벡터의 내적(스칼라 곱:Dot Product)

(1)

벡터의 내적(스칼라 곱:Dot Product)

(2.9 절)

학습 목표:

벡터의 내적(dot product) 을 사용하는 이유 : a) 두 벡터(직선) 사이의 각도를 구하기 위하여

b) 어떤 특정한 선상을 따르는 벡터의 투영 크기 (길이)를

구하기 위하여 강의 내용:

• 예습 문제 확인

• 예습 퀴즈

• 응용/관련성

• Dot product - 정의

• 각도 구하는 법

• 투영을 구하는 법

• 개념 퀴즈

• 그룹 문제 해결

• 주의환기 퀴즈

(2)

예습 확인 퀴즈

1. 두 벡터 P 와 Q 의 내적은 다음과 같이 정의된다.

A) P Q cos  B) P Q sin  C) P Q tan  D) P Q sec 

2. 두 벡터의 내적은 _________ 양을 가져온다..

A) scalar B) vector C) complex(복소수) D) 0

P

Q



A•B=|A||B|cosθ= ABcosθ (2-14)

(3)

응 용

주어진 문제의 형상에서, 폴(장대)과 케이블 사이의 각도를 어떻게 하면 구할 수 있는가?

(4)

벡터 내적의 정의

(Definition)

벡터 A 와 B 의 스칼라 곱은 A•B = A B cos 로 정의된다.

각  는 두 벡터 사이에서 가장 작은 각이고, 언제나 0^º 와 180^º사이의 범위를 갖는다.

내적(스칼라 곱)의 특성:

1. 벡터의 내적(dot product)의 결과는 스칼라 양이다.

(양 혹은 음의 수).

2. 내적의 단위는 벡터 A 와 벡터 B의 단위의 곱이 될 것이다.

(5)

벡터 내적의 정의

^(계속)

예: i • j = 0 i • i = 1

i • j = j • k = k • i =0 i • i = j • j = k • k =1

A • B = A_x B_x+ A_yB_y+ A_zB_z(2-15)

A • B = (A_x i + A_y j + A_z k) • (B_x i + B_y j + B_z k)

= A_x B_xi•i +A_xB_yi•j +A_yB_yi•k+A_yB_x j•i +A_yB_yj•j+A_yB_zj•k + A_zB_xk•i +A_zB_yk•j + A_zB_z k•k

0 0

0

0 0

0 1

1

(6)

두 벡터(힘) 사이 각도를 구하기 위해 내적을 사용한다

직교성분 형태로 주어진 두 벡터에 대하여, 그 사이 각도를 구할 수 있다.

a) 스칼라 곱을 구함으로써, A • B = (A_xB_x+ A_yB_y+ A_zB_z), b) 벡터 A와 B의 크기 A, B 를 구하고,

c) 내적의 정의를 사용하여 에 대하여 풀면, 즉,  = cos^-1 [(A • B)/(AB)], 여기서 0^º    180^º.

If A • B=0이라면,  =cos^-10= 90º가 되어 A와 B는 서로 수직이 된다.

(7)

어떤 벡터의 투영 크기 구하기

내적을 사용하여 어떤 선에 대하여 평행이거나 수직인 벡터의 성분을 구할 수 있다. A = A_ + A_||

단계:

1. 선분 aa´를 따르는 단위벡터, u_aa_´ (=u) 를 구하라.

2. A_|| = A • u = A_xu_x + A_yu_y + A_z u_z를 사용하여 선분 aa´ 를 따르는 A 의 스칼라 투영을 구하라

(8)

3. 필요하다면, 그 투영은, 그 단위벡터 u_aa_´ 와 2단계에서 구한 크기를 사용하면, 벡터 A_||로 표시할 수 있다.

A_|| = A_|| u_aa_´

4. 투영에 직각성분의 스칼라와 벡터량들은 아래

식으로부터 쉽게 구할 수 있다.

A_ = (A ² - A_||²) ^½ 그리고 A _ = A – A_||

(벡터의 합으로 다시 표시하면, A = A_ + A_||) 또는 A_ = A - A_||

어떤 벡터의 투영 크기 구하기(계속)

(9)

예 제

A

1. r_OA를 구하라

2.  = cos^-1{(F • r_OA)/(F r_OA)}

3. F_OA = F • u_OA or F cos 

주어진 값: 힘F가 폴에 작용한다.

목표: 힘벡터와 폴 사이의

각도와 폴 OA방향으로 힘의 투영 성분의 크기를 구하라.

계획 (풀이):

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예제 (계속)

r_OA = {2 i + 2 j – 1 k} m r_OA = (2² + 2² + 1²)^1/2= 3 m F = {2 i + 4 j + 10 k}kN

F = (2² + 4²+ 10²)^1/2 = 10.95 kN

 = cos^-1{(F • r_OA)/(F r_OA)}

 = cos^-1{2/(10.95 * 3)} = 86.5°

u_OA = r_OA/r_OA = {(2/3) i + (2/3) j – (1/3) k}

F_OA = F • u_OA = (2)(2/3) + (4)(2/3) + (10)(-1/3) = 0.667 kN 또는 F_OA = F cos  = 10.95 cos(86.51°) = 0.667 kN

F • r_OA = (2)(2) + (4)(2) + (10)(-1) = 2 kN·m

A점 (2, 2, -1)

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예 제 2-16

구조물에 수평력 F={300j}N이 작용하고 있다. AB부재에 대해 평행 및 수직인 이 힘의 성분 크기를 구하라.

r _AB = {(X_B– X_A) i + ( Y_B –Y_A) j + (Z_B –Z_A) k

r_AB= 2i + 6j + 3k r_AB= 7

u_AB = r_AB/r_AB={0.286i+0.857 j +0.429k}

F_AB= F cos  = F • u_AB=257.1N

AB방향의 F성분의 크기는 F와 AB방향 단위벡터 u_AB 와의 내적과 동일하다.

F_AB=F_ABu_AB =(257.1) {0.286i + 0.857 j +0.429 k

a

F_ = F – F_AB

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개념 확립 퀴즈

1. 만약 0 이 아닌 두 벡터의 내적이 0이라면, 두 벡터는 서로 어떤 관계에 있어야 하는가?

A) 평행 (같은 방향을 가리키면서) B) 평행 (반대 방향을 가리키면서) C) 수직

D) 구할 수 없다.

2. 만약 0이 아닌 두 벡터의 내적이 -1과 같다면, 두 벡터는 서로 어떤 관계에 있어야 하는가?

A) 평행 (같은 방향을 가리키면서) B) 평행 (반대 방향을 가리키면서) C) 수직

D) 구할 수 없다.

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주 의 환기 퀴즈

1. 벡터의 내적은 __?__ 을 제외한 다음의 것들을 구하기 위해 사용할 수 있다.

A) 두 벡터의 합

B) 두 벡터 사이의 각도

C) 다른 직선에 평행한 어떤 벡터의 성분 D) 다른 직선에 수직인 어떤 벡터의 성분

2. 두 벡터 P와 Q의 내적을 구하라.

P = {5 i + 2 j + 3 k} m Q = {-2 i + 5 j + 4 k} m

A) -12 m B) 12 m C) 12 m ² D) -12 m ² E) 10 m ²

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