Chapter 5: 열역학 제 1법칙
■ 열역학 제 1법칙
1) 열역학 제 1법칙: 에너지의 총합은 항상 일정 (열역학 제 1법칙 = 에너지 보존의 법칙)
에너지는 한 형태에서 다른 형태로 전환되어도 그 전환 전후의 에너지 총합은 변하지 않고 언제나 일정하다. 혹은, 어떤 계에서 에너지의 총합은 항상 일정하며, 이 일정한 값의 범위 내에서 에너지는 서로 전환될 수가 있다. 중요한 포인트는 에너지는 전환이 가능하며, 그 합은 언제나 일정하다.
2) 에너지: 일을 할 수 있는 능력이고, 에너지는 여러 형태로 전환이 가능하다.
증기기관이나 가솔린 기관은 역학적 에너지와 열에너지 간의 전환의 대표적이 예시이며, 전기에너지, 화학에너지, 빛에너지, 원자력에너지등의 에너지 형태가 특정한 열기관을 통해서 전환이 가능하다.
<에너지 전환>
예시1) 빛에너지와 열에너지: 백열전구나 형광등은 만지면 무척 뜨겁다. 즉, 열에너지와 빛에너지 간의 변환이 발생한다(참고: 반딧불 – 냉광, 자외선과 적외선이 발생하지 않음).
예시2) 다이어트 – 에너지 보존의 일상 생활에서의 예: 섭취한 에너지는 에너지 보존 법칙에 의해 기초대사량과 소비에너지와 저장에너지의 합과 같다. 그러므로, 에너지를 많이 소비하면
저장되는 에너지가 적기 때문에 살이 덜 찌는 반면 소비가 적으면 저장이 많이 되어서 살이 찐다.
<에너지 보존의 법칙 예시: 다이어트>
■ 검사질량에 대한 열역학 제 1법칙
1) 사이클 변화를 하는 검사 질량에 대한 열역학 제 1법칙
시스템(검사질량)의 임의의 사이클 변화를 하는 동안의 열의 사이클 적분(경계를 통해 유입 혹은 유출되는 열)은 일의 사이클 적분(경계를 통해 시스템에 가해지거나 혹은 외부 시스템에 해주는 일)과 같다.
열의 사이클 적분(경계를 통해 유입 혹은 유출되는 열) =
일의 사이클 적분(경계를 통해 시스템에 가해지거나 혹은 외부 시스템에 해주는 일)
∙ 검사질량: 관심의 대상이 되는 시스템이 질량의 유입이나 유출에 대해서 닫혀 있는 경우
∙ 검사체적: 관심의 대상이 되는 시스템으로 질량의 유입이나 유출이 가능한 경우
∙ 사이클: 계가 여러가지 상태변화 또는 과정을 거쳐 초기상태로 돌아오는 것.
열역학적으로는 계의 최종 상태량 = 계의 초기상태량
수학적으로 표현하면 (한 사이클 과정에 대한 적분 기호를 이용하면),
� 𝛿𝛿 = � 𝛿𝛿
다시 말해, 사이클 동안의 순 열은 (net heat transfer) 사이클 동안의 전체 일과 (net work) 같다.
사이클 동안의 순 열 (net heat transfer) = 사이클 동안의 일 (net work)
♠ Net work: P-v 선도에서 봤을 때 닫힌 폐곡선의 넓이
<회전날개를 통해서 시스템 내의 증기에 일을 가하면 기체의 온도가 상승하고, 그 후 증기가 열을 방출하면서 원래의 온도로 돌아간다. 최종상태가 최초의 상태로 돌아가기 때문에 사이클이
완성한다고 할 수 있다>
2) 검사 질량의 상태 변화에 대한 열역학 제 1법칙
앞서 나온 적분 식을 아래의 P-v선도에서의 경로를 통해서 적분을 한다고 생각해 보자.
<P-v 선도와 적분 경로>
먼저 경로 A-B-A를 통해 상태 1에서 2로 다시 2에서 1로 변하는 사이클에 열역학 제 1법칙을 적용하면, 경로 A에서의 열과 경로 B에서의 열의 합은 경로 A에서의 일과 경로 B에서의 일의 합과 같다. 마찬가지로, 경로 C-B-C를 통한 상태변화에 대해서는, 경로 C에서의 열과 경로 B에서의 열의 합은 경로 C에서의 일과 경로 B에서의 일의 합과 같다라고 할 수 있다.
� 𝛿𝛿2 𝐴
1 + � 𝛿𝛿1 𝐵
2 = � 𝛿𝛿2 𝐴
1 + � 𝛿𝛿1 𝐵
2 and � 𝛿𝛿2 𝐶
1 + � 𝛿𝛿1 𝐵
2 = � 𝛿𝛿2 𝐶
1 + � 𝛿𝛿1 𝐵
2
두 식을 빼면, A와 C경로에서 열의 차이는 A와 C경로에서 일의 차이와 같다라는 식이 된다.
� 𝛿𝛿𝐴 2
1 − � 𝛿𝛿𝐶 2
1 = � 𝛿𝛿𝐴 2
1 − � 𝛿𝛿𝐶 2 1
정리하면, A 경로에서의 열과 일의 차이는 C경로에서의 열과 일의 차이와 같다라고 할 수 있다.
� (𝛿𝛿2 𝐴− 𝛿𝛿𝐴)
1 = � (𝛿𝛿2 𝐶− 𝛿𝛿𝐶)
1
A와 C는 우리가 P-v선도에서 그린 임의의 경로이므로, 어떤 경로를 택하든지 𝛿𝛿 − 𝛿𝛿 는 일정하다. 즉, 상태 1과 2사이의 어떤 과정에서도 열과 일의 차이는 같다라고 할 수 있다. 다시 말해서, 𝛿𝛿 − 𝛿𝛿 라는 값은 초기상태와 최종상태에 의존하고 경로에는 무관한 상태량이 된다 (점함수). 결론적으로, 이 상태량, 즉 열과 일의 차이를 에너지라 정의하고, 아래와 같은 식을 통해 표현한다 (에너지의 변화는 열의 변화와 일의 변화의 차이를 일컫는다).
𝑑𝑑 = 𝛿𝛿 − 𝛿𝛿
상태 변화에 대해서 적분을 하면, 1에서 2의 상태로 변할 때 에너지 변화의 적분은 열과 일의 적분의 차와 같고, 결론적으로 𝑑2− 𝑑1= 1𝛿2− 1𝛿2라 쓸 수 있다.
� 𝑑𝑑2
1 = � 𝛿𝛿2
1 − � 𝛿𝛿2
1 , 그러므로 𝑑2− 𝑑1 = 1𝛿2− 1𝛿2
에너지의 변화 = 상태 1에서 2까지 과정을 진행하는 동안 검사질량에 전달된 열량과 검사질량에 의해 수행된 일의 차이
▶ 열역학 제 1법칙의 의미는, 검사질량이 상태변화를 하는 동안 에너지는 열 혹은 일의 형태로 경계면을 통과할 수 있으며 각각은 양 혹은 음의 값이 될 수 있음을 의미한다. 시스템 내부에서 에너지의 정미 변화량은 시스템 경계면을 통과하는 에너지의 정미량과 정확히 일치한다. 이 때 시스템의 에너지는 내부에너지, 운동에너지 혹은 위치에너지 중 어느 것으로도 변할 수 있다.
간단히 말해서, 시스템의 에너지 변화 = 에너지 전달(열과 일)의 합이라 (열역학에서 에너지 전달은 열과 일 밖에 없다) 할 수 있다.
▶ 시스템의 에너지 증가는 에너지의 증가량만큼 일 혹은 열이 들어오거나 나갔다는 뜻이며, 시스템의 에너지 감소는 에너지 감소량만큼 일 혹은 열이 나가거나 들어왔다라고 정의할 수 있다.
이때 중요한 것은 에너지는 생성되거나 소멸되는 것이 아닌 전달되는 것이다라는 점이다.
♠ (참고) 1종 영구기관: 외부에서 에너지의 공급 없이 계속해서 일을 할 수 있다고 생각하는 가상적인 기관을 제 1종 영구 기관이라 한다. 에너지 보존의 법칙에 모순되는 기관이며 역사적으로 많은 사람들의 노력에도 불구하고 만들어진 예가 없다. 물체가 가지고 있는 내부 에너지는 유한하며 외부에 대해서 일을 하면 그만큼 내부 에너지가 감소하므로 외부에서 에너지를 공급 받지 않고 계속 일을 할 수 있는 영구 기관은 없다.
3) 물질의 출입이 없는 밀폐 시스템(검사질량)에서 열과 일의 출입
▶ 일 혹은 열 하나만 시스템으로 유입 혹은 유출 되는 경우 (반드시 부호에 유의 할 것)
<일과 열의 출입에 따른 에너지 변화>
1) 열전달 없이 일만 가하는 경우 (일을 외부에서 시스템으로 해줌으로 부호는 음수): 시스템에 일이 가해지므로 내부 에너지가 증가 (일과 열 모두 에너지의 전달 형태임을 기억) ← 에너지가 들어왔으므로 내부 에너지가 증가하는 것이 당연 (E2 – E1은 양수지만, 1W2는 일이 들어와서 0보다 작다)
2) 반대로 일을 외부로 해주는 경우 (일의 부호는 양수): 시스템이 일을 해주기 때문에 내부에너지가 감소
3) 일없이 열만 전달되는 경우 (열의 부호는 양수): 시스템으로 열이 전달 되었기 때문에 내부에너지가 증가 ← 즉, 에너지가 열의 형태로 빠져나갔기 때문에 내부에너지 감소 4) 일없이 열이 빠져나가는 경우 (열의 부호는 음수): 시스템이 에너지를 열유출을 통해
잃었으므로, 내부에너지 감소
일과 열이 동시에 시스템으로 유입 혹은 유출되는 경우: 앞서 적분을 통해 도출한 열역학 제 1법칙에 대한 식으로 에너지의 변화를 에너지의 전달, 즉 일과 열로써 정의할 수 있다.
<일과 열이 동시에 출입할 때의 에너지 변화와 의미>
▶ ‘에너지’는 과정에 관계 없이 물질(시스템)의 상태에 의해 결정되는 상태량
∙ ‘에너지’는 동사가 아닌 명사로서 물질이 갖고 있는 성질(상태량)이라 할 수 있다.
∙ ‘열’과 ‘일’은 명사로서가 아니라 동사로 이해 – 일의 실행과 열은 흐름으로만 의미가 있다 (경계를 통과하는 과정중의 현상, 물질이 갖고 있는 성질이 아님)
■ 에너지 변화와 에너지 전달
에너지 변화와 에너지 전달의 차이를 요약해서 살펴보면, 표기법에서 완전 미분량이냐 불완전 미분량이냐로 구분하여 d를 쓰느냐, δ 를 쓰느냐로 구분이 되고, 적분형 역시 에너지는 최초와 최종상태에만 의존하기 때문에 둘의 차를 이용해서 쓸수 있는 반면, 열과 일은 경로 함수로서 1Q2,
1W2의 형태로 표기한다. 변화율 혹은 전달율은, 즉 시간당 변화나 전달은, 에너지는 t에 대한
미분을 통해 구할 수 있지만, 열과 일은 불완전 미분량이기 때문에 점을 위에 찍는 형태로 쓴다.
부호의 의미는 에너지의 경우 단순히 증가나 감소를 뜻하지만 열과 일은 유입이나 유출을 뜻한다.
적용위치는 에너지는 시스템의 내부, 앞서 말했듯이 물질의 상태에의 결정되는 상태량이지만, 열과 일은 시스템의 경계를 통과하는 전달형태이다. 수학적으로는 에너지는 완전미분/점함수의 형태지만, 일과 열은 불완전미분/경로함수이다. 마지막으로, 열역학에서 에너지의 종류에는 내부에너지, 운동에너지, 위치에너지가 있다.
■ 에너지의 종류
미시적 관점에서 에너지는, 입자의 상태를 나타내는 상태량으로서 입자가 얼마나 빨리 또는 천천히 움직이는가 하는 척도, 혹은 질량입자를 움직이게하는 잠재적인 원동력이다.
▶ 분자의 에너지
①분자 속력에 의한 운동에너지 → 전위(translational) 에너지
②분자의 회전운동에 의한 회전 (rotational) 에너지
③분자 내 구성원자들이 진동하고 있는 진동(vibrational) 에너지
④전자의 에너지 준위에 따른 전자(electronic) 에너지 등
열역학에서는 분자 하나의 운동을 다루는 미시적 관점보다는 전체 시스템의 상태에 초점을 맞추는 거시적 관점이 주요 관점이다
열역학에서의 에너지는 크게 역학적 에너지와 그 외의 에너지로 나눌 수 있다.
1) 역학적 에너지는 위치에너지와 운동에너지의 합이다
2) 그 외의 에너지는 시스템이 갖고 있는 위치에너지와 운동에너지를 제외한 모든 에너지, 앞서 말한 분자수준의 운동과 관련된 에너지를 거시적으로 다 포함한 에너지를 뜻하며, 이를 내부에너지라 정의한다. 즉, 다시 요약해서 내부에너지는 위치에너지와 운동에너지를 제외한 시스템의 모든 에너지를 말한다.
■ 에너지 보존 방정식
열역학에서의 에너지는 위치에너지와 운동에너지와 내부에너지의 총 합이다.
𝑑 = 𝑈 + 𝐾𝑑 + 𝑃𝑑
일반적으로 물리시간을 통해서 배웠듯이, 운동에너지는 1/2 ∙ 𝑚𝑉2이고 위치에너지는 𝑚𝑚𝑚 (z는 높이)라 쓸 수 있다.
𝐾𝑑 =1
2 𝑚𝑉2 and 𝑃𝑑 = 𝑚𝑚𝑚
위의 식을 미분을 하면, 에너지의 변화량에 대한 𝑑𝑑 = 𝑑𝑈 + 𝑑(𝐾𝑑) + 𝑑(𝑃𝑑) 식을 얻을 수 있다. 이 식에 운동에너지와 위치에너지를 속도와 변위에 대해서 미분을 해서 대입을 하고, 열역학 제 1법칙에 의해서 열과 일의 차이와 같다라고 놓으면, 상태변화에 따른 열역학 제 1법칙에 관한 식을 아래와 같이 표현할 수 있다.
𝑑𝑑 = 𝑑𝑈 + 𝑚𝑉𝑑𝑉 + 𝑚𝑚𝑑𝑚 = 𝛿𝛿 − 𝛿𝛿
적분을 하여 식을 정리하면 최종적으로 아래와 같은 식을 얻게 된다.
U2 − U1+m�V22− V12�
2 +mg(Z2− Z1)=1Q2−1W2
이 식을 에너지 보존 방정식이라 한다. 에너지 보존 방정식은 검사 질량의 에너지 정미 변화는 경계면을 통과하는 열이나 일과 같은 에너지의 정미 전달량과 항상 같다를 의미한다 = 열역학 제 1법칙과 동일
■ 내부에너지 (U)
1) 내부에너지의 의미: 운동에너지와 위치에너지를 제외한 모든 다른 형태의 에너지들의 합이며, 시스템의 질량에 비례하므로, 종량적 상태량이다.
♠ 비내부에너지 (𝒖): 단위 질량당 내부 에너지 – 시스템의 질량과 무관 (강성적 상태량)
▶ 물질의 내부에너지는 순수물질의 독립적인 상태량 중의 하나
순수물질의 상태: 두개의 독립상태량으로 결정 – 내부에너지와 다른 하나의 상태량이 주어지면 순수물질의 상태를 알 수 있고, 그에 따라 나머지 상태량도 결정 할 수 있다. 예를 들어, 과열 증기 상태에서 압력과 내부에너지가 주어지면 온도는 자동적으로 정해진다 (즉, 상태량 표 등을 이용하여 찾을 수 있다).
▶ 독립적인 상태량이기 때문에 내부에너지는 열역학 상태량 표에 나와있다.
▶ 내부에너지는 특정 값에 대한 상태값이다. 다시 말해, 어떤 기준에 대한 상태값 이다. 물의 경우에 있어서 내부에너지의 기준은 삼중점(0.01도, 0.6113kPa)의 포화액 내부에너지를 0으로 설정
2) 증기표에서 내부에너지의 계산: 상태량 표를 이용하며 내부에너지를 얻을 수 있다. 다시 말해, 건도와 비체적의 관계와 같은 식을 내부에너지를 통해서도 나타낼 수 있다
▶ 엑체-기체 포화영역에서 내부에너지를 계산하는 방법
포화상태에서 내부에너지는 포화액체의 내부 에너지 + 포화증기의 내부에너지 (𝑈 = 𝑈𝑙𝑙𝑙+ 𝑈𝑣𝑣𝑣)
비내부에너지로 나타내면 𝑚𝑚 = 𝑚𝑙𝑙𝑙𝑚𝑓+ 𝑚𝑣𝑣𝑣𝑚𝑔
양변을 질량으로 나누어주면
𝑚 =𝑚𝑙𝑙𝑙
𝑚 𝑚𝑓+𝑚𝑣𝑣𝑣
𝑚 𝑚𝑔
건도가 증기의 질량분율 (=전체질량에 대한 증기질량의 비)이므로, 비 내부에너지는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다 (u대신 v를 쓰면 비체적과 건도를 나타낸 식과 정확히 일치한다.)
𝑚 = (1 − 𝑥)𝑚𝑓+ 𝑥𝑚𝑔
𝑚 = 𝑚𝑓+ 𝑥𝑚𝑓𝑔
<예제 1>
▶ 다음주어진 상태에서 물의 경우 상태량 (𝑷, 𝑻, 𝒙) 및 𝒗를 결정하여라
∙ T=300°C, u=2780 kJ/kg
∙ P=2000 kPa, u = 2000 kJ/kg
풀이)
상태량을 정하는 경우 포화상태의 상태량과 비교를 통해 상을 결정할 수 있다.
첫번째 문제의 경우 주어진 내부에너지가 포화증기의 내부에너지보다 크기 때문에 과열 증기영역에 속한다 할 수 있다 (왜? 기체의 내부에너지가 액체보다 크기 때문에 포화증기보다 내부에너지가 크다는 것은 과열증기상태임을 의미한다 – 기체는 분자간의 거리가 멀어서 운동에너지가 크다)
상태량 표를 이용하여 300도에서 2780kJ/kg에 대한 값을 보간법을 통해 찾으면 압력을 구할 수 있다. 과열 증기(압축액체도 마찬가지)에서는 건도가 정의되지 않는다.
두번째 문제는 내부에너지가 포화액체와 포화기체의 내부에너지 사이에 존재하므로 액체- 기체 이상영역에 속한다고 할 수 있고, 이때의 온도는 포화온도가 된다 (압력도 포화압력이 된다).
■ 연습 문제
공기를 0.1MPa, 47℃에서 PV-1.3=C의 과정으로 변화시켰다. 최종온도가 87℃가 되었다면, 이때의 비 내부에너지 변화량과 공급된 단위질량당 열량을 구하여라(단, 공기는 이상기체로 간주함).
표 A.7.1을 이용하면
320K에서 공기 이상기체의 비내부에너지는 228.73 kJ/kg 360K에서 공기 이상기체의 비내부에너지는 257.53 kJ/kg 따라서, 비내부에너지 변화량은 257.53-228.73=28.8 kJ/kg 폴리트로프 과정이므로, 구하고자 하는 일은
