2 f(x)=xÝ`-2xÜ`+2xÛ`-x-6이라 하면 f(-1)=1+2+2+1-6=0, f(2)=16-16+8-2-6=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x+1)(x-2)(xÛ`-x+3)
따라서 주어진 방정식은 (x+1)(x-2)(xÛ`-x+3)=0이므로 사차방정식의 두 실근은 -1, 2이고, 두 허근은 이차방정식 xÛ`-x+3=0의 근이다.
따라서 a=-1+2=1이고, 이차방정식 xÛ`-x+3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 b=1이므로
ab=1 1
3 방정식 xÜ`-6xÛ`+kx+12=0의 한 근이 -1이므로 -1-6-k+12=0 ∴ k=5
따라서 주어진 방정식은 xÜ`-6xÛ`+5x+12=0 f(x)=xÜ`-6xÛ`+5x+12라 하면
f(-1)=-1-6-5+12=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x) =(x+1)(xÛ`-7x+12)
=(x+1)(x-3)(x-4) 따라서 주어진 방정식은
(x+1)(x-3)(x-4)=0
이므로 x=-1 또는 x=3 또는 x=4
즉 나머지 두 근은 3, 4이다. k=5, 나머지 두 근: 3, 4 4 ⑴ xÛ`+4x=X로 놓으면 주어진 방정식은
(X+2)(X-3)=6
XÛ`-X-12=0, (X+3)(X-4)=0 ∴ X=-3 또는 X=4
Ú X=-3일 때, xÛ`+4x=-3에서
xÛ`+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0 ∴ x=-3 또는 x=-1
Û X=4일 때, xÛ`+4x=4에서
xÛ`+4x-4=0 ∴ x=-2Ñ212
Ú, Û에서 x=-3 또는 x=-1 또는 x=-2Ñ212 -1 1 -2 2 -1 -6
-1 3 -5 6
2 1 -3 5 -6 0 2 -2 6
1 -1 3 0
-1 1 -6 5 12 -1 7 -12
1 -7 12 0
⑵ (x-2)(x-1)(x+3)(x+4)=24에서 {(x-2)(x+4)}{(x-1)(x+3)}=24 (xÛ`+2x-8)(xÛ`+2x-3)=24 xÛ`+2x=X로 놓으면 주어진 방정식은 (X-8)(X-3)=24, XÛ`-11X=0 X(X-11)=0 ∴ X=0 또는 X=11
Ú X=0일 때, xÛ`+2x=0에서
x(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=0 Û X=11일 때, xÛ`+2x=11에서
xÛ`+2x-11=0 ∴ x=-1Ñ213 Ú, Û에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=-1Ñ213
풀이 참조 5 xÛ`-2x=X로 놓으면 주어진 방정식은
(X+4)(X-1)+6=0, XÛ`+3X+2=0 (X+2)(X+1)=0 ∴ X=-2 또는 X=-1 Ú X=-2일 때, xÛ`-2x=-2, 즉 xÛ`-2x+2=0의 판별식을
DÁ이라 하면 DÁ
4 =(-1)Û`-2=-1<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
Û X=-1일 때, xÛ`-2x=-1, 즉 xÛ`-2x+1=0의 판별식을 Dª라 하면
Dª
4 =(-1)Û`-1=0 이므로 중근(실근)을 갖는다.
Ú, Û에서 주어진 사차방정식의 허근은 이차방정식
xÛ`-2x+2=0의 근이다. 즉 a, b는 이 이차방정식의 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=2
∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=2Û`-2´2=0 0 6 ⑴ xÛ`=X로 놓으면 주어진 방정식은
XÛ`-X-12=0, (X+3)(X-4)=0 ∴ X=-3 또는 X=4
따라서 xÛ`=-3 또는 xÛ`=4이므로 x=Ñ13i 또는 x=Ñ2
⑵ 주어진 방정식에서 (xÝ`+4xÛ`+4)-16xÛ`=0
(xÛ`+2)Û`-(4x)Û`=0, (xÛ`+4x+2)(xÛ`-4x+2)=0 ∴ xÛ`+4x+2=0 또는 xÛ`-4x+2=0
Ú xÛ`+4x+2=0에서 x=-2Ñ12 Û xÛ`-4x+2=0에서 x=2Ñ12 Ú, Û에서 x=-2Ñ12 또는 x=2Ñ12
풀이 참조
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07
삼차방정식과 사차방정식본책
120 ~ 124쪽 7 xÛ`=X로 놓으면 주어진 방정식은XÛ`+8X+15=0, (X+5)(X+3)=0 ∴ X=-5 또는 X=-3
따라서 xÛ`=-5 또는 xÛ`=-3이므로 x=Ñ15i 또는 x=Ñ13i
∴ aa®+bb® =15i´(-15i)+13i´(-13i)
=-5iÛ`-3iÛ`=5+3=8 8
8 x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`+5x+8+ 5x+1
xÛ`=0 xÛ`+ 1xÛ`+5{x+ 1x}+8=0 {x+ 1x}Û`+5{x+1
x }+6=0 이때 x+ 1x =X로 놓으면
XÛ`+5X+6=0, (X+3)(X+2)=0 ∴ X=-3 또는 X=-2
Ú X=-3일 때, x+ 1x =-3에서
xÛ`+3x+1=0 ∴ x= -3Ñ15 2 Û X=-2일 때, x+ 1x =-2에서 xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0 ∴ x=-1
Ú, Û에서 x= -3Ñ15 2 또는 x=-1
x= -3Ñ15 2 또는 x=-1
9 x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`-4x+5- 4x+1
xÛ`=0 xÛ`+ 1xÛ`-4{x+ 1x}+5=0 {x+ 1x}Û`-4{x+1
x }+3=0 이때 x+ 1x =X로 놓으면
XÛ`-4X+3=0, (X-1)(X-3)=0 ∴ X=1 또는 X=3
Ú X=1일 때, x+ 1x =1에서
xÛ`-x+1=0 ……`㉠
㉠의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=(-1)Û`-4´1´1=-3<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
Û X=3일 때, x+ 1x =3에서
xÛ`-3x+1=0 ……`㉡
㉡의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(-3)Û`-4´1´1=5>0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
Ú, Û에서 a는 방정식 ㉡의 한 실근이므로 aÛ`-3a+1=0
양변을 a로 나누면 a-3+ 1a =0 ∴ a+1 a =3
∴ aÛ`+1
aÛ` ={a+ 1a}Û`-2=3Û`-2=7 7 10 사차방정식 xÝ`+axÜ`+bxÛ`-4x+1=0의 한 근이 i이므로 1-ai-b-4i+1=0
(-b+2)-(a+4)i=0
a, b는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 -b+2=0, a+4=0
∴ a=-4, b=2
따라서 주어진 방정식은 xÝ`-4xÜ`+2xÛ`-4x+1=0이고, x+0이 므로 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면
xÛ`-4x+2- 4x +1 xÛ`=0 xÛ`+ 1xÛ`-4{x+ 1x}+2=0 {x+ 1x }Û`-4{x+1
x }=0 이때 x+ 1x =X로 놓으면
XÛ`-4X=0, X(X-4)=0 ∴ X=0 또는 X=4
Ú X=0일 때, x+ 1x =0에서 xÛ`=-1 ∴ x=Ñi Û X=4일 때, x+ 1x =4에서
xÛ`-4x+1=0 ∴ x=2Ñ13 Ú, Û에서 x=Ñi 또는 x=2Ñ13
x=Ñi 또는 x=2Ñ13 11 처음 정육면체의 한 모서리의 길이를 x`cm라 하면 직육면체 의 밑면의 가로, 세로의 길이는 각각 (x+2)`cm, 높이는 (x+3)`cm이고, 이 직육면체의 부피가 252`cmÜ`이므로 (x+2)Û`(x+3)=252
xÜ`+7xÛ`+16x-240=0 ……`㉠
f(x)=xÜ`+7xÛ`+16x-240이라 하면 f(4)=64+112+64-240=0
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02
삼차방정식의 근과 계수의 관계확 인 본책 125 ~126쪽
1 ⑴ a+b+c=- -213 =7
⑵ ab+bc+ca= -103 =-10 3
⑶ abc=- 63 =-2
⑷ 1 a +1
b +1
c =ab+bc+ca abc = 53
⑴ 7 ⑵ - 103 ⑶ -2 ⑷ 5 3 2 ⑴ 세 근의 합은 3+(1+13 )+(1-13 )=5
두 근끼리의 곱의 합은
3(1+13 )+(1+13 )(1-13 )+3(1-13 )=4 세 근의 곱은 3(1+13 )(1-13 )=-6 따라서 구하는 삼차방정식은
xÜ`-5xÛ`+4x+6=0
⑵ 세 근의 합은 4+(2+i)+(2-i)=8 두 근끼리의 곱의 합은
4(2+i)+(2+i)(2-i)+4(2-i)=21 세 근의 곱은 4(2+i)(2-i)=20 따라서 구하는 삼차방정식은 xÜ`-8xÛ`+21x-20=0
⑴ xÜ`-5xÛ`+4x+6=0 ⑵ xÜ`-8xÛ`+21x-20=0 3 ⑴ 주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이고 한 근이
4+312이므로 4-312도 근이다.
따라서 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+(4+312 )+(4-312 )=-a ∴ a=-6 -2(4+312 )+(4+312 )(4-312 )+(-2)(4-312 ) =b
∴ b=-18
-2(4+312 )(4-312 )=-c ∴ c=-4
⑵ 주어진 삼차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 1-6i이므로 1+6i도 근이다.
따라서 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2+(1-6i)+(1+6i)=-a ∴ a=-4 2(1-6i)+(1-6i)(1+6i)+2(1+6i)=b ∴ b=41
2(1-6i)(1+6i)=-c ∴ c=-74
⑴ a=-6, b=-18, c=-4
⑵ a=-4, b=41, c=-74 이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-4)(xÛ`+11x+60) 따라서 방정식 ㉠은
(x-4)(xÛ`+11x+60)=0 이므로 x=4 (∵ xÛ`+11x+60>0)
즉 처음 정육면체의 부피는 4Ü`=64`(cmÜ`) 64`cmÜ`
12 VÁ= 13 ´p´6Û`´12=144p`(cmÜ`),
Vª=p´rÛ`´(5r+1)=(5rÜ`+rÛ`)p`(cmÜ`)이므로 VÁ=Vª에서 144p=(5rÜ`+rÛ`)p
∴ 5rÜ`+rÛ`-144=0 ……`㉠
f(r)=5rÜ`+rÛ`-144라 하면 f(3)=135+9-144=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(r)를 인수분해하면
f(r)=(r-3)(5rÛ`+16r+48) 따라서 방정식 ㉠은
(r-3)(5rÛ`+16r+48)=0
이므로 r=3`(∵ 5rÛ`+16r+48>0) 3 13 세 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 (x-2)`cm, x`cm, (x+2)`cm라 하면 가장 큰 정육면체의 부피가 나머지 두 정육면 체의 부피의 합의 2배보다 39`cmÜ`만큼 크므로
(x+2)Ü`=2{(x-2)Ü`+xÜ`}+39 3xÜ`-18xÛ`+12x+15=0
xÜ`-6xÛ`+4x+5=0 ……`㉠
f(x)=xÜ`-6xÛ`+4x+5라 하면 f(5)=125-150+20+5=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-5)(xÛ`-x-1) 따라서 방정식 ㉠은
(x-5)(xÛ`-x-1)=0 이므로 x=5`(∵ x>2)
즉 두 번째로 큰 정육면체의 한 모서리의 길이는 5`cm이다.
5`cm 4 1 7 16 -240
4 44 240
1 11 60 0
3 5 1 0 -144 15 48 144
5 16 48 0
5 1 -6 4 5
5 -5 -5 1 -1 -1 0
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07
삼차방정식과 사차방정식본책
124 ~ 129쪽본책 127~129쪽 유 제
1 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=0, ab+bc+ca=-4, abc=-;3*;
⑴ (a-1)(b-1)(c-1)
=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 =-;3*;-(-4)+0-1=;3!;
⑵ aÜ`+bÜ`+cÜ`
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca)-3abc =0-3´{-;3*;}=8
⑴ ;3!; ⑵ 8 2 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-;5$;, ab+bc+ca=;5!;, abc=4
⑴ 1a +1 b +1
c =ab+bc+ca abc =;5!;
4 =;2Á0;
⑵ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`
=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c) ={;5!;}Û`-2´4´{-;5$;}=;;Á2¤5Á;;
⑴ ;2Á0; ⑵ ;;Á2¤5Á;;
3 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=2, ab+bc+ca=-k, abc=-3 이때 aÛ`+bÛ`+cÛ`=12에서
(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)=12
4+2k=12 ∴ k=4 4
4 삼차방정식 2xÜ`-xÛ`+4x+8=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼 차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=;2!;, ab+bc+ca=2, abc=-4 구하는 삼차방정식의 세 근이 ab, bc, ca이므로 Ú 세 근의 합은
ab+bc+ca=2 Û 두 근끼리의 곱의 합은
ab´bc+bc´ca+ca´ab =abc(a+b+c)
=-4´ 12 =-2 Ü 세 근의 곱은
ab´bc´ca=(abc)Û`=(-4)Û`=16 이상에서 구하는 방정식은
xÜ`-2xÛ`-2x-16=0 xÜ`-2xÛ`-2x-16=0
5 삼차방정식 xÜ`+xÛ`+2x-5=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼 차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-1, ab+bc+ca=2, abc=5 구하는 삼차방정식의 세 근이 1
a , 1 b , 1
c 이므로 Ú 세 근의 합은
1 a +1
b +1
c =ab+bc+ca abc =;5@;
Û 두 근끼리의 곱의 합은 1
ab + 1 bc + 1
ca =a+b+c abc =-;5!;
Ü 세 근의 곱은 1
abc =;5!;
이상에서 구하는 방정식은 5{xÜ`- 25 xÛ`-1
5 x-1 5 }=0 ∴ 5xÜ`-2xÛ`-x-1=0
5xÜ`-2xÛ`-x-1=0
6 a, b, c가 유리수이므로 주어진 삼차방정식의 한 근이 1+12
2 이면 1-12
2 도 근이다.
나머지 한 근은 2이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2+ 1+122 + 1-122 =-;aB;
2´ 1+122 + 1+122 ´ 1-122 + 1-122 ´2=;aC;
2´ 1+122 ´ 1-122 =-;a@;
즉 -;aB;=3, ;aC;=;4&;, -;a@;=-;2!;이므로 a=4, b=-12, c=7
∴ a-b+c=23
23
7 a, b가 실수이므로 주어진 삼차방정식의 한 근이 -4-i이면 -4+i도 근이다.
나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (-4-i)+(-4+i)+a=-9
∴ a=-1
즉 삼차방정식의 세 근이 -1, -4-i, -4+i이므로
-1´(-4-i)+(-4-i)(-4+i)+(-4+i)´(-1)=a ∴ a=25
-1´(-4-i)(-4+i)=b ∴ b=-17
a=25, b=-17, 나머지 두 근: -4+i, -1
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03
방정식 xÜ`=1의 허근확 인 본책 130쪽
1 방정식 xÜ`=1의 한 허근이 x이므로 xÜ`=1
xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴ x=1 또는 xÛ`+x+1=0
따라서 x는 방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로
xÛ`+x+1=0 …… ㉠
⑴ x10=(xÜ`)Ü`´x=x, xÞ`=xÜ`´xÛ`=xÛ`이므로 x10+xÞ`+1=x+xÛ`+1=0
⑵ ㉠에서 1+x=-xÛ`이므로 xÛ`
1+x = xÛ`
-xÛ`=-1
⑴ 0 ⑵ -1
본책 131쪽 유 제
1 ⑴ xÜ`-1=0에서
(x-1)(xÛ`+x+1)=0
x는 방정식 xÜ`-1=0과 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로 xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
∴ (x100+1)(x101+1)(x102+1)
={(xÜ`)33´x+1}{(xÜ`)33´xÛ`+1}{(xÜ`)34+1}
=(x+1)(xÛ`+1)(1+1) =-xÛ`´(-x)´2 =2xÜ`=2
⑵ 방정식 xÛ`+x+1=0의 계수가 실수이고 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 x®이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x+x®=-1, xx®=1
∴ 1 x-1 + 1
x®-1 = x®-1+x-1 (x-1)(x®-1)
= (x+x®)-2 xx®-(x+x®)+1
= -1-2 1-(-1)+1=-1
⑴ 2 ⑵ -1 2 방정식 xÛ`+x+1=0의 계수가 실수이고 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 x®이다.
∴ xÛ`+x+1=0, x®Û`+x®+1=0 또 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x+x®=-1, xx®=1
∴ xÛ`
xÛ`-1 + x®Û`
x®Û`-1 = xÛ`
(x+1)(x-1)+ x®Û`
(x®+1)(x®-1)
= xÛ`
-xÛ`(x-1)+ x®Û`
-x®Û`(x®-1)
= 11-x+ 1 1-x®
= 1-x®+1-x`
(1-x)(1-x®)
= 2-(x+x®)`
1-(x+x®)+xx®
= 2-(-1)
1-(-1)+1=1 1
3 xÜ`+1=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0 ∴ x=-1 또는 xÛ`-x+1=0
따라서 x는 방정식 xÛ`-x+1=0의 한 허근이고 이 이차방정식 의 계수가 실수이므로 다른 한 근은 x®이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x+x®=1, xx®=1
∴ x 1-x+ x®
1-x® = x(1-x®)+x®(1-x)`
(1-x)(1-x®)
= x+x®-2xx®`
1-(x+x®)+xx®
= 1-2´1
1-1+1 =-1 -1
01
전략 주어진 방정식에 x=2를 대입하여 k의 값을 구한다.풀이 방정식 xÜ`+kxÛ`-7x+2k+6=0의 한 근이 2이므로 8+4k-14+2k+6=0 ∴ k=0
따라서 주어진 방정식은 xÜ`-7x+6=0
f(x)=xÜ`-7x+6이라 하면 f(2)=0이므로 조립제법을 이용하 여 f(x)를 인수분해하면
f(x) =(x-2)(xÛ`+2x-3)
=(x+3)(x-1)(x-2)
01-3, 1 02④ 03③ 04;1Á2; 05①
060 0721 081 096`cm 10-;;Á4°;;
11② 12④ 13④ 14③ 153 16④ 175 184 19⑤ 20⑤ 21x+2
중단원 연습 문제
본책 132 ~134쪽2 1 0 -7 6
2 4 -6
1 2 -3 0
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07
삼차방정식과 사차방정식본책
130 ~ 132쪽즉 주어진 방정식은
(x+3)(x-1)(x-2)=0
이므로 x=-3 또는 x=1 또는 x=2
따라서 나머지 두 근은 -3, 1이다. -3, 1
02
전략 주어진 방정식에 x=-1, x=2를 대입하여 a, b의 값을 구 한다.풀이 방정식 xÝ`+axÜ`+bxÛ`-(a-1)x+2=0의 두 근이 -1, 2 이므로
1-a+b+(a-1)+2=0 16+8a+4b-2(a-1)+2=0 ∴ a=-2, b=-2
따라서 주어진 방정식은 xÝ`-2xÜ`-2xÛ`+3x+2=0
f(x)=xÝ`-2xÜ`-2xÛ`+3x+2라 하면 f(-1)=0, f(2)=0이므 로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x+1)(x-2)(xÛ`-x-1) 즉 주어진 방정식은
(x+1)(x-2)(xÛ`-x-1)=0
이므로 나머지 두 근은 이차방정식 xÛ`-x-1=0의 두 근이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의
합은 1이다. ④
03
전략 f(x)=xÜ`-2xÛ`+3x-2라 하고 인수정리와 조립제법을 이용 하여 f(x)를 인수분해한다.풀이 f(x)=xÜ`-2xÛ`+3x-2라 하면 f(1)=1-2+3-2=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-1)(xÛ`-x+2) 즉 주어진 방정식은
(x-1)(xÛ`-x+2)=0
이므로 두 허근 a, b는 이차방정식 xÛ`-x+2=0의 두 근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=1, ab=2
∴ 1 a +1
b =a+b
ab =;2!; ③
-1 1 -2 -2 3 2 -1 3 -1 -2
2 1 -3 1 2 0
2 -2 -2 1 -1 -1 0
1 1 -2 3 -2 1 -1 2
1 -1 2 0
04
전략 f(x)=xÜ`+(3k-1)x-3k라 하고 인수정리와 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해한다.풀이 f(x)=xÜ`+(3k-1)x-3k라 하면 f(1)=1+(3k-1)-3k=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-1)(xÛ`+x+3k) y ❶
즉 주어진 방정식은
(x-1)(xÛ`+x+3k)=0
이고 이 방정식의 모든 근이 실수가 되려면 이차방정식 xÛ`+x+3k=0이 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식 을 D라 하면
D=1Û`-4´3k¾0, 1-12k¾0 ∴ kÉ;1Á2; y ❷ 따라서 실수 k의 최댓값은 ;1Á2;이다. y ❸
;1Á2;
05
전략 xÛ`-x+1=X로 치환하여 X에 대한 이차방정식으로 생각 한다.풀이 xÛ`-x+1=X로 놓으면 주어진 방정식은 XÛ`+3(X-1)-15=0, XÛ`+3X-18=0 (X+6)(X-3)=0 ∴ X=-6 또는 X=3 Ú X=-6일 때, xÛ`-x+1=-6에서
xÛ`-x+7=0
이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=(-1)Û`-4´1´7=-27<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 cd=7
Û X=3일 때, xÛ`-x+1=3에서 xÛ`-x-2=0
이 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(-1)Û`-4´1´(-2)=9>0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ab=-2
Ú, Û에서 ab-cd=-9 ①
1 1 0 3k-1 -3k 1 1 3k
1 1 3k 0
채점기준 비율
❶ 주어진 방정식의 좌변을 인수분해할 수 있다. 50%
❷ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%
❸ k의 최댓값을 구할 수 있다. 10%
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06
전략 xÝ`+axÛ`+b=0 꼴의 방정식은 xÛ`=X로 치환하거나 AÛ`-BÛ`=0 꼴로 변형하여 푼다.풀이 xÝ`+2xÛ`+9=0에서 (xÝ`+6xÛ`+9)-4xÛ`=0 (xÛ`+3)Û`-(2x)Û`=0
(xÛ`+2x+3)(xÛ`-2x+3)=0 y ❶ 따라서 이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방 정식 xÛ`-2x+3=0의 두 근은 c, d이므로 이차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=3, c+d=2, cd=3 y ❷ ∴ 1
a +1 b +1
c +1 d =a+b
ab +c+d cd
= -23 +2
3 =0 y ❸
0
07
전략 xÝ`+axÛ`+b=0 꼴의 방정식은 xÛ`=X로 치환하거나 AÛ`-BÛ`=0 꼴로 변형하여 푼다.풀이 xÛ`=X로 놓으면 주어진 방정식은 XÛ`-9X+k-10=0
주어진 방정식의 모든 근이 실수가 되려면 위의 이차방정식이 0 이 상의 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면
Ú D=(-9)Û`-4(k-10)¾0 121-4k¾0 ∴ kÉ;;Á;4@;Á;;
Û (두 근의 합)=9¾0
Ü (두 근의 곱)=k-10¾0 ∴ k¾10 이상에서 10ÉkÉ;;Á;4@;Á;;
따라서 자연수 k는 10, 11, 12, …, 30의 21개이다. 21
08
전략 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누어 정리한 후 x+ 1x =X 로 치환하여 푼다.풀이 x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`+2x-1+ 2x +1
xÛ`=0 {xÛ`+ 1xÛ` }+2{x+ 1x }-1=0 {x+ 1x}Û`+2{x+1
x }-3=0 이때 x+ 1x =X로 놓으면
채점기준 비율
❶ 주어진 방정식의 좌변을 인수분해할 수 있다. 40%
❷ a+b, ab, c+d, cd의 값을 구할 수 있다. 40%
❸ 1a +1 b +1
c +1
d 의 값을 구할 수 있다. 20%
XÛ`+2X-3=0, (X+3)(X-1)=0
∴ X=-3 또는 X=1 y ❶
Ú X=-3일 때, x+ 1x =-3에서
xÛ`+3x+1=0 ……`㉠
㉠의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=3Û`-4´1´1=5>0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
Û X=1일 때, x+ 1x =1에서
xÛ`-x+1=0 ……`㉡
㉡의 판별식을 Dª라 하면
Dª=(-1)Û`-4´1´1=-3<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. y ❷
Ú, Û에서 a는 방정식 ㉡의 한 허근이므로 aÛ`-a+1=0
양변을 a로 나누면 a-1+ 1a =0 ∴ a+1
a =1` y ❸
1
09
전략 처음 3개의 구의 반지름의 길이를 각각 (x-1)`cm, x`cm, (x+1)`cm로 놓고 방정식을 세운다.풀이 처음 3개의 구의 반지름의 길이를 각각 (x-1)`cm, x`cm, (x+1)`cm라 하면 새로 만든 구의 반지름의 길이는 2(x-1)`cm 이므로
;3$;p(x-1)Ü`+;3$;pxÜ`+;3$;p(x+1)Ü`=;3$;p(2x-2)Ü`
(x-1)Ü`+xÜ`+(x+1)Ü`=8(x-1)Ü`
∴ 5xÜ`-24xÛ`+18x-8=0 ……`㉠ y ❶ f(x)=5xÜ`-24xÛ`+18x-8이라 하면
f(4)=320-384+72-8=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-4)(5xÛ`-4x+2) 즉 방정식 ㉠은
(x-4)(5xÛ`-4x+2)=0
채점기준 비율
❶ x+ 1x =X로 치환하고 X의 값을 구할 수 있다. 40%
❷ X=-3, X=1일 때의 각 이차방정식의 근을 판별할 수 있다. 40%
❸ a+ 1a의 값을 구할 수 있다. 20%
4 5 -24 18 -8 20 -16 8
5 -4 2 0
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07
삼차방정식과 사차방정식본책
132 ~ 134쪽이므로 x=4 (∵ 5xÛ`-4x+2>0) y ❷
따라서 새로 만든 구의 반지름의 길이는 2´3=6 (cm)이다. y ❸
6`cm
10
전략 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.풀이 삼차방정식 xÜ`-xÛ`+3x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼 차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=1, ab+bc+ca=3, abc=-4 ∴ a+b
c +b+c a +c+a
b =1-c c +1-a
a +1-b b
= 1a +1 b +1
c -3
= ab+bc+caabc -3
= 3-4 -3=-15
4 - 154
11
전략 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.풀이 삼차방정식 xÜ`+axÛ`-3x+5=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-a, ab+bc+ca=-3, abc=-5 이때 (1-a)(1-b)(1-c)=-1에서
1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=-1 1-(-a)+(-3)-(-5)=-1
∴ a=-4 ②
다른 풀이 xÜ`+axÛ`-3x+5=(x-a)(x-b)(x-c)로 놓고 양 변에 x=1을 대입하면
1+a-3+5=(1-a)(1-b)(1-c) a+3=-1 ∴ a=-4
12
전략 세 근을 a-1, a, a+1로 놓고 삼차방정식의 근과 계수의 관 계를 이용한다.풀이 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+11x+b=0의 세 근을 a-1, a, a+1 (a는 a>1인 자연수)이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계 에 의하여
(a-1)a+a(a+1)+(a+1)(a-1)=11 3aÛ`-1=11, aÛ`=4 ∴ a=2`(∵ a>1) 따라서 삼차방정식의 세 근이 1, 2, 3이므로 1+2+3=-a ∴ a=-6 1´2´3=-b ∴ b=-6
∴ ab=36 ④
채점기준 비율
❶ 삼차방정식을 세울 수 있다. 40%
❷ x의 값을 구할 수 있다. 40%
❸ 새로 만든 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다. 20%
13
전략 방정식 xÜ`+1=0의 한 허근이 x이면 xÜ`+1=0, xÛ`-x+1=0 이다.풀이 xÜ`+1=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0 ∴ x=-1 또는 xÛ`-x+1=0
따라서 x는 방정식 xÛ`-x+1=0의 한 허근이고 이 방정식의 계 수가 실수이므로 다른 한 근은 x®이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x+x®=1, xx®=1
∴ (1+2x)(1+2x®) =1+2(x+x®)+4xx®
=1+2´1+4´1=7 ④
14
전략 방정식 xÜ`-1=0의 한 허근이 x이면 xÜ`-1=0, xÛ`+x+1=0 이다.풀이 xÜ`-1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴ x=1 또는 xÛ`+x+1=0
따라서 x는 방정식 xÜ`-1=0, xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로 xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
또 방정식 xÛ`+x+1=0의 계수가 실수이고 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 x®이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x+x®=-1, xx®=1
ㄱ. xÛ`+x+1=0의 양변을 x로 나누면 x+1+ 1x=0 ∴ x+1
x =-1 ㄴ. xÛ`= xÜ`x =1
x =x®
ㄷ. x100+x50+1 =(xÜ`)33´x+(xÜ`)16´xÛ`+1
=x+xÛ`+1=0 ㄹ. x100+1
x100 = (xÜ`)33´x+1 (xÜ`)33´x =x+1
x =-xÛ`
x =-x
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ③
15
전략 방정식 f(x)=0의 근이 a, b, c이므로 방정식 f(2x+1)=0 의 근은 2x+1=a, 2x+1=b, 2x+1=c를 만족시키는 x의 값이다.풀이 방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이므로 f(a)=0, f(b)=0, f(c)=0
f(2x+1)=0의 세 근을 xÁ, xª, x3이라 하면 f(2xÁ+1)=0, f(2xª+1)=0, f(2x3+1)=0 2xÁ+1=a, 2xª+1=b, 2x3+1=c라 하면 xÁ= a-12 , xª=b-1
2 , x3= c-12 ∴ xÁ+xª+x3 = a-12 +b-1
2 +c-1 2
= (a+b+c)-32 = 9-32 =3 3