Electromagnetics II 전자기학 2

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 1

Electromagnetics II 전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab http://cms.mmu.ac.kr/wizuniv/user/RFSIL/

제6장 : 정전 경계값 문제 2

6.4 Poisson과 Laplace 방정식을 풀기 위한 일반적인 과정

■ 주어진 경계조건에서 Poisson과 Laplace 방정식의 해를 얻기 위한 과정

▪ 1. Laplace 방정식 (ρ_v=0) 또는 Poisson 방정식 (ρ_v≠0)을 다음과 같이 푼다.

- (a) V의 변수가 하나인 경우 직접 적분한다.

- (b) V의 변수가 여러개인 경우 변수 분리법에 의하여 해를 구한다.

이 시점에서 해는 결정해야 할 미지의 적분상수의 항으로 표현되므로 유일하지 않다.

▪ 2. V에 대한 유일해를 얻기 위하여 경계조건을 적용한다. 주어진 경계조건을 사용하여 유일해를 만든다.

▪ 3. 구한 V를 E=-∇V에 대입하여 E를 구하고, D=εE에 의해 D를 구한다.

▪ 4. 원한다면 Q= ∫ρ_s dS를 사용하여 도체에 유도된 전하 Q를 구한다.

여기서 ρ_s = D_n이고, D_n은 도체 표면에서 D의 법선 성분이다. 필요하다면

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Example

■ 예제 6-1

전극 사이에는 일정한 전하밀도 ρ_o 인전하들로 채워져 있고, 왼쪽 전극에서 생성되어 오른쪽 전극에 모이게 된다. ρ_o=25 mC/m³이고, V_o= 22 kV일 때 펌프의 압력을 구하라.

풀이(1)

B + Az + ε z

- ρ

= V

A + ε z

- ρ dz =

dV

ε - ρ dz =

V (3) d

0

= d)

= V(z

V

= 0)

= V(z

conditions Boundry

(2)

ε - ρ

= V

Eq.

Poisson :

0 ρ

(1)

0 2 0

0 2

2

0 2 v

v

∇

≠

S

= F (6)P

2 )]a - d ε (z ρ d

[ V

=

d )]a - V 2ε

d ( ρ - ε z

d [ ρ

= dz a

- dV

=

V -

= E (5)

V + d )z - V 2ε

d ( ρ + 2ε z

d - ρ

= V

d - V 2ε

d

= ρ A :

V + Ad + ε d

- ρ

= 0

V

= B :

B + 0 + -0

= 0)

= V(z

conditions Boundry

(4)

z 0

0

z 0 0

0 z

0 0

2 0 0

0 0

0 0 2

0

+

∇

∴

∴

∴

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풀이(2)

] [N/m 550

= x22x10 25x10

= V ρ

= F/S

= P (7)

a SV ρ

=

a dz)]

- 2ε (z

+ ρ d z

[ V S ρ

=

Edz ds

ρ

=

EdV ρ

= QE

= F

2 3

3 - 0

0 z 0 0

z d 0 0 2

0 0

0

v

∫

∫

∫

Example

■ 예제 6-3

그림 6.3에서와 같이 φ=0과 φ=π/6에 반무한 도체평면이 아주 작은 간격을 두고 절연되어 분리되어 있다. V(φ=0) = 0과 V(φ=π/6) = 100 V라 할 때, 두 면 사이의 영역에서 V와 E를 구하라.

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풀이(1)

B + A

= V d

V (3) d

100V

= /6)

= V(

0V

= 0)

= V(

conditions Boundry

(2)

d V d ρ - 1

= V

Eq.

Laplace :

0 ρ

(1)

2 2

2 2 2 2

v

φ φ

π φ φ

φ

0

=

0

=

=

∇

φ

φ

π a 600 ρ

- 1

=

dφ a dV ρ - 1

= -∇∇

= E (5)

π φ

= 600

∴ V

π

= 600

∴ A π/6A

= 100

0

=

∴ B B + 0

= 0

conditions Boundry

(4)

n

실험적 사상법

▪ X-Y 평면상에서 전자기학적 기본이론에 따라 전기력선과 등전위면을 그려서 “전위계의 전위분포”를 나타내는 가장 간단한 실험적 방법

보충: [곡선 정방형]

n

곡선 정방형

▪ 전속선과 등전위면의 이루는 형태가 정방형이 되도록 전위계를 그림.

▪ 기본이론

1. 도체의 경계면은 등전위면임

2. 전계의 세기 및 전속밀도는 모두 등전위면과 직교한다.

- E와 D는 도체 경계면에 수직.

3. 전속선(전기력선)은 전하로부터 시작하거나 전하에서 끝남.

- 전하를 갖지 않는 균일 유전체 내에서는 전속선(전기력선)은 도체 경계면에서 시작하거나 끝남.

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곡선 정방형 의미

▪ 물리적인 의미

- +Q/-Q로 대전된 두 도체 사이에 일정한 전위차를 갖는 등전위면.

- 전위가 높은 도체의 임의의 표면 A에서 법선방향으로 유선이 방사.

- 이 유선은 등전위면과 직각을 이루며, 낮은 전위를 갖는 도체에서 끝남.

- 유선들과 등전위면들의 교차점은 정방형을 이룸.

- 한쌍의 유선 (A--A’, B--B’): 유선은 모든점에서 전계세기나 전속밀도에 대한 접선이되며, 전속밀도는 유선에 대해 접선이 됨.[ref. P.58]

- 전속관(Flux tube): 도체에서 다른 도체까지 손실 없이 전속을 그대로 운반하는 관으로 생각할 수 있음.

+Q

-Q

▪ 곡선 정방형의 의미

- 미소 구간 - 전속선

- 전속밀도(D)

- 중점에서 전계의 세기 --- (1) - 미소거리 ΔLm의 전위차 ΔV라고 할 때 전계의 세기

--- (2) - 따라서, (1)=(2)에서,

Lt D

y D

Lt D D y /

E Lt

D

= D y e

1

L

E V

D

= D

1 .

const L

V Lt

=

D

= D D

D y e

- 어디에서나 ΔLt/ΔL

의 비는 일정해야하며, 보통 ΔLt/ΔL

=1로 둠이 간단함.

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전계사상도 (field map)를 이용한 정전용량 계산

▪ 캐이블의 용량

V

Q C = /

y D

= D

= N

Q N

Q V

= N

D V

정전용량

N_Q: 전속관수

N_V: 도체 사이의 전위증분

V Q N

t V

Q V

Q V

Q

N N L

L N

N V

N N V

N

Q

C N y e e

D =

= D D

= D D

= D

두 도체 사이 및 각도체 주위의 두 방향의 곡선 정 방형의 수만 세면전계 사상도에서 정전용량을 구 할 수 있음.

N_Q = 8 x 3.25, N_V = 4

x pF N e

C N

V

Q

57 . 6

4 25 . 3 854 8

.

8

=

=

= e

[ 반복법(Iteration method) ]

n

전위분포 계산

▪ 조건

- 어떤 영역의 경계상의 전위가 미리 정해져있고, 한 방향에 대한 전위의 변화가 없는 2차원 전위분포를 갖는 특수한 전위문제.

1. 전위를 구해야 할 영역의 단면의 한변의 길이가 h인 정방형으로 분할

2. V₀, V₁, V₂, V₃ 및 V₄: 인접한 미지의 전위 3. 전하가 없고 유전체로 채워진 영역 내의

모든 점에서

[전위가 Z축 방향에 대해서는 변하지 않는 2차원문제]

0 ,

0 Ñ × =

=

×

Ñ D E

0

¶ =

¶ E

+ E

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E=-grad V에서

x V

E

= -¶ / ¶ E

= -¶ V / ¶ y

2

0

2 2

2

¶ = + ¶

¶

¶

y V x

V

h V V x

V

a

0 1

-

¶ »

¶

편미분 값은 인접점의 가정된 전위로 표시할 수 있음.

h V V

x V

c

3 0

-

¶ »

¶ h

V V

y V

b

0 2

-

¶ »

¶

h V V

y V

d

4 0

-

¶ »

¶

이를 이용하여 2차 미분을 계산하면,

2

3 0 0 1 0

2 2

h

V V V V h

x V x

V x

V _{a c} - - +

¶ » - ¶

¶

¶

¶ »

¶

2

4 0 0 2 0 2 2

h

V V V V y

V - - +

¶ »

¶

4 0

2

0 4

3 2 1 2

2 2

2

- = + +

= +

¶ + ¶

¶

¶

h

V V

V V V y

V x

V

) 4(

1

4 3 2 1

0 V V V V

V = + + +

- h가 영에 접근할수록 정확함.

- 전위가 인접한 전위의 평균 값.

▪ 반복법

- 세분된 모든 정방형의 정점의 전위를 차례로 결정하는 방법.

- 전위가 일정한 값에 도달하여 그 이상 변화하지 않을 때까지 여러 번 이 과정을 반복함.

▪ 예: 정방형 영역

V0

Va Vb

V1

V2 V3

V5

V4 V6

V7

375 . 4 9

25 . 6 0 25 . 6 25

75 . 4 18

25 25 . 6 0 75 . 43

12 . 4 53

25 75 . 43 75 . 43 100

25 . 4 6

0 0 0 25

75 . 4 43

0 25 50 100

2 50 0 100

4 25 0 0 0 100

5 4 3 2 1 0

+ = +

= +

+ = +

= +

+ = +

= +

+ = +

= +

+ = +

= +

+ =

=

=

+ = +

= +

V V V V V

Vb Va V

12 . 53 75 . 18 0

100+ + +