08 연립방정식
02 연립이차방정식
본책 143 ~148쪽 유 제
1 ⑴ à2x-y=1 ……`㉠
xÛ`-yÛ`=-5 ……`㉡
㉠에서 y=2x-1 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`-(2x-1)Û`=-5 3xÛ`-4x-4=0, (3x+2)(x-2)=0 ∴ x=-;3@; 또는 x=2
Ú x=-;3@;를 ㉢에 대입하면 y=-;3&;
Û x=2를 ㉢에 대입하면 y=3 Ú, Û에서 구하는 해는
à
x=-;3@;y=-;3&; 또는 àx=2 y=3
⑵ àx+y=2 ……`㉠
xÛ`+2xy+2yÛ`=13 ……`㉡
㉠에서 y=-x+2 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+2x(-x+2)+2(-x+2)Û`=13 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
Ú x=-1을 ㉢에 대입하면 y=3 Û x=5를 ㉢에 대입하면 y=-3 Ú, Û에서 구하는 해는
àx=-1
y=3 또는 àx=5 y=-3
풀이 참조
다른 풀이 ⑵ ㉡에서 (x+y)Û`+yÛ`=13 ㉠을 위의 식에 대입하면
4+yÛ`=13, yÛ`=9 ∴ y=Ñ3
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08
연립방정식본책
137 ~ 145쪽Ú y=3을 ㉠에 대입하면 x=-1 Û y=-3을 ㉠에 대입하면 x=5
2 àx-2y=1 ……`㉠
xÛ`-xy+2yÛ`=2 ……`㉡
㉠에서 x=2y+1 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (2y+1)Û`-(2y+1)y+2yÛ`=2 4yÛ`+3y-1=0, (y+1)(4y-1)=0
∴ y=-1 또는 y=;4!;
Ú y=-1을 ㉢에 대입하면 x=-1 ∴ x+y=-2 Û y=;4!;을 ㉢에 대입하면 x=;2#; ∴ x+y=;4&;
Ú, Û에서 x+y의 최댓값은 ;4&;이다. ;4&;
3 ⑴ àxÛ`-2xy-3yÛ`=0 ……`㉠
xÛ`+yÛ`=10 ……`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x+y)(x-3y)=0 ∴ x=-y 또는 x=3y Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
(-y)Û`+yÛ`=10, yÛ`=5 ∴ y=Ñ15 x=-y이므로
x=Ñ15, y=Ð15 `(복호동순) Û x=3y를 ㉡에 대입하면
(3y)Û`+yÛ`=10, yÛ`=1 ∴ y=Ñ1 x=3y이므로
x=Ñ3, y=Ñ1`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 해는
àx=Ñ15
y=Ð15 또는 àx=Ñ3
y=Ñ1 (복호동순)
⑵ à2xÛ`-5xy+2yÛ`=0 ……`㉠
xÛ`+3xy-yÛ`=18 ……`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x-2y)(2x-y)=0 ∴ y=;2{; 또는 y=2x Ú y=;2{; 를 ㉡에 대입하면
xÛ`+3x´;2{;-{;2{;}Û`=18, xÛ`=8 ∴ x=Ñ212 y=;2{;이므로
x=Ñ212, y=Ñ12 (복호동순) Û y=2x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+3x´2x-(2x)Û`=18, xÛ`=6 ∴ x=Ñ16 y=2x이므로
x=Ñ16, y=Ñ216 (복호동순) Ú, Û에서 구하는 해는
àx=Ñ212
y=Ñ12 또는 àx=Ñ16
y=Ñ216 (복호동순)
풀이 참조
4 à3xÛ`-2xy-yÛ`=0 ……`㉠
xÛ`+2x+yÛ`=12 ……`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
(3x+y)(x-y)=0 ∴ y=-3x 또는 y=x Ú y=-3x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+2x+(-3x)Û`=12, 5xÛ`+x-6=0 (5x+6)(x-1)=0 ∴ x=-;5^; 또는 x=1 y=-3x이므로
à
x=-;5^;y=;;Á5¥;; 또는 àx=1 y=-3 Û y=x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+2x+xÛ`=12, xÛ`+x-6=0
(x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 y=x이므로
àx=-3
y=-3 또는 àx=2 y=2 Ú, Û에서 a=2, b=2이므로
aÛ`+bÛ`=2Û`+2Û`=8 8
5 ⑴ àxÛ`+2xy-yÛ`=4 ……`㉠
xÛ`-5xy+2yÛ`=-4 ……`㉡
㉠+㉡을 하면
2xÛ`-3xy+yÛ`=0, (x-y)(2x-y)=0 ∴ y=x 또는 y=2x
Ú y=x를 ㉠에 대입하면
xÛ`+2x´x-xÛ`=4, xÛ`=2 ∴ x=Ñ12 y=x이므로
x=Ñ12, y=Ñ12 (복호동순) Û y=2x를 ㉠에 대입하면
xÛ`+2x´2x-(2x)Û`=4, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 y=2x이므로
x=Ñ2, y=Ñ4 (복호동순) Ú, Û에서 구하는 해는
àx=Ñ12
y=Ñ12 또는 àx=Ñ2
y=Ñ4 (복호동순)
⑵ à4xÛ`+5xy=8 ……`㉠
xÛ`+xy+yÛ`=4 ……`㉡
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7 ⑴ àxÛ`+yÛ`=40
xy=12 에서 à(x+y)Û`-2xy=40 xy=12
x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은
àaÛ`-2b=40 ……`㉠
b=12 ……`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
aÛ`-24=40, aÛ`=64 ∴ a=Ñ8 Ú a=8, b=12, 즉 x+y=8, xy=12일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`-8t+12=0의 두 근이므로 (t-2)(t-6)=0 ∴ t=2 또는 t=6 ∴ àx=2
y=6 또는 àx=6 y=2
Û a=-8, b=12, 즉 x+y=-8, xy=12일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`+8t+12=0의 두 근이므로 (t+6)(t+2)=0 ∴ t=-6 또는 t=-2 ∴ àx=-6
y=-2 또는 àx=-2 y=-6 Ú, Û에서 구하는 해는
àx=2
y=6 또는 àx=6
y=2 또는 àx=-6
y=-2 또는 àx=-2 y=-6
⑵ àxÛ`+yÛ`+x+y=12 xÛ`+yÛ`+xy=7 에서 à(x+y)Û`-2xy+x+y=12
(x+y)Û`-xy=7
x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은
àaÛ`+a-2b=12 ……`㉠
aÛ`-b=7 ……`㉡
㉠-㉡을 하면
a-b=5 ∴ b=a-5 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
aÛ`-(a-5)=7, aÛ`-a-2=0
(a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2 이것을 ㉢에 대입하면
a=-1, b=-6 또는 a=2, b=-3
Ú a=-1, b=-6, 즉 x+y=-1, xy=-6일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`+t-6=0의 두 근이므로 (t+3)(t-2)=0 ∴ t=-3 또는 t=2 ∴ àx=-3
y=2 또는 àx=2 y=-3
Û a=2, b=-3, 즉 x+y=2, xy=-3일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`-2t-3=0의 두 근이므로 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 ∴ àx=-1
y=3 또는 àx=3 y=-1 ㉠-㉡_2를 하면
2xÛ`+3xy-2yÛ`=0, (x+2y)(2x-y)=0 ∴ y=-;2{; 또는 y=2x
Ú y=-;2{;를 ㉠에 대입하면
4xÛ`+5x´{-;2{;}=8, xÛ`=;;Á3¤;; ∴ x=Ñ 413 3 y=-;2{;이므로 x=Ñ 413 3 , y=Ð213
3 (복호동순) Û y=2x를 ㉠에 대입하면
4xÛ`+5x´2x=8, xÛ`=;7$; ∴ x=Ñ 217 7 y=2x이므로 x=Ñ 217 7 , y=Ñ417
7 (복호동순) Ú, Û에서 구하는 해는
à
x=Ñ 4133y=Ð 213 3
또는
à
x=Ñ 2177y=Ñ 417 7
(복호동순)
풀이 참조
6 ⑴ àxÛ`+yÛ`+x-3y=20 ……`㉠
xÛ`+yÛ`-2x=17 ……`㉡
㉠-㉡을 하면 3x-3y=3
x-y=1 ∴ y=x-1 ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
xÛ`+(x-1)Û`-2x=17, xÛ`-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 Ú x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-3
Û x=4를 ㉢에 대입하면 y=3 Ú, Û에서 구하는 해는
àx=-2
y=-3 또는 àx=4 y=3
⑵ àxÛ`+yÛ`+x+y=8 ……`㉠
2xÛ`+2yÛ`+x+3y=17 ……`㉡
㉠_2-㉡을 하면
x-y=-1 ∴ y=x+1 ……`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
xÛ`+(x+1)Û`+x+(x+1)=8 xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1
Ú x=-3을 ㉢에 대입하면 y=-2 Û x=1을 ㉢에 대입하면 y=2 Ú, Û에서 구하는 해는
àx=-3
y=-2 또는 àx=1
y=2 풀이 참조
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08
연립방정식본책
145 ~ 148쪽Ú, Û에서 구하는 해는 àx=-3
y=2 또는 àx=2
y=-3 또는 àx=-1
y=3 또는 àx=3 y=-1
풀이 참조
8 àxy+x+y=9
xÛ`y+xyÛ`=20에서 àxy+x+y=9 xy(x+y)=20 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은
àa+b=9 ……`㉠
ab=20 ……`㉡
㉠에서 b=9-a ……`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
a(9-a)=20, aÛ`-9a+20=0 (a-4)(a-5)=0 ∴ a=4 또는 a=5 이것을 ㉢에 대입하면
a=4, b=5 또는 a=5, b=4 Ú a=4, b=5, 즉 x+y=4, xy=5일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`-4t+5=0의 두 근이므로 t=2Ñi
그런데 x, y는 실수이어야 하므로 조건을 만족시키지 않는다.
Û a=5, b=4, 즉 x+y=5, xy=4일 때,
x, y는 이차방정식 tÛ`-5t+4=0의 두 근이므로 (t-1)(t-4)=0 ∴ t=1 또는 t=4 ∴ àx=1
y=4 또는 àx=4 y=1
Ú, Û에서 |x-y|=|4-1|=3 3 9 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x, y`(0<x<y)라 하면 둘레의 길이의 차가 4이므로
4y-4x=4 ∴ y=x+1 ……`㉠
두 정사각형의 넓이의 합이 25이므로
xÛ`+yÛ`=25 ……`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
xÛ`+(x+1)Û`=25, xÛ`+x-12=0 (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3 그런데 x>0이므로 x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 y=4
따라서 두 정사각형의 한 변의 길이는 각각 3, 4이므로 구하는 둘 레의 길이의 합은
4´3+4´4=28 28
10 할인 전 상품 1개의 가격을 x만 원, 상품의 하루 판매량을 y 개라 하면 할인 후 상품 1개의 가격은 (x-1)만 원, 상품의 하루 판매량은 (y+20)개이므로
àxy=300 ……`㉠
(x-1)(y+20)=xy+20 ……`㉡
㉡에서 xy+20x-y-20=xy+20
∴ y=20x-40 ……`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
x(20x-40)=300, xÛ`-2x-15=0 (x+3)(x-5)=0 ∴ x=5`(∵ x>0)
x=5를 ㉢에 대입하면 y=60이므로 가격을 할인하기 전 상품의
하루 판매량은 60개이다. 60개
11 직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 x`cm, y`cm 라 하면 직각삼각형의 빗변의 길이가 15`cm이고, 넓이가 54`cmÛ`
이므로
xÛ`+yÛ`=15Û`
;2!;xy=54 , 즉 à(x+y)Û`-2xy=225 xy=108
x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은
àaÛ`-2b=225 ……`㉠
b=108 ……`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
aÛ`-216=225, aÛ`=441 ∴ a=21`(∵ a>0)
즉 x, y는 이차방정식 tÛ`-21t+108=0의 두 실근이므로 (t-9)(t-12)=0 ∴ t=9 또는 t=12 ∴ àx=9
y=12 또는 àx=12 y=9
따라서 빗변이 아닌 두 변의 길이는 9`cm, 12`cm이다.
9`cm, 12`cm
12 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
aÛ`+ka+5=0 ……`㉠
aÛ`+5a+k=0 ……`㉡
㉠-㉡을 하면
(k-5)a-(k-5)=0, (k-5)(a-1)=0 ∴ k=5 또는 a=1
Ú k=5일 때, 두 이차방정식은 xÛ`+5x+5=0으로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=1일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 1+k+5=0 ∴ k=-6
Ú, Û에서 k=-6 -6
13 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
2aÛ`-2(k+4)a+15=0 ……`㉠
2aÛ`+2(k-2)a-15=0 ……`㉡
(Ò 9
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㉠+㉡을 하면 4aÛ`-12a=0
4a(a-3)=0 ∴ a=0 또는 a=3
Ú a=0일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 15=0이므로 등식이 성립 하지 않는다.
Û a=3일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 18-6k-24+15=0 6k=9 ∴ k=;2#;
Ú, Û에서 k=;2#; ;2#;
14 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
aÛ`+aa+3b=0 ……`㉠
aÛ`+ba+3a=0 ……`㉡
㉠-㉡을 하면
(a-b)a-3(a-b)=0
(a-b)(a-3)=0 ∴ a=b 또는 a=3
Ú a=b일 때, 두 이차방정식은 xÛ`+ax+3a=0으로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=3일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 9+3a+3b=0 ∴ a+b=-3
Ú, Û에서 a+b=-3 -3