Electromagnetic Waves

제 33 장. 전자기파( Electromagnetic Waves ⁾

33.1 전자기파의 정성적 기술

자유공간(Free space: 매체가 없는 진공인 공간)에서

E

^와

B

가 어떻게 진행(Propagating^)하는

지 Maxwell 방정식을 이용하여 분석해 본다. 진공 속은 매체가 없음으로 Maxwell ^{방정식의 우} 측 항들은 모두

0

이다. 즉 자유공간은 전하(Charge)나 직류전류(Direct current)가 없다.

0

  E

^(33.1)

0

  B

^(33.2)

B 0

E t

   



^(33.3)

o o

0 B E

  ^ t

  



^(33.4)



o와



_o는 각각 자유공간에서의 유전율(Permittivity)과 투자율(Permeability)이다. 그리고

o o

 

는 진공 속에서 빛의 속도와 다음의 관계를 갖는다.

1

o o

c ^  

^(33.5)

(33.3)에 Curl(



)을 취하고 (33.4)를 시간에 대해 편미분하면,

( ) 0 [ ( )

2

] ( ) 0

E B E E B

t t

 

          

 

^(33.6)

2 2

2 2 2 2

1 1

( ) E 0 ( ) E

B B

t c t t c t

         

   

^(33.7)

(33.1)에서

  E

0 그리고 (33.7)을 (33.6)에 대입하면

2 2

2 2

1

E

E c t

  



^(33.8)

(33.4)에 Curl (



)을 취하고 (33.3)을 시간에 대해 편미분하면,

2

2 2

1 1

( E ) 0 [ ( ) ] ( E ) 0

B B B

c t c t

 

           

 

^(33.9)

2 2

2 2 2

0 1

E B E B

t t t c t

   

      

   

^(33.10)

(33.2)에서

  B

0 그리고 (33.10)을 (33.9)에 대입하면,

2 2

2 2

1 B

B c t

  



^(33.11)

(33.8)과 (33.11)의

3

-차원 공간에 대한 해(Solution^{)는 각각}

sin( )

E  E

m

kr   t

^(33.12)

sin( )

B  B

m

kr   t

^(33.13)

(33.12)와 (33.13)은 전기장

E

와 자기장

B

가 동시에 자유공간에서 진행하는 파임을 나타낸다.

이것을 보기 위하여 전기장

E

^가

y

^{축으로 진동하며}

x

축으로 진행한다고 가정하자. 그리고 문제 를 간단히 하기 위하여

y

^{축으로의 진폭을}

E

_m이라 하자. 그러면 (33.12)의 형태는

j ( j) sin( )

y m

E  E kx   t

(33.14)

sin( )

y m

E  E kx   t

^(33.15)

전기장

E  E

_y

j

^는

x

축으로 진행하기 때문에 이 파에 대한 적용 Laplacian operator^는

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

x y z x

   

      

   

(33.15)에 대한 진행파의 파동 미분방정식은 다음과 같다.

2 2

2 2 2

y 1 y

E E

x c t

 

  

^(33.16)

이 파와 관련된

B

를 찾기 위하여 (33.3)을 이용한다.

0 [(i j k ) (

_y

j)] (

_x

i

_y

j

_z

k) 0

E B E B B B

t x y z t

    

          

    

i k i j k

y y x y z

E E B B B

z x t t t

        

    

^(33.17)

(33.17)의 양변을 비교하면 다음의 두 관계식을 얻는다.

y x

E B

z t

  

 

^(33.18)

y z

E B

x t

 

 

 

^(33.19)

(33.15)에서 보는 바와 같이

E

_y는

z

의 함수가 아니기 때문에 (33.18)은 값이 없다(

z

축을 따라 진행하는 파가 아니기 때문에

z

와 관련된 값이 없음). 따라서 (33.19)만 의미가 있다.

(33.19)의

B

_z에 대해 적분하면,

[ sin( )] cos( )

y

z m m

B E dt E kx t dt k E kx t dt

x x  

 

       

 

  

sin( )

z m

B k E kx  t

  

^(33.20)

2 / 1 1

2

k

f f c

 

 ^  ^  ^

^(33.21)

그러므로 (33.20)은 다음과 같이 표현된다.

1 1

sin( )

z m y

B E kx t E

c  c

  

^(33.22)

sin( )

z m

B  B kx   t

(33.23)

여기서 _m

E

^m

B  c

or

E

_m

 cB

_m ^(33.24)

결과 해석

전기장

E

_y

 E

_m

sin( kx   t )

를 Maxwell 방정식에 적용한 결과 자기장에 관련된 수식인 (33.23) 의

B

_z

 B

_msin(

kx   t

)를 얻었다. 즉 전기장

E

_y^가

y

^축으로

sin( kx   t )

에 의해 진동하며

x

축을 따라 진행할 때,

B

_z^는

z

^축으로

sin( kx   t )

로 진동하며 위상이 같게

x

축을 따라 진행한 다. 종합하면

( , ) sin( )

y m

E x t  E kx   t

(33.25)

( , ) sin( )

z m

B x t  B kx   t

^(33.26)

이 두 파는 아래 그림처럼 서로 직교하며 진행한다. 여기서

B

_m

 E

_m/

c

이다. 파가 진행하는 방향 이

x

^축이면,

E

^는

y

^축,

B

^는

z

축에 놓이게 된다. 따라서 파가 진행하는 방향은 앞으로 배울

Poynting 벡터의 방향과 일치한다.

33.2 파장 및 진동수로 본 전자기파의 분류

VHF(Very High Frequency) UHF(Ultra High Frequency) Micro wave^:

10

^1

 10 m

^2

적외선:

10

^6

 10 m

^3

가시광선:

400 800 nm 

※ [눈의 최고 감도 파장: 연두색 파장(

555 nm

^)]

자외선:

10

^7

 10 m

^8

X

^-선:

10

^9

 10

^13

m



-선:

10

^14

m

이하

전자기파의 발생

회로는

 

1/ LC 로 진동하며 변압기(Transformer)로 연결된 외부회로 끝의 전기쌍극자 안테 나(Electric dipole antenna)를 통해 전자기파를 공중으로 내보낸다.

33.3 에너지 이동과

Poynting Vector

전자기파의 단위면적당 단위시간당 전달되는 에너지를 벡터로 나타낸 것이 Poynting 벡터이다.

Poynting 벡터의 정의:

1

o

S E B

  

^(33.27)

S

의 방향은 파가 진행하는 방향이다.

S

^{의 단위:} [J / s m ] [W / m ]



²



²

E

^와

B

^{는 수직이며}

E  E

_msin(

kr   t

)^,

B  E c /

^이므로

S

는 다음과 같다.

1 1

2

o o

S EB E

 c 

 

^(33.28)

1

^{2 2}

sin ( )

m o

S E kx t

c 

  

^(33.29)

빛의 세기(Intensity) 또는 빛의 강도

I

는

S

의 평균값으로 나타낸다.

2 2

1

_m

sin ( )

o

I S E kx t

c 

     

^(33.30)

sin (2

kx  t

) 1/ 2

  

^이므로

1

2

2

_o ^m

I S E

c 

 

^(33.31)

2 2 r ms

1 1

( ) 2

m

o o

I E I E

c  c 

  

^(33.32)

E  cB

의 관계로부터 전기장 에너지 밀도와 자기장 에너지 밀도의 동등성 증명

2 2

2 2

1 1 1

( )

2 2 2 2

E o o o B

o o o

B B

u  E  cB  u

  

    

^(33.33)

전자기 파가 진행하는 모든 곳에서

u

_E

 u

_B^이다.

점 광원이 발산하는 에너지 일율을

P

_s라 할 때 점 광원의 거리에 따른 빛의 세기

I

^{: 점 광원으}

로부터 거리

r

에 있는 구면으로 나오는 일률은 점 광원이 내보내는 일률과 같다. 이것을 수식의 표현 방법은 마치 전기장을 계산하는 Gauss 법칙과 유사하다. 즉,

(4 2)

s s

A

Ida  P  I  r  P



^(33.34)

4

2

P

s

I ^  r

^(33.35)

보기문제 33.1

P  250 W

인 점 광원으로부터

r  1.8m

인 곳에서의 전기장과 자기장의

rms

(Root mean square) 값은 얼마인가?

(풀이)

4

2

I P

 r



⁽¹⁾

1

2 rms o

I E

c 



⁽²⁾

(1)



(2): ₂

1

² ₂ ^{1/ 2}

1

^{1/ 2}

( ) ( )

4 4 2

o o

rms rms

o

c P c P

P E E

r c r r

 

 ^  ^{ }  ^ 

8 7

1 (3 10 m / s)(4 10 H / m)(250W)

1/ 2

[ ] 48.1 V / m

2(1.8 m) 3.14

E

rms

 



 

7 8

4.0V / m

1.6 10 T 3 10 m / s

rms rms

B E

c

   





33.4 복사압 (광압:

Photon Pressure

⁾

전자기파는 에너지뿐만 아니라 선운동량도 가지고 있다. 표면에 물체가

 E

의 에너지를 흡수하면 그 물체는 선운동량의 변화를 가져온다. 빛의 세기

I

^{가 면적}

A

에 수직으로 입사하여 흡수만 되 는 경우와 반사되는 경우를 각각 생각한다. 먼저 어떤 물체가 어느 순간

dt

^동안에

dE

^{의 전자}

기파 에너지를 완전히 흡수하는 경우를 고려하면

dE  IAdt

^(33.36)

Maxwell에 의한 전자기파의 선운동량 표기법:

dE I A

dp dt

c c

 

(33.37)

※ 광자의 선운동량:

h hf E dE

p dp

f c c

      

운동량이 변하는 방향은 입사 빛살의 방향과 동일하다. Newton^{의 제}

2

^법칙에서

dp I A

F  dt  c

^(33.38)

전자기파 흡수에 의한 단위 면적당 받는 압력, 즉 흡수 광압은

a

F I

p  A  c

^(33.39)

광압은 흡수할 때 보다 반사할 때

2

^{배 더 크다.}

2

r

p I

 c

^(33.40)

※ 참고: 반사가 흡수보다 운동량의 변화가 두 배 큰 이유

질량

m

^{인 공을 벽에}

v

^{의 속력으로}

 x

축 방향으로 던지는 경우를 생각하자. 즉

v

₁

  v

^{, 그리}

고 벽에 탄성 충돌한 후 튕겨 나오는 속도를

v

₂라 하면

v

₂

 v

, 즉

 x

방향으로 공은 튀어 나온 다. 운동량은

p  mv

로 표시된다.

x

축만 고려한 운동량은 따라서

p  mv

로 생각할 수 있고

x

축에 대한

dt

동안 운동량의 변화는

공이 벽에 붙는 경우(흡수되는 경우)

v

₂



0,

v

₁

  v

:

   p mv

공이 튕겨 나오는 경우(반사하는 경우)

v

₂

 v v

, ₁

  v

:

   p mv mv    2 mv

보기문제 33.2 혜성의 먼지 입자는 광압에 의해 해가 비치는 반대편으로 밀린다. 입자의 크기가 얼마일 때 태양 중력과 광압이 평형을 이루는가? 먼지 입자의 밀도는

 

3.5 10 kg / m



^{3 3}이다.

여기서 태양의 Power

P

는

P  3.90 10 W 

²⁶ , 태양의 질량

M 

1.99 10 kg



³⁰ , 만유인력 상수

11 2 2

6.67 10 N m / kg

G  

^



^{, 빛의 속도}

c  3.00 10 m / s 

^{8 이다.}

(풀이) 입자가 빛을 받는 단면적:

 r

²

태양으로부터

R

의 거리에 있는 먼지입자에 입사하는 광의 세기:

4 2

I P

 R



흡수인 경우 광압에 의해 입자가 받는 힘:

2 2

2 2

4 4

a

IA r P r P

F c cR cR



   

태양의 중력: ³

2 2

( 4 )

g

3

GMm GM

F r

R R  

 

a q

F  F

:

2

3

2 2

4 3

( )

4 3 16

r P GM P

r r

cR R   c GM

    

26

7

8 3 11 30

3(3.90 10 )

m 1.7 10 m 16 (3.00 10 )(3.5 10 )(6.67 10 )(1.99 10 )

r 





   

   

33.5 편광(

Polarization

⁾

한 방향으로만 진동하는 빛을 편광 되었다고 한고, 전기장

E

^가

y

축으로만 진동하는 것을

y

축으로 편광 되었다고 말한다. 우

리가 주위에서 보는 광들은 비 편광으로 모든 방향으로 진동한다. 이러한 광을 편광 광으로 만들 려면 편광 판이라는 물질을 사용한다.

편광 판(Polarizer): 빛을 한 방향으로 진동하는 것만 통과시키는 물질.

투과한 편광의 세기

비 편광 빛이 하나의 편광 판을 통과하면 편광된 파동의 세기(Intensity)는 입사세기의 반이 된다.

1 2

^o

I  I

^(33.41)

편광된 빛이 편광 판을 투과한 편광의 세기: 편광 판(

y

^{축 편광)에 전}

기장이 각



만큼 기울어 들어온다면 통과된 전기장의 크기는

y

cos

E  E 

(33.42) 편광 판을 통과한 빛의 세기:

I  I

_o

cos

²



(33.43) 여기서

2 2 r ms

1

2

_o ^m _o

I E E

c  c 

 

보기문제 33.3 우측 그림은 원래 비 편광된 빛이 진행 하는 경로에 놓여 있는 세 개의 편광 판이다. 첫 번째 편광판의 편광방향은

y

축과 평행하다. 두 번째 편광 판은

y

축을 기준으로 반 시계방향으로

60

^{o기울어져}

있다. 그리고 세 번째 편광판의 편광방향은

x

축과 평 행하다. 투과한 빛의 세기는 처음 세기

I

_o ^{의 얼마인}

가? 그리고 투과한 빛의 편광방향은 어느 방향인가?

(풀이) 첫 번째 통과한 빛의 세기

I

₁: ₁

1

_o

I  2 I

두 번째 통과한 빛의 세기

I

₂^:

I

₂

 I

₁

cos 60

^{2 o}

세 번째 통과한 빛의 세기

I

₃^:

I

₃

 I

₂cos 30^{2 o}

2 o 2 o 2 2

3 1

1 1 3 3 3

cos 60 cos 30 ( ) ( ) 0.094

2

^o

2 2 32

^o _o

32

I I I I I

    I  

편광방향은

x

축이다.

보기문제 33.4 입사 강도(Intensity^)가

I

인 편광된 빛을 반으로 줄이기 위한 다른 편광판의 편광 각도는 얼마인가?

(풀이)

I

_p

 I

cos²



2 1

cos cos

2 2

I  I    

  

33.6 빛(전자기파)의 특성

(i)

반사

(Reflection)와

굴절

(Refraction)

입사평면: 경계면에 수직인 법선과 입사광이 이루는 면 입사각 (



₁): 법선과 입사광 사이의 각

반사각(



₁^'): 법선과 반사광 사이의 각 굴절각(



₂): 법선과 굴절광 사이의 각

반사법칙: 반사광은 입사평면에 놓여 있고 입사각과 반사각은 같다.

 

₁



₁^{' (33.44)}

(ii)

굴절법칙

(Snell's law)

n

₁sin



₁

 n

₂sin



₂ (33.45)

여기서

n

₁^와

n

₂는 입사광과 굴절광이 지나가는 물질의 굴절률(Refractive index)이다. 굴절률은 입사광의 파장에 따라 다르며 파장이 짧은 광의 굴절률은 긴 파

장의 굴절률보다 크다.

(예) 물방울 속에 입사한 백색광은 두 번 굴절하여 되돌아 공기 속으로 나온다. 이때 굴절률이 색깔마다 다르기 때문에 무지개가 형성된다. 그림에 나타난 원리에 의해 위는 붉은색이며 아래는 푸 른색을 형성한다.

푸른색 광의 굴절률 > 붉은색 광의 굴절률. 즉 푸른색 파장 < 붉은색 파장

무지개(

Rainbow

⁾

무지개는 빛이 빗방울에 내부에서 한번 반사된 후 굴절되어 공기 중으로 다시 나갈 때 파장(색깔) 에 따른 굴절률이 다르기 때문에 나타나는 현상이다. 아래 그림은 관측자와 빗방울의 위치에 따라 관측자가 무지개를 바라다 보는 각도와 색의 순서를 나타낸 것이다.

보기문제 33.5 (a) 아래 그림 (a)는 단색광이 굴절률

n

₁



1.33인 매질

1

과 굴절률

n

₂



1.77인 매질

2

의 경계면 위에 있는 점

A

에서 반사하고 굴절하는 것으로, 입사광은 표면과

50

^{o의 각도}

를 이룬다. 점

A

에서의 반사각과 굴절각은 각각 얼마인가?

(b) 점

A

에서 매질

2

로 들어간 빛살은 그림 (b)처럼 매질

2

와

3

(공기) 사이의 경계면 위에 있 는 점

B

에 도달한다. 경계면은

A

점의 경계면과 평행하다.

B

에서 일부 빛은 반사하고 나머지는 공기 중으로 굴절한다. 반사각은 얼마인가? 또한 공기로의 굴절각은 얼마인가?

(풀이) (a) 반사각:

 

₁^'

 

₁

40

^o

굴절각: _{1 1 2 2 2} ^{1 1} ₁

2

sin sin sin [( n ) sin ]

n n

     

^

n 

1 o 1 o

2

sin [1.33sin 40 ] sin (0.4830) 28.9

 

^ 1.77



^



(b) 반사각:



₂^'

 

₂

 28.9

^o

굴절각: _{2 2 3 3 3} ^{1 2} ₂

3

sin sin sin [( n ) sin ]

n n

     

^

n 

1 o 1 o

3

sin [ 1.77 sin 28.9 ] sin (0.8554) 58.8

 

^

1.00 

^



보기문제 33.6 공기 속 육각형의 얼음결정은 결정의 방향에 따라 입사한 광선을 일정한 각도로 회전시킨다. 이때 최소 회전각



_d

으로 광선이 모여서 밝은 빛, 즉 해무리가 생긴다. 최소 회전각으 로 빠져 나온 광선은 육각형면 하나에 평행한 경로를 따라 진행한 다. 이 경로는 입사광선의 경로와 대칭적이다. 최소 회전각 는 태 양의 왼쪽 또는 오른쪽에 생긴다. 얼음의 굴절률은

n

₂



1.31^이다.



d^{를 구하여라.}

(풀이) _{1 1 2 2 1} ^{1 2} ₂

1

sin sin sin [( n ) sin ]

n n

     

^

n 

1 o o

1

sin [( 1.31 ) sin 30 ] 40.92

 

^

1.00 

   

2 21.8

o



d

  

(iii)

전반사

(Total Reflection)

빛은 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 나갈 때, 어느 각 이상이 되면 입사광은 두 물질의 경계 면을 따라 나간다. 이 입사각을 임계각(critical angle⁾



_c라 하며 그 이상의 입사각에서는 빛이 밖으로 나감이 없이 경계면에서 반사한다. 이것을 전반사라 한다.

이 경우 Snell's law를 적용하면

o 1sin _c 2sin 90

n   n



sin



_c

 n

₂/

n

₁ ^(33.46)

전반사를 이용하는 대표적인 물질은 광섬유(optic fiber^)이다.

보기문제 33.7 그림은 깎은 윗면의 점

A

로 입사한 광선이 다이아몬 드를 투과하는 모습이며, 윗면과 아랫면의 수직선들은

48.84

^{o를 이}

룬다. 아랫면의 점

B

에서 빛의 일부가 반사하여 입사면으로 되돌아 가는데 경우에 따라 빛의 일부가 아랫면으로 새어 나와서 굴절할 수 도 있다. 점

A

^{의 입사각은}



₁

 40

^o 이다. 아랫면 아래는 공기이면 점

B

로 빛이 나올 수 있는가?

아랫면이 손 때로 더렵혀져서 굴절률이

n

₄



1.63^{이면 점}

B

^{로 빛이}

나올 수 있는가? 다이아몬드의 굴절률은

n  2.419

이고 공기의 굴절률은

1.00

^이다.

(풀이) 점

B

^{에서 임계각}



_c

o 1 1 1 1 o

sin (1.00) sin 90 sin ( ) sin ( ) 24.4

c c 2.42

n     

^

n 

^



입사각



₃^가



_c

 24.4

^o보다 크면 공기로 나오는 빛은 없다.

점

A

^{에서의 굴절각:} _{1 2 2} ¹

1

₁

sin n sin sin [( ) sin ]

     

^

n 

1 o o

2

sin ( 1 sin 40 ) 15.4

 

^ 2.42



o o o o o

2 3

(180 48.84 ) 180

3

48.84

2

33.43

           

따라서



₃

 

_c이므로 점

B

에서 빛은 전반사 한다.

아랫면이 공기가 아니라

n

₄



1.63^이면

1

3 4 4 4 3

4

sin sin sin ( n sin )

n n

     

^

n 

1 o o

4

2.419

sin ( sin 33.43 ) 54.8

 

^

1.63 

결과적으로

B

점에서 새어 나온다.

(iv)

반사에 의한 편광

편광 되지 않은 입사광이 특정한 각도(



_B)로 입사 할 때, 반 사하는 빛은 입사면에 수직성분만 반사된다. 편광을 하는 이 때의 각을 Brewster’s angle이라 하며, 입사각과 굴절각 사이 에는 다음의 수식이 성립한다.

90

o

B r

   

^(33.47)

1sin _B 2sin _r

n   n 

1

sin

_B 2

sin(90

^o _B

)

2

cos

_B

n   n    n 

^(33.48)

2 1 2

1 1

tan

_B

n

_B

tan ( n )

n n

    

^{ (33.49)}