 ≤ .
② 조임정리 : 수열
이 모든 자연수 에 대하여 ≤ ≤ 이고 이면 → ∞
lim
.
1
다음 무한등비수열의 수렴, 발산을 조사하여라.⑴
⑵
⑶
⑷
2
다음 극한값을 구하여라.⑴
lim
→ ∞
⑵
lim
→ ∞
⑶
lim
→ ∞⋅
⋅ ⑷
lim
→ ∞
3
다음 수열의 수렴, 발산을 조사하여라.⑴
(단, ) ⑵
(단, ≠ )⑶
⑷
(단, ≠ )4
무한등비수열
cos
가 수렴하도록 실수 의 값의 범위를 정하여라.5
수열
이 , 를 만족시킬 때
lim
→ ∞
의 값을 구하여라.
★
6
수열
이 , 을 만족시킬 때lim
→ ∞
의 값을 구하여라.
★
7
2 L의 물을 담을 수 있는 두 비커 A, B에 각각 1 L의 물이 들어 있다 먼저 비커 A에 들어 있는 물의 을 비커 B에 담고, 그 다음 비커 B에 들어 있는 물의
을 비커 A에 담는다. 이와 같 은 과정을 계속 반복하면 비커 A에 들어 있는 물의 양은 어디에 가까워지는지 구하여라.
(단, 물은 증발하지 않는다고 가정한다.)
07 07 등비수열의 극한 등비수열의 극한
개념 핵심정리 (1) 무한등비수열의 수렴과 발산 : 무한등비수열
에 대하여① 일 때
lim
→ ∞
∞ (발산)
② 일 때
lim
→ ∞
(수렴)
③ 일 때
lim
→ ∞
(수렴)
④ ≤ 일 때
은 진동한다. (발산)1
다음 무한급수의 수렴, 발산을 조사하여라.⑴ ⋯ ⑵
⋯
⑶ ⋯ ⑷
⋯
2
다음 무한급수의 합을 구하여라.⑴
∞
⑵
∞
⑶
∞
3
∞
이 수렴하고
∞
,
∞
일 때
∞
의 값을 구하여라.
4
다음 무한급수가 발산함을 증명하여라.⑴
∞
⑵
∞
⑶
∞
⑷
∞
⑸
∞
⑹
∞
5
무한급수
⋯ 의 합을 구하여라.
6
수열
에 대하여 , 이 성립할 때
∞
의 값을 구하여라.
7
다음 무한급수의 합을 구하여라.
⋯
⋯
⋯08 08 무한급수 무한급수
개념 핵심정리 (1) 무한급수
① 수열
에 대하여
∞
lim
→ ∞
를
의 무한급수라고 부른다.②
를 위 무한급수의 부분합이라고 부른다.
③ 위 ①의 무한급수가 에 수렴할 때 를 무한급수의 합이라고 부른다.
(2) 무한급수의 수렴과 일반항 : 무한급수
∞ 이 수렴하면 → ∞lim
이다.1
다음 무한등비급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하여라.⑴
⋯ ⑵
⋯⑶
⋯ ⑷
⋯⑸
∞
⑹
∞
2
다음 무한등비급수가 수렴하도록 실수 의 값의 범위를 정하여라.⑴ ⋯ ⑵
⋯
3
다음 무한급수의 합을 구하여라.⑴
∞
⑵
∞
⑶
∞
4
공비가 같은 두 무한등비수열
,
에 대하여 ,
∞
,
∞
가 성립할 때
∞
의 값을 구하여라.5
무한등비급수를 이용하여 다음 순환소수를 분수로 나타내어라.⑴ ⑵
6
어떤 공을 공중에서 지면에 수직으로 떨어뜨리면 떨어진 높이의 배만큼 튀어 오르는 과정을 무한히 반복한다고 한다. 이 공을 지상 m 의 높이에서 지면에 수직으로 떨어뜨렸을 때, 공이 멈출 때까지 움직인 거리를 구하여라.09 09 무한등비급수 무한등비급수
개념 핵심정리 (1) 무한등비급수 : 등비수열의 무한급수를 무한등비급수라고 부른다.
(2) 무한등비급수의 수렴과 발산 : 첫째항이 , 공비가 인 등비수열
의 무한급수
∞
⋯
에 대하여 다음이 성립한다.
① 일 때 무한등비급수는 수렴하고 그 합은
이다.
② ≥ 일 때 무한등비급수는 발산한다.
