해석개론 숙제 #10

해석개론 숙제 #10

제출일시 2012 년 5 월 30 일 11시

문제 1 연습문제 5.1.3, 5.1.4, 5.3.1, 5.6.3, 5.6.4, 5.6.5, 5.6.7, 5.6.8, 5.6.9,

문제 2 실수 x에 대하여 가장 가까운 정수를 n이라 두고 (x) = x − n이라 쓰자. 또한,

f (x) =

∞

X

n=1

(nx)

n² , x ∈ R 이라 두자.

(가) 함수 y = (x)의 그래프를 그려라.

(나) 함수 y = (2x)의 그래프를 그려라.

(다) 함수 y =

6

X

n=1

(nx)

n² 의 그래프를 그려라.

(라) 임의의 x ∈ R에 대하여 급수

∞

X

n=1

(nx)

n² 이 수렴함을보여라.

(마) 자연수 p, q가 서로소이면 함수 f 는 x = q

2p에서 불연속임을 보여라.

(바) 함수 f 가 구간 [0, 1] 위에서 리만적분가능함을 보여라.

문제 3 칸토르집합을 만들 때 가운데에서 들어내는 구간의 길이는 n번째 단계에서 1 3ⁿ이었 다. 이제 모든 과정을 칸토르집합의 경우와 같이 하고, 가운데에서 들어내는 구간의 길이를

1 2 · 1

3ⁿ로 하여 만든 집합을 D라 하자. 또한, 함수 f : [0, 1] → R을 다음

f (x) =







1, x ∈ D 0, x /∈ D 과 같이 정의하자.

(가) D는 옹골집합임을 보여라.

(나) D는 고립점을 가지지 않음을 보여라.

(다) D 안에는 어떤 구간도 들어갈 수 없음을 보여라.

(라) 함수 f 가 구간 [0, 1] 위에서 리만적분가능한지 살펴보아라.

1