진광고등학교

2019 융합인재교육(STEAM) 교사연구회 결과보고서

2019. 11.

진광고등학교

【 2019년 융합인재교육(STEAM) 교사연구회 결과보고서 】

과 제 개 요

과제명

2019년 융합인재교육(STEAM) 교사연구회 운영

STEAM 프로그램

구분

유형

(유형2) 다양한 교과 간 협동 연구를 통한 STEAM 프로그램 신규 개발 ( √ )

프로그램명

통계 (수학)을 적용한 과학실험 STEAM프로그램 개발

학교급

고등학교

대상 학년(군)

3학년

중심과목

통합과학,과학탐구 실험, 물리Ⅰ

중심과목 성취기준 영역

[고등학교]

[10통과01-03]~[10통과01-05]

연계과목

수학

연계과목

성취기준 영역

[고등학교 1] 수학 [10수학05-01] : 경우의 수 , 구조

연구기간

2019.5.16. ~ 2019.11.30.

연 구 비

일금사백만원(￦4,000,000)

참여연구원

6명 (연구책임자: 1명, 공동연구원: 5명)

연구 수행자에 관한 사항

구분 소속 학교명 담당과목 직위 성명

연구책임자 진광고등학교 과학 교사 김재기

공동연구원 육민관고등학교 과학 (환경) 교사 김재원

공동연구원 강원과학고등학교 과학 (물리) 교사 이훈희

공동연구원 원주대성고등학교 과학 (물리) 교사 이준섭

공동연구원 원주대성고등학교 과학 (물리) 교사 이호용

공동연구원 원주대성고등학교 수학 교사 김규용

2019년도 정부의 R&D 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아

융합인재교육 (STEAM) 교사연구회를 운영한 최종 결과로써 본 보고서를 제출합니다.

2019년 11월 18일

연구책임자 : 김재기

“이 보고서는 2019년도 정부의 재원으로

한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물임 ”

목 차

1. 요약문

··· 1

2. 서론

··· 1

3. 연구 수행 내용 및 결과

··· 1

가. 연구 수행 내용 ··· 1

나. 연구 수행 결과 ··· 2

4. 결론 및 제언

··· 2

5. 참고문헌

··· 3

[부록]

부록1. STEAM 프로그램 개발 내용 및 결과물(교수학습지도안, 교사용 참고자료, 학생용 활동지 등)

1. 요약문

통합과학 , 과학탐구실험, 물리Ⅰ등 과목에서 수학(통계)을 적용하여 과학실험에 대한 다양한 접근을 통해 통합적인 사고를 기르는데 초점을 둠

2. 서론

◦ 2015 개정교육과정의 ‘통합과학’‘과학탐구실험’을 STEAM과 접목하여 교육현장에서 유용 하게 적용될 자료 개발을 검토 후

과학실험 내용을 통계에 적용하여 정확하고 의미있는 DATA를 얻는 STEAM 프로그램으 로 개발하고 적용하는데 목표를 둠

3. 연구 수행 내용 및 결과

※ 2019년 STEAM 교사연구회의 과제를 수행하기 위한 계획 및 내용 ➀ STEAM 프로그램 연구 및 적용

1) 기 개발된 STEAM자료의 보완 및 ‘통합과학’을 위한 재구성 및 개발 등을 통해 다양한 학교에서 현장적용한 결과물 제작

2) 통계를 적용한 자료의 현장적용과 자료보급을 하는 것에 가장 큰 역점을 둠 3) 기 개발 자료는 ‘통합과학’의 내용에 맞게 재구성 및 수정

4) 새로 개발하는 자료의 경우는 ‘통합과학’의 가장 중요 요소인 핵심요소, 핵심역량에 맞 는 관점으로 자료 개발

5) 실험관련 자료의 경우도 ‘통합과학 실험’이라는 주요 관점에서 개발 및 적용 예정

➁ STEAM 수업 평가 방법 개발 및 적용 성과 조사

1) 적용 계획

-전반기 자료 개발 후 2학기(10월~11월) 현장적용 2) 최종 결과물 제출 : 2학기 현장 적용 후 수정 보완 제출 3) 학생 평가 도구 및 효과성 검증 관련

- 자기평가, 모둠용 자기평가, 동료평가, 모둠 평가, 관찰 평가, 보고서 평가, 과제 평가, 산출물 평가 등 학생 참여형 교수·학습 평가를 적용하고, 학교생활기록부 기재 예시에 대한 다양한 생각과 관점을 제시함.

(학생 참여형 수업의 제안)

1. 성취기준을 내용+기능(skills) 형태로 진술

2. 교실 수업 변화 유도 방안 모색: 성취기준 하나의 경우 3～5차시 분량 정도로 진술하되, 통합과학이 유의미한 수업으로 진행되려면 중단원별로 한두 차시 정도는 의미있는 활동을 할 수 있어야 한다.

3. 교수･학습 방법 → “교수･학습 방법 및 유의사항” 추가(예: 프로젝트 학습, 토의토론 학습, 문제해결 학습 등.

4. 평가 → “평가 방법 및 평가 유의사항” 추가를 통해 학생 참여 중심의 과정 평가를 강화(예:

논술형, 관찰 및 보고서 검토, 실험활동 과정 평가, 면담, 포트폴리오, 산출물 평가 등.

5. 단원별 <탐구 주제 및 활동(예시)>

STEAM 프로그램

구분

프로그램명 통계 (수학)를 적용한 과학실험 STEAM 프로그램

학교급 고등학교 대상 학년 (군) 1학년

중심과목 과학 중심과목

성취기준 영역 [ 고등학교 ]

[10통과01-03]~[10통과01-05]

연계과목 수학 연계과목

성취기준 영역 [ 고등학교 1] 수학 [10수학05-01] : 경우의 수, 구조 개발계획

주제 연번

차시

(시수) 과목 연계 (안)

1 4 과학 (물리)+수학 적용

2 4 과학 (물리)+수학 적용

이하공란

◦연구 수행 결과

구분 수행 결과

교수학습지도안 개발 차시 총 8차시

수업 적용 일정 2019. 11. 1. ~ 2019. 12. 28.

(STEAM 수업)수혜학생 수 대성고등학교 90명, 진광고등학교 60명, 육민관고등학교 60명

학생 태도검사 사전검사 5월 30일, 2개 학급(60명) 실시 완료 사후검사 10월 29일, 2개 학급(60명) 실시 완료

학생 및 교사 만족도조사 10월 30일 실시 완료

교사연구회 STEAM 행사 개최 2019.12.12. 6교시(14:10~15:50) 수업공개 2019.11. 28. ‘STEAM Day행사’ 개최 논문 또는 학술대회

특허출원 (국외, 국내)

5. 결론 및 제언

- 현장에서 지속적인 연구와 적용 기대

- 현실적인 어려움이 있지만 학생과 교사 모두 STEAM수업에 대한 열의와 열정이 있음

- 체계적인 준비와 적용, 마무리의 시간적인 준비가 필요하고, 자료개발, 적용, 분석의 효율적인 관리 가 필요함

-앞으로 STEAM수업을 진로와 연계한 프로그램 개발 및 적용으로 확장하는 것을 학생들은 원함 -일반계 고등학교 정규 수업시간에 적용을 쉽고 많이 할 수 있도록 주제별 프로그램으로 몇 차시 연속 수업을 하는 것보다는 교육과정 전체 내용 중 교사가 희망하는 수업을 정기적(주기적)으로 꾸준히 할 필 요가 있음

○ 협의회 사진(2019.8.21.(수))

[부록1] STEAM 프로그램 개발 내용 및 결과물

1번

고등학교 물리학Ⅰ 1.힘과 운동 수업용 STEAM 프로그램

1. STEAM 프로그램 개발·적용 교육과정

연번 차시 (중심과목)

2015 개정 교육과정 성취기준

(연계과목) 성취기준 영역

1 1~4 [12물리Ⅰ01-02]

뉴턴 운동 법칙을 이용하여 직선상에서 물체의 운동을 정량적으로 예측할 수 있다.

생명과학 Ⅰ

Ⅲ. 항상성과 몸의 조절

확률과 통계

3) 통계

1-1. 교육과정 재구성표

: 해당없음

2. STEAM 프로그램 총괄표(총 4차시)

차시 주요내용

1~4

주제(단원)명 1. 힘과 운동

* 신경전달속도 측정 실험을 통해 반응속도를 물리적 관점에서 측정한다.

- 등가속도 운동 방정식을 활용하여 신경전달속도를 측정한다.

* 스마트폰 및 동영상 재생 프로그램을 활용하여 자유낙하하는 물체의 운동을 분석한다.

- 동영상 재생 프로그램을 활용하여 신경전달속도를 측정한다.

* 등가속도 운동 공식을 통해 도출한 신경전달속도와 동영상 기능을 활용하여 도출한 신경전달 속도를 비교해보고 실험 과정에 대해 토의한다.

* 개인별 신경전달속도의 결과값을 가지고 엑셀 프로그램을 통해 반별 정규분포 그래프를 그린다.

3. STEAM 프로그램 차시별 수업지도안

중심과목 물리학 1 학교급/학년(군) 고등학교 2 학년

중심과목 성취기준

영역

Ⅰ. 역학과 에너지 중심과목

성취기준

[12물리Ⅰ01-02]

뉴턴 운동 법칙을 이용하여 직선상에서 물체의 운동 을 정량적으로 예측할 수 있다.

주제(단원)명 1. 힘과 운동 차시 1~4

학습목표

- 신경 전달속도 측정 실험을 통해 반응속도를 측정하고 실험 과정의 타당성을 설명할 수 있다.

- 스마트폰 및 동영상 플레이어 프로그램을 활용하여 물체의 운동을 분석하고 설명할 수 있다.

- 정규분포의 뜻을 알고 그 성질을 설명할 수 있다.

연계과목 생명과학 확률과 통계

연계과목 성취기준 영역

생명과학Ⅰ

Ⅲ. 항상성과 몸의 조절

확률과 통계 3) 통계

STEAM 요소

S 자유 낙하 운동 T 스마트폰 동영상 기능 E

A

M 정규분포 개발 의도

스마트폰을 활용하여 물체의 운동을 분석하고, 반응속도를 신경 전달속도 측정 실험을 통해 물리적 관점으로 이해할 수 있도록 한다. 실험을 통해 얻은 데이터를 통해 정규분포 그래프를 그려보고 수학적 관점으로 데이터의 의미를 해석할 수 있다.

1. 신경 전달속도 측정 실험을 통해 반응속도를 측정하고 실험 보고서를 작성한다.

2. 신경 전달속도 측정 방법은 두가지를 활용한다.

1) 스마트폰 동영상 촬영을 통한 반응속도 측정 2) 등가속도 운동 방정식을 사용한 반응속도 측정 3. 작성된 실험 보고서를 조별로 발표한다.

4. 실험에서 얻은 결과값을 반별로 취합하여 만든 데이터를 통해 엑셀 프로그램을 활용하여 정규분포 곡선을 그려보고 확률을 구한다.

STEAM 학습준거

상황 제시

상 황 제 시

신경계를 통해 신호가 전달됨을 소개하고 반응속도를 측정할 수 있는 방법 2 가지를 소개한다.

창 의 적 설 계

창의적 설계

작성된 실험 보고서를 조별로 발표한다.

조별 발표를 듣고 실험에 대한 질의 및 발표 평가를 진행한다.

감 성 적 체 험 스마트폰을 활용한 실험과

등가속도 운동 방정식을 사용한 실험의 실험 방법을 조별로 고안하고 실험을 진행한다.

감성적 체험

(1~3차시)

4차시 학습

과정 교수-학습 활동 학습자료 및 유의점

도입 (10 분)

Co

1. 신경계를 통해 신호가 전달되는 과정을 간략하게 소개한다.

2. 스마트폰과 30cm 자 그리고 노트북을 가지고 자유낙하 실험을 통해 반 응속도를 측정 할 수 있음을 설명한다.

3. 조별로 2 가지의 신경 전달속도 측정 실험을 통해 각각의 결과값을 도 출하도록 안내한다.

1) 스마트폰 동영상 기능을 활용한 실험 2) 자의 낙하 거리를 활용한 실험

*조별 노트북 1 대 를 준비해야함.

*스마트폰은 학생 개인 것을 사용함.

전개 (130 분)

CD

1. 스마트폰 동영상 기능을 활용한 실험

1) 스마트폰 동영상 기능을 활용하여 반응속도 측정 실험 방법을 조별로 토의한다.

2) 실험 방법을 지도 교사에게 점검받고 실험을 수행하고 실험 보고서를 작성한다.

2. 자의 낙하 거리를 활용한 실험

1) 등가속도 운동 방정식을 활용한 반응속도 측정 실험 방법을 조별로 토 의한다.

2) 실험 방법을 지도 교사에게 점검받고 실험을 수행하고 실험 보고서를 작성한다.

3. 실험 보고서를 정리하고 발표한다.

4. 다른 조 원들은 발표를 듣고 실험에 대해 질의하고 평가한다.

5. 가장 과학적으로 올바른 결과값을 도출한 조를 선정한다.

* 실험 방법 점검 시 다소 부족하더라 도 실험 및 결과값 도출이 가능하면 수 정해주지 않음.

* 발표에 대한 질의 가 끝난 뒤에 교사 가 피드백함.

정리 (10 분)

ET

1. 계획된 실험 방법의 부족한 점에 대해 조별 토의를 진행하고 부족한 부 분을 보완한 후 보고서를 제출한다.

학습

과정 교수-학습 활동 학습자료

및 유의점

도입 (5 분)

강수량과 같은 자연 현상이나 신생아의 체중 등과 같은 사회 현상을 관찰하여 얻은 자료의 상대도수를 계급의 크기를 작게 하여 히스토그램으로 나타내면, 자료의 개수 가 많아질수록 어떤 값을 중심으로 대칭적으로 분포하며 중심에서 멀어질수록 도수 가 작아지는 종 모양의 곡선에 가까워진다.

곡선의 나타내는 그래프의 성질을 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결해보자.

*개인별 노 트북 1 대를 준비해야함.

전개 (40 분)

다음의 학습지를 완성한다.

연습1) 각 조별로 조원들이 여러 번의 실험을 통해 구한 값들을 바탕으로 평균, 표준편 차

 

를 구해보고 정규분포

  

^



꼴로 표현해 보자.

연습2) 위에서 구한 정규분포

  

^



를 바탕으로 측정값 중 하나를 골라 표준화를 시켜보자.

연습 3) 측정값이 평균



, 표준편차



인 정규분포를 따른다고 했을 때, 이를 바탕 으로 표준정규분포 그래프를 그려보자.

연습 4) 측정시간이

  

초 이상일 확률을 구해보자.(표준정규분포표를 이용할 것)

연습 5) 측정시간을



초라고 했을 때,

   ≤  ≤   

일 확률을 구해보자.(표 준정규분포표를 이용할 것)

연습 6) 조별로 구한 값을 바탕으로 확률변수



가 정규분포

  

^



을 따른다 고 했을 때,

    ≤   

이 성립하도록 상수



값을 구해보고 각 조별로 구한



값을 비교해보자. 차이가 있는가?

정리 ( 5 분)

정규분포 곡선은 평균과 표준편차를 이용하여 통계분석을 쉽게 할 수 있으며 해석 과 활용이 편리한 점이 있다. 하지만 정규분포 자체를 가지고 서로 비교하기에는 한 계가 있을 수 있다. 각각의 정규분포의 평균과 표준편차에 따라 정규분포의 그래프 모양이 달라지기 때문이다.

그렇기 때문에 표준화를 통해 평균 0 이고 표준편차가 1 인 표준정규분포를 구해서 서로 비교할 수 있다. 또한 이를 통해 각각의 도수들이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지, 원하는 구간의 확률, 합격 최저점의 점수 등을 구할 수 있다.

4. 학생활동지 / 학생참고자료

차시 1~3

1. 스마트폰 동영상 기능을 활용한 실험 보고서

2019학년도 1학년 2학기 과학탐구실험 실험보고서

제 목 스마트폰 동영상 기능을 활용한 신경전달 속도 측정 실험

일 시 2019년 월 일 교시 1 학년 반 번 ( 조) 성 명 :

목 적 감각기관의 반응을 직접 측정하여 자극에 대한 반응 속도를 측정할 수 있다.

준 비 물 30cm 자, 스마트폰, 노트북

이론적 배경

1. 신경계는 많은 신경세포로 구성되어 있다. 이 신경세포에는 뉴런이라고 하는 신호전달의 기본이 되는 세포가 있다. 뉴런이 전기적 신호를 전달하는데 초속 60-120m의 속도를 갖는 다. 뇌에서 신경계를 통해 신호를 주게 되면 우리가 움직이거나 물체를 피하는 등의 행동을 할 수 있다.

2. 물체의 속력은 단위시간당 이동거리로 다음 식과 같다.

   



3. 동영상 플레이어 프로그램에서 프레임 이동 기능을 통해 짧은 시간동안 물체의 이동 시간을 측정할 수 있다.

실험방법

1. 길이 30cm 자를 조원이 떨어뜨린다.

2. 떨어지는 자를 보고 2개의 손가락으로 잡는다. 이 장면을 다른 조원이 스마트폰 동영상 으로 촬영한다.

3. 촬영된 동영상을 노트북으로 옮기고 동영상 플레이어 프로그램에서 실행한다.

4.

5.

6.

※ 실험 시 유의사항 -

실험결과

및

결론

[결과]

1. 눈으로 보고 뇌에서 명령을 내려 손가락이 움직일 때까지 걸린 시간을 구하시오.

2. 동영상 플레이어 프로그램에서 시간값을 구한 과정을 설명하시오.

3. 신경전달 속도의 평균값을 구하시오.

(결과값을 소숫점 첫째자리까지 구할 것.) - 머리부터 손까지의 거리(m) :

- 평균 시간(s) : - 풀이과정

[결론]

소 감

2. 자의 낙하 거리를 활용한 실험 보고서

2019학년도 1학년 2학기 과학탐구실험 실험보고서

제 목 자의 낙하 거리를 활용한 신경전달 속도 측정 실험

일 시 2019년 월 일 교시 1 학년 반 번 ( 조) 성 명 :

목 적 감각기관의 반응을 직접 측정하여 자극에 대한 반응 속도를 측정할 수 있다.

준 비 물 30cm 자, 계산기

이론적 배경

1. 신경계는 많은 신경세포로 구성되어 있다. 이 신경세포에는 뉴런이라고 하는 신호전달의 기본이 되는 세포가 있다. 뉴런이 전기적 신호를 전달하는데 초속 60-120m의 속도를 갖는 다. 뇌에서 신경계를 통해 신호를 주게 되면 우리가 움직이거나 물체를 피하는 등의 행동을 할 수 있다.

2. 등가속도 운동하는 물체의 이동거리는 다음 식과 같다.

  

_

_{  }



 

^

물체의 속력은 단위시간당 이동거리로 다음 식과 같다.

   



실험방법

1. 길이 30cm 자를 조원이 떨어뜨린다.

2. 떨어지는 자를 보고 2개의 손가락으로 잡는다.

3.

4.

5.

6.

※ 실험 시 유의사항 -

실험결과

및

결론

[결과]

1. 눈으로 보고 뇌에서 명령을 내려 손가락이 움직일 때까지 걸린 시간을 구하시오. (단, 중력 가속도 g는



^이다.)

- 풀이 과정

2. 신경전달 속도의 평균값을 구하시오.

(결과값을 소숫점 첫째자리까지 구할 것.) - 머리부터 손까지의 거리(m) :

- 평균 시간(s) : - 풀이과정

[결론]

소 감

5. 교사자료

차시 1~3

신경의 전달 과정

신경계를 구성하는 기본 단위는 뉴런이라고 하는 신경 세포이다. 뉴런은 자극을 받아들이고 신호를 전달하는 역할을 하며, 그 역할을 수행하기에 적합한 구조를 하고 있다. 뉴런은 자극을 받으면 세포막 의 전기적 특성이 변하는데, 이와 같은 변화를 흥분이라고 한다. 뉴런에서 흥분이 발생하면 흥분은 축 삭 돌기를 따라 이동하며, 이런 현상을 흥분 전도라고 한다. 한 뉴런의 축삭 돌기 말단은 다음 뉴런과 약 20 nm의 좁은 간격을 두고 접해 있다. 이 접속 부위를 시냅스라 하고, 뉴런과 뉴런 사이의 좁은 틈을 시냅스 틈이라고 한다. 시냅스에서는 신경 전달 물질로 흥분이 한 뉴런에서 다음 뉴런으로 전해 지는데, 이러한 현상을 흥분 전달이라고 한다.

육상 100 m 달리기 경기에서 출발 소리를 들은 선수의 뇌에서는 달려나가라는 명령을 내리고, 이 명 령은 운동 뉴런을 거쳐 팔다리 근육에 전달된다. 전달된 명령에 따라 선수는 팔다리 근육의 수축과 이 완으로 달려나간다. 이처럼 모든 의식적인 몸의 움직임은 신경계의 명령에 따라 골격근이 수축하고 이 완함으로써 일어난다.

(출처 : 비상교육 생명과학1 교과서)

속도와 가속도

속도란 단위 시간 동안 물체의 변위로 나중 시간을 _, 처음 시간을 _, 나중 위치를 _ 처음 위치를

_이라 했을 때 _{  }

_ _

_ _

 ∆

∆로 나타낼 수 있다.

가속도란 단위 시간 동안 물체의 속도 변화량으로 나중 시간을 _, 처음 시간을 _, 나중 속도를 _ 처음 속도을 _이라 했을 때 _{  }

_ _

_ _

 ∆

∆로 나타낼 수 있다.

등가속도 운동은 직선상에서 속력이 일정하게 변하는 운동을 말하며 가속도를 , 처음 속도를_, 걸린 시간을 라 했을 때   _ 이다. 초 후의 변위는   _  

^이다. 자유 낙하하는 물체의 경우

정지 상태에서 등가속도 운동을 시작하므로 _{  }



^이다.

중력 가속도()란 자유 낙하하는 물체의 평균 가속도 값을 의미한다. 지구 질량을 , 물체의 질량을

, 지구 반지름을 이라 하면 지표면 근처에서 운동하는 물체는 _

^



인 중력을 받는다.

^_

^



 일 때  _

^

 이 되는데, 를 중력 가속도라고 하며 그 값은   ^이다.

반응속도측정 실험

반응속도측정 실험은 최소 2명 이상의 학생으로 진행한다. 먼저 한 명의 조원이 자를 들고 있고 다른 조원은 엄지와 검지손가락으로 자가 떨어지는 것을 보는 즉시 자를 잡을 수 있도록 안내한다. 조원이 불시에 자를 놓을 때부터 자를 잡는데까지 걸리는 시간을 반응 시간으로 한다. 하지만 반응 시간이

매우 짧기 때문에 스톱워치로 분석하는데 어려움이 많다. 이때 두가지 방법을 활용할 수 있다.

첫째, 동영상 재생 프로그램 활용

자가 떨어지는 시점부터 자를 잡는 시점까지의 장면을 동영상으로 촬영한 후 동영상 파일을 동영상 재생 프로그램에서 재생한다. 동영상 프로그램은 기본적으로 1초에 30프레임씩 영상을 플레이한다.

자가 떨어지는 장면부터 자를 잡는 장면까지의 프레임수를 계산하여 반응 시간을 도출할 수 있다.

둘째, 등가속도 운동 공식 활용

반응 시간은 자가 떨어진 거리를 등가속도 운동 공식에 넣어서 구할 수 있다. 등가속도 운동 공식은

  _  

^이고 처음 속도는 0, 중력가속도는 약 ^이므로 이 식을 시간으로 정리하면

 



^

 이다.

신경이 전달되는 거리는 뇌에서부터 손끝까지므로 위에서 두가지 방법으로 구한 시간과 신경 전달 거리를 활용하면 신경전달속도를 측정할 수 있다.

정규분포와 표준정규분포

실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 의 확률밀도함수  가 두 상수 ,   에 대하 여

    



^ 

 ^{ }

   ^

⋯⋯ ①

일 때, 의 확률분포를 정규분포 라고 한다. 이때 확률밀도함수  의 그래프는 그림과 같으며, 이 곡선을 정규분포 곡선이라고 한다.

확률변수 의 확률밀도함수가 ①로 주어질 때, 확률변수 의 평균은 , 분산은 ^임이 알려져 있다.

평균과 분산이 각각 과 ^인 정규분포를 기호로 N  , ^

과 같이 나타내고, 확률변수 는 정규분포 N , ^을 따른다고 한다.

이제 정규분포 곡선의 성질에 대하여 알아보자.

평균이 이고 표준편차가 인 정규분포 곡선은 직선   에 대하여 대칭이고, 그래프와 축 사이의 넓이는 이다.

다음은 과 의 값에 따라 정규분포 곡선을 그린 것이다.

[그림 ] [그림 ]

[그림 ]은 표준편차는 같지만 평균이 다른 두 정규분포 곡선으로, 모양은 같지만 대칭축의 위치는 다 르다는 것을 알 수 있다.

[그림 ]는 평균은 같지만 표준편차가 다른 세 정규분포 곡선으로, 표준편차가 클수록 곡선의 가운데 부 분의 높이는 낮아지고 모양은 옆으로 퍼진다는 것을 알 수 있다.

일반적으로 정규분포 N , ^을 따르는 확률변수 의 정규분포 곡선은 다음과 같은 성질을 갖는 다.

정규분포 곡선의 성질

❶ 직선   에 대하여 대칭인 종 모양의 곡선이다.

❷ 곡선과 축 사이의 넓이는 이다.

❸ 의 값이 일정할 때, 의 값이 달라지면 대칭축의 위치는 바뀌지만 모양은 변하지 않는다.

❹ 의 값이 일정할 때, 의 값이 클수록 가운데 부분의 높이는 낮아지고 옆으로 퍼진 모양이 된다.

한편 연속확률변수 가 정규분포 N , ^을 따를 때, 확률 P  ≤≤  는 다음 그림에서 정규 분포 곡선과 축 및 두 직선   ,   로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

평균이 이고 분산이 인 정규분포 N ,  을 표준정규분포라고 한다.

확률변수 가 표준정규분포 N , 을 따를 때, 의 확률밀도함수는

    



^

 ^{ }

^

이고, 그 그래프는 다음 그림과 같다.

또 양수  에 대하여 확률 P  ≤≤  는 위의 그림에서 색칠한 도형의 넓이와 같고, 그 값은 표준 정규분포표에서 찾을 수 있다.

예를 들어 오른쪽 표준정규분포표에서 P  ≤≤     임을 알 수 있다.

한편 확률밀도함수   의 그래프는 직선   에 대하여 대칭이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.

P   ≤≤    P  ≤≤   단,   

이제 정규분포와 표준정규분포의 관계에 대하여 알아보자.

정규분포 N , ^을 따르는 연속확률변수 에 대하여 _{ }



 

이라고 하면, 확률변수 의 평균 과 분산은 다음과 같다.

E  E



^

 



^{ }

E    

V   V



^

 



^{ }_^{V   }

또 확률변수 도 확률변수 와 같이 정규분포를 따른다는 사실이 알려져 있으므로 확률변수 는 표준정 규분포 N , 을 따른다.

이와 같이 정규분포 N , ^을 따르는 확률변수 를 표준정규분포 N ,  을 따르는 확률변수

_{ }



 

으로 바꾸는 것을 표준화라고 한다.

정리하면 정규분포의 표준화는 다음과 같다. 확률변수 가 정규분포 N , ^을 따를 때, 확률변수

_{ }



 

은 표준정규분포 N , 을 따른다.

(출처 : 교과서 확률과 통계(신사고))

6. 차시별 학생 평가기준 및 방법

차시 평가기준(성취수준) 평가방법 평가도구

1~3 /16

상

스마트 기기 및 동영상 재생 프로그램을 활용하여 물체의 운동을 분석할 수 있으며, 조원들과 토의를 통해 실험을 계획하고 수행하여 타당한 결과값을 구 할 수 있다.

관찰 및 발표평가 관찰 및 발표 중 평가지

스마트 기기 및 동영상 재생 프로그램을 활용하여 물체의 운동을 분석할 수 있으며, 조원들과 토의를 통해 실험을 계획하고 수행하여 다소 부정확한 결과 값을 구할 수 있다.

하

스마트 기기 및 동영상 재생 프로그램을 활용하여 물체의 운동을 분석하지 못하며, 조원들과 토의를 통해 실험을 계획하고 수행하여 부정확한 결과값을 구할 수 있다.

가. 관찰평가지(1~3차시)

번호 이름

지식 발표

배움과 성장의 기록 스마트 기기 및 동영상

프로그램을 활용하여 물체의 운동을 분석하고

토의를 통해 실험을 계획하고 타당한 결과값을

구할 수 있다.

발표 자료의 내용을 충분히 이해하고 자신감있고 명확하게

발표할 수 있다.

상 중 하 상 중 하

7. 학교생활기록부 기재 예시

항목 학생부 기재 예시

교과학습발달상황 세부능력 및 특기사항

(물리학 1) 스마트폰 및 동영상 재생 프로그램을 활용하여 자유낙하하는 물체의 운동을 정량적으로 분석하는 능력이 돋보이며 토의 시 자신의 의사를 명확하게 전달하고 의견을 조율하는 등 토의를 주도적으로 이끌어나감.

(물리학 1) 반응속도 측정 실험에서 실험 방법을 조원들과의 토의 과정을 통해 수립하였으며 토의 과정에서 의사소통을 주도하는 모습을 보임. 타당한 실험 방법을 계획하고 올바른 결과를 도출해냄.

2번

고등학교 물리학1 수업용 STEAM 프로그램

1. STEAM 프로그램 개발·적용 교육과정

연번 차시 (중심과목)

2015 개정 교육과정 성취기준

(연계과목) 성취기준 영역 고등학교

2 학년 1~4 차시

[12 물리Ⅰ01-05]

충격량과 운동량의 관계를 이해하고, 일상생활에서 충격을 감소시키는 예를 찾아 설명할 수 있다.

1-1. 교육과정 재구성표

2. STEAM 프로그램 총괄표(총 4차시)

차시 주요내용

1~4

주제(단원)명 Ⅰ.역학과 에너지 – 1.힘과운동 – 05.충격량

* 충돌 상황에서 피해를 줄이기 위해서 할 수 있는 일에 대해 질문하고, 이때 사용 될수 있는 물리 법칙에 대해 설명한다.

* 충돌실험을 하기 위해 필요한 공학적, 실험적 지식에 대해 설명하고 범퍼 만들기에 대해 설명한다.

* 안전한 범퍼 만들기를 시행하고 모형자동차의 가속도를 측정한다.

* 측정한 데이터를 엑셀을 통하여 분석하고 그래프로 나타낸 후에 안전한 범퍼를 만들기 위해 해야 할 일에 대해 토론한다.

3. STEAM 프로그램 차시별 수업지도안

중심과목 물리학Ⅰ 학교급/학년(군) 고등학교 / 2 학년 중심과목

성취기준 영역

[고등학교]

Ⅰ. 역학과 에너지 1. 힘과 운동

중심과목 성취기준

[12 물리Ⅰ01-05]

충격량과 운동량의 관계를 이해하고, 일상생 활에서 충격을 감소시키는 예를 찾아 설명할 수 있다.

주제(단원)명 04. 운동량 보존

05. 충격량 차시 1~4

학습목표

1. 주 학습 목표

충돌 시 피해가 적은 범퍼를 디자인 하고 제작할 수 있다.

2. 주 학습목표를 달성하기 위해 달성해야 하는 학습 목표 충격량과 운동량과의 관계를 이해한다.

충격량은 충격력과 시간의 곱으로 표현한다는 것을 설명할 수 있다.

충격량과 운동량 개념을 활용하여 자동차 충돌 시 피해를 적게 받을 수 있는 방법에 대해 설명할 수 있다.

연계과목 수학 연계과목

성취기준 영역

[중학교 1~3학년] (4) 기하

STEAM 요소

S 과학에서의 운동량과 충격량, 충격력을 줄이기 위해서 변화시켜야 하는 물리량을 학습함.

T

E 자동차 공학과의 상당한 연계성이 있음을 여러 영상 사례를 제시하여 탐구한다.

A 심미적인 측면을 강조하면서 제작활동을 진행 할 수도 있다.

M 운동량의 변화량(또는 충격량)을 측정하기 위해 그래프에서의 넓이를 측정함을 이해하고 이를 적분을 통해 계산한다.

개발 의도

운동량과 충격량 개념을 이해하고 이를 실제 상황에 적용시키기 위해 해야 할 일들에 대해 구상하고 토론하는 과정에서 과학적 개념을 공학적으로 실현시키는 방법을 습득한다.

실현된 내용을 실험을 통해 수치화 하고 이를 수학적으로 분석하는 과정을 거친다. 이를 통해 측정값들이 의미하는 것을 이해한다.

수치화된 자료들을 분석하여 과학적 개념과 공학적 방법에 다시 적용하는 방법을 배운다.

과학은 이론에서만 머무는 것이 아니라 실제로 구현 가능한 자연의 법칙을 설명하는 것이다. 운동량과 충격량 개념을 이해하고 이를 실제 상황에 적용시키기 위해 해야 할 일들에 대해 구상하는 과정을 거치 면서 충격량, 운동량, 충격력과 시간사이의 관계를 이해한다. 스스로 이해한 개념들을 실제 상황에 적용 시키기 위해서 제시된 공학적 방법들의 예시를 보고 자신만의 공학적 방법을 구상하고 주변 사람들과 토 론한다.

다른 사람들의 의견을 참고하여 자신이 구상한 범퍼를 실제로 제작한다. 제작한 범퍼를 가지고 충돌실험 을 하고 센서를 이용하여 충돌 시 가속도 값을 측정한다. 측정한 가속도 값을 엑셀을 통해 분석한다.

수학적으로 적분이 어떤 것을 의미하는지,



축과



축의 곱이 의미하는 것은 무엇인지 파악하는 과정을 통해 실험을 통해 나타난 자료들을 분석하는 능력을 기른다.

분석한 데이터를 토대로 안전한 자동차를 만들기 위해서 어떤 과학적인 방법과 공학적인 방법을 만들 수 있을지에 대해 토론하고 토론결과를 토대로 다시 범퍼를 제작하는 과정을 통해 공학적 개발과정을 이해 한다.

1차시 학습

과정 교수-학습 활동 학습자료

및 유의점

도입 (10 분)

Co 자동차의 충돌 영상과 사고 영상들을 보여주고 안전한 자동차를 만들기 위해 이해해야 하는 물리 법칙은 어떤 것이 있을지 질문하고 대답한다. ^Tip!

전개 (30 분)

운동량의 개념, 충격량의 개념을 수식으로 설명한다.

운동량과 충격량의 관계를 뉴턴 운동법칙을 토대로 증명한다.

ET 자연 현상을 수학적으로 표기하고 그 사이의 관계를 밝혀내는 것이 물리학 본연 의 임무임을 알게한다. 수학은 논리학이며 물리학은 자연을 설명하는 학문이다. 자 연을 논리적으로 설명하기 위해서 수학이 필요함을 설명한다.

물체가 충돌하여 정지할 때 까지 변한 운동량의 변화량이 충격량이며 이는 충격력×

충돌 시간으로 설명할 수 있음을 안내한다.

동일한 운동량의 변화를 가질 때 충돌시간이 길어지면 자동차에 작용하는 힘이 감 소함을 설명하고 이 법칙이 자동차를 제작할 때 이용됨을 설명한다.

CD Co ET

정리 (10 분)

다음 차시에는 실제로 자동차 제조사들이 어떻게 이러한 물리법칙을 이용하고 있는 지, 자동차 사고에서는 이 법칙이 어떻게 적용되는지에 대해 수업함을 안내한다.

각자 유튜브를 통해 관련 정보들을 찾아볼수 있게 검색 방법이나 추천 검색어 등을 안내한다.

STEAM 학습준거

상황 제시

상 황 제 시

※ STEAM 학습준거는 단계(절차)가 아님

※ 상황 제시는 수업 (전 과정)에서 학생들이 스스로 문제해결의 필요성과 도전정신을

가지는데 조력할 수 있도록 개발

창 의 적 설 계

창의적 설계

※ 감성적 체험은 수업 (전 과정)에서 학생들이 자연스럽게

경험하고 깨달을 수 있도록 개발

감 성 적 체 험

감성적 체험

2차시 학습

과정 교수-학습 활동 학습자료

및 유의점

도입 (5 분)

Co 지난시간에 제시했던 ‘안전한 자동차를 만들기 위해 이해해야 하는 물리 법칙’

이 어떻게 적용되는지에 대해 각자 조사한 내용들을 발표하게 한다.

전개 (35 분)

Co ET 유튜브를 통해 다운로드 받은 영상을 활용하여 영상을 보고 자유롭게 이야 기하는 형태로 아이디어를 구상하게 한다.

- 10 worst car crash test 영상을 통해 안전하지 않은 차가 충돌했을 때 벌어질 수 있는 일들에 대해 자유롭게 이야기 한다.

- iihs frontal offset testing 영상을 통해 충돌테스트가 어떻게 이루어지는지 확인 하고 충돌테스트에서 중요한 것은 무엇인지 이야기한다.

- 2013 elantra small overlap iihs crash test 와 2017 elantra small overlap iihs crash test 를 통해서 자동차가 점점 안전해지고 있음을 확인한다. 특히 탑 승공간을 보호하는 성능이 향상되었음에 주목하면서 영상을 확인한다.

- 1959 chevrolet bel air vs 2009 chevrolet malibu iihs crash test 를 통해 50 년전의 차량의 안전 수준과 현재의 안전 수준을 직접적으로 비교한다.

- crash test belted vs unbelted passenger 및 iihs unbelted rear seat passenger crash test. 충돌이 일어날 때 자동차가 찌그러지면서 충돌시간을 늘 리는 역할을 한다. 이 때 사람이 차에 고정되어있지 않으면 사람은 관성에 의해 계속 운동하므로 안전한 차더라도 큰 부상을 입게 됨을 영상을 통해 확인시켜준 다.

- most underride guards fail to stop deadly crashes 자동차의 앞부분은 적당 하게 찌그러지도록 설계되어있지만 큰 트레일러의 경우 운전자의 눈높이에 구조 물이 있기 때문에 전면부의 찌그러짐 효과를 기대할 수 없다. 그래서 트레일러의 후방 하단에는 단단한 구조물이 아래로 설치되어있는데 이것의 효과에 대해 설명 한다.

- 2015 nissan tsuru vs 2016 nissan versa. 멕시코에 판매되고 있는 자동차와 동시대의 미국 판매 차량의 충돌 테스트이다. 안전의식과 법의 미비점이 가져올 큰 차이에 대해 설명하고 어떤 점이 문제가 되는지 토론하게 한다.

동영상

CD Co ET

정리 (10 분)

1, 2 차시에서 배운 내용과 느낀점을 토대로 범퍼를 제작하고 실험할 것을 안내하고 기술, 공학적 요소 뿐만 아니라 사회적 인식, 아나전 윤리에 대해서도 생각해보고 토론해 볼 기회를 제공한다.

3차시 학습

과정 교수-학습 활동 학습자료

및 유의점

도입 (5 분)

Co 실험 방법과 센서의 원리에 대해 설명한다.

사용 센서 : Go Direct® Acceleration Sensor

측정 범위 : 시간- 1/1000 초 간격 샘플 수집, 가속도 범위 : ±16 g, ±200 g

Co 동일한 조건 하에서 충돌 하였을 때 가속도가 작게 나오는(=충격력을 적게 받 는) 범퍼를 제작하도록 안내한다.

센서, 수레, 운동트랙

전개 (40 분)

CD 주어진 자료들을 참고하여 범퍼를 제작한다. 제작한 범퍼를 수레에 부착하고 충돌실험을 진행한다. 이때 수레에 달려있는 가속도계를 이용하여 수레의 가속도를 측정한다.

측정한 데이터를 다른 친구들과 비교하면서 자신이 만든 범퍼의 부족한 점을 수정, 보완한다.

수정, 보완된 범퍼를 가지고 다시 측정하여 데이터를 만든다.

Co ET

정리 (5 분)

데이터를 공유하고 다음차시에 데이터를 그래프로 표현하는 방법에 대해 배울 것을 안내한다.

4차시 학습

과정 교수-학습 활동 학습자료

및 유의점

도입 (5 분)

Co 엑셀로 내보내기 한 데이터를 가지고 그래프를 작성하고 다른 친구들의 데이터 와 함께 비교할 것을 안내한다.

센서, 수레, 운동트랙

전개 (40 분)

데이터를 토대로 시간 간격, 가속도의 크기, 총 운동량의 변화량을 비교하여 본다.

가속도의 최대값이 작을수록 충돌 시간이 길어짐을 그래프로 확인하여 보고 충돌 시간이나 가속도의 최대값에 관계없이 총 운동량의 변화량이 유사함을 그래프, 계산 식을 통해 확인한다.

다른 친구들의 실험 결과를 같은 그래프에 나태내 보고 자신의 실험결과와 어떤점 이 다른지, 자동차의 충돌에서 어떤 차이점을 나타내게 될지 토의한다.

Co ET

정리 (10 분)

안전한 자동차를 만들기 위해 할수 있는 일에 대해 정리하고 수학과 물리학이 우리 삶에 어떤 영향을 미치는지 정리한다.

4. 학생활동지 / 학생참고자료

차시 3 차시 자료

1학년 ( )반 ( )번 이름( )

안전한 자동차 만들기

■

운동량(  )은 물체의 질량(  )과 속도(  )를 곱한 값이다.

   [단위 : kg ∙ms ]

■

충격량()은 힘()과 힘이 작용한 시간(  )를 곱한 값이다.

 ^  ∙  [단위 : N ∙s ]

■

위의 두 식을 통해 자동차가 충돌할 때 범퍼가 잘 찌그러지는 구조로 만들어야

하는지 찌그러지지 않는 구조로 만들어야 하는지 설명하는 글을 써 보자.

차시 3 차시 자료

■

알루미늄호일, 화장지, 스펀지, 빨대 등을 이용하여 범퍼를 제작한다. 어떠한 구

조로 만드는 것이 충격을 잘 흡수 할수 있을지 고안 해 보자

5. 교사자료

차시 2 차시 참고 자료

Frontal offset testing : Inside IIHS

IIHS에서 실시하는 정면 충돌 실 험에 대한 영상이다. 정면충돌에서 얻고자하는 안전요소, 충돌실험의 방법, 안전한 자동차의 기준 등에 대해 설명한다.

https://www.youtube.com/watch?v=bAGQpMMxatg Preparing for a crash test : Inside IIHS

IIHS에서 실시하는 충돌실험의 과 정을 설명하는 영상이다. 충돌실험 전에 차의 여러 지점들을 측정하 고 충돌후에 다시 측정하여 차가 얼마나 변형되었는지를 측정하는 등 충돌실험의 전반적인 부분을 설명한다.

https://www.youtube.com/watch?v=bAGQpMMxatg

Most underride guards fail to stop deadly crashes - IIHS

트레일러는 높이가 높아 승용차가 뒤에서 충돌시 탐승공간부터 부딫 히게 된다. 이를 방지하기위해 트 레일러 후방 하단에는 구조물이 있는데 이 구조물이 제 역할을 못 할때의 위험성에 대해 실험하는 영상이다.

https://www.youtube.com/watch?v=C3MPKLy9qHU

자료출처 YouTube 채널 iihs (https://www.youtube.com/user/iihs)

차시 2 차시 참고 자료

2013 Hyundai Elantra driver-side small overlap IIHS crash test 2017 Hyundai Elantra driver-side small overlap IIHS crash test

https://www.youtube.com/watch?v=nGWRf1OeYFc https://www.youtube.com/watch?v=XxdJDqCYGY4

현대자동차의 아반떼 충돌 실험이다. 2013년식 아반떼와 2017년식 아반떼 충돌을 비교한다. 기술발전, 안전에 대한 관심으로 더 안전한 자동차가 만 들어 지고 있음을 알 수 있다.

측면영상을 통해 탑승공간의 첫 번째 기둥인 A필러가 온전히 구조를 유지 하고 있는지 비교 해본다.

위에서 본 영상을 통해 차량의 앞 유리가 보존되는지 보면 탑승 공간이 잘 유지되는지 확인할 수 있다.

자동차 실내 영상을 통해 충돌로인해 대시보드가 운전자 쪽으로 밀려 들어 왔을 때 사이드에어백, 전면 에어백이 제 역할을 해줄수 있는지에 대해서 비교 해본다.

자료출처 YouTube 채널 iihs (https://www.youtube.com/user/iihs)

차시 2 차시 참고 자료

2013 Kia Soul driver-side small overlap IIHS crash test 2015 Kia Soul driver-side small overlap IIHS crash test

https://www.youtube.com/watch?v=lrHYl9D5CTI https://www.youtube.com/watch?v=1hqDSRrPM-k

기아자동차의 소울 충돌 실험이다. 2013년식 소울과 2017년식 소울 충돌을 비교한다. 기술발전, 안전에 대한 관심으로 더 안전한 자동차가 만들어 지 고 있음을 알 수 있다.

박스카 형식으로 제작된 소울의 경우 승용차에 비해 A필러가 정면충돌에서 버티기 힘든 각도로 되어있다. 2013년형에서 심하게 찌그러진 모습을 볼 수 있으며 2015년형에서는 상당히 개선된 모습을 볼 수 있다.

위에서 본 영상을 통해 차량의 앞 유리가 보존되는지 보면 탑승 공간이 잘 유지되는지 확인할 수 있다.

자동차 실내 영상을 통해 사이드에어백의유무가 부상정도에 영향을 주는 점 들을 확인 할 수 있다.

자료출처 YouTube 채널 iihs (https://www.youtube.com/user/iihs)

차시 2 차시 참고 자료

1959 chevrolet bel air vs 2009 chevrolet malibu iihs crash test 1959년 생산된 쉐보레 벨에어와 2009년 생산된 쉐보레 말리부의 부분 충돌 영상이다.

2014년 IIHS 50주년을 맞이하여 50년의 차이가 나는 차량을 충돌 시킨다. 50년간 안전사양이 많이 발달하였음을 알 수있다.

https://www.youtube.com/watch?v=C_r5UJrxcck

2015 Nissan Tsuru vs. 2016 Nissan Versa

멕시코에서 판매되는 닛산 츠루와 미국에서 판매되는 닛산 베르사의 부분 충돌영상이다.

동시대에 판매되는 차량이지만 멕 시코와 미국의 안전의식 차이, 자 동차 제조사의 원가절감으로 인해 안전에 심각한 위협을 받을수 있 음을 알 수 있다.

https://www.youtube.com/watch?v=85OysZ_4lp0

Crash Test - Belted vs Unbelted Passengers

자동차 충돌시 벨트를 맨 탑승자 와 매지 않은 탑승자의 차이를 알 수 있는 영상이다. 뒷좌석에서도 안전벨트를 매지 않으면 본인 뿐 만아니라 앞좌석의 탑승자에도 피 해를 줄 수 있음을 알 수 있다.

https://www.youtube.com/watch?v=85OysZ_4lp0

차시 4 차시 참고 자료 구분구적법

구분구적법이란 도형의 넓이 또는 부피를 잘게 쪼개어 근삿값을 구하고, 이 근삿값의 극한값으로 그 도 형의 넓이와 부피를 구하는 방법이다.

예를 들어 함수

   

가 구간

 

에서 연속이고

 ≥ 

이라고 하자. 이때,

        

,



축으로 둘러싸인 도형의 넓이



를 구하는 방법은 다음과 같다.

구간

 

를



등분 한 점을 각각



_

 

_

 

_

 ⋯

_



_

  

_

 

라고 하자. 그러면 그림과 같이 만들어진 직사각형의 가로 길이는

 

  

 ∆

로 일정하므로



개의 사각형의 넓이의 합



_^{은 다음}

과 같이 구할 수 있다.



_

 

_

∆  

_

∆ ⋯ 

_{ }

∆  

  

 



_

∆

이다.

이때 구하고자 하는 넓이



는



_의 극한값이다.

즉,

 ^ lim

→∞



_

^ lim

→∞



  

 



_

∆

이다.

다른 방법으로, 각 직사각형의 높이를 구간 오른쪽의 함숫값으로 정하면



_

 

_

∆  

_

∆ ⋯ 

_

∆  

  



 

_

∆

이 되므로

  lim

→∞



_

 lim

→∞



  





_

∆

이다.

즉,

  lim

→∞



  

 



_

∆  lim

→∞



  





_

∆

이다.

이와 같이, 일반적인 연속함수

    ≥ 

의 그래프와

     

,



축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같이 근사할 수 있다.

  lim

→∞



_

 lim

→∞



  



  ^{  } 

  

  ^ 

  

단계 1)

다음 그림과 같이 이차함수

  

^과



축 그리고

  

로 둘러싸인 부분을 직사각형 10 개, 30 개, 50 개로 나눴을 때의 각각의 넓이를 구해 보아라.(계산기 또는 엑셀이용 가능).

1) 각 직사각형의 높이를 구간 왼쪽의 함숫값으로 정하여 해결해 보시오.

답은 각각 0.385, 0.3502, 0.3434

2) 각 직사각형의 높이를 구간 오른쪽의 함숫값으로 정하여 해결해보시오.

답은 각각 0.285 0.3169 0.3234

단계 2)

이차함수

  

^과



축 그리고

  

로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법을 이용하여 구해 보아 라.

풀이) 닫힌구간

 

을



등분하면 각 분점은

 

   

  ⋯   

  

  

  

이 고 각 분점의 함숫값

은

 ^ 

 

^

^  ^ 

 

^

^⋯  ^ 

  



^

^  ^ 

 

^이다.



개의 직사각형의 넓이의 합은



_

_{ }



  ^ 

 

^

^{ } 

  ^ 

 

^

^{⋯ } 

  

 ^ 

  



^

^{ } 

  ^ 

 

^

따라서 구하는 넓이는

  lim

→∞



_

 lim

→∞



  



 

  ^ 

 

^

 lim

→∞





^

 

  





^

 lim

→





^

  

     

  



단계 3)

단계 1)과 단계 2)의 값을 비교하고 구분구적법의 의미를 다시 생각해보시오.

차시 4 차시 참고 자료 / 참고용 실제 데이터

1000샘플/초

수레의 질량 0.5 kg

x값 Δx y값 y × Δx y × Δx의 합

시간

(t) 시간간격

(Δt) 가속도

(a) 충격량

(m×a×Δt) 총 충격량 (Ns)

0 0.001 0.51 0.000255 0.8334

0.001 0.001 0.62 0.00031 　 0.002 0.001 1.96 0.00098 　 0.003 0.001 3.12 0.00156 　 0.004 0.001 7.23 0.003615 　 0.005 0.001 8.23 0.004115 　 0.006 0.001 10.43 0.005215 　 0.007 0.001 12.58 0.00629 　 0.008 0.001 19.42 0.00971 　 0.009 0.001 19.13 0.009565 　 0.01 0.001 17.25 0.008625 　 0.011 0.001 19.01 0.009505 　 0.012 0.001 16.83 0.008415 　 0.013 0.001 20.56 0.01028 　 0.014 0.001 26.34 0.01317 　 0.015 0.001 27.16 0.01358 　 0.016 0.001 24.13 0.012065 　 0.017 0.001 23.06 0.01153 　 0.018 0.001 26.84 0.01342 　 0.019 0.001 26.81 0.013405 　 0.02 0.001 26.27 0.013135 　 0.021 0.001 27.62 0.01381 　 0.022 0.001 29.53 0.014765 　 0.023 0.001 24.85 0.012425 　 0.024 0.001 30.73 0.015365 　 0.025 0.001 30.10 0.01505 　 0.026 0.001 31.05 0.015525 　 0.027 0.001 29.51 0.014755 　 0.028 0.001 29.42 0.01471 　 0.029 0.001 32.19 0.016095 　 0.03 0.001 33.48 0.01674 　 0.031 0.001 30.48 0.01524 　 0.032 0.001 31.19 0.015595 　 0.033 0.001 33.02 0.01651 　 0.034 0.001 31.19 0.015595 　 0.035 0.001 33.66 0.01683 　 0.036 0.001 31.46 0.01573 　 0.037 0.001 30.47 0.015235 　 0.038 0.001 31.12 0.01556 　 0.039 0.001 29.70 0.01485 　

1000샘플/초

수레의 질량 0.5 kg

x값 Δx y값 y × Δx y × Δx의 합

시간

(t) 시간간격

(Δt) 가속도

(a) 충격량

(m×a×Δt) 총 충격량 (Ns) 0.04 0.001 28.67 0.014335 　 0.041 0.001 28.47 0.014235 　 0.042 0.001 29.14 0.01457 　 0.043 0.001 29.07 0.014535 　 0.044 0.001 28.29 0.014145 　 0.045 0.001 30.05 0.015025 　 0.046 0.001 27.98 0.01399 　 0.047 0.001 26.14 0.01307 　 0.048 0.001 27.31 0.013655 　 0.049 0.001 25.47 0.012735 　 0.05 0.001 25.58 0.01279 　 0.051 0.001 25.96 0.01298 　 0.052 0.001 24.13 0.012065 　 0.053 0.001 23.85 0.011925 　 0.054 0.001 24.67 0.012335 　 0.055 0.001 23.31 0.011655 　 0.056 0.001 22.64 0.01132 　 0.057 0.001 22.04 0.01102 　 0.058 0.001 20.52 0.01026 　 0.059 0.001 18.96 0.00948 　 0.06 0.001 18.10 0.00905 　 0.061 0.001 21.26 0.01063 　 0.062 0.001 18.75 0.009375 　 0.063 0.001 17.39 0.008695 　 0.064 0.001 17.31 0.008655 　 0.065 0.001 17.33 0.008665 　 0.066 0.001 13.93 0.006965 　 0.067 0.001 13.42 0.00671 　 0.068 0.001 14.82 0.00741 　 0.069 0.001 12.38 0.00619 　 0.07 0.001 13.72 0.00686 　 0.071 0.001 13.12 0.00656 　 0.072 0.001 10.29 0.005145 　 0.073 0.001 9.51 0.004755 　 0.074 0.001 7.37 0.003685 　 0.075 0.001 7.92 0.00396 　 0.076 0.001 4.68 0.00234 　 0.077 0.001 2.70 0.00135 　 0.078 0.001 2.07 0.001035 　 0.079 0.001 0.29 0.000145