06 이차방정식과 이차함수
03 이차함수의 최대. 최소
확 인 본책 108쪽
1 ⑴ f(x) =xÛ`-6x+6=(x-3)Û`-3 -1ÉxÉ4에서 y=f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으므로 f(-1)=13, f(3)=-3, f(4)=-2
따라서 최댓값은 13, 최솟값은 -3이다.
4 1
y=f{x}
x
3 2 -1
y=f{x}
x
y
x -2O
-1 -3
y=x@-6x+6 13
6
4 3
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⑵ f(x) =-2xÛ`-4x+1
=-2(x+1)Û`+3
0ÉxÉ2에서 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 f(0)=1, f(2)=-15 따라서 최댓값은 1, 최솟값은
-15이다.
⑴ 최댓값: 13, 최솟값: -3
⑵ 최댓값: 1, 최솟값: -15
본책 109 ~112쪽 유 제
1 y =-5xÛ`+ax-13
=-5{x- a10 }Û`+ aÛ`20 -13
이 이차함수가 x=-2에서 최댓값 b를 가지므로 a
10 =-2, aÛ`
20 -13=b
∴ a=-20, b=7 a=-20, b=7 2 y=4xÛ`-8x+k=4(x-1)Û`+k-4이고, 꼭짓점의 x좌표 1 이 0ÉxÉ3에 속하므로 x=1에서 최솟값 k-4를 갖는다.
즉 k-4=-6이므로 k=-2 따라서 y=4(x-1)Û`-6에서 x=0일 때, y=-2 x=3일 때, y=10
이므로 주어진 함수의 최댓값은 10이다. 10 3 xÛ`+2x+1=t로 놓으면 t=(x+1)Û`
∴ t¾0 이때 주어진 함수는
y =-2tÛ`+4(t-1)+7
=-2tÛ`+4t+3
=-2(t-1)Û`+5`(t¾0) 이므로 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최 댓값 5를 갖는다.
5
4 xÛ`-2x+4=t로 놓으면 t=(x-1)Û`+3
0ÉxÉ3이므로 오른쪽 그림에서 3ÉtÉ7
이때 주어진 함수는
y=tÛ`-2t+3= (t-1)Û`+2`(3ÉtÉ7)
O y
-1 x 1 3
2
-15 y=-2x@-4x+1
y=-2t@+4t+3 y
5 3
1 t
O
t
x O 1 3
3 7 4
t=x@-2x+4
이므로 오른쪽 그림에서 t=3일 때, 최솟값 6 t=7일 때, 최댓값 38 을 갖는다.
따라서 구하는 합은
6+38=44 44
5 x-2y-1=0에서 x=2y+1 이것을 xÛ`-2yÛ`에 대입하면 xÛ`-2yÛ` =(2y+1)Û`-2yÛ`
=2yÛ`+4y+1
=2(y+1)Û`-1
t=2(y+1)Û`-1로 놓으면 이 이차함 수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 y=-1일 때 최솟값 -1을 갖는다.
-1
6 x+2y=4에서 x=-2y+4 …… ㉠ -2ÉxÉ2이므로 -2É-2y+4É2
∴ 1ÉyÉ3
㉠을 xy에 대입하면
xy =(-2y+4)y
=-2yÛ`+4y
=-2(y-1)Û`+2`(1ÉyÉ3) t=-2(y-1)Û`+2로 놓으면
1ÉyÉ3에서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로
y=1일 때, 최댓값 2 y=3일 때, 최솟값 -6 을 갖는다.
최댓값: 2, 최솟값: -6
7 x+yÛ`=1에서 yÛ`=-x+1 …… ㉠ y가 실수이므로
-x+1¾0 ∴ xÉ1
㉠을 xÛ`+2yÛ`+6x에 대입하면
xÛ`+2yÛ`+6x =xÛ`+2(-x+1)+6x
=xÛ`+4x+2
=(x+2)Û`-2`(xÉ1) t=(x+2)Û`-2로 놓으면 xÉ1에서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같 으므로 x=-2일 때 최솟값 -2를 갖는
다. -2
O 1 3 7 38
6 2
y y=t@-2t+3
t
-1
-1 1
O t=2{y+1}@-1
y t
O 2
1 3 t
y
t=-2{y-1}@+2 -6
-2 -2 1
O 7t t={x+2}@-2
x
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06
이차방정식과 이차함수본책
108 ~ 113쪽01
전략 이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계는 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 이용한다.풀이 이차함수 y=xÛ`+6x-2k의 그래프가 x축과 만나려면 이 차방정식 xÛ`+6x-2k=0이 실근을 가져야 하므로 이 이차방정 식의 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ
4 =3Û`-(-2k)¾0
9+2k¾0 ∴ k¾-;2(; …… ㉠ 이차함수 y=-xÛ`-2x+k의 그래프가 x축과 만나지 않으려면 이차방정식 -xÛ`-2x+k=0이 서로 다른 두 허근을 가져야 하 므로 이 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면
Dª
4 =(-1)Û`-(-1)´k<0
1+k<0 ∴ k<-1 …… ㉡
㉠, ㉡에서 -9
2 Ék<-1 따라서 모든 정수 k의 값의 합은
-4+(-3)+(-2)=-9 -9
02
전략 이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 이차방 정식 f(x)=0의 실근과 같다.풀이 이차함수 y=-xÛ`+3x+a의 그래프와 x축의 두 교점의 좌 표가 (-1, 0), (b, 0)이므로 이차방정식 -xÛ`+3x+a=0의 두 근이 -1, b이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -1+b=3, -1´b=-a
∴ a=4, b=4
∴ a+b=8 ⑤
다른 풀이 이차함수 y=-xÛ`+3x+a와 x축의 한 교점의 좌표가 (-1, 0)이므로 이차방정식 -xÛ`+3x+a=0의 한 근이 -1이다.
즉 -1-3+a=0이므로 a=4
따라서 이차함수 y=-xÛ`+3x+4의 그래프와 x축의 교점의 x좌 표는 -xÛ`+3x+4=0에서
-(x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ b=4
01-9 02⑤ 03k<-;4#; 04④ 0563 06③ 07a>3 081 09③ 104 11② 1221 13-;4!; 14① 150 16③ 17① 1813 1910 20750
중단원 연습 문제
본책 113 ~115쪽8 y =20x-5xÛ`
=-5(x-2)Û`+20
0ÉxÉ4에서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=2일 때, 최댓값 20을 갖는다.
따라서 구하는 최고 높이는 20`m이다.
20`m
9 PQÓ=x (0<x<6)라 하면 △ABC»△AQP`(AA 닮음) 이므로
ABÓ`:`AQÓ=BCÓ`:`QPÓ, 즉 12`:`AQÓ=6`:`x 6AQÓ=12x ∴ AQÓ=2x
∴ QBÓÕ=ABÓ-AQÓ=12-2x 직사각형 PQBR의 넓이를 S라 하면 S =x(12-2x)=-2xÛ`+12x
=-2(x-3)Û`+18`(0<x<6) 0<x<6에서 이 이차함수의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 x=3일 때 최댓값 18을 갖는다.
따라서 직사각형 PQBR의 넓이의 최댓값은 18이다. 18 10 오른쪽 그림과 같이 작은 구역의
가로의 길이를 x`m, 세로의 길이를 y`m라 하면 큰 구역의 세로의 길이는
작은 구역의 세로의 길이와 같고, 큰 구역의 넓이가 작은 구역의 넓이의 2배이므로 큰 구역의 가로의 길이는 2x`m이다.
이때 테이프의 총 길이가 300`m이므로
6x+3y=300, 즉 y=-2x+100 …… ㉠ x>0, y=-2x+100>0이므로
0<x<50
작은 구역의 넓이를 S라 하면
S=xy …… ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
S =x(-2x+100)=-2xÛ`+100x
=-2(x-25)Û`+1250`(0<x<50) 0<x<50에서 이 이차함수의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=25일 때 최댓값 1250을 갖는 다.
따라서 작은 구역의 넓이의 최댓 값은 1250`mÛ`이다.
1250`mÛ`
2 4 20 y=-5{x-2}@+20
O y
x
O 3 6 18S S=-2{x-3}@+18
x
2x`m x`m y`m
25 50
1250 S=-2{x-25}@+1250
O S
x
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03
전략 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)의 위치 관계는 이차방정식 f(x)=g(x)의 판별식을 이용한다.풀이 직선 y=x+k가 이차함수 y=xÛ`+3x+1의 그래프와 만나 지 않으므로 이차방정식 x+k=xÛ`+3x+1, 즉
xÛ`+2x+1-k=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ
4 =1Û`-(1-k)<0
∴ k<0 …… ㉠ y ❶
직선 y=x+k가 이차함수 y=-xÛ`+2x-1의 그래프와 서로 다 른 두 점에서 만나므로 이차방정식 x+k=-xÛ`+2x-1, 즉 xÛ`-x+k+1=0의 판별식을 Dª라 하면
Dª=(-1)Û`-4(k+1)>0
-4k-3>0 ∴ k<-;4#; …… ㉡ y ❷
㉠, ㉡에서 k<-3
4 y ❸
k<- 34
04
전략 평행한 두 직선은 기울기가 같음을 이용한다.풀이 직선 y=2x+5에 평행한 직선의 기울기는 2이므로 접선의 방정식을 y=2x+k라 하자.
이때 이차함수 y=xÛ`-2x+3의 그래프와 직선 y=2x+k가 접 하므로 이차방정식 xÛ`-2x+3=2x+k, 즉 xÛ`-4x+3-k=0의 판별식을 D라 하면
D
4 =(-2)Û`-(3-k)=0 k+1=0 ∴ k=-1
따라서 접선의 방정식은 y=2x-1이므로 구하는 x절편은 12 이
다. ④
05
전략 두 점 P(a, 0), Q(b, 0)에 대하여 PQÓ=|a-b|임을 이용한다.풀이 이차함수 y=xÛ`+2ax+b의 그래프가 직선 y=3x+5에 접 하므로 이차방정식 xÛ`+2ax+b=3x+5, 즉
xÛ`+(2a-3)x+b-5=0의 판별식을 D라 하면 D=(2a-3)Û`-4(b-5)=0
∴ 4aÛ`-12a-4b+29=0 …… ㉠ 또 이차함수 y=xÛ`+2ax+b의 그래프가 x축과 만나는 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b라 하면 a, b는 이차방정식
xÛ`+2ax+b=0의 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
채점기준 비율
❶ 판별식 DÁ을 이용하여 k의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%
❷ 판별식 Dª를 이용하여 k의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%
❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 20%
a+b=-2a, ab=b 이때 PQÓ=5이므로
|a-b| =!%(a-b)Û`=!%(a+b)Û`-4ab^
=!%4aÛ`-4b^=5
4aÛ`-4b=25 ∴ 4b=4aÛ`-25 …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
4aÛ`-12a-(4aÛ`-25)+29=0 12a=54 ∴ a= 92
a= 92를 ㉡에 대입하여 풀면 b=14
∴ ab=63 63
06
전략 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표는 방정 식 f(x)=g(x)의 실근과 같다.풀이 ㄱ. 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=h(x)가 만나는 두 점의 x좌표가 a, b이므로 이차방정식 f(x)=h(x)의 두 근은 a, b이다.
ㄴ. f(a)-f(b)>0
ㄷ. 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=h(x)가 만나는 점의 x좌표가 a이므로
f(a)=h(a)
이차함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=h(x)가 만나는 점의 x좌표가 b이므로
g(b)=h(b)
∴ f(a)-h(a)=g(b)-h(b)=0
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③
07
전략 이차방정식 f(x)=0의 실근은 이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표와 같다.풀이 f(x)=2xÛ`-ax-3a라 하면 이차 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽
그림과 같다. y ❶
f(-1)<0에서
2+a-3a<0 ∴ a>1 …… ㉠ f(3)<0에서
18-3a-3a<0 ∴ a>3 …… ㉡ y ❷
㉠, ㉡에서 a>3 y ❸
a>3
y=f{x}
x -1 3
채점기준 비율
❶ y=f(x)의 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 30%
❷ f(-1)<0, f(3)<0이 되도록 하는 a의 값의 범위를 각각 구할
수 있다. 50%
❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다. 20%
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06
이차방정식과 이차함수본책
113 ~ 114쪽08
전략 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 최대. 최소는 y=a(x-m)Û`+n꼴로 변형하여 구한다.
풀이 y =xÛ`-2kx-kÛ`+4k-1
=(x-k)Û`-2kÛ`+4k-1
이므로 x=k일 때 최솟값 -2kÛ`+4k-1을 갖는다.
∴ f(k)=-2kÛ`+4k-1 y ❶
이때 f(k)=-2kÛ`+4k-1=-2(k-1)Û`+1이므로 f(k)는
k=1일 때 최댓값 1을 갖는다. y ❷
1
09
전략 이차함수 f(x)에 대하여 f(m)=f(n)이면 이 이차함수의 그 래프의 축의 방정식은 x= m+n2 임을 이용한다.풀이 f(-3)=f(5)이므로 주어진 이차함수의 그래프는 직선 x= -3+52 , 즉 x=1에 대하여 대칭이다.
따라서 -2ÉxÉ2에서 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로 f(x)의 최 댓값은 f(1), 최솟값은 f(-2)이다.
③
10
전략 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표가 -3ÉxÉ3에 속하는 지 확인한다.풀이 |x|É3에서 -3ÉxÉ3
y=xÛ`-4x+a-1=(x-2)Û`+a-5이고, 꼭짓점의 x좌표 2가 -3ÉxÉ3에 속하므로 주어진 이차함수는
x=2일 때, 최솟값 a-5 x=-3일 때, 최댓값 a+20
을 갖는다. 이때 최댓값과 최솟값의 합이 23이므로 (a-5)+(a+20)=23, 2a=8
∴ a=4 4
11
전략 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표가 1ÉxÉa에 속하는지 확인한다.풀이 `f(x)=5xÛ`-20x+12=5(x-2)Û`-8은 x=2에서 최솟값 -8을 갖는다. 이때 1ÉxÉa에서 함수 f(x)의 최솟값이 -8이 므로 x=2는 1ÉxÉa에 속한다.
∴ a¾2
이때 f(1)=-3이므로 함수 f(x)는 x=a에서 최댓값을 갖는다.
즉 f(a)=5aÛ`-20a+12=12이므로 5aÛ`-20a=0, 5a(a-4)=0
∴ a=4`(∵ a¾2) ②
채점기준 비율
❶ f(k)를 구할 수 있다. 50%
❷ f(k)의 최댓값을 구할 수 있다. 50%
y=f{x}
x x=1 -2O 2 -3
5 y
12
전략 공통부분을 한 문자로 치환하여 최대. 최소를 구한다.풀이 2xÛ`-1=t로 놓으면 0ÉxÉ2이므 로 [그림 1]에서
-1ÉtÉ7 이때 주어진 함수는 y =tÛ`-4t+2
=(t-2)Û`-2`(-1ÉtÉ7) 이므로 [그림 2]에서
t=2일 때, 최솟값 -2 t=7일 때, 최댓값 23 을 갖는다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은
23+(-2)=21
21
13
전략 yÛ`-2x=1을 변형한 식을 xÛ`+yÛ`+x에 대입한다.풀이 yÛ`-2x=1에서 yÛ`=2x+1 …… ㉠ y가 실수이므로 yÛ`=2x+1¾0
∴ x¾-;2!;
㉠을 xÛ`+yÛ`+x에 대입하면
xÛ`+yÛ`+x =xÛ`+(2x+1)+x=xÛ`+3x+1
={x+;2#;}Û`-;4%;`{x¾-;2!;}
t={x+ 32}Û`-5
4 로 놓으면 x¾-1 2 에서 이 이차함수의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x=- 12 일 때 최솟값 - 14 을 갖는다.
- 14
14
전략 직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 a에 대한 함수로 나타낸다.풀이 f(x)=xÛ`-7, g(x)=-2xÛ`+5이므로 ADÓ=BCÓ=a-(-a)=2a
BAÓ =CDÓ=g(a)-f(a)
=(-2aÛ`+5)-(aÛ`-7)=-3aÛ`+12 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 l이라 하면 l =2{2a+(-3aÛ`+12)}=-6aÛ`+4a+24
=-6{a-;3!;}Û`+;;¦3¢;;`(0<a<2)
따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는 a= 13 일 때 최댓값 74
3 를 갖는다. ①
x t t=2x@-1
O 7
-1 2 [그림 1]
y=t@-4t+2
t 23
7
7 -1 22
O -2 y
[그림 2]
x t
O 1 2 -1
4 -1 4 -5 2 -3 t={x+ }@-23
4 5
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15
전략 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축에 접하면 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 할 때 D=0이다.풀이 주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 이차방정식 xÛ`-2(a-k)x+kÛ`-6k+2a-b=0의 판별식을 D라 하면 D
4 ={-(a-k)}Û`-(kÛ`-6k+2a-b)=0
∴ (-2a+6)k+aÛ`-2a+b=0 y ❶ 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-2a+6=0, aÛ`-2a+b=0
∴ a=3, b=-3 y ❷
∴ a+b=0 y ❸
0
16
전략 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 a, b이면 f(x)=a(x-a)(x-b)`(a+0)로 놓을 수 있다.풀이 y=f(x)의 그래프가 아래로 볼록하고 y=g(x)의 그래프 가 위로 볼록하므로
f(x)=a(x-a)(x-b), g(x)=-a(x-b)Û``(a>0) 으로 놓을 수 있다.
f(x)=g(x)에서 f(x)-g(x)=0이므로 a(x-a)(x-b)+a(x-b)Û`=0 a(x-b){(x-a)+(x-b)}=0 a(x-b){2x-(a+b)}=0 ∴ x=b 또는 x=a+b
2
따라서 이차방정식 f(x)=g(x)의 두 근의 합은 b+ a+b2 =a+3b
2 ③
17
전략 방정식 f(x)-k=0`(k는 상수)의 실근은 함수 y=f(x)의 그 래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표와 같다.풀이 이차방정식 xÛ`+2x-k=0의 실근은 이차함수 y=xÛ`+2x 의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표와 같다.
f(x)=xÛ`+2x=(x+1)Û`-1이라 하면 -2<x<1에서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 이 그래프와 직선 y=k가 적어도 한 점에서 만나야 하므 로
-1Ék<3
①
채점기준 비율
❶ k에 대한 항등식을 세울 수 있다. 50%
❷ a, b의 값을 구할 수 있다. 30%
❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 20%
x y
y=k y=x@+2x
O -1 -2 -11
3
18
전략 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표가 주어진 범위에 속할 때와 속하지 않을 때로 나누어 생각한다.풀이 f(x)=xÛ`-2kx=(x-k)Û`-kÛ`에서 꼭짓점의 좌표는 (k, -kÛ`)이다.
Ú k¾1일 때,
주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 x¾1에서의 최솟값은 f(k)=-kÛ`
즉 -kÛ`=-3이므로 k=13 (∵ k¾1) Û k<1일 때,
주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 x¾1에서의 최솟값은 f(1)=1-2k
즉 1-2k=-3이므로 k=2
그런데 k<1이므로 조건을 만족시키지 않는다.
Ú, Û에서 k=13 13
19
전략 점 P(a, b)가 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점이면 b=f(a) 가 성립함을 이용하여 b를 a에 대한 식으로 나타낸다.풀이 xÛ`-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3
∴ B(1, 0), C(3, 0) y ❶ 이때 점 P(a, b)가 이차함수 y=xÛ`-4x+3의 그래프 위의 점이 므로
b=aÛ`-4a+3 ……`㉠
㉠을 aÛ`+b에 대입하면 aÛ`+b =aÛ`+(aÛ`-4a+3)
=2aÛ`-4a+3
=2(a-1)Û`+1 y ❷
이때 점 P가 점 A에서 점 C까지 움직이므로 0ÉaÉ3
따라서 aÛ`+b는 a=3일 때, 최댓값 9 a=1일 때, 최솟값 1
을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은
9+1=10 y ❸
10
x 1 k
y=f{x}
-3 y
O
y=f{x}
k 1 x y
O
채점기준 비율
❶ 점 B, C의 좌표를 구할 수 있다. 20%
❷ aÛ`+b를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 40%
❸ aÛ`+b의 최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있다. 40%