o
6장 원운동과 단진동
◑ 차례
6.1 등속 원운동 6.2 구심력 6.3 원심력
◑ 6.1 등속 원운동
∎ 등속 원운동에 대한 운동의 기술 요소
• 각: (, )
• 각변위: ( ) • 각속도
‧ 평균각속도:
‧ 순간각속도:
lim
→
∎ 주기와 진동수
등속 원운동하는 물체가 원둘레 주위를 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간을 주기(period)라 하고, 단위 시간 동안 즉, 1초 동안 회전하는 횟수를 진동수(frequency)라고 한다.
또는
∎ 주기와 속력과의 관계
물체가 반지름 의 일정한 원궤도를 따라 의 일정한 속력으로 원운동을 할 때, 원운동의 주기() 와 속력은 다음과 같은 관계를 갖는다.
또는
∎ 각과 각변위, 각속도의 단위 • 각의 단위: rad
반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때, 호를 이루는 각을 rad이라고 한다.
속력은 이동거리를 운동한 시간으로 나누어 계산. 그러므로 한 바퀴의 이동거리()를 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간 ( )으로 나누어 줌으로써 속력 계산.
⇒
⇒ rad
rad ≃ o
예) 반 회전(o)의 경우:
rad
한 회전(o)의 경우:
rad
• 각속도의 단위: rads
∎ 접선속도와 각속도와의 관계
⇒ [물음] (P118 연습문제 2번) 어느 물체가 반지름이 1m인 원의 둘레를 5초 동안에 10회전 하고 있다.
(2) 진동수는 얼마인가?
먼저, 진동수(1초 동안 회전하는 횟수)를 구하면...
초
회전 회전초 Hz
(1) 이 물체의 주기는 얼마인가?
회전초
초
(3) 각속도는 얼마인가?
초
회전 ×
×
rads
(4) 속력은 얼마인가?
이 속력은 접선속력을 말한다.
m × rads ms 또는...
s
× m
ms
일정한 속도로 원운동 하므로 각속도가 일정.
그러므로 순간 각속도와 평균 각속도가 같다.
길이, 질량과 같이 차원이 있는 물리량과 각과 같이 차원이 없는 물리량을 곱할 때, 차원이 없는 물리량 의 단위는 쓰지 않는다. 그러므로 m ·rads 라고 쓰지 않고, rad 을 빼고 ms 라고 쓴다.
주기의 단위를 쓸 때, ‘회전’은 쓰지 않는다.
◑ 6.2 구심력 ∎ 구심력의 방향
- 등속력으로 운동하면서 방향을 바꾸는 운동을 하려면, 힘의 작용 방향은?
• 평균가속도의 정의, av 으로부터 속도의 변화 방향은 평균가속도의 방향과 같다.
• 이상의 방향을 바꾸는 운동으로부터 정다각형의 선분을 따라 등속력으로 운동을 하는 물체에는 정 다각형의 중심을 향하는 방향으로 가속도가 작용함을 알 수 있다.
• 원을 무한 정다각형으로 간주한다면, 원주를 따라 등속력으로 운동하는 물체에는 원의 중심 방향 을 향하는 가속도가 작용한다고 예상할 수 있다.
• 가속도의 방향은 곧, 힘의 방향이므로 이러한 운동에서 힘이 정다각형의 중심 방향으로 작용해야 한다 고 결론지을 수 있다.
∎ 구심력의 크기
질량 인 물체가 반지름이 의 원궤도를 일정한 속력 로 돌고 있다고 하자. 이 물체가 계속해서 방향을 바꾸도록 작용하는 힘의 크기는?
(b)
′
′
′
(c)
′
′
′
(a)
그림 (a) 질량이 인 물체가 반지름 의 원궤도를 따라 일정한 속력 로 등속원운동 한다. (b) 가속도의 방향 은 의 이등분각 ()이 되는 원의 중심을 향한다. (c) 위치 벡터 , 를 각각의 선분으로 하는 삼각형
와 속도 벡터 , 를 각각의 선분으로 하는 삼각형 ′′′ 은 의 각을 공유하는 닮은꼴 이등변 삼각 형이다.
,
양변을 로 나누고,
lim
→
를 취하면,
lim
→
lim
→
순간가속도와 순간속도의 정의식인
lim
→
,
lim
→
에 의해
이 된다. 이 가속도는 그림 (b)에서 보여 준 바와 같이 원의 중심을 향하는 방향을 갖는다. 그래서 이 가 속도를 구심가속도(centripetal acceleration)라고 하며, 벡터를 이용하여 나타내면
이다. 여기서 아래첨자 는 centripetal(구심의)의 약자이며, 은 반지름 방향의 단위 벡터이다. 한편, Newton의 운동 제 2법칙( )에 따라 등속 원운동 하는 질량 인 물체에 작용하는 힘은
운동 어떤 힘이 구심력으로 작용?
(구심력의 원인이 되는 힘)
실에 매단 물체의 원운동 실에 걸리는 장력
태양 주위를 원운동하는 지구 만유인력
핵 주위를 원운동하는 전자 전기력
지면에서 원을 그리며 도는 사람 정지마찰력
굽고 경사진 도로를 달리는 차 정지마찰력+수직항력
m ax
(∵ )
이다. 이와 같이 구심가속도를 갖게 하는 힘 또는 원운동을 일으키는 힘을 구심력(centripetal force)이 라고 한다.
∎ 구심력의 원인이 되는 힘은 따로 있다!
• 구심력은 운동의 결과일 뿐, 그 원인이 되는 힘은 따로 있다. 구심력에서 ‘구심’이란 용어는 단지 힘 의 방향을 나타낼 뿐이다. 즉, 이 말은 힘의 본질이나 원인에 대하여는 아무것도 알려 주는 게 없다.
• 구심력은 여러 가지 힘의 합력일 수도 있다.
• 구심력의 예
• 구심력 문제에서 물체에 작용하는 알짜 힘을 구할 때, 구심력을 물체에 작용하는 힘들에 포함시켜 서는 안 된다. 구심력은 이러한 알짜 힘의 결과이다.
• 원심력은 구심력의 관성력인 가상의 힘(virtual force)이므로, 구심력 문제에서 물체에 작용하는 알 짜 힘에 원심력을 포함시켜서는 안 된다.
[물음] 원판에 질량 의 지우개를 올려놓고 속력 로 등 속 원운동을 시킬 때, 이 지우개가 원판에서 미끄러지지 않고 원운동을 할 수 있는 최대 속력은? 단, 원판과 지 우개 사이의 정지찰계수는 이다.
(풀이)
먼저, 자유물체도를 그린다. 이 물체에는 최대정지마찰력, 중력, 수직항력의 세 개의 힘이 작용한다.
문제의 조건인 ‘지우개가 원판에서 미끄러지지 않고 원운동을 할 수 있는 최대 속력’을 갖기 위해서 는 지우개는 정지마찰력의 최대인 최대정지마찰력을 겪는다.
이러한 원운동과 같이 가속 운동을 하는 경우, 좌표 원점은 물체의 중심에 두지 않고 물체 밖 정지 해 있는 지점에 둔다. 그리고 구심력이나 원심력을 자유물체도에 그려 넣어서는 안 된다. 구심력은 알짜 힘의 결과이고, 원심력은 위와 같이 원궤도의 중심의 좌표 원점에서는 경험되지 않는 가상의 힘이기 때문이다.
이제, 물체에 작용하는 알짜 힘을 구한다. 수직항력과 중력은 서로 상쇄되는 힘이므로 알짜 힘에 기 여하지 않는다. 그러므로 물체에 작용하는 알짜 힘은 최대정지마찰력이고, 이 최대정지마찰력이 곧 구심력이 된다.
m ax m ax
∴
◑ 6.3 원심력
∎ 다음의 그림은 버스 내부의 마찰이 없는 바닥에 공을 두고, 버스 내부와 외부에 있는 두 관측자가 버스의 운동에 따른 공의 운동을 관찰하는 그림이다.
• 버스가 등속( ) 운동할 때
: 관측자 A는 공이 정지해 있다고 한다. 그리고 관측자 B는 공이 등속운동을 한다고 한다. 두 관 측자는 모두 공이 버스에 대하여 상대적 운동이 없는, 즉 정지 상태에 있는 것을 관찰하게 된 것이다. 그리고 이는 물체에 아무런 힘이 작용하지 않았기 때문이라고 말할 것이다. 두 관측자는 관성틀(관측자 A는 등속운동, 관측자 B는 정지)에서 공의 운동을 관측하였고, 둘 다 공에는 힘 이 작용하지 않았다는 동일한 현상을 경험한다.
• 버스가 가속( ≠ ) 운동할 때 (편의상 버스가 급출발 한다고 가정)
: 관측자 A는 공이 자신에게 미끄러져 오는 것을 관측하게 된다. 반면에 이 순간 관측자 B는 공이
A
B
정지해 있다고 말 할 것이다. 관측자 A가 본 바를 설명하려면 공에는 힘이 작용하였다고 말할 것이고, 관측자 B가 본 바를 설명하려면 물체에는 아무런 힘이 작용하지 않았다고 할 것이다.
관측자 B에 의하면, 공과 버스 바닥사이의 마찰은 없다. 즉, 공은 아무런 힘도 받을 수 없다는 것이다. 그렇다면, 관측자 A가 경험한 힘은 무엇일까? 바로 관성력이다.
∎ 관성력이란?
가속 운동을 하는 물체(좌표계) 내부에서는 이 물체의 외부 가속도와 크기는 같고 방향이 반대인 가속도를 경험하게 되는데, 이 가속도에 의한 힘을 관성력이라고 한다.
∎ 원심력(centrifugal force)은 구심력의 반작용인가? 아니면, 관성력인가?
다음의 그림은 용수철에 매달린 물체가 원판 위에 놓여 있 고, 이 원판은 수평면 상에서 일정한 각속력으로 회전하고 있는 상태를 나타낸 것이다. 이때, 원판 위와 원판 바깥에 있는 두 관측자 A, B는 물체의 운동을 어떻게 설명할까?
먼저, 외부의 정지 관측자 B는 이 회전 운동 중에 늘어난 용수철을 탄성력이 구심력으로 작용하여 물체를 원운동 시 킨다고 생각한다. 한편, 등속원운동의 가속 운동(구심가속
도가 작용)을 하는 원판에 있는 관측자 A는 이 물체의 외부 가속도 즉, 원운동의 중심을 향하는 구 심가속도와 크기는 같고 방향이 반대(원의 중심에서 바깥을 향하는)인 가속도에 의해 원운동의 바 깥을 향하는 방향의 관성력을 경험하게 된다. 특별히, 이렇게 원운동에 나타나는 관성력을 ‘원심력’
이라고 부른다. 그리고 이 원심력과 용수철의 탄성력이 평형을 이루어 물체가 정지해 있다고 생각 한다.
A B
