수 리 영 역

2005학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

‘나’형 성명 수험번호 3 1

◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험 번호, 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^



× ^



× ^{ }



의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

^{행렬 }

 

^{ }  , 

 

^{ }  에 대하여  ^{ }_의 모든 성분의 합은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

^등비수열



^



에 대하여 ․ _․ _  일 때, 의 값은?

[2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

^log^  log_

 log_^ 의 값은? [2점]

①  ②  ③ 

④ log ⑤ log

5.

^{등식 log}



^log log_



^{ } 을 만족하는  는 몇 자리의 자 연수인가? (단, log  ) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

2 ^‘나’형

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6.

^{이차정사각행렬 , 에 대하여}

 _, ^^ 

가 성립할 때, 다음 중 ^의 역행렬은? (단, _{는 단위행렬} 이고, 는 영행렬이다.) [4점]

①   _{②  }  ③   

④ 

 ⑤  



7.

^수열



^



이

lim

→∞

 _  을 만족할 때,

lim

→∞^_

^ 

의 값은? [3점]

① 

 ② 

 ③  ④ 

 ⑤ 

8.

^수열

^

^

^

^{에 대하여   }이라 할 때, 옳은 것을

<보기>에서 모두 고른 것은? ( 단, ․ _≠ ) [4점]

〈 보 기 〉

ㄱ. 수열



^



이 등비수열이면 수열



^



^{도 등비수열이다.}

ㄴ. 수열



^



이 등비수열이면 수열



^



도 등비수열이다.

ㄷ. 수열



^



이 등비수열이면 수열



^․ _



도 등비수열이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

9.

다음과 같이 정의되는 수열



^



이 있다.

_ ,  ,  이고

_{ } ․ _{ } _ ․ _ (  , , , ⋯) 이 때,



  



_의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

‘나’형 3

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10.

^{두 양수 }, 

 의 상용로그에서 지표의 합은  이고, 가수의

합은  이다. 이 때, ^ ^의 값은? (단, log_{의 가수는  이} 아니다.) [3점]

① 

 ②  ③ 

 ④  ⑤ 



11.

^{세 자리의 자연수 에 대하여}

 log    log   

이 성립할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, log  이고   는  보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4 점]

〈 보 기 〉 ㄱ. ^은 항상  자리의 수이다.

ㄴ. ^은 항상  자리의 수이다.

ㄷ. ^은 항상  자리의 수이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.

다음은  이상의 자연수  에 대하여 부등식

^

  ^

  ^

  ⋯  ^

 ^

이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

(ⅰ) ^{  } 일 때

^

  ^

  

 ^_ 에서

^

  ^

 

(ⅱ) ^{  } ( ≧ ) 일 때, 주어진 부등식이 성립함을 가정하면

^

  ^

  ^

  ⋯  ^

 ^

^   



^^_

  ^_

  ^_

  ⋯  ^_

  ^_{ }





^_{  }



^^

  ^

  ^

  ⋯  ^





^{ }^ 



^_{     }

^  

  ^    

∴ ^_

  ^_

  ^_

  ⋯  ^_

  ^_{  }

 ^ 

따라서 ^{   } 일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서  이상의 자연수 ^에 대하여 주어진 부등식 이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

① ^ ^   ^ ^  

② ^ ^ ^   ^  

③ ^ ^  ^  

④  ^  ^  

⑤  ^   ^   ^  

(가)

(나) (다)

수 리 영 역

4 ^‘나’형

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13.

^무한수열

  

,   

  



 ,   

  

  





 , ⋯

은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다.

주어진 수열을



^



이라 하면

_   

 이고 _  _

 이다.

이 수열의 극한값을  라고 하면

lim

→∞

_ ,

lim

→∞

_ 이므로

   

 이다.

따라서, 구하는 극한값은 이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나)

①   ^

②   ^

③   ^

④  

^  

⑤  

^  

14.

^{이차 정사각행렬 에 대하여}

 ^^{  } 

이 성립할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단,

는 영행렬) [4점]

〈 보 기 〉 ㄱ. ^ ^^{ } 

ㄴ. ^ ^^{ }  ㄷ. 자연수  에 대하여

^^^ ⋯ ^{ }이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

15.

다음은 어느 신문 기사의 일부이다.

산소는 생명 유지에 꼭 필요한 물질이고 우리 몸의 모든 기관이나 조직들의 기능을 유지하기 위해 반드시 필요하다.

공기 중에 %를 차지하고 있는 산소의 농도가 %이하로 감소되면 산소결핍상태가 되고, % 정도가 되면 산소부족 으로 인해 두통, 구토, 어지러움, 기억력 감퇴, 소화불량 등 의 증상이 나타난다.

어느 사무실의 실내를 환기시키지 않고  분 간격으로 산소 농도를 측정한 결과 바로 전에 측정한 농도의 %가 감소하는 것으로 나타났다. 이 사무실의 현재 측정한 산소농도가 %일 때, 실내를 환기시키지 않은 상태에서 처음으로 % 이하로 측 정되는 시간은 몇 분 후인가?

(단, log  , log  , log   ) [4점]

① 분 ② 분 ③ 분 ④ 분 ⑤ 분

(가)

(나) (가)

수 리 영 역

‘나’형 5

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16.

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 호 댐과  호 댐이 있 다. 강 상류의 호 댐으로부터

호 댐으로 매일  만톤의 물 이 유입되고, 정오에  호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의  %를 농업용수 와 생활용수 등을 위하여 강 하류 로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 2호 댐

의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단, 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.) [4점]

① 만톤 ② 만톤 ③ 만톤

④ 만톤 ⑤ 만톤

17.

어떤 사람이 두 곳의 과수원 A , B 에서 사과와 복숭아를 재 배하고 있다. <표 1>은 과수원의 작물의 그루수를 나타낸 것이 고, <표 2>는 과수원의 작물 한 그루당 열매의 평균 개수를 나 타낸 것이다.

(단위 : 그루)

A B

사과 _ _

복숭아 _ _

<표 1>

(단위 : 개) 사과 복숭아 A _ _

B _ _

<표 2>



^ ^^_

 

^ ^^_





 

^{ }  ,



^ ^^_

  

^ 

 

^ 라 할 때,

두 과수원에서 생산된 사과의 총 개수는 이고, 두 과수원 의 복숭아 한 그루당 열매의 평균 개수는 이다. (가), (나) 에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점]

단답형

18. 

  



 ^    의 값을 구하시오. [3점]

19.

^{  }인 세 실수 , ,  가 있다. ^ ^, ^ ^일 때, ^의 값을 구하시오. [3점]

(가) (나)

수 리 영 역

6 ^‘나’형

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20.

^,  ,  는 서로 다른 한 자리의 자연수이다.

행렬  

 

^{ }  가 역행렬을 갖지 않을 때 ,  ,  의 곱

 의 값을 구하시오. [3점]

21.

자연수  을 이진법의 수로 나타내었을 때, 그 이진법의 수가

자리의 수이면   로 정의한다. 예를 들면   이므 로  이고,   이므로   이다. 수열



^



의 첫째항부터 제  항까지의 합을 구하시오. [4점]

22.

     ^



(단,   , ≠ ) 일 때

  ․   ×   ․   ×…×   ․     

를 만족하는 상수  에 대하여   의 값을 구하시오. [4점]

23.

^{행렬 }



^{   }  에 대하여



^

 

^ 

 

^ 일 때,

  의 값을 구하시오. [3점]

수 리 영 역

‘나’형 7

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24.

^{행렬 }



^   ,^



 ^



^{ }  이 있다.



^  를 만 족하는 실수 ,  에 대하여 점 P   의 자취를 도형  _라 하자. 이 때 점 Q  에서 도형  위의 점까지의 거리의 최대값을 구하시오. [4점]

25.

그림과 같이 자연수  에 대하여 가로의 길이가  , 세로의 길이가 인 직사각형 OABC_이 있다. 대각선 AC과 선분 B_C_의 교점을 D이라 한다.

이 때,

lim

→∞B_D_

AC_  OC_

의 값을 구하시오. [4점]

5지 선다형

26.

직각삼각형의 세 변의 길이 , ,  가 공차가  인 등차수열 을 이룬다고 한다. 이 때, 이 직각삼각형의 넓이를  의 식으로 나타내면? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

27.

사람의 키와 몸무게에 따른 표면적의 관계는

  ^^ (, ,  는 상수)

( 단,  _{는 표면적(m}^_),  _{는 키(cm),} 는 몸무게(kg) ) 임이 알려져 있다. 철수의 키와 몸무게는 각각  cm ,  kg 이 고 철수 아빠의 키와 몸무게는 각각  cm ,  kg 이다. 위 관 계식에서    ,   ,    라 할 때, 철수 아빠의 표면 적은 철수의 표면적의 약 몇 배인가? [4점]

<상용로그표>

수 ^{         }

          

… … … …

          

          

          

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 리 영 역

8 ^‘나’형

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28.

^{공차가 (≠ )인 등차수열 , , , , , , ⋯ 에}

대하여 두 수열

_ _,  _,  _,  _, ⋯

_ _ _,  _ _,  _ _, ⋯

의 공차를 각각 , 라고 할 때, 다음 중 옳은 것은? [3점]

①  _ ②  _ ③  _

④  _ ⑤  _

29.

모든 실수 에 대하여 ,  에 대한 연립방정식



 ^  ^{ }

  

^ 

 

  가 단 한 쌍의 해를 가질 때, 다음^ 중 함수     의 그래프가 될 수 있는 것은? [4점]

① ②

③ ④

⑤

단답형

30.

그림과 같이 정육각형 모양이 되도록 배열한 바둑알의 개수를 육각형정수라 한다.

[첫 번째] [두 번째] [세 번째]

예를 들면, 첫 번째 육각형정수는 ^이고, 두 번째 육각형정수는

이다. 이 때,  번째 육각형정수를 구하시오. [4점]