Vol. 66, No. 11, November 2016, pp. 1359∼1365 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.66.1359
Wannier-Stark Mangnetophonon Resonance in Semiconductor Superlattices
Sang Chil Lee
Faculty of Science Education, Jeju National University, Jeju 63243, Korea
Hyung Soo Ahn
Department of Electronic Material Engineering, Korea Maritime and Ocean University, Busan 49112, Korea
Suck Whan Kim
∗Department of Physics, Andong National University, Andong 36729, Korea (Received 8 September 2016 : revised 4 October 2016 : accepted 6 October 2016)
We obtained the conditions for the Wannier-Stark magnetophonon resonance from the electric conductivity and a relaxation function, which are functions of the temperature, the period of the superlattice, the miniband width, the electron density, and the magnetic and the electric fields, based on both Wannier-Stark quantum transport theory and the Landau levels obtained when using magnetic and steady strong electric fields parallel to the axis of the semiconductor superlattice, respectively. The behaviors of the line shapes obtained from the Wannier-Stark magnetophonon resonance of the electric conductivity and the relaxation function as functions of the magnetic field, the electric field and the phonon energy were investigated numerically. The number of resonance peaks due to electron transitions between the Landau and the Wannier-Stark levels decreased with increasing electric field, and the magnetic-field strengths at the resonance peaks increased with increasing period in the semiconductor superlattice.
PACS numbers: 72.10.Di, 72.20.Dp, 73.63.-b
Keywords: Semiconductor superlattice, Wannier-Stark level, Wannier-Stark magnetophonon resonance
반도체초격자에서 와니어-슈타르크-자기소리양자 공명
이상칠
제주대학교 사범대학 과학교육학부, 제주 63243, 대한민국
안형수
한국해양대학교 전자소재공학과, 부산 49112, 대한민국
김석환
∗안동대학교 자연과학대학 물리학과, 안동 36729, 대한민국
(2016년 9월 8일 받음, 2016년 10월 4일 수정본 받음, 2016년 10월 6일 게재 확정)
반도체초격자 축을 따라 평행하게 걸린 자기장과 전기장에 의한 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위가 형성될 때 양자수송 이론에 바탕을 둔 전기전도도와 완화함수를 온도, 초격자 주기, 미니밴드 너비, 전자밀
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도, 자기장, 전기장의 함수로 구하여 와니어-슈타르크 자기소리양자 공명 조건을 얻었다. 자기장, 전기장 및 소리 양자에너지 함수인 전기전도도와 완화함수의 와니어-슈타르크 자기소리양자 공명 조건으로부터 얻어진 선모양에 대한 거동을 수치적으로 조사하였다. 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위 사이의 전자 전이에 기인한 공명 봉우리의 수는 전기장이 커질수록 감소하고, 공명 봉우리에서의 자기장의 세기는 반도체초격자의 주기가 커질수록 증가한다.
PACS numbers: 72.10.Di, 72.20.Dp, 73.63.-b
Keywords: 반도체초격자, 와니어-슈타르크 준위, 와니어-슈타르크 자기소리양자 공명
I. 서 론
양자우물이 주기적으로 배열된 구조를 갖는 반도체초 격자에 균일하고 강한 전기장이 걸리면 반도체초격자의 주기적 퍼텐셜에 기인하여 전자의 파동함수는 블로흐 함수 형태가 아니라 각 양자우물에 국소화된 와니어-슈타르크 상태 (Wannier-Stark State) 인 와니어 함수 형태가 되고 전자는 양자우물 안에서 고전적으로 블로흐 진동을 한다 [1–3]. 반도체초격자의 전자에 대한 에너지 준위는 전기장과 반도체초격자 주기의 곱으로 주어지는 등간격의 양자화된 와니어-슈타르크 준위는 사다리와 같은 형태로 되어 있어 전자는 사다리 준위들 사이에서 깡충 깡충 뛰는 전이에 의한 전기전도를 한다. 또한 최근에 반도체초격자에 강한 자기 장에 기인한 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위 사이에서 일어나는 공명현상들에 관심의 대상이 되고 있다.
Shon과 Nazareno [4,5]는 GaAs/AlAs 반도체초격자 축 에 평행하게 걸린 강한 전기장과 자기장에 의해 형성된 두 와니어-슈타르크 준위의 에너지 차이와 두 란다우 준위의 에 너지 차이가 같을 때 나타나는 슈타르크-사이클로트론 공명 (Stark-Cyclotron resonance, SCR) 과 SCR에 광학 소리양 자가 흡수되거나 방출에 기인한 슈타르크-사이클로트론-소 리양자 공명 (Stark-Cyclotron-Phonon resonance, SCPR) 현상을 유전 연속체 모형 (dielectric continuum model) 에 기반한 전류를 계산하여 SCPR 현상을 이론적으로 조사 하였다. Canali 등 [6]은 GaAs/Al0.3Ga0.7As 반도체초격 자에 강한 전기장과 자기장에 의해 형성된 국소화된 전자 상태에 기인한 SCR을 실험적으로 관찰하였다. Broadley 등 [7]은 짧은 주기의 InAs/GaSb 반도체초격자에서 SCR 과 광학 소리양자에 의한 SCPR을 실험적으로 관찰하였 다고 보고하였다. Kleinert Bryksin [8]은 반도체초격자의 성장방향과 평행하게 작용한 강한 전기장과 자기장 하에 서 완전히 국소화 된 전자상태인 란다우 준위와 와니어- 슈타르크 준위에 대해서 양자 운동방정식과 내부충돌장 효과 (Intracollisional field effect) 를 고려하여 구한 전류 밀도로부터 SCPR은 자기소리양자 공명 (Magnetophonon
∗E-mail: swkim@andong.ac.kr
resonance, MPR) 과 전기소리양자 공명 (Electrophonon resonance, EPR) 의 결합된 형태임을 이론적으로 제시하 였다. Kuraguchia 등 [9]은 GaAs/AlGaAs 반도체초격자 축에 평행하게 걸린 전기장과 경사지게 걸린 자기장 하에서 경사각에 의존하는 자기저항을 측정하여 초격자 축에 평 행한 자기장의 함수로 SCR에 대응하는 공명 전류의 진동 거동을 관찰하였다. Mori 등 [10]은 GaAs/AlAs 반도체초 격자 축을 따라 평행한 전기장과 자기장이 작용할 때 비평행 그린함수 방법으로 유동속도를 자기장 함수로 구하여 SCR 과 광학 소리양자에 기인한 공명 봉우리를 이론적으로 제 시하였다. 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위에 기인한 공명 현상에 대한 연구가 많이 이루어졌지만 아직 실험과 이론적 연구는 미흡한 실정이다.
본 연구의 목적은 반도체초격자 축을 따라 평행하게 걸린 자기장에 의하여 양자화된 란다우 준위와 강하고 균일한 전기장에 기인한 등간격으로 양자화된 와니어-슈타르크 준 위에 있는 국소화된 전자가 세로광학 소리양자와의 공명산 란에 의한 와니어-슈타르크 자기소리양자 공명 (Wannier- Stark magnetophonon resonance, WSMPR) 현상에 대하 여 일반화된 랑주뱅 방법의 양자수송 이론에 바탕을 둔 전기전도도와 완화함수를 구하여 이론적으로 조사하고자 한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. II절에서는 반도체초격 자의 단일전자 해밀토니안에 대한 고유함수와 에너지 고유 값을 제시한다. III절에서는 양자수송이론을 사용하여 전 기전도도와 완화함수를 계산하여 WSMPR 조건을 구한다.
IV절에서는 전자밀도, 온도, 미니밴드 너비, 초격자 주기, 전기장, 자기장에 의존하는 전기전도도를 수치적으로 조 사하여 WSMPR 봉우리의 위치, WSMPR 선모양 함수의 거동을 고찰한다. V절에서는 결론을 맺는다.
II. 반도체초격자에 대한 모델
Fig. 1에서 보는 바와 같이 반도체초격자에서 전자의 에 너지 스펙트럼은 주기가 d 인 주기 퍼텐셜 V (z) 에 의해서 초격자 미니밴드를 형성하고 주기방향 (z-방향) 으로 균일한
Fig. 1. (Color online) Schematic illustration of a InAs/GaSb semiconductor superlattice [10,11].
전기장 ⃗F = F ˆz와 균일한 자기장 ⃗B = B ˆz가 가해지고 서로 상호작용을 하지 않는 N 개의 전자들이 소리양자와 상호작용하는 반도체초격자계에서 단일전자 해밀토니안 H 는
H = p2x+ (py+ eBx)2 2m∗ + p2z
2m∗ + V (z) + eF z (1) 으로 주어진다 [4,5]. 여기서 px, py, pz는 각각 x, y, z 방향 의 운동량이다. m∗은 전자의 유효질량이고, 주기 퍼텐셜 V (z)는 V (z) = V (z + d) 를 만족한다. Shon과 Nazareno [4,5]가 제시한 바와 같이 매우 강한 전기장에서 밀접결합 근사 (tight-binding approximation) 에서 단일전자 해밀토 니안 H 의 에너지 고유값 En,s과 고유함수 Ψn,s,ky(x, y, z) 는
En,s= (
n +1 2
)
ℏωc+ sℏθ (2)
와
Ψn,s,ky(x, y, z) =
√ 1 Ly
ζ(x− x0)χs(z)eikyy (3)
으로 주어진다. 여기서 ℏ 은 플랑크 상수를 2π 로 나 눈 것이고, n(= 0, 1, 2,· · · ) 은 란다우 준위 지수, s(=
0,±1, ±2, · · · )는 와니어-슈타르크 준위 지수, ωc= eB/m∗ 는 사이클로트론 진동수, θ = eF d/ℏ 는 블로흐 진동수 (Bloch frequency), ζn(x− x0)는 진동중심이 x0=−l2Bky 인 단순조화진동자의 파동함수, lB = √
ℏ/(m∗ωc)는 반 도체초격자 축에 수직인 평면에서 전자의 자기 궤도반지 름, Ly는 y 방향의 규격화된 길이, 반도체초격자의 체적은
V = LxLyLz으로 Lx와 Lz는 x 와 z 방향의 규격화된 길이 이다. 와니어-슈타르크 준위 지수 s 에 대응하는 고유함수는
χs(z) =
√d 2π
∫ π/d
−π/d
Ukz(z)ei(ℏθ∆sin kzd+kz(sd−z))dkz
=
∑∞ m=−∞
Jm−s (∆
ℏθ )
ϕ(md− z) (4)
으로 주어진다 [4,5,10]. 여기서 ∆ 는 미니밴드 너비, kz는 z 방향의 파수벡터, Ukz(z)는 블로흐 함수의 주기 부분, ϕ(z) 는 와니어 함수로
ϕ(md− z) =
√d 2π
∫ π/d
−π/d
Ukz(z)eikzzeimkzddkz (5) 로 정의되고 m 은 와니어 지수이다 [10]. 와니어 함수는 본 질적으로 반도체초격자를 구성하는 기본단위인 각 양자우 물에 국소화가 되어 있다. 식 (4) 를 얻기 위하여 베셀함수의 급수전개식
eiz sin θ=
∑∞ m=−∞
Jm(z)eimθ (6)
를 사 용 하 였 다 [12]. 여 기 서 Jm(x) =
∑∞
s=0 (−1)s s!(s+m)!
(x
2
)2s+m
로 정 의 되 는 제 1 종 베 셀 함 수 이다 [12,13].
또한 비축퇴 반도체초격자에서 고온에서 페르미-디랙 분 포함수는 맥스웰-볼츠만 분포함수이므로 식 (2) 의 에너지 고유값과 전자의 스핀에 의한 축퇴도 2를 고려하여 화학퍼 텐셜 µ 를 계산하면
µ = kBT ln
2πℏne(1− eβℏθ) sinh (βℏωc
2
)
m∗ωc
(7)
와 같이 주어진다. 여기서 ne = N /(LxLy)은 전자밀도, β = 1/kBT, kB는 볼츠만 상수, T 는 절대온도이다. 화학 퍼텐셜은 온도, 전자밀도, 사이클로트론 진동수, 블로흐 진동수에 의존한다.
III. 전기전도도와 완화함수
반도체초격자에 양자수송 이론에 대한 참고문헌 [14]의 식 (4.38) 에 선형응답극한을 사용하고 단일전자의 에너지 고유값과 고유함수를 이용하여 z 방향의 전기전도도 σzzSL 를 구하면
σSLzz = e2ωceβµ πm∗θd2
∑∞ n=0
∑∞ s=0
∑∞ p=1
e−β((n+12)ℏωc+sℏθ) (1 − e−βpℏθ) p3
× Γn,p+s,ky;n,s,ky
(pℏθ)2+ Γ2n,p+s,k
y;n,s,ky
(8)
와 같이 얻을 수 있다. 식 (8) 를 얻기 위하여 단일전자 전류 연산자의 z 성분 jz에 대한 행렬 요소
|⟨n, s, ky|jz|n′, s′, ky′⟩|2
=
( e
m∗d(s′− s) )2
δn,n′(1− δs,s′)δky,ky′ (9) 를 사용하였다. 여기서 jz=−epz/m∗이다. 식 (9) 의 δn,n′, δs,s′, δky,k′y는 크로네커 델타 기호이고 전자 전이에 대한 선택규칙이다. 또한 식 (8) 의 계산에서 ky에 대한 합은 다음의 관계식
∑
ky
(· · · ) = Ly
2π
∫ m∗ ωcLx2ℏ
−m∗ ωcLx2ℏ
(· · · )dky (10)
를 사용하였다. 여기서 ky의 범위는 −m∗ωcLx/(2ℏ) <
ky <−m∗ωcLx/(2ℏ) 이다. 전기전도도는 ky에 독립이므 로, 주어진 양자수 n 과 s 에 대해서 축퇴도 ξ 를 식 (10) 으로 부터 계산하면 ξ = m∗ωcLxly/(2πℏ)이다.
반도체초격자에서 전자와 소리양자 상호작용 퍼텐셜은 γ⃗q = C⃗qei⃗q·⃗r으로 정의되고, 식 (3) 의 고유함수를 사용하여 γ⃗q의 행렬요소를 계산하면
|⟨n, s, ky|γ⃗q|n′, s′, k′y⟩|2=|C(⃗q)|2δky∓qy,k′
y|In,n′(u)|2Js2′−s
( 2∆
ℏθsin (qzd
2 ))
(11) 와 같이 얻을 수 있다. 여기서 C⃗q는 상호작용 퍼텐셜의 푸리에 성분으로 반도체초격자에서 극성 상호작용 상수 D 인 전자와 세로광학 소리양자 산란에 대해서 |C(q)|2 = D/(V q2)를 사용하면 전자와 세로광학 소리양자 산란에 기인한 식 (8) 의 완화함수는 다음과 같이
Γn,p+s,ky;n,s,ky = D πd
∑
(n′,s′)̸=(n,s)
∑
±
{(n0+ 1)Kn,n′;s′,p+sδ(Θ1±) + n0Kn,n′;s′,sδ(Θ2±)} (12)
로 주어진다 [15,16]. 여기서 세로광학 소리양자는 비분산적 (ℏω⃗q≈ ℏωLO≈ 상수)이라고 가정하였고 ωLO는 세로광학 소리양자의 진동수이다. 식 (12) 의 δ(x) 는 디락 델타 함수 이다. 여기서 n0= (eβℏωLO − 1)−1로 주어지는 세로광학 소리양자 분포함수이고
Θ1± = (n− n′)ℏωc+ (s− s′)ℏθ ± ℏωLO (13) 이고
Θ2±= (n′− n)ℏωc+ (s′− p − s)ℏθ ± ℏωLO (14) 이다. 또한
Kn,n′;s′,s =
∫ π
2
0
∫ ∞
0
Js2′−s(
2ℏθ∆ sin t)
|In,n′(u)|2 u +(l
B
d t)2 dudt, (15)
|In,n′(u)|2 = n⟨!
n⟩!e−uun⟩−n⟨ [
Lnn⟩⟨−n⟨(u) ]2
(16) 이고 u = (qx2+q2y)lB2/2, n⟨= min(n, n′), n⟩= max(n, n′),
∆n = n⟩− n⟨ = |n − n′| 이며 Lαn(u)는 버금 Laguerre
다항식이다 [12]. 식 (12) 을 얻기 위하여 제 1 브릴루앙 영역의 소리양자 파수벡터 ⃗q 에 대한 합을 ∑
⃗
q(· · · ) → V /(4π2l2B)∫∞
0 du∫π/d
−π/ddqz(· · · ) 와 같이 적분 형태로 바 꾸어 계산하였다 [15,16]. 식 (12) 의 디락 델타함수는 전 자가 소리양자를 방출하거나 흡수하는 충돌과정에 대한 에너지 보존을 의미한다. 소리양자의 방출과 흡수 과정은 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위 사이의 전자 전이에 기인한 공명 현상을 나타나게 한다. 식 (12) 의 합기호에 대한 선택 규약 (n′, s′)̸= (n, s) 는 (1) n′ ̸= n, s′ = s, (2) n′ = n, s′ ̸= s, (3) n′ ̸= n, s′ ̸= s 으로 세 가지 조건을 가지게 된다. 이들 조건으로부터 반도체초격자에서 세 가 지 가능한 전자전이가 존재하게 된다. 즉 (1) 란다우 준위 간의 전이, (2) z 방향에 대한 와니어-슈타르크 준위 간의 전이, (3) 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위 사이에서 동시에 일어나는 전이가 있다. 따라서 세로광학 소리양자 산란에 대한 완화함수의 세 가지 전이 조건에서 다음과 같은 WSMPR 조건
δnℏωc =ℏωLO, δsℏθ = ℏωLO, δnℏωc = δsℏθ ± ℏωLO
(17)
를 얻을 수 있다. 여기서 δn 과 δs 는 정수이다. 란다우 준 위에 기인한 공명조건 δnℏωc =ℏωLO는 덩어리 반도체초 격자의 MPR 조건과 동일한 형태이다 [15]. 와니어-슈타르 크 준위 사이에서 일어나는 공명조건 δsℏθ = ℏωLO는 두 와니어-슈타르크 준위 사이에서 소리양자의 흡수와 방출에 의한 공명 현상으로 반도체초격자에 걸리는 전기장에 기인 한 와니어-슈타르크 준위 상태의국소화를 반영한다 [7,10].
와니어-슈타르크 준위간의 가상 전이가 일어나는 경우인 δsℏθ 를 포함하는 공명조건 δnℏωc= δsℏθ ± ℏωLO는 MPR 공명 봉우리의 양 옆 쪽으로 와니어-슈타르크 준위에 기인한 보조 봉우리들이 나타난다 [4]. 식 (17) 의 공명조건이 만족 될 때, 란다우 준위 n 또는 와니어-슈타르크 준위 s 에 있는 전자는 에너지가ℏωLO인 세로광학 소리양자를 방출하거나 흡수하여 란다우 준위 n′이나 또는 와니어-슈타르크 준위 s′로 전이하여 전자와 세로광학 소리양자 간의 공명산란이 일어난다. 반도체초격자에서 식 (17) 는 전기전도도의 선 모양에 대한 공명조건으로 WSMPR 현상에 대한 기본적인 물리를 제공한다.
IV. 수치결과와 논의
이 절에서는 반도체초격자의 전기전도도 σzzSL의 수치결 과로부터 전자밀도, 온도, 미니밴드 너비, 초격자 주기에 의존하는 와니어-슈타르크 자기소리양자 공명의 선모양 거동을 자기장과 전기장의 함수로 제시하고자 한다. 수 치계산에 사용된 InAs/GaSb 의 물리상수들은 유효질량 m∗= 0.044m0(m0는 전자의 정지질량), 세로광학 소리양 자 에너지ℏωLO = 30 meV, 극성 상호작용 상수 D = 1.08
× 10−49kg2m5s−4, 전자밀도 ne= 1× 1016m−2이다 [15, 17].
Fig. 2는 온도 T = 150 K에서 (a) 주기 d = 9.3 nm, 미니밴드 너비 ∆ = 48.0 meV (b) 주기 d = 11.7 nm, 미니 밴드 너비 ∆ = 27.0 meV (c) 주기 d = 12.6 nm, 미니밴드 너비 ∆ = 13.0 meV일 때 전기장의 세기가 각각 F = 3.5 MV/m, F = 9.5 MV/m, F = 15.5 MV/m에 대해서 전기 전도도 σSLzz 의 스펙트럼 선모양을 자기장의 함수로 나타낸 것이다. Fig. 2에서 보는 바와 같이 두 란다우 준위와 두 와니어-슈타르크 준위사이의 전자 전이에 기인한 WSMPR 조건을 만족하는 공명 봉우리들이 δnℏωc= δsℏθ+ℏωLO인 경우에는 (δn, δs, +) 로, δnℏωc = δsℏθ −ℏωLO인 경우에는 (δn, δs,−) 로 표시되어 있다. 전기장의 세기가 커질수록 공명 봉우리의 수는 감소하고 반도체초격자의 주기와 미니 밴드 너비가 커질수록 공명자기장이 큰 쪽으로 이동함을 알 수 있다. (δn, δs, +) = (1, 0, +) 인 공명 봉우리는 란다우
Fig. 2. (Color online) Electric conductivity σzzSL as a function of the magnetic field for (a) d = 9.3 nm, ∆ = 48.0 meV, (b) d = 11.7 nm, ∆ = 27.0 meV, and (c) d
= 12.6 nm, ∆ = 13.0 meV, respectively, in semiconduc- tor superlattices at T = 150 K. The solid, dotted, and dashed lines are for F = 3.5 MV/m, F = 9.5 MV/m, and F = 15.5 MV/m, respectively.
준위에 기인한 MPR 조건 δnℏωc =ℏωLO에서 δn = 1인 경우로 초격자 주기와 미니밴드 너비에 상관없이 공명자기 장이 동일한 곳에서 일어나고 전기장에 의존하지 않는다.
Fig. 3은 자기장 B = 5 T이고 온도 T = 150 K에서 (a) 주기 d = 9.3 nm, 미니밴드 너비 ∆ = 48.0 meV (b) 주기 d = 11.7 nm,미니밴드 너비 ∆ = 27.0 meV (c) 주기 d = 12.6 nm, 미니밴드 너비 ∆ = 13.0 meV일 때 전기전도도 σSLzz 의 스펙트럼 선모양을 전기장의 함수로 나타낸 것이다.
Fig. 3에서 보는 바와 같이 WSMPR 조건을 만족하는 공명
Fig. 3. (Color online) Electric conductivity σzzSL as a function of the electric field for various periods and mini- band widths in semiconductor superlattices at B = 5 T and T = 150 K. The solid, dotted, and dashed lines are for d = 9.3 nm (∆ = 48.0 meV), d = 11.7 nm (∆ = 27.0 meV) and d = 12.6 nm (∆ = 13.0 meV), respectively.
봉우리들이 (δn, δs,±)로 표시되어 있다. 반도체초격자의 공명 봉우리들은 두 란다우 준위 지수차 δn = 1인 경우에 주로 관찰이 되고 있다. 또한 공명 봉우리는 초격자 주기 와 미니밴드 너비가 작을수록 전기장이 더 큰 쪽으로 이동 하고 있고 두 와니어-슈타르크 준위 지수차 δs 가 클수록 WSMPR 조건을 만족하는 공명 봉우리들은 더 큰 전기장 영역에서 일어나고 있다. 그리고 Fig. 3에서 공명전기장이 큰 영역에서 (δn, δs, +) 인 경우에 대한 공명 봉우리가 주로 나타나는 것은 반도체초격자의 란다우 준위와 와니어-슈 타르크 준위 사이의 전자 전이가 주로 소리양자의 방출에 기인한 공명이 일어나고 있기 때문이다.
V. 결 론
지금까지 반도체초격자에서 양자수송이론을 토대로 구 한 전기전도도를 온도, 초격자 주기, 미니밴드 너비, 전자 밀도, 자기장, 전기장의 함수로 구하여 WSMPR 조건에 대한 이론을 제시하여 공명 선모양에 대해서 수치적으로 조사하였다. 특히 전기장, 초격자 주기와 미니밴드 너비에 따라 WSMPR 공명 봉우리의 이동 현상과 같은 WSMPR 선모양의 거동에 대하여 고찰하였다. 두 란다우 준위와 두 와니어-슈타르크 준위사이의 전자 전이에 기인한 WSMPR 조건을 만족하는 공명 봉우리들은 전기장의 세기가 커질 수록 공명 봉우리의 수는 감소하고 반도체초격자의 주기 와 미니밴드 너비가 커질수록 공명자기장은 더 큰 쪽으로 이동한다. 란다우 준위에 기인한 MPR 조건을 만족하는 공명 봉우리는 초격자 주기와 미니밴드 너비에 상관없이 공명자기장이 동일하고 전기장에 의존하지 않는다. 또한
초격자 주기와 미니밴드 너비가 작거나 와니어-슈타르크 준위 지수차가 클수록 WSMPR 조건을 만족하는 공명 봉 우리는 더 큰 전기장 영역으로 이동하고 있다. 그리고 공 명전기장이 큰 영역에서는 소리양자의 방출에 의한 란다우 준위와 와니어-슈타르크 준위 사이의 전자 전이에 기인한 공명 봉우리가 많이 나타나고 있다. 본 연구에서는 제이만 스핀 쪼개짐 효과를 무시하였다. WSMPR 현상의 이론적 결과는 반도체초격자 소자의 설계와 강한 자기장과 전기장 이 걸리는 경우에 대한 실험결과를 분석하는데 기본적인 물리를 제공할 것으로 기대한다.
감사의 글
이 논문은 2013 년도 제주대학교 학술연구지원사업에 의하여 연구되었습니다.
REFERENCES
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