08 연립방정식
03 부정방정식
㉠+㉡을 하면 4aÛ`-12a=0
4a(a-3)=0 ∴ a=0 또는 a=3
Ú a=0일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 15=0이므로 등식이 성립 하지 않는다.
Û a=3일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 18-6k-24+15=0 6k=9 ∴ k=;2#;
Ú, Û에서 k=;2#; ;2#;
14 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
aÛ`+aa+3b=0 ……`㉠
aÛ`+ba+3a=0 ……`㉡
㉠-㉡을 하면
(a-b)a-3(a-b)=0
(a-b)(a-3)=0 ∴ a=b 또는 a=3
Ú a=b일 때, 두 이차방정식은 xÛ`+ax+3a=0으로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=3일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 9+3a+3b=0 ∴ a+b=-3
Ú, Û에서 a+b=-3 -3
08
연립방정식본책
148 ~ 152쪽 4 ⑴ 5xÛ`-4xy+yÛ`-4x+4=0에서(4xÛ`-4xy+yÛ`)+(xÛ`-4x+4)=0 ∴ (2x-y)Û`+(x-2)Û`=0
x, y가 실수이므로 2x-y, x-2도 실수이다.
따라서 2x-y=0, x-2=0이므로 x=2, y=4
⑵ 2xÛ`+6xy+9yÛ`+2x+1=0에서 (xÛ`+6xy+9yÛ`)+(xÛ`+2x+1)=0 ∴ (x+3y)Û`+(x+1)Û`=0
x, y가 실수이므로 x+3y, x+1도 실수이다.
따라서 x+3y=0, x+1=0이므로 x=-1, y=;3!;
⑴ x=2, y=4 ⑵ x=-1, y=;3!;
5 주어진 방정식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 5xÛ`-2(y+3)x+2yÛ`-6y+9=0 ……`㉠
x가 실수이므로 x에 대한 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D
4 ={-(y+3)}Û`-5(2yÛ`-6y+9)¾0 yÛ`-4y+4É0 ∴ (y-2)Û`É0 y도 실수이므로 y-2=0 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 5xÛ`-10x+5=0 xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1
∴ x+y=3 3
01
전략 한 문자를 소거하여 미지수가 2개인 연립일차방정식을 만들어 푼다.풀이
à
x-2y=10 x-y-z=8 ……`㉠……`㉡x+3y+z=-12 ……`㉢
㉡+㉢을 하면 2x+2y=-4 ……`㉣
0116 02⑤ 039 042 05-3 0666 07② 083 09;7#; 10③ 1125 12①
13(-3, -1), (-1, -3), (-1, 2), (2, -1) 14③ 152 16④ 178`%, 12`%, 18`%
18④ 19① 20-2
중단원 연습 문제
본책 152 ~154쪽㉠+㉣을 하면 3x=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=-4 x=2, y=-4를 ㉡에 대입하면 z=-2
∴ xyz=16 16
다른 풀이 ㉠+㉡+㉢을 하면 3x=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=-4
x=2, y=-4를 ㉡에 대입하면 z=-2
02
전략 순환형의 연립일차방정식은 주어진 식을 변끼리 모두 더한 식 과 연립방정식을 이루는 각 방정식을 연립하여 푼다.풀이
à
3x+2y+z=4 x+3y+2z=11 ……`㉠……`㉡2x+y+3z=9 ……`㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 6(x+y+z)=24
∴ x+y+z=4 ……`㉣
㉠-㉣을 하면 2x+y=0 ……`㉤
㉡-㉣_2를 하면 -x+y=3 ……`㉥
㉤, ㉥을 연립하여 풀면 x=-1, y=2 x=-1, y=2를 ㉣에 대입하면 z=3 따라서 a=-1, b=2, c=3이므로
aÛ`+bÛ`+cÛ`=(-1)Û`+2Û`+3Û`=14 ⑤
03
전략 x+y5 =y+z3 =z+x6 =k`(k+0)라 하고 순환형의 연립일 차방정식으로 변형하여 푼다.풀이 x+y 5 =y+z
3 =z+x
6 =k`(k+0)라 하면
x+y=5k ……`㉠
y+z=3k ……`㉡
z+x=6k ……`㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=14k
∴ x+y+z=7k ……`㉣
㉣-㉠을 하면 z=2k
㉣-㉡을 하면 x=4k
㉣-㉢을 하면 y=k ∴ xÜ`+zÜ`
xyÛ`+yzÛ`= (4k)Ü`+(2k)Ü`
4k´kÛ`+k´(2k)Û`= 72kÜ`
8kÜ` =9 9
04
전략 z를 소거한 두 방정식을 연립하여 Ay=B 꼴로 나타내어 본다.풀이
à
x+y+z=1 x+ay-2z=-3 ……`㉠……`㉡2x+3y-z=2 ……`㉢
㉠_2+㉡을 하면 3x+(2+a)y=-1 ……`㉣
㉠+㉢을 하면 3x+4y=3 ……`㉤
㉣-㉤을 하면 (a-2)y=-4
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주어진 연립방정식의 해가 없으려면 앞의 방정식이 0´y=-4 꼴 이어야 하므로
a-2=0 ∴ a=2 2
05
전략 주어진 연립방정식에서 y를 소거하여 Ax=B 꼴로 나타내어 본다.풀이 kx+2y=3x+4에서 (k-3)x+2y=4 ……`㉠
x-2y=-ky+4에서 x+(k-2)y=4 ……`㉡
㉠_(k-2)-㉡_2를 하면
{(k-3)(k-2)-2}x=4(k-2)-8 (kÛ`-5k+4)x=4k-16
(k-1)(k-4)x=4(k-4) y ❶ 따라서 k=1이면 0´x=-12이므로 해가 존재하지 않고, k=4이 면 0´x=0이므로 해가 무수히 많다.
∴ a=1, b=4 y ❷
∴ a-b=-3 y ❸
-3
06
전략 전체 일의 양을 1로 놓고 주어진 조건을 이용하여 연립방정식 을 세운다.풀이 전체 일의 양을 1이라 하면 A, B, C가 하루에 할 수 있는 일의 양은 각각 1
a , 1 b , 1
c 이므로 6{ 1a+1
b +1
c }=1 ∴ 1 a +1
b +1 c =1
6 ……`㉠
9{ 1a+1
b }=1 ∴ 1 a +1
b =1
9 ……`㉡
7 a +5
b +7
c =1 ……`㉢ y ❶
㉠_7-㉢을 하면 2b=1
6 ∴ b=12 b=12를 ㉡에 대입하면
1 a +1
12 =1 9 , 1
a = 1
36 ∴ a=36 a=36, b=12를 ㉠에 대입하면
1 36 + 1
12 +1 c =1
6 , 1 c = 1
18 ∴ c=18 y ❷
∴ a+b+c=66 y ❸
66
채점기준 비율
❶ y를 소거하여 Ax=B 꼴로 나타낼 수 있다. 30%
❷ a, b의 값을 구할 수 있다. 60%
❸ a-b의 값을 구할 수 있다. 10%
채점기준 비율
❶ 주어진 조건을 이용하여 연립방정식을 세울 수 있다. 50%
❷ a, b, c의 값을 구할 수 있다. 40%
❸ a+b+c의 값을 구할 수 있다. 10%
07
전략 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입 한다.풀이 à3x-y=1 ……`㉠
2xÛ`-yÛ`=-2 ……`㉡
㉠에서 y=3x-1 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
2xÛ`-(3x-1)Û`=-2, 7xÛ`-6x-1=0 (7x+1)(x-1)=0 ∴ x=-;7!; 또는 x=1 Ú x=-;7!;을 ㉢에 대입하면 y=-;;Á7¼;;
Û x=1을 ㉢에 대입하면 y=2
Ú, Û에서 a=-;7!;, b=-;;Á7¼;; 또는 a=1, b=2
∴ a+b=-;;Á7Á;; 또는 a+b=3 ②
08
전략 a, b를 포함하지 않는 두 방정식을 이용하여 두 연립방정식의 서로 같은 해를 구한다.풀이 주어진 두 연립방정식의 서로 같은 해는 두 연립방정식 àx+y=1 ……`㉠
xÛ`+yÛ`=25 ……`㉡, àx+ay=-1 ……`㉢
2x+3y=b ……`㉣의 해이다.
㉠에서 y=1-x이므로 이것을 ㉡에 대입하면 xÛ`+(1-x)Û`=25, xÛ`-x-12=0 (x+3)(x-4)=0 ∴ x=-3 또는 x=4 Ú x=-3일 때, y=4이므로
㉢에서 -3+4a=-1 ∴ a=;2!;
㉣에서 b=2´(-3)+3´4=6 Û x=4일 때, y=-3이므로
㉢에서 4-3a=-1 ∴ a=;3%;
㉣에서 b=2´4+3´(-3)=-1
그런데 a>0, b>0이어야 하므로 조건을 만족시키지 않는다.
Ú, Û에서 a=;2!;, b=6 ∴ ab=3 3
09
전략 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입 한다.풀이 àx-2y=2 ……`㉠
xÛ`+yÛ`+xy=k ……`㉡
㉠에서 x=2y+2이므로 이것을 ㉡에 대입하면
(2y+2)Û`+yÛ`+(2y+2)y=k ∴ 7yÛ`+10y+4-k=0 주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 이 이차방정식 이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면
D
4 =5Û`-7(4-k)=0
7k-3=0 ∴ k=;7#; ;7#;
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08
연립방정식본책
152 ~ 153쪽10
전략 인수분해되는 이차식을 인수분해한 후 다른 이차방정식에 대입하여 푼다.
풀이 àxÛ`-4yÛ`=0 ……`㉠
xÛ`+xy-yÛ`=5 ……`㉡
㉠에서 (x+2y)(x-2y)=0 ∴ x=-2y 또는 x=2y Ú x=-2y를 ㉡에 대입하면
(-2y)Û`+(-2y)´y-yÛ`=5, yÛ`=5 ∴ y=Ñ15
x=-2y이므로
x=Ñ2'5, y=Ð'5 (복호동순) Û x=2y를 ㉡에 대입하면
(2y)Û`+2y´y-yÛ`=5, yÛ`=1 ∴ y=Ñ1
x=2y이므로
x=Ñ2, y=Ñ1 (복호동순) Ú, Û에서 연립방정식의 해는 àx=Ñ2'5
y=Ð'5 또는 àx=Ñ2
y=Ñ1 (복호동순)
이므로 해가 아닌 것은 ③이다. ③
11
전략 x+y의 값을 먼저 구한 후 x-y의 값을 구하여 연립한다.풀이 àxÛ`-yÛ`=6 ……`㉠
(x+y)Û`-2(x+y)=3 ……`㉡
㉡에서 x+y=t로 놓으면 tÛ`-2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 ∴ x+y=-1 또는 x+y=3
그런데 x, y는 양수이므로 x+y=3 ……`㉢
㉠에서 (x+y)(x-y)=6
㉢을 위의 식에 대입하면 x-y=2 ……`㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 x=;2%;,y=;2!;
∴ 20xy=20´;2%;´;2!;=25 25
12
전략 인수분해되지 않고 xy항이 있는 연립이차방정식은 상수항을 소거하여 푼다.풀이 à16xÛ`-xy-yÛ`=10 ……`㉠
3xÛ`+xy=5 ……`㉡
㉠-㉡_2를 하면
10xÛ`-3xy-yÛ`=0, (5x+y)(2x-y)=0 ∴ y=-5x 또는 y=2x
Ú y=-5x를 ㉡에 대입하면
3xÛ`+x´(-5x)=5, -2xÛ`=5 이 식을 만족시키는 실수 x는 존재하지 않는다.
Û y=2x를 ㉡에 대입하면
3xÛ`+x´2x=5, xÛ`=1 ∴ x=Ñ1 y=2x이므로
x=Ñ1, y=Ñ2`(복호동순) Ú, Û에서 a=Ñ1, b=Ñ2`(복호동순)
∴ ab=2 ①
13
전략 주어진 연립방정식이 x, y에 대한 대칭식이므로 x+y=a, xy=b로 놓고 a, b의 값을 구한다.풀이 àxÛ`+yÛ`-xy=7
xÛ`+yÛ`+x+y=6에서 à(x+y)Û`-3xy=7 (x+y)Û`-2xy+x+y=6 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 방정식은
àaÛ`-3b=7 ……`㉠
aÛ`-2b+a=6 ……`㉡
㉠-㉡을 하면
-b-a=1 ∴ b=-a-1 ……`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
aÛ`-3(-a-1)=7, aÛ`+3a-4=0 (a+4)(a-1)=0 ∴ a=-4 또는 a=1 a=-4를 ㉢에 대입하면 b=3
a=1을 ㉢에 대입하면 b=-2 y ❶
Ú a=-4, b=3, 즉 x+y=-4, xy=3일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`+4t+3=0의 두 근이므로 (t+3)(t+1)=0 ∴ t=-3 또는 t=-1 ∴ àx=-3
y=-1 또는 àx=-1 y=-3
Û a=1, b=-2, 즉 x+y=1, xy=-2일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`-t-2=0의 두 근이므로 (t+1)(t-2)=0 ∴ t=-1 또는 t=2 ∴ àx=-1
y=2 또는 àx=2
y=-1 y ❷
Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-3, -1), (-1, -3), (-1, 2), (2, -1) y ❸ (-3, -1), (-1, -3), (-1, 2), (2, -1)
14
전략 x, y를 두 근으로 하는 이차방정식이 실근을 갖지 않음을 이용 한다.풀이 주어진 연립방정식에서 x+y=k-1, xy= kÛ`+2k-54 이 므로 x, y는 이차방정식
채점기준 비율
❶ x+y=a, xy=b로 놓고 a, b의 값을 구할 수 있다. 40%
❷ a, b의 값을 이용하여 연립방정식의 해를 구할 수 있다. 40%
❸ 순서쌍 (x, y)를 구할 수 있다. 20%